专题 第二十四章 一元二次方程10大重点题型专训（专项训练）数学冀教版九年级上册

第二十四章 一元二次方程（章末小结） 题型一 一元二次方程相关的概念 题型二 一元二次方程的四大解法 题型三 配方法的应用 题型四 换元法解一元二次方程 题型五 根据一元二次方程根的情况求参数 题型六 一元二次方程根与系数的关系 题型七 营销问题 题型八 与图形有关的问题 题型九 动态几何问题 题型十 一元二次方程的新定义问题 题型一 一元二次方程相关的概念 1．如果关于的一元二次方程的一个解是，则代数式的值为（ ） A．2023 B． C．2024 D．2025 2．若是关于的一元二次方程，则的值为（   ） A． B． C． D．无法确定 3．若a是方程的一个根，则的值为（    ） A．2022 B． C．2023 D． 4．已知a是一元二次方程的一个解，则代数式的值是 ． 5．设、是方程的两根，则 ． 6．已知关于的方程（，，均为常数，且）的两个解是和，则方程的解是 ． 7．试说明：对于任意实数，关于的方程都是一元二次方程． 8．已知关于x的一元二次方程的一个根为，求m的值及方程的另一个根． 9．请阅读下列材料： 问题：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为y，则，所以． 把代入已知方程，得． 化简，得 故所求方程为． 这种利用方程的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． 请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）． (1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为：________． (2)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数． (3)已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别为3，，求一元二次方程的两根．（直接写出结果） 题型二 一元二次方程的四大解法 1．用适当的方法解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 2．选用适当方法解下列方程： (1) (2) (3) (4) 3．用适当方法解方程： (1) (2) (3) (4) 4．用适当的方法解下列一元二次方程． (1)（配方法）； (2)（公式法）； (3)（因式分解）； (4)（适当方法）； (5)（适当方法）． 5．用适当方法解下列方程 (1) (2) (3) (4) 6．用适当方法解方程： (1) (2) 7．用适当方法解下列方程． (1)； (2)； (3)． 8．按要求解下列方程： (1)；（配方法） (2)；（用适当方法） (3)；（公式法） (4)．（用适当方法） (5)；（用适当方法） (6)．（用适当方法） 9．请选择适当方法解下列方程： (1) (2) (3) 10．用适当方法解下列方程 (1)； (2) 11．计算：用适当方法解方程： (1)； (2) 12．用适当的方式解下列方程 (1) (2) (3) (4) 题型三 配方法的应用 1．用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为（　） A． B． C． D． 2．把方程化成的形式，则的值是（　　） A．9 B．13 C． D． 3．已知关于的方程通过配方可变形为，则的值为（    ） A． B．4 C． D．8 4．若一元二次方程经过配方，变形为的形式，则的值为 5．用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为______． 6．若定义如果存在一个数i，使，那么当时，有，从而是方程的两个根．据此可知：方程的两根为 （根用i表示）． 7．“”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式．例如： ， ∵， ∴， ∴， 试利用“配方法”解决下列问题： (1)如果，那么的值为 ． (2)已知，求的值； 8．阅读材料：把形如的二次三项式或（其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有着广泛应用． 例如：①我们可以将代数式进行变形，其过程如下 ， ， ． 因此，该式有最小值1． ②已知：将其变形，，，可得． (1)按照上述方法，将代数式变形为的形式； (2)若，用配方法求的最小值； (3)已知、、是的三边，且满足，试判断此三角形的形状并说明理由． 9．如图，某农户准备用长米的铁栅栏，一边利用墙，其余边用铁栅栏围成长方形羊圈和一个边长为米的正方形狗屋．设米． (1)请用含的代数式表示的长 （直接写出结果）； (2)设山羊活动范围即图中阴影部分的面积为平方米，请用含的代数式表示；（写出过程） (3)求出山羊活动范围面积的最大值． 题型四 换元法解一元二次方程 1．已知实数x满足，则代数式的值为（　　） A．7 B． C．7或 D．或1 2．已知方程的解是，则方程的解是（    ） A． B． C． D． 3．若，则的值为（    ）． A． B． C． D．或 4．方程的解是，则方程的解是 ． 5．已知和2是关于x的一元二次方程的两根，则关于x的方程的根为 ． 6．若关于x的一元二次方程的解是，，则关于x的一元二次方程的解是 ． 7．利用换元法解下列方程： (1)； (2)． 8．阅读下列材料：为解方程，可将方程变形为， 然后设，则，原方程化为，解得，， 当时，无意义，舍去； 当时，，解得； 所以原方程的解为，； 利用以上学习到的方法解下列方程： (1)； (2)； (3)． 9．阅读与思考：小悦同学解一元二次方程的方法如下所示，请完成相应的任务． 利用均值换元法解一类一元二次方程 解方程： 第一步： 原方程可变形为：； 第二步：令 第三步： 第一步的方程可变形为； 第四步： ……； 根据t的值可以求出 方法总结：求第一步方程等号左边两个多项式的平均值，从而换元得到较为简单的一元二次方程，因此，这种方法称为均值换元法． 我们在解决形如 (其中a， b， c， d是常数， 且)的方程时可以利用均值换元法求解． (1)利用均值换元法解方程体现的数学思想是 ； A． 分类讨论思想       B． 数形结合思想       C． 整体代换思想      D． 类比思想 (2)完成材料中第三步以后求t值的过程； (3)根据材料内容，利用均值换元法解方程： 题型五 根据一元二次方程根的情况求参数 1．若关于x的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（    ） A．且 B． C．且 D． 2．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　） A． B．且 C． D．且 3．若关于x的一元二次方程有实数根，则字母k的取值范围是（     ） A． B．且 C． D．且 4．若关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围 ． 5．若等腰三角形的一边长是4，另两边的长是关于的方程的两个根，则的值为 ． 6．关于的方程，无论实数取何值，该方程总有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为 ． 7．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，求的取值范围． 8．已知关于的方程． (1)求证：无论取任何实数，方程总有实数根； (2)若等腰三角形的一边长为4，另两边长恰好是这个方程的两个根，求此时的值和这个等腰三角形的周长． 9．，是一元二次方程（a≠0）的两个实数根，若满足，则此类方程称为“差根方程”．根据“差根方程”的定义，解决下列问题： (1)通过计算，判断下列方程是否是“差根方程”：； (2)已知关于x的方程是“差根方程”，求a的值． 题型六 一元二次方程根与系数的关系 1．已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（    ） A． B．或 C． D． 2．若关于x 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是 （    ） A． B． C． 且 D．且 3．设，是关于x的一元二次方程的两个实数根，且，则m的值为（    ） A．2 B．4 C．2或 D．或4 4．如果关于x的方程的两根之差是1，那么p的值为 ． 5．关于的一元二次方程在范围内有且只有一个根，则的取值范围为 ． 6．已知关于x的一元二次方程． （1）若该方程有两个相等的实数根，则a的值为 ； （2）若该方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围为 ； （3）若该方程没有实数根，则a的取值范围为 ； （4）若该方程有实数根，则a的取值范围为 ． 7．已知关于的一元二次方程． (1)求证：此方程总有两个实数根； (2)如果此方程的两个实数根都是整数，求正整数的值． 8．已知关于x的方程有实数根， (1)求k的取值范围； (2)若该方程有两个实数根，分别为，满足，求k的值． 9．请阅读以下材料： ①若是关于x的一元二次方程的两个根，则方程的两个根和系数a、b、c有如下关系：，，把它们称为一元二次方程根与系数关系定理（韦达定理）． ②定义：已知关于x的一元二次方程的两个实数根，若，且，则称这个方程为“限根方程”．如：一元二次方程的两根为，因为，，所以一元二次方程为“限根方程”． 请解决下列问题： (1)判断一元二次方程是否为“限根方程”，并说明理由； (2)若关于x的一元二次方程是“限根方程”，且方程的两根满足，求k的值； (3)若关于x的一元二次方程是“限根方程”，则m的取值范围为 ．（此小问直接填空，不写过程） 题型七 营销问题 1．某超市销售一批玩具，平均每天可售出120件，每件盈利4元，市场调查发现售价每涨1元，销售量减少10件；售价每降1元，销售量增加10件．爱动脑的嘉嘉发现：在一定范围内，涨a元与降b元所获得的利润相同，则a与b满足（    ） A． B． C． D． 2．某商店从厂家以每件18元的价格购进一批商品．该商品可以自行定价．据市场调查，该商品的售价与销售量的关系是：若每件售价a元，则可卖出件，但物价部门限定每件商品加价不能超过进货价的25%，如果商店计划要获利400元．则每件商品的售价应定为（    ） A．22元 B．24元 C．26元 D．28元 3．某网店销售运动鞋，若每双盈利40元，每天可以销售20双，该网店决定适当降价促销，经调查得知，每双运动鞋每降价1元，每天可多销售2双，若想每天盈利1200元，并尽可能让利于顾客，赢得市场，则每双运动鞋应降价（    ） A．10元或20元 B．20元 C．5元 D．5元或10元 4．某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系．每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈利减少元．要使每盆的盈利达到15元，则每盆应多植 株． 5．某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每月可卖出210件，如果每件商品的售价上涨1元，则每月少卖10件．若商家想每月盈利2200元，设每月商品的售价为x元，则可的方程为 ． 7．“靠山吃山，靠水吃水”，金丝峡景区的人民依靠制作手工艺品也走出了一条致富路，其经营模式一般为生产组的产品由商店代理销售．已知某商店代理销售“竹编篮”平均每天可销售套，每套盈利元，在每套降价幅度不超过6元的情况下，每下降1元，则每天可多售4套，如果每天要盈利元，每套应降价多少元？ 8．大运会期间，某网店直接从工厂购进A，B两款纪念币，进货价和销售价如表所示：（注：利润=销售价-进货价） 类别价格 A款纪念币 B款纪念币 进货价（元/枚） 15 20 销售价（元/枚） 25 32 (1)网店第一次用580元购进A，B两款纪念币共32枚，求两款纪念币分别购进的枚数； (2)第一次购进的A，B两款纪念币售完后，该网店计划再次购进这两款纪念币共80枚（进货价和销售价都不变）；且进货总价不高于1350元．应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？ (3)大运会临近结束时，网店打算把A款纪念币调价销售，如果按照原价销售，平均每天可售出6枚，经调查发现，每枚A款纪念币每降价1元，平均每天可多售出2枚，将销售价定为每枚多少元时，才能使A款纪念币平均每天销售利润为84元？ 9．“卖花担上，买得一枝春欲放”，用鲜花装点生活，既能在装饰家居时收获审美体验，也能在观赏养护中熨帖心灵，是一种避入日常又跳出日常的美好．某花店抓住市场需求，计划第一次购进玫瑰和郁金香共300支，每支玫瑰的进价为2元，售价定为5元，每支郁金香的进价为4元，售价定为10元． (1)若花店在无损耗的情况下将玫瑰和郁金香全部售完，要求总获利不低于1500元，求花店最多购进玫瑰多少支？ (2)花店在第二次购进玫瑰和郁金香时，两种花的进价不变．由于销量火爆，花店决定购进玫瑰和郁金香共360支，其中玫瑰的进货量在（1）的最多进货量的基础上增加支，售价比第一次提高m元，郁金香售价不变，但郁金香在运输过程中有已经损坏，无法进行销售，最终第二批花全部售完后销售利润为1800元，求m的值． 题型八 与图形有关的问题 1．如图，在正方形中，点E、F分别是边和上的点，若，为等边三角形，则（    ）    A． B． C． D． 2．如图，在一张长为10，宽为6的矩形纸片上的四角各剪去一个同样的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒．若纸盒的底面（图中阴影部分）面积是，则剪去的小正方形的边长为（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 3．如图，利用一面墙（墙的最大可利用长度为25米），用栅栏围成一个矩形场地（靠墙一面不用栅栏），中间再用栅栏分隔成两个小矩形，且在如图所示位置留两个1米宽的小门，若所用栅栏的总长度为52米，矩形场地的面积为240平方米．若设栅栏的长为x米，则x的值为（    ）    A．10 B．9 C．8 D．7 4．一块面积为的矩形材料，四个角各减去一个一样大小的正方形，用剩下的部分做成一个无盖的长方体盒子，要求盒子长为，宽为高的3倍，若设长方体盒子高为，则可列方程为 ． 5．如图，为美化环境，某地准备将一片面积为的矩形空地建为一个花圃，花圃中间共设有条等宽的水渠，将花圃分为了个形状相同的矩形区域，在每个区域内种植花草，花草的总面积为，若测得空地的宽为，则水渠的宽度为 ． 6．如图，以a，b为边长的矩形面积为，以c为边长的正方形面积为，已知． （1）当时，则c的值是 ； （2）若c为整数，，则矩形和正方形的周长之和的值是 ． 7．启正中学某节社团课上，老师给每个学生发了一张腰长为的等腰直角三角形硬卡片（如图①，图②中，，），让学生们利用它裁出一块长方形卡片制作明信片，要求裁出的长方形卡片的四个顶点都在三角形硬卡片的边上，并且裁出的长方形卡片的面积为． (1)方方同学很快完成了自己的设计（如图①），并完成计算，请你求出他裁出的长方形卡片的长和宽； (2)圆圆同学看了方方同学的设计后提出了不同的设计方案，请利用图②大致画出草图，并求出圆圆同学裁出的长方形卡片的长和宽． 8．如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）． (1)当羊圈的边的长为多少米时，能围成一个面积为的羊圈？ (2)羊圈的面积能达到吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 9．某农场要建一个饲养场（矩形），两面靠墙（位置的墙最大可用长度为位置的墙最大可用长度为），另两边用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地及一处通道，并在上各留宽的门（不用木栏），建成后木栏总长． (1)若饲养场（矩形）的一边长为，则_______________m． (2)若饲养场（矩形）的面积为，求边的长． (3)饲养场的面积能达到吗？若能达到，求出边的长；若不能达到，请说明理由． 题型九 动态几何问题 1．如图，在矩形中，，，点从点沿方向向点以运动，点从点沿方向向点以运动，若、从点同时出发，几秒钟时的面积是（　　） A． B． C．或 D． 2．如图，在中，，，，动点P，Q分别从点A，B同时开始运动（运动方向如图所示），点P的速度为，点Q的速度为，点Q运动到点C后停止，点P也随之停止运动，若使的面积为，则点P运动的时间是（    ）    A．2s B．3s C．5s或3s D．5s 3．如图，矩形中，，，动点E从A出发，以的速度沿向B运动，动点F从C出发，以的速度沿着CD向D运动，当点E到达点B时，两个点同时停止．则的长为时点E的运动时间是（    ） A． B． C．或 D． 4．如图，在中，，，，点从A点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，则、分别从A、同时出发，经过 秒钟，使的面积等于． 5．如图，在矩形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度运动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度运动．若点P，Q同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动，设运动时间为．当五边形的面积等于时，t的值为 ．    6．如图，在矩形中，，，点P从点A出发沿以的速度向点B运动，同时点Q从点B出发沿以的速度向点C运动，点P到达终点后，P，Q两点同时停止运动，当 秒时，P，D两点之间的距离是P，Q两点之间距离的2倍． 7．如图，在中，，，点在上从运动到（不包括），速度为；点在上从运动到（不包括），速度为．若点，分别从，同时出发，当，两点中有一个点运动到终点时，两点均停止运动．设运动时间为秒，请解答下列问题，并写出探索的主要过程． (1)当为何值时，，两点的距离为？ (2)当为何值时，的面积为？ 8．如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以2cm/s的速度移动．如果点P，Q分别从点A，B出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．    (1)经过多长时间，的面积等于8cm2？ (2)的面积会等于面积的一半吗？若会，请求出此时的运动时间；若不会，请说明理由． 9．已知：如图所示，在中，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动．当两点中有一点到达终点，则同时停止运动． (1)如果分别从同时出发，那么几秒后，的面积等于？ (2)如果分别从同时出发，那么几秒后，的长度等于？ (3)如果分别从同时出发，在运动过程中，是否存在这样的时刻，使？若存在，求出运动时间，若不存在，请说明理由． 题型十 一元二次方程的新定义问题 1．在实数范围内定义一种新运算“※”，其运算规则为．根据这个规则，方程的解是（    ） A． B． C．或 D．或 2．定义新运算，如，则方程的解是（    ） A．， B．， C．， D．， 3．定义一种新运算“”，对于任意实数，，，如，若（为实数）是关于的一元二次方程，并且该方程有实数根，则的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 4．对于实数定义一种新运算：，若关于的方程（为整数）有两个相等的实数根，则的值为 ． 5．定义新运算“*”：对于实数x和y，有，例如：，若关于x的方程有两个实数根，则m的取值范围是 ． 6．新定义，若关于x的一元二次方程：与，称为“同类方程”．如与是“同类方程”． （1）与是“同类方程”，则 ； （2）现有关于x的一元二次方程：与是“同类方程”．那么代数式能取的最大值是 ． 7．定义新运算“”：当时，；当时，． (1)当时，求的值． (2)若，求x的值． 8．定义新运算：对于任意实数a、b，都有 等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，比如： ． (1)若 ，求x的值； (2)若m、n均为实数，且3⊕m的值小于10，判断关于x的方程 的根的情况． 9．新定义：已知关于x的一元二次方程的两根之和与两根之积，分别是另一个一元二次方程的两个根，则一元二次方程称为一元二次方程的“再生韦达方程”，一元二次方程称为“原生方程”． 比如：一元二次方程的两根分别为，则，所以它的“再生韦达方程”为． (1)已知一元二次方程，求它的“再生韦达方程”； (2)已知“再生韦达方程”，求它的“原生方程”． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十四章 一元二次方程（章末小结） 题型一 一元二次方程相关的概念 题型二 一元二次方程的四大解法 题型三 配方法的应用 题型四 换元法解一元二次方程 题型五 根据一元二次方程根的情况求参数 题型六 一元二次方程根与系数的关系 题型七 营销问题 题型八 与图形有关的问题 题型九 动态几何问题 题型十 一元二次方程的新定义问题 题型一 一元二次方程相关的概念 1．如果关于的一元二次方程的一个解是，则代数式的值为（ ） A．2023 B． C．2024 D．2025 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的解，代数式求值，掌握一元二次方程的解的定义是关键． 由题意知，，则，根据，再整体代入计算即可． 【详解】解：解：由题意知，， ， ． 故选：D． 2．若是关于的一元二次方程，则的值为（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，根据一元二次方程的定义即可求解，解题的关键是熟记一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为的整式方程，叫做一元二次方程． 【详解】解：方程是关于的一元二次方程， ∴且， 解得， 故选：． 3．若a是方程的一个根，则的值为（    ） A．2022 B． C．2023 D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的解, 先根据一元二次的定义得到，再用a表示得到，然后利用整体代入的计算所求代数式的值． 【详解】解：∵a是方程的一个根， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 4．已知a是一元二次方程的一个解，则代数式的值是 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，代数式求值，解题关键是熟练掌握一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值． 把代入方程得：，从而求出，的值，再整体代入是代数式进行计算即可． 【详解】解：把代入方程得：， ，， ， 故答案为：2． 5．设、是方程的两根，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根据一元二次方程的解的定义可得，，然后代入式子求值即可． 【详解】解：∵、是方程的两根， ∴，， ∴ 故答案为：． 6．已知关于的方程（，，均为常数，且）的两个解是和，则方程的解是 ． 【答案】， 【分析】把后面一个方程中的看作整体，相当于前面一个方程中的求解． 【详解】∵关于的方程的解是 ，， ∴方程变形为， 即此方程中或， 解得或， 故答案为：，． 【点睛】此题考查了方程解的定义，运用整体思想是解题的关键． 7．试说明：对于任意实数，关于的方程都是一元二次方程． 【答案】见解析 【分析】本题考差了一元二次方程的定义，解题的关键是掌握形如的是一元二次方程． 根据一元二次方程的定义，通过证明即可． 【详解】证明：， ∵， ∴，则， ∴， ∴对于任意实数，关于的方程都是一元二次方程． 8．已知关于x的一元二次方程的一个根为，求m的值及方程的另一个根． 【答案】，方程的另一个根为5 【分析】把代入求出m的值，再根据平方根的定义，求解该方程即可． 【详解】解：把代入得：， 解得：， ∴原方程为， ， ， ， ∴或， 解得：或， ∴方程的另一个根为5． 【点睛】主要考查了方程的解的定义，根据平方根解方程，解题的关键是掌握使方程两边相等的未知数的值是方程的解，以及平方根的定义． 9．请阅读下列材料： 问题：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为y，则，所以． 把代入已知方程，得． 化简，得 故所求方程为． 这种利用方程的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． 请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）． (1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为：________． (2)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数． (3)已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别为3，，求一元二次方程的两根．（直接写出结果） 【答案】(1) (2) (3)4、 【分析】（1）利用题中解法，设所求方程的根为y，则，所以，然后把代入已知方程得； （2）设所求方程的根为y，则，所以．然后把代入已知方程得．再化成整式方程即可． （3）把一元二次方程变形为，再与方程比较可得解． 【详解】（1）设所求方程的根为y，则， 所以， 把代入已知方程，得． 化简得， 故所求方程为， 故答案为：； （2）设所求方程的根是y，则，所以， 把代入方程，得， 化简，得； （3）一元二次方程整理度可得：， ∵令 ∴ 则方程的两根比两根大1， 所以方程的两根分别是4、 【点睛】本题是一道材料题，考查了一元二次方程的应用，以及解法，是一种新型问题，要熟练掌握． 题型二 一元二次方程的四大解法 1．用适当的方法解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)，； (2)，； (3)，； (4)，． 【分析】（）利用因式分解法解答即可求解； （）利用直接开平方法解答即可求解； （）移项，利用配方法解答即可求解； （）把方程整理成一般式，再利用公式法解答即可求解； 本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴或， ∴，； （2）解：∵， ∴， ∴，； （3）解：∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴，； （4）解：方程整理得，， ∴，，， ∴， ∴， ∴，． 2．选用适当方法解下列方程： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键． （1）用直接开平方法求解即可； （2）用配方法求解即可； （3）用公式法求解即可； （4）移项后用因式分解法求解即可. 【详解】（1）∵ ∴ ∴ ∴ ∴ （2）∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ （3）∵ ∴ ∴ ∴ （4）∵ ∴ ∴ ∴或 ∴ 3．用适当方法解方程： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用公式法解一元二次方程，即可作答． （2）令每个因式等于0，进行计算，即可作答． （3）等号右边提取3，得，再移项，然后提取公因式，令每个因式等于0，进行计算，即可作答． （4）移项合并同类项，得，再运用因式分解，令每个因式等于0，进行计算，即可作答． 【详解】（1）解： 则 ∴ （2）解： ∴ （3）解： ∴ （4）解： ∴ ∴ 4．用适当的方法解下列一元二次方程． (1)（配方法）； (2)（公式法）； (3)（因式分解）； (4)（适当方法）； (5)（适当方法）． 【答案】(1)，； (2)，； (3)，； (4)，； (5)，． 【分析】此题考查了解一元二次方程因式分解法，配方法，公式法，熟练掌握各自的解法是解本题的关键． 方程利用配方法求解即可； 方程利用公式法求解即可； 方程利用因式分解法求解即可； 方程整理后，利用公式法求解即可； 方程利用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：方程整理得：， 配方得：，即， 开方得：， 解得：，； （2）解：，，， ， ， 解得：，； （3）解：方程整理得：， 分解因式得：， 所以或， 解得：，； （4）解：方程整理得：， ，，， ， ， 解得：，； （5）解：方程分解得：， 所以或， 解得：，． 5．用适当方法解下列方程 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)， (2) (3) (4) 【分析】本题考查了直接开平方法，因式分解法和公式法解一元二次方程，选择适当解方程的方法是解题的关键． （1）利用公式法求解即可． （2）利用直接开平方法计算即可． （3）利用因式分解法法求解即可． （4）利用因式分解法法求解即可． 【详解】（1）∵, 在这里， ∴， 解得，． （2）， ∴， ∴． （3）∵， ∴ ∴， 解得． （4）∵, ∴ ∴， 解得． 6．用适当方法解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程的方法−因式分解法， （1）先利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程即可； （2）先把方程变形为，再利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程即可； 熟练掌握其方法是解决此题的关键． 【详解】（1） ， 或， ∴； （2）， ， ， 或， ∴． 7．用适当方法解下列方程． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键． （1）整理后用直接开平方法求解即可； （2）用因式分解法i求解即可； （3）用公式法求解即可． 【详解】（1）原方程可化为：， ， ∴， ∴； （2）原方程可化为：， 或， ∴，； （3）， ， ∴． 8．按要求解下列方程： (1)；（配方法） (2)；（用适当方法） (3)；（公式法） (4)．（用适当方法） (5)；（用适当方法） (6)．（用适当方法） 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程： （1）先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，最后解方程即可； （2）先移项，然后利用提公因式法分解因式，再解方程即可； （3）利用公式法解方程即可； （4）先把方程化为一般式，再利用因式分解法解方程即可； （5）利用直接开平方的方法解方程即可； （6）利用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得； （4）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得； （5）解：∵， ∴， 解得； （6）解：∵， ∴， ∴或， 解得． 9．请选择适当方法解下列方程： (1) (2) (3) 【答案】(1)， (2)， (3)， 【分析】本题考查了解一元二次方程． （1）将方程两边都除以5，再利用直接开平方法解方程即可； （2）将原方程变形为利，再用因式分解法解方程即可； （3）将方程化为一般形式，再利用公式法解方程即可． 熟练掌握各种解一元二次方程的方法是解题的关键． 【详解】（1）解：， 方程两边都除以5，得， 直接开平方，得， 所以或， 即，； （2）， 原方程可变形为， 即， 方程左边因式分解，得， 所以或， 得，； （3）， 将方程化为一般形式，得， 因为， 所以， 即，． 10．用适当方法解下列方程 (1)； (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查解一元二次方程，根据方程特点选择合适的方法解方程是关键． （1）利用因式分解法求解即可； （2）利用配方法求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ∴或， 解得：，； （2）解：， ， ， ， ∴， ∴，． 11．计算：用适当方法解方程： (1)； (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）把方程的左边分解因式，再把方程化为两个一次方程，再解一次方程即可； （2）利用配方法解方程即可． 【详解】（1）解： 解得：，； （2）解： 或 解得：，． 【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握“利用配方法与因式分解法解一元二次方程”是解本题的关键． 12．用适当的方式解下列方程 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了解一元二次方程-因式分解法，直接开平方法，公式法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）利用解一元二次方程-直接开平方法进行计算，即可解答； （2）利用解一元二次方程-因式分解法进行计算，即可解答； （3）利用解一元二次方程-公式法进行计算，即可解答； （4）利用解一元二次方程-因式分解法进行计算，即可解答． 【详解】（1）解： 解得：； （2）解： 或 解得：； （3）解： 解得：； （4）解： 或 解得：． 题型三 配方法的应用 1．用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为（　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了利用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题关键．先利用配方法求出的值，再代入计算即可得． 【详解】解：， ， ， ，即， 则， 所以， 故选：B． 2．把方程化成的形式，则的值是（　　） A．9 B．13 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查用配方法解一元二次方程、代数式求值，先利用配方法求得，，再代入求解即可． 【详解】解：， 移项得，， 配方得，， 得，， ∴，， ∴， 故选：B． 3．已知关于的方程通过配方可变形为，则的值为（    ） A． B．4 C． D．8 【答案】A 【分析】将一元二次方程进行配方的步骤为第一步∶ ，第二步：，第三步：， 第四步：；据此进行运算后判断，即可求解． 【详解】解： ， ， ， ， 解得：， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的配方，掌握配方的步骤是解题的关键． 4．若一元二次方程经过配方，变形为的形式，则的值为 【答案】48 【分析】本题考查配方法、代数式求值，根据题意得，即，进而可得，即，即可求解． 【详解】解：∵一元二次方程经过配方，变形为的形式， ∴， ∴， ∴，配方得，， ∴， ∴， 故答案为：48． 5．用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为______． 【答案】 【分析】对用配方法处理化为的形式即可． 【详解】解：进行移项得， 二次项系数化为1得， 配成完全平方式得，即， 因为用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式， 所以，，则； 故答案为：． 【点睛】本题主要考查的是一元二次方程的配方法等知识，灵活掌握一元二次方程的配方法过程是解题的关键． 6．若定义如果存在一个数i，使，那么当时，有，从而是方程的两个根．据此可知：方程的两根为 （根用i表示）． 【答案】， 【分析】方程利用配方法，结合阅读材料中的方法求出解即可． 【详解】解：方程整理，得， 配方得，即， 开方，得， 解得，， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法，以及新定义的运算，读懂新定义并熟练掌握配方法解一元二次方程是解本题的关键． 7．“”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式．例如： ， ∵， ∴， ∴， 试利用“配方法”解决下列问题： (1)如果，那么的值为 ． (2)已知，求的值； 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）将方程组的三个方程相加，变形后再根据完全平方式的特征求解； （）先配方，再根据非负数的性质求值即可； 【详解】（1） ，得：， ∴， ∴， ∴，， ∴，，， ∴，，， ∴， 故答案为：； （2）， ， ， ∴，， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查配方法的应用，完全平方公式的应用，正确配方，充分利用平方的非负性是解题的关键． 8．阅读材料：把形如的二次三项式或（其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有着广泛应用． 例如：①我们可以将代数式进行变形，其过程如下 ， ， ． 因此，该式有最小值1． ②已知：将其变形，，，可得． (1)按照上述方法，将代数式变形为的形式； (2)若，用配方法求的最小值； (3)已知、、是的三边，且满足，试判断此三角形的形状并说明理由． 【答案】(1) (2)的最小值是5 (3)是等边三角形，理由见解析 【分析】本题主要考查完全平方公式的变形运用，整式的混合运算，非负性，等边三角形的判定和性质， （1）根据材料提示的配方法即可求解； （2）运用配方法及非负性即可求解； （3）运用分组配方法可得，根据非负性可得，由此即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ∴ ， 所以，的最小值是； （3）解：是等边三角形： ， ， ， 是等边三角形； 9．如图，某农户准备用长米的铁栅栏，一边利用墙，其余边用铁栅栏围成长方形羊圈和一个边长为米的正方形狗屋．设米． (1)请用含的代数式表示的长 （直接写出结果）； (2)设山羊活动范围即图中阴影部分的面积为平方米，请用含的代数式表示；（写出过程） (3)求出山羊活动范围面积的最大值． 【答案】(1)； (2)； (3)山羊活动范围面积的最大值是平方米． 【分析】（）根据得到，整理即可得到答案； （）根据列出代数式即可； （）先得到 ，再根据题中的方法即可得到答案； 此题考查了配方法的应用，列代数式等知识，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：依题意得，， ∵， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：依题意得：， ∴， ∴； （3）解： ， 又因为，， ∴， ∴， ∴山羊活动范围面积的最大值是平方米． 题型四 换元法解一元二次方程 1．已知实数x满足，则代数式的值为（　　） A．7 B． C．7或 D．或1 【答案】A 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，将看作一个整体，再用换元法解方程求出的值即可，解题的关键是掌握换元法解方程． 【详解】解：设，则原方程可化为：， 解得； 当时，，即，，原方程没有实数根，故不合题意，舍去； 当时，，即，，故的值为6； ∴． 故选：A． 2．已知方程的解是，则方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，将原方程变形为，由题目的解是即可求出t的值，再解两个一元一次方程即可求得答案． 【详解】解：设，则原方程变形为： ， 由题可知， ， 则或, 解得：， 故选：A． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握换元法解一元二次方程是解题关键． 3．若，则的值为（    ）． A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】将，则，，这样将高次幂全部降次降到1次幂截止，然后再求值即可. 【详解】解：∵，∴ ∴ ∴原式= 故答案为：C 【点睛】本题借助一元二次方程考查了降次思想及整体思想，本题的关键是将高次幂通过降次全部降到一次幂截止，然后再合并同类项即可求解. 4．方程的解是，则方程的解是 ． 【答案】 【分析】根据方程的解是，可知方程的解比方程的解小2，从而可以得到方程的解． 【详解】解：∵方程的解是， ∴方程的两个解是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，求出所求方程的解． 5．已知和2是关于x的一元二次方程的两根，则关于x的方程的根为 ． 【答案】，， 【分析】设，将方程化为，利用和2是方程的两根，得到，，分别计算即可得到方程的根． 【详解】解：设，则方程化为， 由题意可知：，， ， ，， 方程的根为，， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了换元法解一元二次方程，熟练运用整体换元法是解题关键． 6．若关于x的一元二次方程的解是，，则关于x的一元二次方程的解是 ． 【答案】， 【分析】令y=x+3，代入a(x−h+3)2+k=0 可求得y的值，从而求得x的值．   【详解】解：令y=x+3，代入a(x−h+3)2+k=0 可得： a(y−h)2+k=0， 由已知可得：y1=-2或y2=1， ∵x=y-3， ∴x1=−5， x2=−2， 故答案为x1=−5， x2=−2． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，熟练掌握换元法解一元二次方程的方法和步骤是解题关键．　 7．利用换元法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查换元思想解高次方程，掌握我一元二次方程的解法是解题的关键． （1）根据换元思想，设，则或，由此即可求解； （2）设，则或，由此即可求解． 【详解】（1）解：设，则原方程化为， ∴或， 当时，， ∴， 当时，，此时方程无解， ∴原方程的解是． （2）解：设，则原方程化为， ∴或， 当时，， ∴， 当时，， ∴． ∴原方程的解是． 8．阅读下列材料：为解方程，可将方程变形为， 然后设，则，原方程化为，解得，， 当时，无意义，舍去； 当时，，解得； 所以原方程的解为，； 利用以上学习到的方法解下列方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)， (2)， (3)，，， 【分析】本题考查解一元二次方程，解题的关键是掌握换元法解一元二次方程，利用换元降次求解一元高次方程． （1）设，则原方程化为，进而求解； （2）设，则原方程化为，进而求解； （3）设，则原方程化为，进而求解； 【详解】（1）解：设，则原方程化为， 解得，， 当时，无意义，舍去； 当时，，解得； 所以原方程的解为，； （2）设，则原方程化为， 解得， 当时，，，，； 所以原方程的解为，； （3）. 设，则原方程化为， 解得， 当时，，， 解得：，； 当时，， 解得，； 所以原方程的解为，，0， 9．阅读与思考：小悦同学解一元二次方程的方法如下所示，请完成相应的任务． 利用均值换元法解一类一元二次方程 解方程： 第一步： 原方程可变形为：； 第二步：令 第三步： 第一步的方程可变形为； 第四步： ……； 根据t的值可以求出 方法总结：求第一步方程等号左边两个多项式的平均值，从而换元得到较为简单的一元二次方程，因此，这种方法称为均值换元法． 我们在解决形如 (其中a， b， c， d是常数， 且)的方程时可以利用均值换元法求解． (1)利用均值换元法解方程体现的数学思想是 ； A． 分类讨论思想       B． 数形结合思想       C． 整体代换思想      D． 类比思想 (2)完成材料中第三步以后求t值的过程； (3)根据材料内容，利用均值换元法解方程： 【答案】(1)C (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了换元法解一元二次方程： （1）根据题意可得体现的数学思想是整体代换思想； （2）根据平方差公式去括号得到，解得，则或，据此可得答案； （3）先整理原方程得到，再令，则原方程为，仿照（2）解方程即可． 【详解】（1）解：由题意得，利用均值换元法解方程体现的数学思想是整体代换思想， 故选：C； （2）解：∵， ∴， ∴， 解得， ∴或， 解得； （3）解： 整理得：， 令，则原方程为， ∴， ∴， ∴或， 解得． 题型五 根据一元二次方程根的情况求参数 1．若关于x的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（    ） A．且 B． C．且 D． 【答案】A 【分析】 考查了根的判别式，总结：1、一元二次方程根的情况与判别式的关系： （1）方程有两个不相等的实数根； （2）方程有两个相等的实数根； （3）方程没有实数根． 2、一元二次方程的二次项系数不为0． 方程有实数根，则，建立关于a的不等式组，求出a的取值范围． 【详解】解：由题意知，且， ∴且， 故答案为：A． 2．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　） A． B．且 C． D．且 【答案】D 【分析】有两个不相等的实数根，则判别式大于零，且二次项系数不能为零，由此即可求解． 【详解】解：一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴，即，且， ∴且． 故选：． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程根的判别式判断根的情况是解题的关键． 3．若关于x的一元二次方程有实数根，则字母k的取值范围是（     ） A． B．且 C． D．且 【答案】D 【分析】利用一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到k≠0且△=（-2）2-4k×(-3)≥0，然后求出两不等式的公共部分即可． 【详解】解：根据题意得k≠0且△=（-2）2-4k×(-3)≥0， 解得且k≠0． 故选：D． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．也考查了一元二次方程的定义． 4．若关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围 ． 【答案】且 【分析】根据一元二次方程的定义以及根的判别式的意义可得 且，求出k的取值范围即可． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个实数根， ，， 解得：且． 故答案为：且． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式，解题的关键在于能够熟练掌握一元二次方程的定义和一元二次方程根的判别式． 5．若等腰三角形的一边长是4，另两边的长是关于的方程的两个根，则的值为 ． 【答案】8或9 【分析】分4为等腰三角形的腰长和4为等腰三角形的底边长两种情况，再利用一元二次方程根的定义、根的判别式求解即可得． 【详解】解：由题意，分以下两种情况： （1）当4为等腰三角形的腰长时，则4是关于的方程的一个根， 因此有， 解得， 则方程为，解得另一个根为， 此时等腰三角形的三边长分别为，满足三角形的三边关系定理； （2）当4为等腰三角形的底边长时，则关于的方程有两个相等的实数根， 因此，根的判别式， 解得， 则方程为，解得方程的根为， 此时等腰三角形的三边长分别为，满足三角形的三边关系定理； 综上，的值为8或9， 故答案为：8或9． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的定义、根的判别式、等腰三角形的定义等知识点，正确分两种情况讨论是解题关键．需注意的是，要检验三边长是否满足三角形的三边关系定理． 6．关于的方程，无论实数取何值，该方程总有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】先根据一元二次方程的根的判别式可得，从而可得m应该小于的最小值，再根据偶次方的非负性求解即可得． 【详解】原方程可化为， 当该方程总有两个不相等的实数根时， 则其根的判别式， 解得， 无论实数取何值，该方程总有两个不相等的实数根，即无论实数取何值，不等式恒成立， 小于的最小值， 由偶次方的非负性得：， ， 的最小值为1， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式等知识点，正确将问题转化为无论实数取何值，不等式恒成立是解题关键． 7．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，求的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键．根据一元二次方程根的判别式大于0求解即可得． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴这个方程根的判别式， 整理得， 解得， 所以的取值范围为． 8．已知关于的方程． (1)求证：无论取任何实数，方程总有实数根； (2)若等腰三角形的一边长为4，另两边长恰好是这个方程的两个根，求此时的值和这个等腰三角形的周长． 【答案】(1)详见解析 (2)，周长： 【分析】（1）分情况讨论：，化为一元一次方程，求解；，化为一元二次方程，运用根的判别式处理； （2）对等腰三角形分情况讨论，分别求解，运用三角形三边关系定理判断取舍． 【详解】（1）解：当时，方程化为，解得：，方程有解； 当时，， ， ， 无论取任何实数，方程总有实数根； 综上，无论取任何实数，方程总有实数根； （2）解：解方程得，， ①当腰长为4，则 ∴，周长 ②当底边为4，则， ∴． ，，不符合题意． 故，周长为9 【点睛】本题一元二次方程根的判别式，一元二次方程的求解；注意分情况讨论是解题的关键． 9．，是一元二次方程（a≠0）的两个实数根，若满足，则此类方程称为“差根方程”．根据“差根方程”的定义，解决下列问题： (1)通过计算，判断下列方程是否是“差根方程”：； (2)已知关于x的方程是“差根方程”，求a的值． 【答案】(1)不是；见解析 (2) 【分析】（1）利用因式分解法解方程得到，，然后根据“差根方程”的定义计算判断； （2）设方程的两根分别为，，则，再利用根与系数的关系得，，根据完全平方公式得到，即，然后解关于a的方程即可． 【详解】（1）解：， ， 或， ∴，， ∴， ∴不是“差根方程”． （2）解：设方程的两根分别为，，则， 根据根与系数的关系得，， ∵， ∴， 即， 解得，， 即a的值为或． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根与系数的关系，． 题型六 一元二次方程根与系数的关系 1．已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（    ） A． B．或 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的根的个数与判别式的关系．解题的关键在于明确当时，一元二次方程有两个相等的实数根． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 即， 解得， 故选：A． 2．若关于x 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是 （    ） A． B． C． 且 D．且 【答案】C 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到且，然后求出解集即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴且， 解得：且， 故选：C． 3．设，是关于x的一元二次方程的两个实数根，且，则m的值为（    ） A．2 B．4 C．2或 D．或4 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，先由根与系数的关系得到，，再由已知条件得到，解方程得到m的值，再利用判别式求解即可． 【详解】解：∵，是关于x的一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得或， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 4．如果关于x的方程的两根之差是1，那么p的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了根与系数的关系、根的判别式等知识点，掌握是方程的两根时，成为解题的关键． 根据判别式可求出p的取值范围，再根据根与系数的关系求解即可． 【详解】解：由题意可得：，解得：， 设为方程的两根， 那么有, 又由，即， 解得：， ∴， ∵， ∴． 故答案为． 5．关于的一元二次方程在范围内有且只有一个根，则的取值范围为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了根的判别式，一元二次方程的解，根据 的判别式的意义得到，解得，再根据题意得出或，然后分别解不等式组即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， 整理得：， 解得：， ∵此时， ∴， ∴， ∵方程在的范围内有实数根， ∴或， 解得不等式无解， 解得出， ∴的取值范围为或， 故答案为：或． 6．已知关于x的一元二次方程． （1）若该方程有两个相等的实数根，则a的值为 ； （2）若该方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围为 ； （3）若该方程没有实数根，则a的取值范围为 ； （4）若该方程有实数根，则a的取值范围为 ． 【答案】 4 且 且 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的定义．熟练掌握一元二次方程根的判别式，一元二次方程的定义是解题的关键． 根据一元二次方程根的判别式，一元二次方程的定义进行求解作答即可． 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得， 故答案为：4． （2）解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴，， 解得且， ∴a的取值范围为且， 故答案为：且． （3）解：∵关于x的一元二次方程没有实数根， ∴， 解得， 故答案为：． （4）∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴，， 解得且． ∴a的取值范围为且， 故答案为：且． 7．已知关于的一元二次方程． (1)求证：此方程总有两个实数根； (2)如果此方程的两个实数根都是整数，求正整数的值． 【答案】(1)见解析 (2)或 【分析】本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程的根与的关系是解答此题的关键． （1）求出的值，再判断出其符号即可； （2）先求出x的值，再由方程的两个实数根都是整数，且m是正整数求出m的值即可． 【详解】（1）依题意，得 ， ， ． ∵， ∴方程总有两个实数根； （2）∵ ， ∴，． ∵方程的两个实数根都是整数，且是正整数， ∴或． ∴或． 8．已知关于x的方程有实数根， (1)求k的取值范围； (2)若该方程有两个实数根，分别为，满足，求k的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了根与系数的关系及根的判别式，熟知一元二次方程根与系数的关系及根的判别式是解题的关键． （1）根据所给方程有实数根，得出关于k的不等式，据此可解决问题； （2）利用一元二次方程根与系数的关系即可解决问题． 【详解】（1）解：因为关于x的方程有实数根， 当时，方程为， 此时方程有实数根， 故符合题意． 当时， 此方程为一元二次方程， 则， 解得， 综上所述，k的取值范围是：； （2）因为该方程有两个实数根， 所以此方程为一元二次方程， 则且， 因为该方程的两根为和， 所以，， 因为， 所以， 则， 解得， 经检验，符合题意， 所以k的值为． 9．请阅读以下材料： ①若是关于x的一元二次方程的两个根，则方程的两个根和系数a、b、c有如下关系：，，把它们称为一元二次方程根与系数关系定理（韦达定理）． ②定义：已知关于x的一元二次方程的两个实数根，若，且，则称这个方程为“限根方程”．如：一元二次方程的两根为，因为，，所以一元二次方程为“限根方程”． 请解决下列问题： (1)判断一元二次方程是否为“限根方程”，并说明理由； (2)若关于x的一元二次方程是“限根方程”，且方程的两根满足，求k的值； (3)若关于x的一元二次方程是“限根方程”，则m的取值范围为 ．（此小问直接填空，不写过程） 【答案】(1)是，理由见解析 (2)2 (3)或 【分析】本题考查解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式．读懂题意，理解“限根方程”的定义是解题关键． （1）解该一元二次方程，得出，再根据“限根方程”的定义判断即可； （2）由一元二次方程根与系数的关系可得出，，代入，即可求出，．再结合“限根方程”的定义分类讨论舍去不合题意的值即可； （3）解该一元二次方程，得出或．再根据此方程为“限根方程”，即得出此方程有两个不相等的实数根，结合一元二次方程根的判别式即可得出，且，可求出m的取值范围．最后分类讨论即可求解． 【详解】（1）解：， ， ∴或， ∴． ∵，， ∴此方程为“限根方程”； （2）解：∵方程的两个根分比为， ∴， ． ∵， ∴， 解得：，． 分类讨论：①当时，原方程为， ∴，， ∴，， ∴此时方程是“限根方程”， ∴符合题意； ②当时，原方程为， ∴，， ∴，， ∴此时方程不是“限根方程”， ∴不符合题意． 综上可知k的值为2； （3）解：， ， ∴或， ∴或． ∵此方程为“限根方程”， ∴此方程有两个不相等的实数根， ∴，且， ∴，即， ∴且． 分类讨论：①当时， ∴， ∵， ∴， 解得：； ②当时， ∴， ∵， ∴， 解得：． 综上所述，m的取值范围为或． 题型七 营销问题 1．某超市销售一批玩具，平均每天可售出120件，每件盈利4元，市场调查发现售价每涨1元，销售量减少10件；售价每降1元，销售量增加10件．爱动脑的嘉嘉发现：在一定范围内，涨a元与降b元所获得的利润相同，则a与b满足（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别表示出涨a元与降b元所获得的利润，由题意即可得关于a、b的等式，化简即可确定． 【详解】涨a元时，每天的利润为元；降b元时，每天的利润为元，则由题意得：=， 即， ∵， ∴， 即， 故选：B． 【点睛】本题考查了利润问题的实际应用，根据题意弄懂涨降后的利润与销量是解题的关键． 2．某商店从厂家以每件18元的价格购进一批商品．该商品可以自行定价．据市场调查，该商品的售价与销售量的关系是：若每件售价a元，则可卖出件，但物价部门限定每件商品加价不能超过进货价的25%，如果商店计划要获利400元．则每件商品的售价应定为（    ） A．22元 B．24元 C．26元 D．28元 【答案】A 【分析】根据利润和售价建立一元二次方程组，得到，解方程组得到售价，最后对售价的合理性进行判断即可得到最终的答案． 【详解】设商店的获利为元， 得， 当时，， 得， ， 解方程得元或元， 当元，， ∴元舍去， ∴元， 故选：A． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用及性质，解题的关键是掌握一元二次方程的相关知识． 3．某网店销售运动鞋，若每双盈利40元，每天可以销售20双，该网店决定适当降价促销，经调查得知，每双运动鞋每降价1元，每天可多销售2双，若想每天盈利1200元，并尽可能让利于顾客，赢得市场，则每双运动鞋应降价（    ） A．10元或20元 B．20元 C．5元 D．5元或10元 【答案】B 【分析】先设每双鞋应降价x元，根据平均每天售出的双数×每件盈利=每天销售利润，再列出方程，求出x的值，再根据尽可能让利顾客，把不合题意的根舍去即可求出答案； 【详解】解：设每双鞋应降价x元，根据题意得： （40-x）（20+2x）=1200， 解得x1=20，x2=10， ∵尽可能让利顾客， ∴x=20． 答：每双鞋应降价20元； 故选B 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，掌握“平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售的利润”是解题的关键． 4．某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系．每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈利减少元．要使每盆的盈利达到15元，则每盆应多植 株． 【答案】2或3 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，等量关系式：每盆花卉的株数每株花卉的盈利元，找出等量关系式是解题的关键． 【详解】解：设每盆应该多植x株，由题意得 ， 解得：，． 答：每盆应多植2株或3株，每盆的盈利15元， 故答案为：2或3． 5．某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每月可卖出210件，如果每件商品的售价上涨1元，则每月少卖10件．若商家想每月盈利2200元，设每月商品的售价为x元，则可的方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，得出销量与每件利润的关系式是解题关键．由题意列方程即可． 【详解】解：由题意得：． 6．《安徽省电动自行车管理条例》自2023年3月1日起施行．《条例》规定，驾驶人和搭载人应当规范佩戴安全头盔，同时，针对不规范佩戴安全头盔提出具体的处罚标准．某商店以每件元的价格购进一批安全头盔，经市场调研发现，该头盔每周销售量（件）与销售单价（元/件）满足一次函数，物价部门规定每件头盔的利润不能超过进价的．若商店计划每周销售该头盔获利元，则每件头盔的售价应为 元． 【答案】 【分析】根据题意，列方程表示每周利润，代入求解即可． 【详解】解：由题意，得 ， 即， 解得，，， ∵每件头盔的利润不能超过进价的， ∴每件头盔的售价不能超过元， 所以舍去， 所以售价应为100元， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的营销问题，理解题意列出方程是解题的关键． 7．“靠山吃山，靠水吃水”，金丝峡景区的人民依靠制作手工艺品也走出了一条致富路，其经营模式一般为生产组的产品由商店代理销售．已知某商店代理销售“竹编篮”平均每天可销售套，每套盈利元，在每套降价幅度不超过6元的情况下，每下降1元，则每天可多售4套，如果每天要盈利元，每套应降价多少元？ 【答案】每套应降价2元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设每套“竹编篮”降价元，则每套盈利元，平均每天可售出套，利用该商店每天销售“竹编篮”获得的利润每套的销售利润平均每天的销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论． 【详解】解：设每套“竹编篮”降价元，则每套盈利元，平均每天可售出套， 由题意，得， 整理，得， 解得，（不符合题意，舍去）． 答：每套应降价2元． 8．大运会期间，某网店直接从工厂购进A，B两款纪念币，进货价和销售价如表所示：（注：利润=销售价-进货价） 类别价格 A款纪念币 B款纪念币 进货价（元/枚） 15 20 销售价（元/枚） 25 32 (1)网店第一次用580元购进A，B两款纪念币共32枚，求两款纪念币分别购进的枚数； (2)第一次购进的A，B两款纪念币售完后，该网店计划再次购进这两款纪念币共80枚（进货价和销售价都不变）；且进货总价不高于1350元．应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？ (3)大运会临近结束时，网店打算把A款纪念币调价销售，如果按照原价销售，平均每天可售出6枚，经调查发现，每枚A款纪念币每降价1元，平均每天可多售出2枚，将销售价定为每枚多少元时，才能使A款纪念币平均每天销售利润为84元？ 【答案】(1)购进款纪念币12个，款纪念币20个； (2)购买50个款，30个款，网店可获得的最大利润是860元； (3)将销售价定为每件21元或22元时，才能使款纪念币平均每天销售利润为84元． 【分析】（1）设购进款纪念币个，款纪念币个，由题意：网店第一次用580元购进、两款纪念币共32枚，列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设购进个款纪念币，则购进个款纪念币，由题意：进货总价不高于1350元，列出一元一次不等式，解答即可．设再次购进的、款纪念币全部售出后获得的总利润为元，则，然后由一次函数的性质即可求解； （3）设款纪念币的售价定为元，则每个的销售利润为元，平均每天可售出个，使款纪念币平均每天销售利润为84元，列出一元二次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设购进款纪念币个，款纪念币个， ， 解得， 答：购进款纪念币12个，款纪念币20个； （2）解：设购进个款纪念币，则购进个款纪念币， 依题意得：， 解得：． 设再次购进的、两款保温杯全部售出后获得的总利润为元， 则． ， 随的增大而增小， 当时，取得最大值，最大值（元， 此时（个． 即购买50个款，30个款，网店可获得的最大利润是860元； （3）解：设款纪念币的售价定为元，则每个的销售利润为元，平均每天可售出个， 依题意得：， 解得：，． 答：将销售价定为每件21元或22元时，才能使款纪念币平均每天销售利润为84元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用、一元二次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式；（3）找准等量关系，正确列出一元二次方程． 9．“卖花担上，买得一枝春欲放”，用鲜花装点生活，既能在装饰家居时收获审美体验，也能在观赏养护中熨帖心灵，是一种避入日常又跳出日常的美好．某花店抓住市场需求，计划第一次购进玫瑰和郁金香共300支，每支玫瑰的进价为2元，售价定为5元，每支郁金香的进价为4元，售价定为10元． (1)若花店在无损耗的情况下将玫瑰和郁金香全部售完，要求总获利不低于1500元，求花店最多购进玫瑰多少支？ (2)花店在第二次购进玫瑰和郁金香时，两种花的进价不变．由于销量火爆，花店决定购进玫瑰和郁金香共360支，其中玫瑰的进货量在（1）的最多进货量的基础上增加支，售价比第一次提高m元，郁金香售价不变，但郁金香在运输过程中有已经损坏，无法进行销售，最终第二批花全部售完后销售利润为1800元，求m的值． 【答案】(1)100支 (2)2 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． （1）设花店购进玫瑰支，则购进郁金香支，利用总利润每支玫瑰的销售利润购进玫瑰的支数每支郁金香的销售利润购进郁金香的支数，结合总利润不低于1500元，可列出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论； （2）利用总利润销售单价销售数量进货单价进货数量，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】（1）解：设花店购进玫瑰支，则购进郁金香支， 根据题意得：， 解得：， 的最大值为100． 答：花店最多购进玫瑰100支； （2）根据题意得：， 整理得：， 解得：，(不符合题意，舍去)． 答：的值为2． 题型八 与图形有关的问题 1．如图，在正方形中，点E、F分别是边和上的点，若，为等边三角形，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理．先证明，得到，进而得到，设，则，利用勾股定理列方程进行求解即可． 【详解】解：∵正方形， ∴，， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则：， 在中：，在中：， ∴， ∴， 解得：（负值已舍掉）； 故选：D． 2．如图，在一张长为10，宽为6的矩形纸片上的四角各剪去一个同样的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒．若纸盒的底面（图中阴影部分）面积是，则剪去的小正方形的边长为（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．设剪去的小正方形边长是，则长方体纸盒的底面长为，宽为，根据长方体纸盒底面的面积为，即可得出关于x的一元二次方程，求解，舍去不合题意的值即可． 【详解】设剪去的小正方形边长是，则长方体纸盒的底面长为，宽为， 根据题意，得， 即， 解得， ∵矩形纸片的宽为6， ∴不符合题意，舍去． 答：剪去的小正方形的边长为． 故选：A 3．如图，利用一面墙（墙的最大可利用长度为25米），用栅栏围成一个矩形场地（靠墙一面不用栅栏），中间再用栅栏分隔成两个小矩形，且在如图所示位置留两个1米宽的小门，若所用栅栏的总长度为52米，矩形场地的面积为240平方米．若设栅栏的长为x米，则x的值为（    ）    A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】A 【分析】根据的长度和小门的长度，用含有的代数式得到的长，再根据矩形场地的面积为240平方米，列方程即可解答． 【详解】解：根据题意米， 则可得：， 解得， 当时，，不符合题意，故舍去； 当时，，符合题意， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意用表示的长，并且结合实际考虑的取值范围是解题的关键． 4．一块面积为的矩形材料，四个角各减去一个一样大小的正方形，用剩下的部分做成一个无盖的长方体盒子，要求盒子长为，宽为高的3倍，若设长方体盒子高为，则可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是由实际问题抽象出一元二次方程，设长方体盒子高为，则宽为，被剪去的正方形边长为；根据题意可得，无盖的长方体盒子的表面积为：；被剪去的四个正方形的面积为：，二者相加为原矩形材料的面积，方程即可列出． 【详解】解：设长方体盒子高为，则宽为，被剪去的正方形边长为， 则无盖的长方体盒子的表面积为：； 被剪去的四个正方形的面积为：， 根据题意得：， 故答案为：． 5．如图，为美化环境，某地准备将一片面积为的矩形空地建为一个花圃，花圃中间共设有条等宽的水渠，将花圃分为了个形状相同的矩形区域，在每个区域内种植花草，花草的总面积为，若测得空地的宽为，则水渠的宽度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，正确找出等量关系．先求出空地的长，设水渠的宽度为，根据题意列方程即可求解． 【详解】解：设水渠的宽度为， 空地的长为：， 根据题意得：， 整理得：，即， 解得：，（不合题意，舍去）， 则水渠的宽度为， 故答案为：． 6．如图，以a，b为边长的矩形面积为，以c为边长的正方形面积为，已知． （1）当时，则c的值是 ； （2）若c为整数，，则矩形和正方形的周长之和的值是 ． 【答案】 2 28或 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意得出一元二次方程是解题的关键． 根据矩形与正方形的面积公式可得，，代入，得出． （1）将代入，解方程即可求出的值； （2）由可得．代入，变形得出，根据为整数，求出可能为2或1．再求出的值，进而得到矩形和正方形的周长之和． 【详解】解：由题意可得，， ， ． （1）当时， ， 解得（负值舍去）， 即． 故答案为：2； （2）， ． ， ， ， 为整数， 可能取值有：4或1， 可能为2或1． 当时，，解得（负值舍去）； 当时，，解得（负值舍去）， 矩形和正方形的周长之和为： ． 当，时，； 当，时，． 故答案为：28或． 7．启正中学某节社团课上，老师给每个学生发了一张腰长为的等腰直角三角形硬卡片（如图①，图②中，，），让学生们利用它裁出一块长方形卡片制作明信片，要求裁出的长方形卡片的四个顶点都在三角形硬卡片的边上，并且裁出的长方形卡片的面积为． (1)方方同学很快完成了自己的设计（如图①），并完成计算，请你求出他裁出的长方形卡片的长和宽； (2)圆圆同学看了方方同学的设计后提出了不同的设计方案，请利用图②大致画出草图，并求出圆圆同学裁出的长方形卡片的长和宽． 【答案】(1)长方形卡片的长和宽分别为和或和 (2)图见解析，长方形卡片的长和宽分别为和 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，矩形的性质等等： （1）先利用勾股定理和等边对等角得到，，再由矩形的性质得到，则可证明和是等腰直角三角形，得到，设长为，则长为，再根据矩形面积公式列出方程求解即可； （2）先根据题意作图，设长方形的长为，则宽为，再根据矩形面积公式列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴和是等腰直角三角形， ∴， 设长为，则长为， 由题意，得， 整理，得， 解得，， ∴，， ∴长方形卡片的长和宽分别为和或和； （2）解：根据题意画图如下： 设长方形的长为，则宽为， 由题意，得， 整理得， 解得，． 经检验，，都符合题意． ∴长方形卡片的长和宽分别为和． 8．如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）． (1)当羊圈的边的长为多少米时，能围成一个面积为的羊圈？ (2)羊圈的面积能达到吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)当羊圈的边AB的长为或时，能围成一个面积为的羊圈 (2)羊圈的面积不能达到，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程，解一元二次方程是解题的关键． （1）设羊圈的边的长为，则边的长为根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解； （2）同（1）的方法建立方程，根据方程无实根即可求解． 【详解】（1）解：设羊圈的边的长为，则边的长为，根据题意，得， 化简，得， 解方程，得，，当时，， 当时，． 答：当羊圈的边的长为或时，能围成一个面积为的羊圈． （2）不能，理由如下：根据题意，得， 化简，得， ， ∴该方程没有实数根． ∴羊圈的面积不能达到 9．某农场要建一个饲养场（矩形），两面靠墙（位置的墙最大可用长度为位置的墙最大可用长度为），另两边用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地及一处通道，并在上各留宽的门（不用木栏），建成后木栏总长． (1)若饲养场（矩形）的一边长为，则_______________m． (2)若饲养场（矩形）的面积为，求边的长． (3)饲养场的面积能达到吗？若能达到，求出边的长；若不能达到，请说明理由． 【答案】(1)27 (2)边的长为 (3)饲养场的面积不能达到，详见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）直接根据图形计算即可； （2）根据矩形的面积等于长乘宽，即可列方程求解； （3）列出方程，根据一元二次方程根的判别式计算． 【详解】（1）解：(米)． 故答案为：27． （2）解：设米， 则米， 依题意得：， 整理得：， 解得：． 当时，(米)， ，符合题意， 答：边的长为8米． （3）解：不能，理由如下： 设米， 则米， 依题意得：， 整理得：． ， ∴该方程没有实数根， ∴饲养场的面积不能达到198平方米． 题型九 动态几何问题 1．如图，在矩形中，，，点从点沿方向向点以运动，点从点沿方向向点以运动，若、从点同时出发，几秒钟时的面积是（　　） A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是根据图形，得出数量关系，列出方程求解．设当运动时间为时，，，，根据，解方程即可求解； 【详解】，． 当运动时间为时，，，，， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，不符合题意，舍去， 秒时的面积是． 故选：B． 2．如图，在中，，，，动点P，Q分别从点A，B同时开始运动（运动方向如图所示），点P的速度为，点Q的速度为，点Q运动到点C后停止，点P也随之停止运动，若使的面积为，则点P运动的时间是（    ）    A．2s B．3s C．5s或3s D．5s 【答案】B 【分析】先求解，设运动时间为，可得，，再利用面积建立方程求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， 设运动时间为， ∴，， ∵的面积为，即 ，解得：，． 当时，，不成立，舍去， ∴， 故选B． 【点睛】本题考查的是一元二次方程的应用，勾股定理的应用，理解题意，熟练的建立方程求解是解本题的关键． 3．如图，矩形中，，，动点E从A出发，以的速度沿向B运动，动点F从C出发，以的速度沿着CD向D运动，当点E到达点B时，两个点同时停止．则的长为时点E的运动时间是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】过E作于点M，当运动时间为秒时，，利用勾股定理解，可得关于t的一元二次方程，解方程即可得出结论． 【详解】解：如图所示，过E作于点M， 由题意知，当运动时间为秒时，，，， ， 根据勾股定理得：， 即， 整理得：， 解得：，， 的长为时点E的运动时间是或， 故选C． 【点睛】本题考查勾股定理以及解一元二次方程，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程．本题作答方法不唯一，也可以通过分类讨论求解． 4．如图，在中，，，，点从A点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，则、分别从A、同时出发，经过 秒钟，使的面积等于． 【答案】2或4 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解本题的关键在利用数形结合思想，找准等量关系，正确列出方程． 设经过秒，的面积等于，得出，，根据三角形的面积公式，得出关于的一元二次方程，解出即可得出结论． 【详解】解：设经过秒，的面积等于，则，， 根据题意，可得：， 即， 解得：，， ∴经过或，的面积等于， 故答案为：2或4． 5．如图，在矩形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度运动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度运动．若点P，Q同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动，设运动时间为．当五边形的面积等于时，t的值为 ．    【答案】3或5/5或3 【分析】根据题意，知，则可求出，再由面积为，列出方程，解方程即可． 【详解】解：根据题意，知， ， ∵五边形的面积等于， ∴ ， 矩形， ， ， ， ∴3秒或5秒后五边形的面积等于． 故答案为：3或5． 【点睛】此题考查了一元二次方程的应用．利用长方形的性质与三角形面积，找出等量关系并正确列出一元二次方程是解题的关键． 6．如图，在矩形中，，，点P从点A出发沿以的速度向点B运动，同时点Q从点B出发沿以的速度向点C运动，点P到达终点后，P，Q两点同时停止运动，当 秒时，P，D两点之间的距离是P，Q两点之间距离的2倍． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，一元二次方程的应用，设时，P，D两点之间的距离是P，Q两点之间距离的2倍，根据矩形的性质和勾股定理得到，进而列出一元二次方程求解，即可解题． 【详解】解：设时，P，D两点之间的距离是P，Q两点之间距离的2倍，即， 又四边形是矩形， 故， 故， ， ， ， 解得，， 当时，，故舍去， ． 故为3s时，P，D两点之间的距离是P，Q两点之间的距离的2倍． 故答案为：3． 7．如图，在中，，，点在上从运动到（不包括），速度为；点在上从运动到（不包括），速度为．若点，分别从，同时出发，当，两点中有一个点运动到终点时，两点均停止运动．设运动时间为秒，请解答下列问题，并写出探索的主要过程． (1)当为何值时，，两点的距离为？ (2)当为何值时，的面积为？ 【答案】(1)经过1秒，P，Q两点的距离为 (2)经过秒或秒，的面积为 【分析】本题考查一元二次方程的应用，勾股定理．熟练掌握勾股定理，列出一元二次方程，是解题的关键． （1）设经过秒，P，Q两点的距离为，勾股定理列式求解即可； （2）利用，列式计算即可． 【详解】（1）解：设经过秒，P，Q两点的距离为， 由题意，得：， ∵在中，，， ∴， 由勾股定理，得：，即：， 解得：，（舍去）； ∴经过1秒，P，Q两点的距离为； （2）解：设经过秒，的面积为， 此时：，则：， ∴， 解得：， ∴经过秒或秒，的面积为． 8．如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以2cm/s的速度移动．如果点P，Q分别从点A，B出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．    (1)经过多长时间，的面积等于8cm2？ (2)的面积会等于面积的一半吗？若会，请求出此时的运动时间；若不会，请说明理由． 【答案】(1)2s或4s (2)不会，理由见解析 【分析】本题主要考查了三角形的动点与一元二次方程的综合，掌握动点的运动规律，三角形的面积与一元二次方程的运用， （1）的面积等于，设运动时间为t，则可用含t的式子表示，，根据数量关系，列方程即可求解； （2）计算出面积的一半，在根据（1）中的方法即可求解． 【详解】（1）点P的速度是1cm/s，点Q的速度是2cm/s，Q分别从点A，当点Q运动到点C时，，， ∴点P从点A到点B的时间为秒，点Q从点B到点C的时间为秒，Q运动的时间为t（）， ∴，， ∴， 即， 解方程得，，， ∴经过2s或4s时，的面积等于8cm2． （2）在中，，，， ∴， 设运动时间为a秒，根据题意得， ， ∴. ∵， ∴关于a的一元二次方程无解， ∴不存在的面积会等于面积的一半． 9．已知：如图所示，在中，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动．当两点中有一点到达终点，则同时停止运动． (1)如果分别从同时出发，那么几秒后，的面积等于？ (2)如果分别从同时出发，那么几秒后，的长度等于？ (3)如果分别从同时出发，在运动过程中，是否存在这样的时刻，使？若存在，求出运动时间，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)当时，的面积等于 (2)当时，的长度等于 (3)不存在，理由如下 【分析】（1）根据可得点从的时间为，点从的时间为，设运动时间为，用含的式子表示的值，根据题意方程求解即可； （2）在中，根据勾股定理定理运用含的式子表示的值，根据题意方程求解即可； （3）根据题意，假设，列式得，用根的判定即可确定方程无解，即假设错误，由此即可求解． 【详解】（1）解：在中，， ∴， ∵点的速度为，点的速度为， ∴点从的时间为，点从的时间为， 设运动时间为， ∴，，则， 假设的面积等于， ∴，整理得，， ∴或， ∵当两点中有一点到达终点，则同时停止运动，且， ∴舍去， ∴当时，的面积等于． （2）解：不存在，理由如下， 已知，，则， ∴在中，， 假设的长度等于， ∴，整理得，， ∴（不符合题意，舍去）或， ∴当时，的长度等于． （3）解：已知，，则，， 假设， ∴，整理得，， ∵， ∴方程无实根， ∴，即点运动过程中，不存在． 【点睛】本题主要考查直角三角形与动点问题，理解动点的运动，分别表示出相关线段的长度，掌握勾股定理，解一元二次方程的方法是解题的关键． 题型十 一元二次方程的新定义问题 1．在实数范围内定义一种新运算“※”，其运算规则为．根据这个规则，方程的解是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据新定义，列出常规式的方程，解答即可． 本题考查了新定义的应用、解一元二次方程，正确理解定义，建立方程是解题的关键． 【详解】∵ ，， ∴， 整理，得， 解得或， 故选C． 2．定义新运算，如，则方程的解是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法和步骤． 根据题意，将原方程化为，再将方程化为一般式，最后用因式分解法求解即可． 【详解】解：根据题意可得：， ， ∵， ∴， 整理得：， 解得：，， 故选：B． 3．定义一种新运算“”，对于任意实数，，，如，若（为实数）是关于的一元二次方程，并且该方程有实数根，则的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 【答案】D 【分析】利用新定义得到，然后利用且可判断方程根的情况． 【详解】解：由新定义得， 该方程是关于的一元二次方程， ， 方程有实数根． ， 解得：， 该方程有实数根时，且 故选：D． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 4．对于实数定义一种新运算：，若关于的方程（为整数）有两个相等的实数根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了实数的新定义运算，一元二次方程根的判别式，先由新定义运算得，即得，再根据即可求解，理解新定义运算是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 整理得，， ∵关于的方程有两个相等的实数根， ∴， 解得， 故答案为：． 5．定义新运算“*”：对于实数x和y，有，例如：，若关于x的方程有两个实数根，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据新定义，列出常规式的方程，解答即可． 本题考查了新定义的应用，正确理解定义，建立方程是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴变形为， 整理，得， ∵方程有两个实数根， ∴， 解得， 故答案为：． 6．新定义，若关于x的一元二次方程：与，称为“同类方程”．如与是“同类方程”． （1）与是“同类方程”，则 ； （2）现有关于x的一元二次方程：与是“同类方程”．那么代数式能取的最大值是 ． 【答案】 6 【分析】此题主要考查了配方法的应用，解二元一次方程组，理解“同类方程”的定义是解答本题的关键． （1）根据“同类方程”的定义，可得出b的值． （2）根据“同类方程”的定义，可得出a，b的值，从而解得代数式的最大值． 【详解】解：（1）与是“同类方程”， 即与是“同类方程”， ∴， 解得， 故答案为： （2）∵与是“同类方程”， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴ ∴当时，取得最大值为6． 故答案为：6． 7．定义新运算“”：当时，；当时，． (1)当时，求的值． (2)若，求x的值． 【答案】(1)6 (2)或 【分析】此题考查了解一元二次方程，实数的新定义运算、解一元一次不等式，解题的关键是正确分析新定义的运算法则． （1）首先根据新定义进行化简，再代入数值计算即可； （2）根据题意分和两种情况讨论，然后据新定义的运算规则列出一元二次方程求解并判断即可． 【详解】（1）解：当时， ； （2）当时，即：时，， 解得： ； 当时，即：时， 即， 解得：， ∵， ∴． 所以x的值是或 8．定义新运算：对于任意实数a、b，都有 等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，比如： ． (1)若 ，求x的值； (2)若m、n均为实数，且3⊕m的值小于10，判断关于x的方程 的根的情况． 【答案】(1)， (2)有两个不相等的实数根 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解法，实数的运算，解一元一次不等式，正确理解新运算是解决问题的关键． （1）根据新运算得出，解之可得到答案； （2）的值小于10知，解之求得．再在方程中由可得答案． 【详解】（1）根据运算定义，可得， 化简得   ， 解得∶ ； （2）根据运算定义，可得， ∴， ∴， ∴在方程 中， ， ∴关于x的方程 有两个不相等的实数根． 9．新定义：已知关于x的一元二次方程的两根之和与两根之积，分别是另一个一元二次方程的两个根，则一元二次方程称为一元二次方程的“再生韦达方程”，一元二次方程称为“原生方程”． 比如：一元二次方程的两根分别为，则，所以它的“再生韦达方程”为． (1)已知一元二次方程，求它的“再生韦达方程”； (2)已知“再生韦达方程”，求它的“原生方程”． 【答案】(1) (2)或 【分析】题目主要考查一元二次方程根与系数的关系及因式分解法解一元二次方程，熟练掌握根与系数的关系是解题关键． （1）根据一元二次方程根与系数的关系得出，然后根据新定义求解即可； （2）令它的“原生方程”两根分别为，根据题意得出，或，然后求解即可． 【详解】（1）解：解 得， 则，       所以一元二次方程的“再生韦达方程”为， 即； （2）解得， 令它的“原生方程”两根分别为， 则，或． 当，则所求“原生方程”为；           当，则所求“原生方程”为． 综上所述，它的“原生方程”为或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$