专题强化03：全等三角形、角平分线必刷解答题【25道】-2024-2025学年八年级上册数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破（人教版）

专题强化03：全等三角形、角平分线必刷解答题 1．（20-21八年级上·安徽六安·期中）如图，四边形ABCD中，BC＝CD＝2AB，ABCD，∠B＝90°，E是BC的中点，AC与DE相交于点F． (1)求证：ABC≌ECD； (2)判断线段AC与DE的位置关系，并说明理由． 2．（23-24七年级下·辽宁阜新·期中）已知，，是过点A的直线，B、E两点在直线上，，． (1)如图1，试说明： ①； ②； (2)当绕点A旋转到图2的位置时，之间满足怎样的数量关系？请写出你的猜想，并给予证明． 3．（23-24八年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，在中，点在边上，连接，有，的平分线交于点，过点作交的延长线于点，且，连接．求证：平分． 4．（2024八年级上·浙江·专题练习）如图，在和中，，点E是的中点，于点F，且． (1)求证：； (2)若，求的长． 5．（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，，点、分别在、上，，、垂足分别为、，且．求证：． 6．（2024八年级上·全国·专题练习）已知，点，分别为线段，上两点，连接，交于点． (1)若，，如图1所示，______度； (2)若平分，平分，如图2所示，试说明此时与的数量关系； (3)在（2）的条件下，若，试说明：． 7．（2024八年级上·全国·专题练习）已知等腰三角形，，为射线上一动点，连接，以为边在直线的右侧作等腰三角形，，，连接． (1)如图1，当点在边上时，请探究，，之间的数量关系． (2)如图2，当点在的延长线上时，（1）中，，之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请你写出新的结论，并说明理由． 8．（23-24八年级上·四川宜宾·期中）已知：如图，在和中，．求证： (1)； (2)． 9．（23-24八年级上·重庆九龙坡·期中）如图，与中，，，，过作垂足为，交的延长线于点，连接． (1)求证：； (2)求证：平分； (3)若四边形的面积为18，，求的长． 10．（2024八年级上·江苏·专题练习）在中，，，直线经过点C，且于D，于E． (1)当直线绕点C旋转到图1的位置时，求证： ①； ②； (2)当直线绕点C旋转到图2的位置时，求证：； 11．（22-23八年级上·浙江杭州·期中）如图，在四边形中，点E为对角线上一点，，且． (1)证明：； (2)若，请求出的长度． 12．（21-22八年级上·福建厦门·期中）如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD、BE＝CF． （1）求证：AD平分∠BAC； （2）已知AC＝13，BE＝2，求AB的长． 13．（22-23八年级上·广东广州·期中）如图（1），，，，；点P在线段上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上由点B向点D运动，它们运动的时间为t（s）．    (1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当时，与是否全等，请说明理由，并判断此时线段和线段的位置关系； (2)如图（2），将图（1）中的“，”改为“”，其他条件不变．设点Q的运动速度为xcm/s，是否存在实数x，使得与全等？若存在，求出相应的x的值；若不存在，请说明理由． 14．（23-24八年级下·福建三明·期中）如图，在中，，将沿射线的方向平移至，连接，设与的交点为O． (1)若为的中点，求证：； (2)若平分，求的度数． 15．（23-24八年级上·辽宁抚顺·期中）如图①所示，在一条直线上，，过分别作，，若． (1)请猜想线段的数量关系，不用说明理由． (2)若将的边沿方向移动，变为图时，其余条件不变，上述结论是否成立？请说明理由． 16．（23-24八年级上·湖北黄石·期中）如图，，的平分线与的外角平分线交于点，过点作于．    (1)如图1，若，求的度数． (2)如图2，连，求证：平分． (3)如图3，若周长为20，求的长． 17．（21-22八年级上·河南焦作·期中）如图，在△ABC和△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，点C、D、E在同一直线上，连结BD． （1）求证：BD=CE； （2）BD与CE有何位置关系？请证明你的猜想． 18．（2014·山东泰安·一模）已知：如图，在、中，，，，点、、三点在同一直线上，连接． (1)求证：； (2)请判断、有何大小、位置关系，并证明． 19．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）（1）如图1，与中，，，B、C、E三点在同一直线上，，则___________． （2）如图2，在中，，过点C作，且，求的面积． （3）如图3，四边形中面积为14且的长为7，求的面积． 20．（23-24八年级上·北京东城·期中）已知，在四边形中，分别是边上的点，且．    (1)为探究上述问题，小王同学先画出了其中一种特殊情况，即如图1，当时． 小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接． 请你在图1中添加上述辅助线，并补全下面的思路． 小明的解题思路：先证明______；再证明了______，即可得出之间的数量关系为． (2)请你借鉴小王的方法探究图2，当时，上述结论是否依然成立，如果成立，请证明你的结论，如果不成立，请说明理由． (3)如图3，若分别是边延长线上的点，其他已知条件不变，此时线段之间的数量关系为______．（不用证明） 21．（23-24八年级上·山东临沂·期中）【基本模型】 （1）如图1，是正方形，，当在边上，在边上时，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论． 【模型运用】 （2）如图2，是正方形，，当在的延长线上，在的延长线上时，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论． 22．（23-24八年级上·江苏连云港·期中）如图，在等腰中，，点从点出发，以的速度沿向点运动，设点的运动时间为．    (1)______．（用的代数式表示） (2)当点从点开始运动，同时，点从点出发，以的速度沿向点运动，是否存在这样的值，使得与全等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 23．（23-24八年级上·山西临汾·期中）如图1，在和中，，，．      (1)求证：． (2)在图1的基础上，过点作，交延长线于点，作，交延长线于点，延长线交于点． ①与有什么数量关系，请说明理由． ②若四边形的面积为35，，点为的中点，则的长为多少？请直接写出答案． 24．（23-24八年级上·北京西城·期中）在平面直角坐标系中，点在轴的负半轴上点在轴的负半轴上，，．    (1)如图①，若点的坐标为，点的坐标为，点在第一象限，点的坐标______； (2)在（1）的条件下，若轴于点，点在轴上，，连接并延长，交于点，求的长； (3)如图②，若点的坐标为，点在的延长线上，过点（，）作轴于点，连接，写出线段，，之间的数量关系，并证明． 25．（23-24八年级上·广东韶关·期中）如图1，在中，，，直线经过点，过点，分别作，，垂足分别为点和，，． (1)求证：；求的长； (2)如图，点以个单位长度秒的速度从点出发沿着边运动，到终点，点以个单位长度秒的速度从点出发沿着线运动，到终点．，两点同时出发，运动时间为秒，当点到达终点时，两点同时停止运动，过点作于点，过点作于点； 当点在线段上时，用含有的代数式表示线段的长度； 当与全等时，求的值． 答案第1页，共2页 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题强化03：全等三角形、角平分线必刷解答题 1．（20-21八年级上·安徽六安·期中）如图，四边形ABCD中，BC＝CD＝2AB，ABCD，∠B＝90°，E是BC的中点，AC与DE相交于点F． (1)求证：ABC≌ECD； (2)判断线段AC与DE的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)AC⊥DE，见解析 【分析】（1）由E是BC的中点，BC＝2AB可证明AB＝EC，由平行线的性质得出∠B＋∠ECD＝180°，得出∠ECD＝90°＝∠B，最后由SAS证明△ABC≌△ECD即可； （2）由全等三角形的性质得出，∠CED＝∠CAB，再由∠CAB＋∠ACB＝90°推导∠CED＋∠ACB＝90°，进而得出∠EFC＝90°，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵E是BC的中点， ∴BC＝2EC， ∵BC＝2AB， ∴AB＝EC， ∵， ∴∠B＋∠ECD＝180°， ∵∠B＝90°， ∴∠B＝∠ECD＝90°， 在△ABC和△ECD中， ， ∴△ABC≌△ECD（SAS）； （2）AC⊥DE．理由如下： ∵△ABC≌△ECD（SAS）， ∴∠CED＝∠CAB， ∵∠CAB＋∠ACB＝90°， ∴∠CED＋∠ACB＝90°， ∴∠EFC＝90°， ∴AC⊥DE． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识，证明三角形全等是解题的关键． 2．（23-24七年级下·辽宁阜新·期中）已知，，是过点A的直线，B、E两点在直线上，，． (1)如图1，试说明： ①； ②； (2)当绕点A旋转到图2的位置时，之间满足怎样的数量关系？请写出你的猜想，并给予证明． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)，证明见解析 【分析】本题考查了几何变换综合题，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键． （1）①根据已知条件得到，根据全等三角形的判定即可证明；②根据全等三角形性质得到即可得到结论； （2）根据角的和差得到，根据全等三角形的性质得到，根据线段的和差即可得到结论． 【详解】（1）解：①证明：∵， ∴， 即， ∵， ∴； ②∵， ∴， ∴； （2）猜想：， 证明：∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴ 3．（23-24八年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，在中，点在边上，连接，有，的平分线交于点，过点作交的延长线于点，且，连接．求证：平分． 【答案】证明见解析． 【分析】本题主要考查了角平分线的判定与性质，三角形内角和定理，过点作于点，于点，先通过计算得出，根据角平分线的性质得，，进而得，据此根据角平分线的判定定理即可得出结论，熟练掌握角平分线上的点到角的两边距离相等，到角两边距离相等的点在角的平分线上是解题的关键． 【详解】证明：如图，过点作于点，于点，    ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，即为的平分线． 又∵，， ∴． ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴点在的平分线上， ∴平分． 4．（2024八年级上·浙江·专题练习）如图，在和中，，点E是的中点，于点F，且． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形的内角和定理、余角性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答的关键． （1）先证明，再根据全等三角形的判定定理可得结论； （2）根据全等三角形的性质得得，，结合线段中点定义可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴，， ∴， 在和中， , ∴； （2）解：由（1）得：， ∴，， ∵E是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴． 5．（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，，点、分别在、上，，、垂足分别为、，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了两个直角三角形全等的判定方法的运用，即：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．根据判定两个三角形全等的方法“斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等”可证，从而得出，进而可证得，从而得出． 【详解】证明：，， 和是直角三角形， 在和中， ， ． ． 又， ； ． 在和中， ， ． ． 6．（2024八年级上·全国·专题练习）已知，点，分别为线段，上两点，连接，交于点． (1)若，，如图1所示，______度； (2)若平分，平分，如图2所示，试说明此时与的数量关系； (3)在（2）的条件下，若，试说明：． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】本题考查了垂直的定义，角平分线的定义，三角形的内角和定理，三角形全等的判定及性质，正确构造辅助线构造全等三角形是解决本题的关键． （1）利用同角的余角相等可以得到，根据，即可求出度数； （2）根据角平分线的定义可以得到，，利用三角形的内角和定理可以得到，结合角平分线的定义转化角度即可得到； （3）作的平分线交于点，由，可得，利用ASA可得到，从而得到，同理可得：，即可得到结论； 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴， 即：， 故答案为： （2）解：∵平分，平分， ∴，， ∵， 即： ∴； （3）如图，作的平分线交于点， ∵， ∴， ∴， 又∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 即：． 7．（2024八年级上·全国·专题练习）已知等腰三角形，，为射线上一动点，连接，以为边在直线的右侧作等腰三角形，，，连接． (1)如图1，当点在边上时，请探究，，之间的数量关系． (2)如图2，当点在的延长线上时，（1）中，，之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请你写出新的结论，并说明理由． 【答案】(1) (2)不成立． 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定方法是解本题的关键． （1）证明．再证明，可得，再进一步可得结论； （2）证明．再证明，可得，再进一步可得结论； 【详解】（1）解：∵， ∴， 即． 在与中，， ∴， ∴， ∴． （2）不成立．． 理由：∵， ∴． 在与中， ， ∴， ∴． 8．（23-24八年级上·四川宜宾·期中）已知：如图，在和中，．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了三角形的全等判定和性质，熟练掌握判定定理是解题的关键． （1）根据得到即，证明即可． （2）根据得到，结合，得到即，证明即可． 【详解】（1）∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 9．（23-24八年级上·重庆九龙坡·期中）如图，与中，，，，过作垂足为，交的延长线于点，连接． (1)求证：； (2)求证：平分； (3)若四边形的面积为18，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)4 【分析】此题考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是作辅助线构造全等三角形，解题时注意：全等三角形的面积相等． （1）利用进行证明即可； （2）先过点作于，判定，即可得出，进而得证； （3）先判定，得出，再根据，面积公式列出式子，进而得到的长． 【详解】（1）证明：在与中， ， ． （2）作于，如图1， ， ，， ， ， 在与中， ， ， ， 平分； （3）解：， ， 在 和中， ， ， ， 四边形，， ， 解得：． 10．（2024八年级上·江苏·专题练习）在中，，，直线经过点C，且于D，于E． (1)当直线绕点C旋转到图1的位置时，求证： ①； ②； (2)当直线绕点C旋转到图2的位置时，求证：； 【答案】(1)①见解析，②见解析 (2)见解析 【分析】（1）①由已知推出，因为，，推出，根据即可得到答案； ②由（1）得到，，即可求出答案； （2）与（1）证法类似可证出，能推出，得到，，代入已知即可得到答案． 【详解】（1）①证明：，， ， ， ，， ， 在和中 ， ． ②证明：由（1）知：， ，， ， ． （2）证明：，， ， ， ， ， ， 在和中 ， ， ，， ． 【点睛】本题主要考查了邻补角的意义，全等三角形的性质和判定等知识点，能根据已知证出符合全等的条件是解此题的关键，题型较好，综合性比较强． 11．（22-23八年级上·浙江杭州·期中）如图，在四边形中，点E为对角线上一点，，且． (1)证明：； (2)若，请求出的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由 ，得，即可根据全等三角形的判定定理“”证明； （2）由，得，即可由求得的长度为9． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在和， ， ∴． （2）解：， ∴， ∴， ∴的长度是9． 【点睛】此题重点考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，正确地找到全等三角形的对应边和对应角并且证明是解题的关键． 12．（21-22八年级上·福建厦门·期中）如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD、BE＝CF． （1）求证：AD平分∠BAC； （2）已知AC＝13，BE＝2，求AB的长． 【答案】（1）见解析；（2）AB=9 【分析】（1）求出∠E=∠DFC=90°，根据全等三角形的判定定理得出Rt△BED≌Rt△CFD，推出DE=DF，根据角平分线性质得出即可； （2）根据全等三角形的性质得出AE=AF，由线段的和差关系求出答案． 【详解】（1）证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC           ∴∠E=∠DFC=90°            ∵BD＝CD、BE＝CF                     ∴Rt△BDE ≌ Rt△CDF                  ∴DE =DF                 又∵DE⊥AB，DF⊥AC ∴AD平分∠BAC； （2）解：∵Rt△BDE ≌ Rt△CDF          ∴CF=BE=2                        ∴ AF=AC-FC=13-2=11             在Rt△ADE与 Rt△ADF中         ∵AD=AD，DE=DF         ∴Rt△ADE≌Rt△ADF             ∴AE=AF=11         ∴ AB=AE-BE=11-2=9． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的对应边相等，对应角相等． 13．（22-23八年级上·广东广州·期中）如图（1），，，，；点P在线段上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上由点B向点D运动，它们运动的时间为t（s）．    (1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当时，与是否全等，请说明理由，并判断此时线段和线段的位置关系； (2)如图（2），将图（1）中的“，”改为“”，其他条件不变．设点Q的运动速度为xcm/s，是否存在实数x，使得与全等？若存在，求出相应的x的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)全等，理由见解析，线段与线段垂直； (2)存在，或 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握分类讨论的思想是解题关键． （1）由速度和时间求得、，进而可得，再利用两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等即可证明，由全等的性质求得进而可得，即； （2）已知，所以与全等时和为对应相等角，应分两种情况讨论：①时，，，②时，，；利用对应边相等的关系建立方程组求解即可； 【详解】（1）解：全等，， 当时，，， 又∵， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∴，即线段与线段垂直； （2）解：存在 ①若， 则，， ∴， 解得； ②若，则，， ∴， 解得； 综上所述，存在或使得与全等； 14．（23-24八年级下·福建三明·期中）如图，在中，，将沿射线的方向平移至，连接，设与的交点为O． (1)若为的中点，求证：； (2)若平分，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了平移的性质和全等三角形的判定，角平分线的定义，三角形的内角和定理，掌握平移性质是解答的关键． （1）根据平移性质得到，从而得到，再根据为的中点，得到，从而证明结论； （2）根据平分，得到，从而证明．再根据三角形内角和定理以及，即可求解． 【详解】（1）证明：∵由沿射线的方向平移所得， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴． 在和中， ， ∴； （2）解：∵平分， ∴， 又∵， ∴． ∵， ∴． 15．（23-24八年级上·辽宁抚顺·期中）如图①所示，在一条直线上，，过分别作，，若． (1)请猜想线段的数量关系，不用说明理由． (2)若将的边沿方向移动，变为图时，其余条件不变，上述结论是否成立？请说明理由． 【答案】(1)； (2)结论依然成立，理由见解析． 【分析】（）．证明，得到，再证明即可求证； （）结论依然成立．理由与（）同理； 本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：． 理由：，， ， ， ， 即， 在和中，， ， ， 在和中， ， ， ； （2）解：结论依然成立． 理由：，， ， ， ， 即， 在和中，， ， ， 在和中， ， ， ． 16．（23-24八年级上·湖北黄石·期中）如图，，的平分线与的外角平分线交于点，过点作于．    (1)如图1，若，求的度数． (2)如图2，连，求证：平分． (3)如图3，若周长为20，求的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据角平分的定义，和三角形外角定理即可求解， （2）作辅助线，根据角平分线的性质与判定，即可求解， （3）由可得，同理，，即可通过等量代换，求出的长， 本题考查了，三角形外角定理，全等三角形的判定与性质，角平分线的判定与性质，解题的关键是：熟练应用角平分线的性质，作出辅助线． 【详解】（1）解：∵的平分线与的外角平分线交于点， ，， ， ， ， ， ， 故答案为：， （2）解：如图2，过点作的延长线于，于，   ，平分，平分， ，， ， 平分， （3）解：如图2，由（2）知：， 在和中，， ， ， 同理得：，， 的周长， ， ， ，即：， 故答案为：． 17．（21-22八年级上·河南焦作·期中）如图，在△ABC和△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，点C、D、E在同一直线上，连结BD． （1）求证：BD=CE； （2）BD与CE有何位置关系？请证明你的猜想． 【答案】（1）见解析；（2）BD⊥DE．证明见解析． 【分析】（1）求出∠BAD=∠CAE，根据SAS推出，根据全等三角形的性质推出即可； （2）根据全等三角形的性质得出，根据求出即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即∠BAD=∠CAE， 在和中， ， ∴， ∴BD=EC；                                                                           （2）BD⊥DE． 证明：∵， ∴， 又∵， ∴，即， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，能综合运用定理进行推理是解此题的关键，注意：①全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，②全等三角形的对应角相等，对应边相等． 18．（2014·山东泰安·一模）已知：如图，在、中，，，，点、、三点在同一直线上，连接． (1)求证：； (2)请判断、有何大小、位置关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)，，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质；全等问题要注意找条件，有些条件需在图形是仔细观察，认真推敲方可．做题时，有时需要先猜后证． （1）要证，现有，，需它们的夹角，而由很易证得． （2）、有何特殊位置关系，从图形上可看出是垂直关系，可向这方面努力．要证，需证，需证可由直角三角形提供． 【详解】（1）证明：， ， ， 在和中， ， ． （2），，理由如下： 由（1）知，， ； ， ， ， ， ， 则． 19．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）（1）如图1，与中，，，B、C、E三点在同一直线上，，则___________． （2）如图2，在中，，过点C作，且，求的面积． （3）如图3，四边形中面积为14且的长为7，求的面积． 【答案】（1）5；（2）2；（3） 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质及应用，等腰直角三角形、四边形、三角形面积等知识． （1）由，得，可证明，即得，故； （2）过D作交延长线于E，由，得，即得，可证明，得，故； （3）过A作于E，过B作交延长线于F，由面积为14且的长为7，得，又，，得是等腰直角三角形，即得，根据，可得，，即有，即可证明，从而，故． 【详解】解：（1）∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； 故答案为：5； （2）过D作交延长线于E，如图2： ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （3）过A作于E，过B作交延长线于F，如图3： ∵面积为14且的长为7， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 20．（23-24八年级上·北京东城·期中）已知，在四边形中，分别是边上的点，且．    (1)为探究上述问题，小王同学先画出了其中一种特殊情况，即如图1，当时． 小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接． 请你在图1中添加上述辅助线，并补全下面的思路． 小明的解题思路：先证明______；再证明了______，即可得出之间的数量关系为． (2)请你借鉴小王的方法探究图2，当时，上述结论是否依然成立，如果成立，请证明你的结论，如果不成立，请说明理由． (3)如图3，若分别是边延长线上的点，其他已知条件不变，此时线段之间的数量关系为______．（不用证明） 【答案】(1)图见解析， (2)成立，证明见解析 (3) 【分析】（1）根据题意，画出图形，先证明，再证明，即可得出结论； （2）延长到点，使，连接，先证明，再证明，即可得出结论； （3）在上取一点，使，先证明，再证明，即可得出结论． 本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是利用截长补短法，构造全等三角形． 【详解】（1）解：补全图形，如图：    解题思路为先证明，再证明，即可得出之间的数量关系为； 故答案为：； （2）成立，证明如下： 延长到点，使，则，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，即：， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：在上取一点，使，    ∵，， ∴， 又， ∴， ∴，， ∴， ∴， 又， ∴， ∴．’ 故答案为：． 21．（23-24八年级上·山东临沂·期中）【基本模型】 （1）如图1，是正方形，，当在边上，在边上时，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论． 【模型运用】 （2）如图2，是正方形，，当在的延长线上，在的延长线上时，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1），证明见解析（2），证明见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质．本题蕴含半角模型，遇到半角经常要通过旋转构造全等三角形． （1）结论：．将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，然后求出，利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，从而得解； （2）结论：，证明方法同法（1）． 【详解】解：（1）结论：． 理由：如图1，将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，    则：，，， ∴，即：三点共线， ， ∴， ∴， ， 在和中， ， ， ， 又， ． （2）结论：． 理由：如图2，将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，    则：， 同法（1）可得：， ， 又， ． 22．（23-24八年级上·江苏连云港·期中）如图，在等腰中，，点从点出发，以的速度沿向点运动，设点的运动时间为．    (1)______．（用的代数式表示） (2)当点从点开始运动，同时，点从点出发，以的速度沿向点运动，是否存在这样的值，使得与全等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当或2时与全等． 【分析】此题主要考查了全等三角形的性质． （1）根据P点的运动速度可得的长，再利用即可得到的长； （2）此题主要分两种情况①当，时，；当时，，然后分别计算出t的值，进而得到v的值． 【详解】（1）解：依题意，得 ∴． 故答案为：； （2）解：①当，时，， ∵， ∴， ∴， ， 解得：， ， ， 解得：； ②当时，， ∵， ∴， ， 解得：， ， ， 解得：． 综上所述：当或2时与全等． 23．（23-24八年级上·山西临汾·期中）如图1，在和中，，，．      (1)求证：． (2)在图1的基础上，过点作，交延长线于点，作，交延长线于点，延长线交于点． ①与有什么数量关系，请说明理由． ②若四边形的面积为35，，点为的中点，则的长为多少？请直接写出答案． 【答案】(1)见解析； (2)①，理由见解析；②． 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质： （1）利用证得，进而可求证结论； （2）①连结，根据全等三角形的性质及三角形等面积法可得，再利用证得，进而可求解；②根据全等三角形的性质可得，，设，则，利用即可求解； 熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：， ， ， 在和中 ， ． ． （2）①，理由如下： 连结，如图：   ，， 是边上的高，是边上的高， ， ， ，， 又， ， 在和中， ， ， ． ②由①得， ，， 在和中， ， ， ， ， ，即：， ， ， ， 点为的中点， ， 设，则， ， 即：， ， ． 24．（23-24八年级上·北京西城·期中）在平面直角坐标系中，点在轴的负半轴上点在轴的负半轴上，，．    (1)如图①，若点的坐标为，点的坐标为，点在第一象限，点的坐标______； (2)在（1）的条件下，若轴于点，点在轴上，，连接并延长，交于点，求的长； (3)如图②，若点的坐标为，点在的延长线上，过点（，）作轴于点，连接，写出线段，，之间的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2)2 (3)，证明见解析 【分析】（1）过点作轴于点，证明，得到，，再根据、两点的坐标，得出，，即可得到点的坐标； （2）由（1）可知，从而得到，再证明，即可求出的长； （3）在上取一点，使得，连接并延长交延长线于点，证明，得到，，再利用直角和三角形内角和定理，得到，证明，得到，即可得到线段，，之间的数量关系， 【详解】（1）解：如图①，过点作轴于点， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ，， ，， ， ， 故答案为；；      （2）解：，， ， 由（1）可知，， ， 在和中， ， ， ； （3）解：，证明如下： 如图②，在上取一点，使得，连接并延长交延长线于点， ，，轴， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ．    【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，直角三角形的特征，作辅助线构造全等三角形是解题关键． 25．（23-24八年级上·广东韶关·期中）如图1，在中，，，直线经过点，过点，分别作，，垂足分别为点和，，． (1)求证：；求的长； (2)如图，点以个单位长度秒的速度从点出发沿着边运动，到终点，点以个单位长度秒的速度从点出发沿着线运动，到终点．，两点同时出发，运动时间为秒，当点到达终点时，两点同时停止运动，过点作于点，过点作于点； 当点在线段上时，用含有的代数式表示线段的长度； 当与全等时，求的值． 【答案】(1)见解析；； (2)；等于或． 【分析】（）先证明，由即可得出； 由全等三角形的性质得出，，即可得出； （）当点在线段上时，根据即可得出答案； 分两种情况：当点在线段上时，，则，得，解得；当点在线段上时，，则，解得；即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； 由得：， ∴，， ∴； （2）当点在线段上时，如图所示： ； 分两种情况：当点在线段上时，， ∴， ∴，解得：； 当点在线段上时，， 即点与重合，，则，解得：； 综上所述，当与全等时，则等于或． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、直角三角形的性质、分类讨论等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 答案第1页，共2页 2 学科网（北京）股份有限公司 $$