精品解析：四川省盐亭中学2023届高三三诊模拟（文科）数学试题

四川省盐亭中学高2023届绵阳三诊模拟测试（文科）（数学） 一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1. 已知集合 ​， 则​（ ） A. ​ B. ​ C. ​ D. ​ 2. 下列复数在复平面上所对应的点落在单位圆上的是 A. 2 B. C. D. 3. 下列说法中正确的是 ​（ ） A. 命题 “若 ​， 则​”的逆命题是真命题 B. 命题 “ ​或​"为真命题， 则命题​和命题​均为真命题 C. 命题“ ​”的否定为： “​” D. 直线 ​不在平面​内， 则“​上有两个不同的点到​的距离相等”是“​”的充要条件 4. 已知等差数列的前项和为，，若，则 A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 5. 通过加强对野生动物的栖息地保护和拯救繁育，某濒危野生动物的数量不断增长，根据调查研究，该野生动物的数量（t的单位：年），其中K为栖息地所能承受该野生动物的最大数量.当时，该野生动物的濒危程度降到较为安全的级别，此时约为（）（） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 6. 如图所示，在空间四边形ABCD中，点E，F分别为边AB，AD上的点，且，又点H，G分别为BC，CD的中点，则（ ） A. 平面EFGH，且四边形EFGH是矩形 B. 平面BCD，且四边形EFGH是梯形 C. 平面ABD，且四边形EFGH是菱形 D. 平面ADC，且四边形EFGH是平行四边形 7. 执行如图所示的程序框图，若输出的，则判断框内应填入的条件为（ ） A. B. C. D. 8. 剪纸艺术是中国最古老的民间艺术之一，作为一种镂空艺术，它能给人以视觉上的艺术享受．在如图所示的圆形图案中有12个树叶状图形（即图中阴影部分），构成树叶状图形的圆弧均相同．若在圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（　　） A. B. C. D. 9. 已知函数，现有如下说法： ，； ，函数的图象关于原点对称； 若，则的值可以为； ，，若，则． 则上述说法中，正确的个数为　　 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 10. 已知奇函数 ​在​上是增函数，​， 则​的大小关系为​（ ） A. ​ B. ​ C. ​ D. ​ 11. 已知双曲线的左、右焦点分别为是双曲线上一点，是以为底边的等腰三角形，且，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 12. 已知函数，若，使得，则实数的取值范围是（ ） A. ​ B. ​ C. ​ D. ​ 二、填空题（本大题共4个小题，每题5分，共20分） 13. 向量 ​， 若​， 则实数​的值为_________ 14. 实数满足不等式组则的最小值为__________． 15. 已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_________． 16. 已知为抛物线的焦点，过作两条互相垂直的直线，直线与交于两点， 直线与交于两点， 则的最小值为_________ 三、解答题：（共70分，第17-21题是必考题，每题12分，每个试题考生必须作答，第22-23题为选考题，考生根据要求作答，10分） 17. 已知，设函数． （1）当时，分别求函数取得最大值和最小值时的值； （2）设的内角的对应边分别是且，，求的值． 18. 根据统计，某蔬菜基地西红柿亩产量的增加量（百千克）与某种液体肥料每亩的使用量（千克）之间的对应数据的散点图如图所示. （1）从散点图可以看出，可用线性回归方程拟合与的关系，请计算样本相关系数并判断它们的相关程度； （2）求关于的线性回归方程，并预测液体肥料每亩的使用量为12千克时西红柿亩产量的增加量. 附：，，. 19. 如图，在四棱锥中，和都是等边三角形，平面平面，且，． （1）求证：平面； （2）求四棱锥的体积． 20. 在平面直角坐标系 ​中：①已知点​， 直线​，动点​满足到点​的距离与到直线​的距离之比​；②已知点​分别在​轴，​轴上运动， 且​， 动点​满​； ③已知圆​的方程为​， 直线​为圆​的切线， 记点​到直线​的距离分别为​， 动点​满足​． （1）在①，②，③这三个条件中任选一个， 求动点 ​的轨迹方程； （2）记 （1）中动点 ​的轨迹为​， 经过点​的直线​交​于​两点， 若线段​的垂直平分 线与​轴相交于点​， 求点​纵坐标的取值范围． 21. 已知函数. (Ⅰ)试求函数的单调区间； (Ⅱ)若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围. 22. 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系． （1）求的普通方程和的极坐标方程； （2）求曲线上的点到曲线距离的最小值． 解答题 23. 已知函数． （1）求函数的最小值； （2），不等式恒成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省盐亭中学高2023届绵阳三诊模拟测试（文科）（数学） 一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1. 已知集合 ​， 则​（ ） A. ​ B. ​ C. ​ D. ​ 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次不等式求集合A，根据指数函数单调性求集合B，进而求交集. 【详解】因为集合​， ​， 所以​． 故选：D． 2. 下列复数在复平面上所对应的点落在单位圆上的是 A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：对于选项A,由于模长为2，不成立，对于B,由于模长为5，不成立，对于C，由于满足模长为1，成立，对于D，模长为 ，故选C． 考点：复数的几何意义 点评：解决的关键是根据复数的几何意义来得到点的坐标，进而判定模长是否为1即可，属于基础题． 3. 下列说法中正确的是 ​（ ） A. 命题 “若 ​， 则​”的逆命题是真命题 B. 命题 “ ​或​"为真命题， 则命题​和命题​均为真命题 C. 命题“ ​”的否定为： “​” D. 直线 ​不在平面​内， 则“​上有两个不同的点到​的距离相等”是“​”的充要条件 【答案】C 【解析】 【分析】对于A，求出命题 “若​， 则​” 的逆命题，举反例判断；对于B，根据定义判断；对于C，求出命题 “存在​” 的否定；对于D，根据定义判断. 【详解】对于 ​，命题 “若​， 则​” 的逆命题是 “若​， 则​” 是假命题，如​时，​， 故A错误； 对于​，命题 “​或​”为真命题，则命题​和命题​中至少一个为真命题， 故B错误； 对于​，命题 “存在​” 的否定为： “对​”，故C正确； 对于​，直线​不在平面​内，则由​，能得到​上有两个不同的点到​的距离相等， 反之，​上有两个不同的点到​的距离相等，不一定有​， ​直线​不在平面​内， “​上有两个不同的点 到​的距离相等” 是 “​”的必要不充分条 件， 故D错误． 故选：​． 4. 已知等差数列的前项和为，，若，则 A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 【答案】B 【解析】 【详解】 ,所以 ,选B. 5. 通过加强对野生动物的栖息地保护和拯救繁育，某濒危野生动物的数量不断增长，根据调查研究，该野生动物的数量（t的单位：年），其中K为栖息地所能承受该野生动物的最大数量.当时，该野生动物的濒危程度降到较为安全的级别，此时约为（）（） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】利用列方程，结合对数运算求得. 【详解】解析根据题意，所以，所以，所以，得. 故选:C 6. 如图所示，在空间四边形ABCD中，点E，F分别为边AB，AD上的点，且，又点H，G分别为BC，CD的中点，则（ ） A. 平面EFGH，且四边形EFGH是矩形 B. 平面BCD，且四边形EFGH是梯形 C. 平面ABD，且四边形EFGH是菱形 D. 平面ADC，且四边形EFGH是平行四边形 【答案】B 【解析】 【分析】先应用线面平行判定定理证明线面平行，再结合边长关系得出四边形为梯形即可判断选择. 【详解】由知，，且． 又平面，平面，平面． 又点H，G分别为BC，CD的中点，且， 且，四边形是梯形． 故选:B． 7. 执行如图所示的程序框图，若输出的，则判断框内应填入的条件为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由程序框图可得，裂项化简后可求出，从而可得答案 【详解】由题意得，，解得，即当时，满足判断框内的条件，时，不满足判断框内的条件，结束运行，所以判断框内应填入的条件是“？”， 故选：C． 8. 剪纸艺术是中国最古老的民间艺术之一，作为一种镂空艺术，它能给人以视觉上的艺术享受．在如图所示的圆形图案中有12个树叶状图形（即图中阴影部分），构成树叶状图形的圆弧均相同．若在圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用扇形知识先求出阴影部分的面积，结合几何概型求解方法可得概率. 【详解】设圆的半径为r，如图所示， 12片树叶是由24个相同的弓形组成，且弓形AmB的面积为 ． ∴所求的概率为P= ． 故选B． 【点睛】本题主要考查几何概型的求解，侧重考查数学建模的核心素养. 9. 已知函数，现有如下说法： ，； ，函数的图象关于原点对称； 若，则的值可以为； ，，若，则． 则上述说法中，正确的个数为　　 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】化函数为，根据余弦函数的图象与性质，对题目中的命题分析、判断正误即可． 【详解】函数； 对于，令，解得，； 此时，，，正确； 对于，， 结合函数的图象知，， 函数的图象关于原点对称，错误； 对于，若，则， 的值为，， 可以为，正确； 对于，当，时，， 满足，正确； 综上，正确的命题序号是． 故选C． 【点睛】本题利用命题真假的判断考查了函数的图象与性质的应用问题，是综合题． 10. 已知奇函数 ​在​上是增函数，​， 则​的大小关系为​（ ） A. ​ B. ​ C. ​ D. ​ 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知判断的奇偶性和单调性，进而判断函数值的大小. 【详解】奇函数​在R​上是增函数，则当时，，且，​ ，则， ​在单调递增， 又​，则为偶函数. ，则， 则，所以. 故选：A 11. 已知双曲线的左、右焦点分别为是双曲线上一点，是以为底边的等腰三角形，且，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】在中，由余弦定理可得，再结合双曲线的定义、与余弦函数的图形与性质，以及不等式的性质，可推出，从而有离心率，得解. 【详解】由题意可得： ， 即， ， ， ，， ， ， ， ， ， 故选：B． 【点睛】双曲线上一点与两焦点构成的三角形，称为双曲线的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、，得到，的关系． 12. 已知函数，若，使得，则实数的取值范围是（ ） A. ​ B. ​ C. ​ D. ​ 【答案】B 【解析】 【分析】利用导数求值域，根据值域交集非空即可得解. 【详解】因为函数， ，在区间上是单调减函数， 所以， 又在区间上是单调增函数， 所以​， 由于​使得​， 所以​ 当时，或​， 解得或​． 所以当时， 得． 故选：B． 【点睛】关键点睛：根据在于理解，使得的实质即是两个函数的值域交集非空，然后利用导数求出值域，根据集合关系求解即可. 二、填空题（本大题共4个小题，每题5分，共20分） 13. 向量 ​， 若​， 则实数​的值为_________ 【答案】​ 【解析】 【分析】运用向量平行的结论，结合线性运算可解. 【详解】由于，则. 由于,则，解得. 故答案为：. 14. 实数满足不等式组则的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】作出可行域，表示可行域内点到原点距离的平方，求出原点到直线的距离的最小值，即可得所求最小值． 【详解】作出可行域如图中的阴影部分所示，的几何含义为原点到阴影区域内的点距离的最小值的平方，易知原点到直线的距离，即原点到阴影区域的最小值，而，则的最小值为． 故答案为：． 15. 已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_________． 【答案】 【解析】 【分析】将原问题转化为求解圆锥内切球的问题，然后结合截面确定其半径即可确定体积的值. 【详解】易知半径最大球为圆锥的内切球，球与圆锥内切时的轴截面如图所示， 其中，且点M为BC边上的中点， 设内切圆的圆心为， 由于，故， 设内切圆半径为，则： ， 解得：，其体积：. 故答案为：. 【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径. 16. 已知为抛物线的焦点，过作两条互相垂直的直线，直线与交于两点， 直线与交于两点， 则的最小值为_________ 【答案】8 【解析】 【分析】先设直线联立方程得出韦达定理，应用弦长公式得出，再结合垂直斜率关系得出，最后应用基本不等式得出弦长和的最小值即可. 【详解】由题意知，直线的斜率都存在且不为 0，， 设， 则直线的斜率为，联立方程得， 消去得，设， 则． 所以 同理，用替换可得， 所以， 当且仅当，即时等号成立，故的最小值为8． 故答案为：8. 三、解答题：（共70分，第17-21题是必考题，每题12分，每个试题考生必须作答，第22-23题为选考题，考生根据要求作答，10分） 17. 已知，设函数． （1）当时，分别求函数取得最大值和最小值时的值； （2）设的内角的对应边分别是且，，求的值． 【答案】（1）时最大值0；时最小值； （2）或． 【解析】 【分析】（1）应用向量数量积的坐标运算，二倍角、辅助角公式化简得，由正弦型函数的性质求的最值； （2）由已知及三角形内角性质得，法一：应用余弦定理列关于的方程求解即可；法二：应用正弦定理求得或，分别求出对应的值即可. 【小问1详解】 由题知：， ，则，故， ∴当，即，得时取得最大值0， 当，即，得时取得最小值． 【小问2详解】 由，即，又，则． 法一：由余弦定理A得：，解得：或． 法二：由正弦定理有，则或， 当时，，由勾股定理有； 当时，，则； 综上所解：或． 18. 根据统计，某蔬菜基地西红柿亩产量的增加量（百千克）与某种液体肥料每亩的使用量（千克）之间的对应数据的散点图如图所示. （1）从散点图可以看出，可用线性回归方程拟合与的关系，请计算样本相关系数并判断它们的相关程度； （2）求关于的线性回归方程，并预测液体肥料每亩的使用量为12千克时西红柿亩产量的增加量. 附：，，. 【答案】（1），与成正线性相关，且相关程度很强. （2），9.9 【解析】 【分析】（1）由散点图中的数据求得相关数据，代入相关系数计算公式计算，即可判断；. （2）根据相关公式求出，即得回归直线方程，代入数据计算即可预测结果. 【小问1详解】 由题知，，， 所以，，， 所以， 所以与成正线性相关，且相关程度很强. 【小问2详解】 因为，， 所以关于的线性回归方程为， 当时，， 所以可预测液体肥料每亩的使用量为12千克时，西红柿亩产量的增加量约为9.9百千克. 19. 如图，在四棱锥中，和都是等边三角形，平面平面，且，． （1）求证：平面； （2）求四棱锥的体积． 【答案】（1）证明见解析；（2）10． 【解析】 【分析】（1）由等边三角形的性质和直角三角形的性质，推得，再由面面垂直的性质定理，即可得证； （2）取的中点，连接，由等边三角形的性质和面面垂直的性质，以及三角形的面积公式、棱锥的体积公式，计算可得所求值． 【详解】（1）证明：由等边三角形可得， 在中，，，，， 可得，， 所以，即， 又平面平面，平面平面， 可得平面； （2）取的中点，连接，如图所示： 由等边三角形，可得，. 又平面平面，平面平面， 可得平面， 所以四棱锥的体积为 ． 20. 在平面直角坐标系 ​中：①已知点​， 直线​，动点​满足到点​的距离与到直线​的距离之比​；②已知点​分别在​轴，​轴上运动， 且​， 动点​满​； ③已知圆​的方程为​， 直线​为圆​的切线， 记点​到直线​的距离分别为​， 动点​满足​． （1）在①，②，③这三个条件中任选一个， 求动点 ​的轨迹方程； （2）记 （1）中动点 ​的轨迹为​， 经过点​的直线​交​于​两点， 若线段​的垂直平分 线与​轴相交于点​， 求点​纵坐标的取值范围． 【答案】（1）所选条件见解析， ​． （2）​． 【解析】 【分析】（1）分别根据选择的条件，设，把条件转化为数学表达式，化简得到与之间的关系即为点的轨迹方程； （2）设，当直线的斜率不存在时，；当直线的斜率存在时，设直线的斜率为，，线段的中点为，联立，得到，线段的垂直平分线的方程为，令，得.代入得，从而求得的取值范围. 【小问1详解】 若选①： 设​，根据题意， 得​，整理可得​， 所以动点​的轨迹方程为​． 若选②： 设​，则 ​， (I) 因为 ​，所以 ​，整理， 得 ​，代入(I)得： ​， 所以动点 ​的轨迹方程为​． 若选③： 设 ​， 直线​与圆相切于点​，则 ​ 由椭圆的定义， 知点​的轨迹是以​为焦点的椭圆， 所以 ​， 故，​ 所以动点 ​的轨迹方程为​． 【小问2详解】 设 ​， 当直线​的斜率不存在时，​ 当直线 ​的斜率存在时， 设直线​的斜率为​， 线段 ​的中点为​， 由 ​，得 ，​ 所以，​ 线段 ​的垂直平分线的方程为，​ 令 ​， 得​． 由 ​，得 ，​ 由 ​得​， 所以 ​， 则 ​或​， 所以 ​或​． 综上所述， 点 ​纵坐标的取值范围是​． 【点睛】方法点睛：（1）根据条件中的点到直线距离，点到点的距离，向量关系及椭圆定义，分别化简求得与之间的关系，即可求得轨迹方程； （2）设直线方程，联立椭圆方程可以求得参数满足的关系，代入到题干条件，求得直线的方程，从而求得轴上的截距满足的一元二次函数条件，从而求得结果. 21. 已知函数. (Ⅰ)试求函数的单调区间； (Ⅱ)若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) 见解析(2) 【解析】 【详解】（Ⅰ）因为 所以 ①若，则，即在区间上单调递减； ②若，则当时， ；当时，； 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增； ③若，则当时，；当时，； 所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减． 综上所述，若，函数在区间上单调递减；； 若，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增； 若，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减． （Ⅱ）依题意得， 令.因为，则，即． 于是，由，得， 即对任意恒成立. 设函数，则. 当时，；当时，； 所以函数在上单调递增，在上单调递减； 所以. 于是，可知，解得. 故的取值范围是 22. 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系． （1）求的普通方程和的极坐标方程； （2）求曲线上的点到曲线距离的最小值． 【答案】（1）；；（2）. 【解析】 【分析】 （1）由消去t，可得的普通方程；先把的参数方程为化为普通方程，再化为极坐标方程； （2）利用参数方程表示上任意一点坐标，用点到直线的距离公式表示距离，用三角函数求最小值. 【详解】（1）由,所以，代入，整理化简得：， 因为中，所以， 即的普通方程为：. 由得：， 所以的普通方程为：， 把代入，整理化简得：， 所以的极坐标方程为：. (2)设上任意一点坐标，设P到的距离d： 其中时，有， d取得最小值 【点睛】(1)参数方程与普通方程的互化通常用；极坐标方程与直角坐标方程的互化通常用； (2)利用参数方程可以用来求最值，简化运算． 解答题 23. 已知函数． （1）求函数的最小值； （2），不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）最小值； （2）． 【解析】 【分析】（1）写出分段函数形式，结合各分段上的单调性求最值即可. （2）将原不等式化为对于恒成立，进而写出左侧的分段形式求最小值，即可得参数范围. 【小问1详解】 由题知， 易知：当时单调递减；当时单调递增， 所以，即有最小值，无最大值． 【小问2详解】 有不等式恒成立，即， 整理得：对于恒成立， 设，则 所以函数的最小值是，即， 所以实数的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $