4.2.1角的定义和表示 学案 2024-2025学年北师大版数学七年级上册

第四章《基本平面图形》---4.2.1角的定义和表示 教学目标 1) 通过丰富的实例和动手操作，深入理解角的定义和性质，包括角的直观定义和运动定义；掌握角的三种表示方法（数字、希腊字母、小写英文字母加顶点），能在具体情境中灵活运用； 2) 练使用量角器度量角的大小，了解角度的度量单位（度、分、秒）及其换算关系，提高动手操作能力和计算能力；学会用度量法、叠合法等多种方法比较角的大小，理解角的平分线概念，并能运用角的平分线性质解决问题； 3) 激发对几何图形的兴趣和好奇心，感受图形世界的丰富多彩，增强审美意识；培养学生的观察力、分析能力和解决问题的能力，体验数学学习的乐趣和成就感。 重点：角的定义、表示方法和度量单位的理解与掌握；学会用度量法、叠合法等多种方法比较角的大小。 难点：理解角的动态定义，即一条射线绕其端点旋转形成的图形。灵活运用角的和、差等概念解决复杂问题。 课堂探究 基础知识导读1：角的定义 角，作为基本平面图形中的重要一员，它无处不在，从书本的边角到建筑的屋顶，从时钟的指针到风扇的叶片，角以它独特的形态装点着我们的生活。但你是否真正了解角的本质和性质呢？在本节课中，我们将一起揭开角的神秘面纱，探索角的定义、表示方法、度量单位以及比较大小的方法。通过丰富的实例和动手操作，你将深入理解角的内涵，感受几何图形的魅力。 从静态的角度看，角是由两条射线组成的，而且两条射线有公共端点，这种有公共端点的两条射线组成的图形叫做角（angle），这个公共端点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的边． 射线、分别是这个角的两边，点是角的顶点． 从动态的角度分析，角可以看作一条射线绕着它的端点旋转而成的图形，起始位置的射线叫做角的始边，终止位置的射线叫做角的终边．角的始边旋转到角的终边所经过的平面部分（图2-18中的阴影部分）是角的内部，平面的其余部分是角的外部（图2-18中无阴影的部分）． 一条射线由原来的位置，绕着它的端点旋转至位置，当和成一条直线时，所成的角叫做平角；再旋转下去，当终边与始边重合时，所成的角叫做周角。 基础知识导读2：角的表示 我们用符号“∠”来表示角，一个角可以用三个大写字母来表示，就是在角的两条边上各取一个点，把表示顶点的字母写在这两个点的字母中间．如图中的角可以记作（读作“角”）或，由于以点为顶点的角只有一个，所以这个角也可以简记为．而对于图2-20中的三个角分别表示为、、或者、、． 另外，角还可以用一个小写希腊字母或者一个数字写在角的内部靠近顶点处，并加上弧线来表示。注意：用一个大写字母或用小写希腊字母或者一个数字不能表示复合角。 基础知识导读3：角的大小 我们常用量角器度量角的大小，度、分、秒是常用的角的度量单位．把一个周角360等分，每一份就是1度的角，记作；把1度的角60等分，每一份叫做1分的角，记作；把1分的角60等分，每一份叫做1秒的角，记作． 易得，1周角= ，1平角= ，，．若的度数是36度分秒，记作． 【例1】 计算： （1）； （2）； （3）． 基础知识导读4：角的和差倍分 如果两个的和是，那么是的2倍，记作，是的，记作，同样，有角的3倍和，等等． 角的和、差、倍、分的度数等于它们的度数的和、差、倍、分． 如图，一条射线（）把一个角（）分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线（bisector of angle）． 图形表示： 符号语言表示： 若射线是的角平分线，则：， ． 同样，有角的两条三等分线，三条四等分线，等等． 【例2】 是的平分线，是的平分线． （1）如果，那么是多少度？ （2）如果，，那么是多少度？ 分析：本题要充分利用角平分线把一个角分成两个相等的角这个特征去求题目中角的大小。 课堂练习 一、单选题 1. 如图，，是的平分线，是的平分线，则（    ） A． B． C． D． 2. 如图，下列各式中不一定正确的是（　　） A． B． C． D． 3. 如图所示，下列各角是锐角的是（    ） A． B． C． D． 4. 如图所示，下列表示角的方法错误的是（    ） A．与表示同一个角 B．表示的是 C．也可用表示 D．图中共有三个角，， 5. 下列说法：其中正确的是（    ） A．一个有理数不是整数就是分数 B．绝对值等于本身的数只有 C．如果，则点是线段的中点 D．一个角的两边越长，角度越大 6. 如果一个角为，用10倍的放大镜观察这个角应是（           ） A． B． C． D．不能确定 7. 如图，是直角，是射线，则图中共有锐角（　　）   A．28个 B．27个 C．24个 D．22个 二、填空题 8. 已知、分别是、的角平分线．是内部的一条射线，若，，则的度数为 ．          三、解答题 9. 若同一平面内三条射线有公共端点，且满足时，我们称是（）的“新风尚线”，但不是（）的“新风尚线”．如果或者，我们称是和的“新风尚线”．(1)如图（1），已知，是的三等分线，则射线 是（）的“新风尚线”；(2)如图（2），若，是（）的“新风尚线”，求． 10. 比较与的大小． 11. 计算（结果用度、分、秒表示）． (1)； (2)； (3)； (4)． 12. 已知：点为直线上一点，过点作射线，．(1)如图1，求的度数；(2)如图2，过点作射线，使，作的平分线，求的度数；(3)如图3，在（2）的条件下，作射线，若与互余，请画出图形，并求的度数． 5 学科网（北京）股份有限公司 $$