精品解析：河北省唐山市2024-2025学年高三上学期摸底演练数学试题

唐山市2024-2025学年度高三年级摸底演练 数学 本试卷共4页，19小题，满分150分．考试时间120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 已知集合M，N满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由集合的包含关系判定即可. 【详解】因为集合M，N满足， 所以. 故选：D. 2. 已知为虚数单位，复数，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据共轭复数及复数的除法运算即可求解． 【详解】， 故选：C． 3. 已知向量，，则在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由投影向量的计算公式，即可求解. 【详解】在方向上的投影向量为. 故选：C. 4. 已知函数为奇函数，则（ ） A. 2 B. 1 C 0 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用奇函数的定义列式计算即得. 【详解】函数的定义域为R，由函数为奇函数，得， 即， 所以. 故选：B 5. 已知函数则的值域为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别求每段函数的值域，再求并集. 【详解】在上单调递增，所以， 在上单调递增，所以， 因为，， 所以函数值域是. 故选：A 6. 若锐角满足，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据利用辅助角公式得到，再利用角的变换，结合诱导公式，以及二倍角公式，即可求解. 【详解】，则， 因为，，则 ， . 故选：B 7. 若有且仅有一个使得数取得最小值，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】依题意，由，则有，求解可得的取值范围. 【详解】时，， 依题意有，解得， 则的取值范围为. 故选：D. 8. 已知半径为1的球可以整体放入圆锥容器（容器壁厚度忽略不计）内，则该圆锥容器容积的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】作圆锥轴截面，利用圆锥的体积公式可将其用表示，结合已知条件，即可求出圆锥容器容积的最小值. 【详解】 由题意，当球与圆锥底面和侧面都相切时圆锥容器的容积最小， 作圆锥轴截面如图，为圆锥的高，为球心，为切点， 则，又， 则， 所以圆锥的体积， 因为，所以， 又为定值， 所以当，即时， 圆锥的体积最小为， 即圆锥容器容积的最小值为. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 样本数据：3，3，4，4，5，6．6，7，7的方差为2 D. 已知，，且A与B独立，则 【答案】AD 【解析】 【分析】由二项分布的期望判断选项A；由正态曲线的对称性判断选项B；计算样本数据的方差判断选项C；利用独立事件的概率公式与和事件的概率公式判断选项D. 【详解】若，则，A选项正确； 若，则，有，B选项错误； 样本数据：3，3，4，4，5，6．6，7，7的平均值为， 方差为，C选项错误； 已知，，且A与B独立，则， 所以，D选项正确. 故选：AD. 10. 已知，函数，则（ ） A. 对任意a，总存在零点 B. 当时，是的极值点 C. 当时，曲线与轴相切 D. 对任意a，在区间上单调递增 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用零点存在性定理判断A；利用导数探讨单调性判断B；求出切线斜率为0的切线方程判断C；当时探讨值的情况判断D. 【详解】函数定义域为，求导得， 对于A，函数在上的图象连续不断，当时，由，得； 而，当时，，函数在上存在零点； 当时，， 函数在上存在零点，因此对任意a，总存在零点，A正确； 对于B，当时，，函数在上单调递增，无极值点，B错误； 对于C，当时，，由，得，而， 则曲线在处切线为，即曲线与轴相切，C正确； 对于D，当时，恒成立，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，又， 则当时，， 函数在区间上单调递增， 因此对任意a，在区间上单调递增，D正确. 故选：ACD 11. 已知双曲线与直线有唯一公共点M，过点M且与l垂直的直线分别交x轴，y轴于，两点，当M运动时，下面说法正确的有（ ） A. 或 B. 记点，则点P在曲线C上 C. 直线l与两渐近线所围成的面积为定值 D. 记点，则点Q的轨迹为椭圆 【答案】ABC 【解析】 【分析】对A，由双曲线和直线有唯一交点，可知直线与双曲线的渐近线平行或者与双曲线相切，再根据的范围即可知直线与双曲线相切，联立方程利用即可求解；对B，根据，整理出，即可判断；对C，求出直线l与两渐近线的交点，再利用面积公式即可求解；对D，先求出点的坐标，再写出直线的方程，再分别求出的坐标，即求出，再根据的关系即可求出点Q的轨迹方程，即可判断. 【详解】解：对A，双曲线与直线有唯一公共点M， 直线与双曲线的渐近线平行或者与双曲线相切， 双曲线的渐近线方程为：， 又， 直线与双曲线相切， ， 即， 则， 即， ， 故或，故A对； 对B，由A知：， 即，即点P在曲线C上，故B对， 对C，双曲线的渐近线方程为：， 设直线与双曲线的渐近线的交点分别为， 则由解得： ， 由解得： 直线与轴的交点为， 故直线l与两渐近线所围成的面积 ， 由A知：， 即，故C对； 对D，由A知：联立方程得到：， 解得： ， 又， ，其中， 又由题意知， 故：， 令，得， 令，得， 即， ， 故， 令 ，其中， 则， 即点Q的轨迹方程为：， 即点Q的轨迹为焦点在轴上，实轴长为，虚轴长为的双曲线(去掉两个顶点)，故D错. 故选：ABC. 【点睛】方法点睛：求轨迹方程常用的方法：直接法，相关点法，交轨法，定义法，求解过程中要注意一些轨迹问题中包含隐含条件，也就是曲线上的点的坐标的取值范围，有时还要补充特殊点的坐标. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数在点处的切线方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】求出导函数，再求得，从而可求其切线方程． 【详解】由，得， 所以，即函数在点处的切线的斜率为， 所以函数在点处的切线方程为，即. 故答案为：． 13. 已知椭圆C的左焦点为F，右顶点为A，上顶点为B，若为等腰三角形，则C的离心率为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用椭圆性质计算即可. 【详解】不妨设椭圆的长轴、短轴、焦距分别为， 则，且根据椭圆的性质易知， 所以， 显然若为等腰三角形，则只能有， 即， 则. 故答案为： 14. 在正八面体中，任取四个顶点，则这四点共面的概率为______；任取两个面，则所成二面角为钝角的概率为______． 【答案】 ①. ## ②. 【解析】 【分析】根据正八面体的结构特征，四边形，，是正方形，可求出任取四个顶点，则这四点共面的概率；先证明任意相邻两个面所成角为钝角，再根据根据正八面体结构特征求解. 【详解】如图，在正八面体中，八个面是全等的等边三角形，，，相交于同一点且两两互相垂直，则四边形，，是正方形， 任取四个顶点，则这四点共面的概率为； 设，则，取的中点，连接，则，， 所以是平面与平面所成角， 所以， 所以是钝角，根据正八面体结构，每个面与相邻的3个面所成角均为钝角， 所以任取两个面，则所成二面角为钝角的概率为. 故答案为：；. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是认识清楚正八面体的结构特征求解. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知的内角的对边分别为，，． （1）求B； （2）若B为锐角，边上的高为，求的周长． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）利用辅助角公式化条件等式先计算A，再利用正弦定理计算即可； （2）根据（1）的结论作出图形，利用直角三角形及三角恒等变换计算，再根据三角形周长公式计算即可. 【小问1详解】 易知， 所以， 因为中，所以， 而， 则或； 【小问2详解】 由上可知，，则， 如图，则， 所以， ，则， 所以的周长为. 16. 在直三棱柱中，，，，G是的重心，点Q在线段AB（不包括两个端点）上． （1）若Q为的中点，证明：平面； （2）若直线与平面所成的角正弦值为，求． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接并延长，交于点，则为的中点，连接，由面面平行的判定得出平面平面，再由面面平行的性质即可证明； （2）以为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，设，根据线面夹角的向量公式列出方程求解即可． 【小问1详解】 连接并延长，交于点，则为的中点，连接， 因为为直三棱柱，所以平面平面，，， 又分别为的中点，所以，， 所以四边形为平行四边形，所以， 又因为平面平面，平面平面， 所以， 因为平面，平面，所以平面， 同理可得平面， 因为平面，且， 所以平面平面，又平面， 所以平面． 【小问2详解】 以为原点，分别以所在直线为轴，建立如图空间直角坐标系， 设， 则，，， 所以， 由直三棱柱可得，为的中点， 所以，则， 设平面的一个法向量为， 由得，，取，则， 因为直线与平面所成的角正弦值为， 所以， 整理得，，解得或（不合题意舍） ， 所以． 17. 已知为抛物线上一点，经过点且斜率为的直线与的另一个交点为，与垂直的直线与的另一交点为． （1）若直线经过的焦点，求直线的方程； （2）若直线与直线关于对称，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意求出，根据抛物线定义求出焦点，最后利用两点式求出直线的方程； （2）设，，由点斜式得直线的方程，联立直线的方程与抛物线的方程，利用根与系数的关系得，同理得，然后根据直线上两点求斜率的公式化简求出直线的斜率，再根据，求出的值，进而求出两点的坐标，最后根据，求出的面积即可. 【小问1详解】 由在抛物线上， 则可得，解得， 故抛物线，所以焦点， 又直线经过两点，则直线的方程为， 即； 【小问2详解】 由题意知，直线的斜率存在且不为， 设，直线的方程为， 由，联立可得， 又，解得， 由根与系数的关系可得，解得， 因为直线与直线关于对称，则可得直线的斜率为， 设，直线的方程为， 由，联立可得， 又，解得， 由根与系数的关系可得，解得， 则可得， 又直线的斜率， 又，则， 因此可得，则，故， ，则，故， 则，， 所以. 18. 已知数列，，． （1）证明：数列，为等比数列； （2）求数列的通项公式； （3）求数列的前n项和． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件得到，，即可证明答案. （2）根据题意得到，再解方程组即可. （3）利用分组求和的方法求解即可. 【小问1详解】 因为，， 所以，. 而，，所以， ，. 所以数列是以首项，公比为的等比数列. 数列是以首项，公比为的等比数列. 【小问2详解】 由（1）知：，. 【小问3详解】 因为， 所以 . 19. 已知． （1）讨论的单调性； （2）若存在唯一的整数，使得，求实数a的取值范围； （3）是否存在实数m，使得恒成立？若存在，请求出m的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）答案见详解 （2） （3）存在，的取值范围为 【解析】 【分析】（1）分析可知的定义域为，求导，利用导数求的单调性； （2）分和两种情况，根据（1）中单调性求最值，分析求解； （3）构建，利用导数判断单调性，分和两种情况，参变分离结合恒成立问题分析求解. 【小问1详解】 由题意可知：的定义域为，且， 令，解得或；令，解得或； 所以在上单调递增，在上单调递减. 【小问2详解】 当时，由（1）可知：在上单调递增，在上单调递减， 则，不合题意； 当时，由（1）可知：在上单调递增，在上单调递减， 则，且， 若存在唯一的整数，使得，则，； 综上所述：实数a的取值范围为. 【小问3详解】 构建， 因为，可知的定义域为， 且， 若，则；若，则； 可知在上单调递减，在上单调递增， 因为恒成立，则有： 若，可得， 因为在内单调递增，则，所以； 若，可得， 因为在内单调递减，在内单调递增， 当时，，且， 则对任意恒成立，所以； 综上所述： 存在实数m，使得恒成立，且的取值范围为. 【点睛】方法点睛：两招破解不等式的恒成立问题 （1）分离参数法 第一步：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题； 第二步：利用导数求该函数的最值； 第三步：根据要求得所求范围． （2）函数思想法 第一步：将不等式转化为含待求参数的函数的最值问题； 第二步：利用导数求该函数的极值； 第三步：构建不等式求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 唐山市2024-2025学年度高三年级摸底演练 数学 本试卷共4页，19小题，满分150分．考试时间120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合M，N满足，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知为虚数单位，复数，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 3. 已知向量，，则在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数为奇函数，则（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. 5. 已知函数则的值域为（ ） A. B. C. D. 6. 若锐角满足，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 7. 若有且仅有一个使得数取得最小值，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知半径为1的球可以整体放入圆锥容器（容器壁厚度忽略不计）内，则该圆锥容器容积的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确是（ ） A. 若，则 B 若，则 C. 样本数据：3，3，4，4，5，6．6，7，7的方差为2 D. 已知，，且A与B独立，则 10. 已知，函数，则（ ） A. 对任意a，总存在零点 B. 当时，是的极值点 C 当时，曲线与轴相切 D. 对任意a，在区间上单调递增 11. 已知双曲线与直线有唯一公共点M，过点M且与l垂直的直线分别交x轴，y轴于，两点，当M运动时，下面说法正确的有（ ） A. 或 B. 记点，则点P在曲线C上 C. 直线l与两渐近线所围成的面积为定值 D. 记点，则点Q的轨迹为椭圆 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数在点处的切线方程为______． 13. 已知椭圆C的左焦点为F，右顶点为A，上顶点为B，若为等腰三角形，则C的离心率为______． 14. 在正八面体中，任取四个顶点，则这四点共面的概率为______；任取两个面，则所成二面角为钝角的概率为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知的内角的对边分别为，，． （1）求B； （2）若B为锐角，边上的高为，求的周长． 16. 在直三棱柱中，，，，G是的重心，点Q在线段AB（不包括两个端点）上． （1）若Q为中点，证明：平面； （2）若直线与平面所成的角正弦值为，求． 17. 已知为抛物线上一点，经过点且斜率为的直线与的另一个交点为，与垂直的直线与的另一交点为． （1）若直线经过的焦点，求直线的方程； （2）若直线与直线关于对称，求的面积． 18. 已知数列，，． （1）证明：数列，等比数列； （2）求数列的通项公式； （3）求数列的前n项和． 19. 已知． （1）讨论的单调性； （2）若存在唯一的整数，使得，求实数a的取值范围； （3）是否存在实数m，使得恒成立？若存在，请求出m的取值范围；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$