专题2.6 有理数的技巧计算【10大题型】-2024-2025学年七年级数学上册重难点专题分类必刷清单（北师大版2024）

专题2.6 有理数的技巧计算【10大题型】（北师大版2024） 题组一 乘法分配律及其逆用 1 题组二 运用倒数法解决有理数的除法 3 题组三 有理数计算技巧--凑整 4 题组四 有理数计算技巧--等差数列 5 题组五 有理数计算技巧--等比数列 5 题组六 有理数计算技巧--裂项 6 题组七 有理数计算技巧--拆项 8 题组九 有理数计算技巧--组合 9 题组十 有理数计算技巧--提取公因数 10 题组一 乘法分配律及其逆用 1．． 2．用简便方法计算： （1）；（2）． 3．计算：． 4．计算：． 5．计算： 6．计算：． 7．用简便方法计算： （1）；（2）． 8．用简便方法计算： （1）；（2）； （3）×（﹣）+（﹣）×（﹣）；（4）（﹣27）÷9． 9．． 题组二 运用倒数法解决有理数的除法 1．阅读以下材料，完成相关的填空和计算． （1）根据倒数的定义我们知道，若（a+b）÷c＝﹣3，则c÷（a+b）＝　 　． （2）计算： （3）根据以上信息可知：＝　 　． 2．阅读下列材料：计算50÷（﹣+）． 解法一：原式＝50÷﹣50÷+50÷＝50×3﹣50×4+50×12＝550． 解法二：原式＝50÷（﹣+）＝50÷＝50×6＝300． 解法三：原式的倒数为（﹣+）÷50 ＝（﹣+）×＝×﹣×+×＝． 故原式＝300． 上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为解法　 　是错误的．请你选择合适的解法解答下列问题： 计算：（﹣）÷（﹣+﹣） 3．计算：（﹣）÷（1） 4．计算：÷（﹣++）． 5．计算：（﹣）÷（﹣﹣）． 题组三 有理数计算技巧--凑整 1．． 2．计算：19+298+3997+49996． 3．计算：9+99+199+2999+39999+1． 题组四 有理数计算技巧--等差数列 1．+++...+． 2．计算1+3+5+7+…+2013+2015的值． 3．计算：1001+1003+1005+…+1999． 题组五 有理数计算技巧--等比数列 1．． 2．计算：． 题组六 有理数计算技巧--裂项 1．++++++． 2．计算：++++++++++． 3．． 4．． 5．++++++++ 6．求：1+的和． 7．计算：+++…+． 8．计算：． 题组七 有理数计算技巧--拆项 1．计算：． 2．． 3．． 4．2+3+4+...+30． 题组九 有理数计算技巧--组合 1．计算：． 2．计算：（+++…++）+（+++…++）+…+（+） 3．计算：1+（﹣2）+3+（﹣4）+…+2011+（﹣2012）+2013+（﹣2014）+2015． 4．计算：+（）+（）+…+（） 题组十 有理数计算技巧--提取公因数 1． 2．计算：1234+2341+3412+4123 分析：注意到题中共有4个四位数，每个四位数中都包含有1、2、3、4这几个数字，而且它们都分别在千位、百位、十位、个位上出现了一次，根据位值计数的原则，可作如下解答： 原式＝1×1111+2×1111+3×1111+4×1111 ＝（1+2+3+4）×1111 ＝10×1111 ＝11110 练习1 （1）23456+34562+45623+56234+62345 （2）124.68+324.68+524.68+724.68+924.68． 3．计算： ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.6 有理数的技巧计算【10大题型】（北师大版2024） 题组一 乘法分配律及其逆用 1 题组二 运用倒数法解决有理数的除法 4 题组三 有理数计算技巧--凑整 6 题组四 有理数计算技巧--等差数列 7 题组五 有理数计算技巧--等比数列 7 题组六 有理数计算技巧--裂项 8 题组七 有理数计算技巧--拆项 10 题组九 有理数计算技巧--组合 11 题组十 有理数计算技巧--提取公因数 12 题组一 乘法分配律及其逆用 1．． 【解答】解： ＝×17+55× ＝38×+55× ＝（38+55）× ＝93× ＝51． 2．用简便方法计算： （1）； （2）． 【解答】解：（1） ＝24×﹣24×+24× ＝18﹣44+21 ＝﹣5； （2） ＝﹣4.27×﹣8.73×+2× ＝×（﹣4.27﹣8.73+2） ＝×（﹣11） ＝﹣6． 3．计算：． 【解答】解： ＝2×16﹣1×16+×16 ＝44﹣24+10 ＝30． 4．计算：． 【解答】解： ＝1×（﹣24）﹣×（﹣24）+×（﹣24） ＝﹣24+36+（﹣14） ＝﹣2． 5．计算： 【解答】解： ＝﹣16×（） ＝﹣8+4+6 ＝2． 6．计算：． 【解答】解： ＝ ＝﹣6﹣（﹣8）+（﹣15） ＝﹣6+8﹣15 ＝﹣13． 7．用简便方法计算： （1）； （2）． 【解答】解：（1）原式＝ ＝ ＝﹣2399.5； （2）原式＝ ＝ ＝﹣29． 8．用简便方法计算： （1）； （2）； （3）×（﹣）+（﹣）×（﹣）； （4）（﹣27）÷9． 【解答】解：（1） ＝ ＝ ＝﹣1+ ＝； （2） ＝ ＝﹣8﹣4+10 ＝﹣2； （3）×（﹣）+（﹣）×（﹣） ＝ ＝ ＝； （4）（﹣27）÷9 ＝（﹣27﹣）× ＝（﹣27）×+（﹣）× ＝﹣3﹣ ＝﹣． 9．． 【解答】解： ＝ ＝ ＝ ＝． 题组二 运用倒数法解决有理数的除法 1．阅读以下材料，完成相关的填空和计算． （1）根据倒数的定义我们知道，若（a+b）÷c＝﹣3，则c÷（a+b）＝　﹣　． （2）计算： （3）根据以上信息可知：＝　﹣　． 【解答】解：（1）∵（a+b）÷c＝﹣3， ∴c÷（a+b）＝﹣； （2）原式＝（﹣+﹣）×（﹣36） ＝4﹣9+3 ＝﹣2； （3）∵＝﹣2， ∴＝﹣， 故答案为﹣，﹣． 2．阅读下列材料：计算50÷（﹣+）． 解法一：原式＝50÷﹣50÷+50÷＝50×3﹣50×4+50×12＝550． 解法二：原式＝50÷（﹣+）＝50÷＝50×6＝300． 解法三：原式的倒数为（﹣+）÷50 ＝（﹣+）×＝×﹣×+×＝． 故原式＝300． 上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为解法　一　是错误的．请你选择合适的解法解答下列问题： 计算：（﹣）÷（﹣+﹣） 【解答】解：没有除法分配律，故解法一错误； 故答案为：一． 原式＝（）÷（﹣） ＝（﹣）×3 ＝． 3．计算：（﹣）÷（1） 【解答】解：（1﹣﹣）×（﹣） ＝﹣2+1+ ＝﹣． ∴原式=-3 4．计算：÷（﹣++）． 【解答】解：（﹣++）×36 ＝﹣12+6+3 ＝﹣3． ∴原式=﹣ 5．计算：（﹣）÷（﹣﹣）． 【解答】解：（﹣﹣）×（﹣18） ＝×（﹣18）﹣×（﹣18）﹣×（﹣18） ＝ ＝﹣1． 题组三 有理数计算技巧--凑整 1．． 【解答】解：原式＝1000﹣+100﹣+10﹣+ ＝（1000+100+10）﹣（++）+ ＝1110﹣+ ＝1110． 2．计算：19+298+3997+49996． 【解答】解：19+298+3997+49996 ＝20﹣1+300﹣2+4000﹣3+50000﹣4 ＝54320﹣10 ＝54310． 3．计算：9+99+199+2999+39999+1． 【解答】解：原式＝10﹣+100﹣+200﹣+3000﹣+40000﹣+1 ＝10+100+200+3000+40000 ＝43310． 题组四 有理数计算技巧--等差数列 1．+++...+． 【解答】解：原式＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝． 2．计算1+3+5+7+…+2013+2015的值． 【解答】解：1+3+5+7+…+2013+2015 ＝×1008 ＝1016064． 3．计算：1001+1003+1005+…+1999． 【解答】解：1001+1003+1005+…+1999 ＝（1001+1999）×500÷2 ＝3000×500÷2 ＝750000． 题组五 有理数计算技巧--等比数列 1．． 【解答】解： ＝ ＝ ＝． 2．计算：． 【解答】解： ＝ ＝ ＝． 题组六 有理数计算技巧--裂项 1．++++++． 【解答】解：++++++ ＝（1﹣）+（1﹣）+（+）+（+）+（+）+（+）+（+） ＝（1﹣++）+（1﹣+）+（++）+（+++） ＝1+1+1+1 ＝4． 2．计算：++++++++++＝　　． 【解答】解：原式＝×（+++…+） ＝×（1﹣﹣…+﹣） ＝×（1﹣） ＝× ＝． 故答案为：． 3．． 【解答】解：原式＝（1﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）＝1﹣＝． 4．． 【解答】解：， ＝， ＝， ＝， ＝ 5．++++++++ 【解答】解：++++++++ ＝+++++（）+（）+（）+（） ＝+++++ ＝+ ＝1+1+1+1+1 ＝5． 6．求：1+的和． 【解答】解：1+ ＝1+++++++ ＝1+1﹣+﹣+﹣+﹣+﹣+﹣+﹣ ＝1+1﹣ ＝ 故原式的和为． 7．计算：+++…+． 【解答】解：原式＝+++…+＝（1﹣+﹣+…+﹣）＝（1﹣）＝． 8．计算：． 【解答】解：原式＝2×+2×+2×+…+2× ＝2×（+﹣+﹣+﹣+…+﹣） ＝2×（1﹣） ＝． 题组七 有理数计算技巧--拆项 1．计算：． 【解答】解：， ＝1+（3+）+（5+）+（7+）+（9+）+（11+）+（13+）+（15+）+（17+）， ＝（1+3+5+7+9+11+13+15+17）+（+++++++）， ＝81+， ＝81． 2．． 【解答】解：原式＝（1+4+……+25）+（++……+） ＝×9×（1+25）+（﹣+﹣+……+﹣） ＝117+﹣ ＝117.4． 3．． 【解答】解：原式＝+++++ ＝1﹣+﹣+﹣+﹣+﹣+﹣ ＝1﹣ ＝． 4．2+3+4+...+30． 【解答】解：原式＝2+3+4+...+30+...+ ＝+...+ ＝464++++...+ ＝464+ ＝464． 题组九 有理数计算技巧--组合 1．计算：． 【解答】解：， ＝+（+）+（++）+…+（++…+）， ＝+1+1+…+29， ＝59×（+29）÷2， ＝885． 2．计算：（+++…++）+（+++…++）+…+（+） 【解答】解：原式＝+（+）+（++）+…+（++…++）﹣ ＝0.5+1+1.5+2+2.5+3+…+49.5﹣0.99 ＝（0.5+49.5）×98÷2﹣0.99 ＝2450﹣0.99 ＝2449.01． 3．计算：1+（﹣2）+3+（﹣4）+…+2011+（﹣2012）+2013+（﹣2014）+2015． 【解答】解：原式＝（1﹣2）+（3﹣4）+…+（2011﹣2012）+（2013﹣2014）+2015＝﹣1007+2015＝1008． 4．计算：+（）+（）+…+（） 【解答】解： ＝ ＝ ＝ ＝． 题组十 有理数计算技巧--提取公因数 1． 【解答】解：原式＝+++ ＝+++ ＝ ＝1． 2．计算：1234+2341+3412+4123 分析：注意到题中共有4个四位数，每个四位数中都包含有1、2、3、4这几个数字，而且它们都分别在千位、百位、十位、个位上出现了一次，根据位值计数的原则，可作如下解答： 原式＝1×1111+2×1111+3×1111+4×1111 ＝（1+2+3+4）×1111 ＝10×1111 ＝11110 练习1 （1）23456+34562+45623+56234+62345 （2）124.68+324.68+524.68+724.68+924.68． 【解答】解：（1）23456+34562+45623+56234+62345 ＝2×11111+3×11111+4×11111+5×11111+6×11111 ＝（2+3+4+5+6）×11111 ＝20×11111 ＝222220； （2）124.68+324.68+524.68+724.68+924.68 ＝100+300+500+700+900+24.68×5 ＝2500+123.4 ＝2623.4． 3．计算：＝　﹣3　． 【解答】解：， ＝， ＝， ＝． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$