第10讲 因式分解的方法（4个知识点+4种题型+分层练习）-2024-2025学年七年级上学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（沪教版（2024））

第10讲 因式分解的方法（2024）（4个知识点+4种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．因式分解-提公因式法 1、提公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法． 2、具体方法： （1）当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的． 　（2）如果多项式的第一项是负的，一般要提出“﹣”号，使括号内的第一项的系数成为正数． 提出“﹣”号时，多项式的各项都要变号． 3、口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶． 4、提公因式法基本步骤： （1）找出公因式； （2）提公因式并确定另一个因式： ①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数再确定字母； ②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式； ③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同． 知识点2．因式分解-运用公式法 1、如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法． 平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）； 完全平方公式：a2±2ab+b2＝（a±b）2； 　2、概括整合： ①能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反． ②能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍． 3、要注意公式的综合应用，分解到每一个因式都不能再分解为止． 知识点3．因式分解-分组分解法 1、分组分解法一般是针对四项或四项以上多项式的因式分解，分组有两个目的，一是分组后能出现公因式，二是分组后能应用公式． 2、对于常见的四项式，一般的分组分解有两种形式：①二二分法，②三一分法． 例如：①ax+ay+bx+by ＝x（a+b）+y（a+b） ＝（a+b）（x+y） ②2xy﹣x2+1﹣y2 ＝﹣（x2﹣2xy+y2）+1 ＝1﹣（x﹣y）2 ＝（1+x﹣y）（1﹣x+y） 知识点4．因式分解-十字相乘法等 借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的 方法，通常叫做十字相乘法． ①x2+（p+q）x+pq型的式子的因式分解． 这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积； 可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解： x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q） ②ax2+bx+c（a≠0）型的式子的因式分解 这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1，a2的积a1•a2， 把常数项c分解成两个因数c1，c2的积c1•c2，并使a1c2+a2c1正好是一 次项b，那么可以直接写成结果：ax2+bx+c＝（a1x+c1）（a2x+c2）． 题型强化 题型一．因式分解-提公因式法 1．（徐汇区校级期中）下列因式分解正确的是　　 A． B． C． D． 2．（2023秋•青浦区校级期中）因式分解：　　． 3．（2023秋•青浦区校级期中）因式分解：． 题型二．因式分解-运用公式法 4．（2022秋•青浦区校级期中）下列多项式中可以用完全平方公式进行因式分解的　　 A． B． C． D． 5．（2022秋•浦东新区校级期中）分解因式：　　． 6．（2023秋•闵行区期中）分解因式：． 题型三．因式分解-分组分解法 7．（浦东新区校级期中）下列各式中，正确分解因式的个数为　　 ① ② ③ ④ ⑤ A．1 B．2 C．3 D．4 8．（2022秋•宝山区期中）分解因式：　　． 9．（2023秋•杨浦区期末）因式分解：． 题型四．因式分解-十字相乘法等 10．（2020秋•闵行区校级期中）已知能分解成两个整系数的一次因式的乘积，则符合条件的整数的个数是　　 A．3 B．4 C．6 D．8 11．（2023秋•浦东新区期末）分解因式：　　． 12．（2022秋•上海期末）阅读材料： 在代数式中，将一个多项式添上某些项，使添项后的多项式中的一部分成为一个完全平方式，这种方法叫做配方法．如果我们能将多项式通过配方，使其成为的形式，那么继续利用平方差公式就能把这个多项式因式分解．例如，分解因式：． 解：原式 即原式 请按照阅读材料提供的方法，解决下列问题． 分解因式：（1）； （2）． 分层练习 一、单选题 1．在有理数范围内，下列多项式不能因式分解的有(   ) ①；②；③；④；⑤ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．下列等式从左到右的变形，是因式分解的是（    ）． A． B． C． D． 3．下列多项式中有因式x﹣1的是（　　） ①x2+x﹣2；②x2+3x+2；③x2﹣x﹣2；④x2﹣3x+2 A．①② B．②③ C．②④ D．①④ 4．用分组分解的因式，分组正确的是（　　） A． B． C． D． 5．下列各式中，不能用公式法分解因式的是（    ） A． B． C． D． 6．下列各等式中，从左到右的变形是因式分解的有（    ） A． B． C． D． 二、填空题 7．因式分解： ． 8．分解因式： ． 9．分解因式： ． 10．因式分解： ． 11．因式分解： ． 12．因式分解： ． 13．1002﹣992＋982﹣972＋962﹣952＋…＋22﹣12＝ ． 14．化简： ． 15．如果、满足，那么代数式的值为 ． 16．分解因式： ． 17．分解因式： ． 18．分解因式： ， ． 三、解答题 19．计算： 20．分解因式：． 21．因式分解： 22．分解因式：． 23．分解因式：． 24．分解因式： 25．因式分解： 26．分解因式：． 27．阅读下列材料，并解决问题． 材料：两个正整数相除时，不一定都能整除，当不能整除时（0≤余数＜除数）．类似的，关于x的多项式除以多项式时，一定存在一对多项式、，使得，其中余式的次数小于除式的次数． 例如：多项式除以多项式，商为，余式数为7，即有． 又如：多项式除以多项式，商为，余式数为0，即有，此时，多项式能被多项式整除． 问题： (1)多项式除以多项式，所得的商为　　． (2)多项式除以多项式，所得的余式数为2，则商为　　． (3)多项式分别能被和整除，则多项式除以的商为　　． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第10讲 因式分解的方法（2024）（4个知识点+4种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．因式分解-提公因式法 1、提公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法． 2、具体方法： （1）当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的． 　（2）如果多项式的第一项是负的，一般要提出“﹣”号，使括号内的第一项的系数成为正数． 提出“﹣”号时，多项式的各项都要变号． 3、口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶． 4、提公因式法基本步骤： （1）找出公因式； （2）提公因式并确定另一个因式： ①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数再确定字母； ②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式； ③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同． 知识点2．因式分解-运用公式法 1、如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法． 平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）； 完全平方公式：a2±2ab+b2＝（a±b）2； 　2、概括整合： ①能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反． ②能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍． 3、要注意公式的综合应用，分解到每一个因式都不能再分解为止． 知识点3．因式分解-分组分解法 1、分组分解法一般是针对四项或四项以上多项式的因式分解，分组有两个目的，一是分组后能出现公因式，二是分组后能应用公式． 2、对于常见的四项式，一般的分组分解有两种形式：①二二分法，②三一分法． 例如：①ax+ay+bx+by ＝x（a+b）+y（a+b） ＝（a+b）（x+y） ②2xy﹣x2+1﹣y2 ＝﹣（x2﹣2xy+y2）+1 ＝1﹣（x﹣y）2 ＝（1+x﹣y）（1﹣x+y） 知识点4．因式分解-十字相乘法等 借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的 方法，通常叫做十字相乘法． ①x2+（p+q）x+pq型的式子的因式分解． 这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积； 可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解： x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q） ②ax2+bx+c（a≠0）型的式子的因式分解 这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1，a2的积a1•a2， 把常数项c分解成两个因数c1，c2的积c1•c2，并使a1c2+a2c1正好是一 次项b，那么可以直接写成结果：ax2+bx+c＝（a1x+c1）（a2x+c2）． 题型强化 题型一．因式分解-提公因式法 1．（徐汇区校级期中）下列因式分解正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】各项分解得到结果，即可作出判断． 【解答】解：、原式不能分解，不符合题意； 、原式，不符合题意； 、原式，不符合题意； 、原式，符合题意， 故选：． 【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 2．（2023秋•青浦区校级期中）因式分解：　　． 【分析】原式变形后，提取公因式即可． 【解答】解：原式， 故答案为：． 【点评】此题考查了因式分解提公因式法，熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键． 3．（2023秋•青浦区校级期中）因式分解：． 【分析】先提取公因式，合并后再提取公因式2即可得出答案． 【解答】解：原式 ． 【点评】此题考查了因式分解提公因式法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 题型二．因式分解-运用公式法 4．（2022秋•青浦区校级期中）下列多项式中可以用完全平方公式进行因式分解的　　 A． B． C． D． 【分析】根据完全平方公式的结构特征逐项进行判断即可． 【解答】解：．，不能利用完全平方公式进行因式分解，因此选项不符合题意； ．，不能利用完全平方公式进行因式分解，因此选项不符合题意； ．，不能利用完全平方公式进行因式分解，因此选项不符合题意； ．，能利用完全平方公式进行因式分解，因此选项符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了因式分解运用公式法，掌握完全平方公式的结构特征是正确判断的前提． 5．（2022秋•浦东新区校级期中）分解因式：　　． 【分析】根据平方差公式进行因式分解即可． 【解答】解：， 故答案为：． 【点评】本题考查了运用公式法进行因式分解，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 6．（2023秋•闵行区期中）分解因式：． 【分析】直接利用平方差公式进行因式分解即可． 【解答】解： ． 【点评】本题考查因式分解．因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式．公式包括平方差公式与完全平方公式，要能用公式法分解必须有平方项．当要分解的因式没有公因式且只有两项时要首先考虑运用平方差公式将其分解． 题型三．因式分解-分组分解法 7．（浦东新区校级期中）下列各式中，正确分解因式的个数为　　 ① ② ③ ④ ⑤ A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】因式分解的基本方法有提取公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法等，分解的结果要分解到不能再分解为止，根据这些基本的分解方法及分解要求逐个选项分析即可． 【解答】解：①左边为三项，右边乘开为两项，故错误； ②右边左边，故错误； ③公因数2未提出来，故错误； ④ ④正确； ⑤等式右边的未提取公因数2，故错误． 综上，只有④正确． 故选：． 【点评】本题考查了因式分解的方法，熟练掌握分解的基本方法及分解要求，是解题的关键． 8．（2022秋•宝山区期中）分解因式：　　． 【分析】直接将后三项分组，结合完全平方公式以及平方差公式分解因式，进而得出答案． 【解答】解：原式 ． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了分组分解法分解因式，正确运用乘法公式分解因式是解题关键． 9．（2023秋•杨浦区期末）因式分解：． 【分析】先把前三项作为一组，提取公因式，再利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可． 【解答】解： ． 【点评】本题考查的是因式分解分组分解法，熟知因式分解的各种方法是解题的关键． 题型四．因式分解-十字相乘法等 10．（2020秋•闵行区校级期中）已知能分解成两个整系数的一次因式的乘积，则符合条件的整数的个数是　　 A．3 B．4 C．6 D．8 【分析】把写成两个数积的形式，根据积的情况确定的个数． 【解答】解： ． 的值可能是或或或或或． 故选：． 【点评】本题考查了整式的因式分解，掌握“”是解决本题的关键． 11．（2023秋•浦东新区期末）分解因式：　　． 【分析】运用方法进行求解． 【解答】解：，， ， 故答案为：． 【点评】此题考查了多项式的因式分解能力，关键是能准确理解并运用十字相乘法进行求解． 12．（2022秋•上海期末）阅读材料： 在代数式中，将一个多项式添上某些项，使添项后的多项式中的一部分成为一个完全平方式，这种方法叫做配方法．如果我们能将多项式通过配方，使其成为的形式，那么继续利用平方差公式就能把这个多项式因式分解．例如，分解因式：． 解：原式 即原式 请按照阅读材料提供的方法，解决下列问题． 分解因式：（1）； （2）． 【分析】仿照题例：（1）加上再减去，先利用完全平方公式再利用平方差公式； （2）加上再减去，先利用完全平方公式再利用平方差公式． 【解答】解：（1） ； （2） ． 【点评】本题考查了整式的因式分解，理解题例，掌握完全平方公式和平方差公式是解决本题的关键． 分层练习 一、单选题 1．在有理数范围内，下列多项式不能因式分解的有(   ) ①；②；③；④；⑤ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据因式分解的方法：提公因式法、公式法；进行判断． 【详解】解： ①； ②； ③不能分解因式； ④； ⑤； 故选：A． 【点睛】本题考查因式分解的方法（提公因式法，公式法），解题的关键是抓住能利用公式法分解的多项式的特点． 2．下列等式从左到右的变形，是因式分解的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据因式分解概念进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、是因式分解，不是因式分解，故该选项是错误的； B、这个多项式没办法进行因式分解，不是因式分解，故该选项是错误的； C、是因式分解，故该选项是正确的； D、这个多项式没办法进行因式分解，不是因式分解，故该选项是错误的； 故选：C 【点睛】本题考查了因式分解的概念，一个多项式化为几个整式的积的过程叫因式分解；难度较小． 3．下列多项式中有因式x﹣1的是（　　） ①x2+x﹣2；②x2+3x+2；③x2﹣x﹣2；④x2﹣3x+2 A．①② B．②③ C．②④ D．①④ 【答案】D 【分析】根据十字相乘法把各个多项式因式分解即可判断． 【详解】解：①x2+x﹣2＝； ②x2+3x+2＝； ③x2﹣x﹣2＝； ④x2﹣3x+2＝． ∴有因式x﹣1的是①④． 故选：D． 【点睛】本题考查了十字相乘法因式分解，对于形如的二次三项式，若能找到两数，使，且，那么就可以进行如下的因式分解，即． 4．用分组分解的因式，分组正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把二、三、四项作为一组，第一项作为一组，然后根据完全平方公式和平方差公式分解即可． 【详解】解： ． 故选：D． 【点睛】本题考查了分组分解法分解因式，正确分组是解答本题的关键． 5．下列各式中，不能用公式法分解因式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】公式法分解因式，主要是平方差公式，完全平方公式，立方公式，由此即可求解． 【详解】解：选项，是平方差公式因式分解，不符合题意； 选项，是完全平方因式分解，不符合题意； 选项，不可以用公式法因式分解，符合题意； 选项，是平方差公式因式分解，不符合题意． 故选：． 【点睛】本题主要考查利用公式法因式分解，掌握公式法中的平方差公式，完全平方公式是解题的关键． 6．下列各等式中，从左到右的变形是因式分解的有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据因式分解的定义进行判断即可． 【详解】解：根据因式分解的定义， A选项等式右边不是整式乘积的形式，故A错； B选项属于整式乘法，故B错； C符合因式分解的定义，故C正确； D选项属于因数分解，故D错． 故答案为：C 【点睛】本题考查因式分解的定义．把一个多项式化成几个整式乘积的形式，这种变形叫做因式分解．注意区分整式乘法和因式分解，这是易混点． 二、填空题 7．因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查提取公因式法因式分解，利用提取公因式法因式分解即可． 【详解】解： 故答案为：． 8．分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，提公因式即可分解． 【详解】解：． 故答案为： 9．分解因式： ． 【答案】 【分析】会利用公式进行因式分解，对另两项提取公因式，再提取即可因式分解． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，解题的关键是正确运用公式法分解因式． 10．因式分解： ． 【答案】 【分析】原式提取n，再利用完全平方公式分解即可． 【详解】解：， 故答案为： 【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 11．因式分解： ． 【答案】/ 【分析】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解答本题的关键．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．整理后用完全平方公式分解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 12．因式分解： ． 【答案】 【分析】利用平方差公式：，进行两次分解． 【详解】解： ． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了用公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止． 13．1002﹣992＋982﹣972＋962﹣952＋…＋22﹣12＝ ． 【答案】5050 【分析】先根据平方差公式进行因式分解，再计算加法，即可求解． 【详解】解： 1002-992 + 982-972 + 962-952 +…+22-12 =（100 + 99）（100-99）+（98 + 97）（98-97）+…+（2+1）（2-1） = 100+ 99+98+ 97+…+2+1 = 5050． 故答案为：5050 【点睛】本题主要考查了平方差公式的应用，熟练掌握平方差公式 的特征是解题的关键． 14．化简： ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了分式的化简，解题的关键是掌握分式的基本性质；先将分子和分母分别进行因式分解，再运用分式的性质化简即可． 【详解】， 故答案为：． 15．如果、满足，那么代数式的值为 ． 【答案】6 【分析】将多项式分解因式后代入数值计算即可． 【详解】解：∵x-2y=2，x+2y=3， ∴=（x+2y）（x-2y）=， 故答案为6． 【点睛】此题考查了平方差公式分解因式，正确掌握平方差公式的构成特点正确分解因式是解题的关键． 16．分解因式： ． 【答案】/ 【分析】将原多项式分组变形，利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可． 【详解】解：====， 故答案为：． 【点睛】本题考查因式分解、完全平方公式、平方差公式，熟记公式，灵活运用因式分解的方法是解答的关键． 17．分解因式： ． 【答案】/（x-y+2）（x+y-2） 【分析】先分组成，再利用完全平方公式化为，最后利用平方差公式解答． 【详解】解： 故答案为：． 【点睛】本题考查因式分解，涉及分组分解法、完全平方公式、平方差公式等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题的关键． 18．分解因式： ， ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键． 先将拆成，进而可化为两个多项式相乘的形式即可，对进行两次提取公因式即可． 【详解】解：原式：， ， ； 原式：， ， ． 故答案为：，． 三、解答题 19．计算： 【答案】80 【分析】提公因式，再利用平方差公式分解，进行简便计算即可求解． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查了利用因式分解简便计算，掌握因式分解的方法是解题的关键． 20．分解因式：． 【答案】 【分析】本题考查了提公因式及平方差公式分解因式． 先提取公因式，再根据平方差公式分解因式即可得出答案． 【详解】解： ． 21．因式分解： 【答案】 【分析】本题考查因式分解的知识，解题的关键是掌握因式分解的方法公式法，，即可． 【详解】 ． 22．分解因式：． 【答案】 【分析】本题考查的是十字相乘法因式分解．先利用十字相乘法因式分解，在利用平方差公式进行因式分解． 【详解】解： ． 23．分解因式：． 【答案】 【分析】本题考查提公因式法因式分解和分组进行因式分解； 先对原式进行变形，分组提公因式即可． 【详解】解：原式 ． 24．分解因式： 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的常用方法“提取公因式法、公式法、十字相乘法等”是解题关键．先利用完全平方公式分解因式，再利用平方差公式分解因式即可得． 【详解】解：原式 ． 25．因式分解： 【答案】 【分析】本题考查的是多项式的因式分解，掌握分组分解因式是解本题的关键；本题先分成2组分别提公因式x，再进一步的提公因式分解因式即可． 【详解】解： ； 26．分解因式：． 【答案】 【分析】直接利用十字相乘法和完全平方公式进行因式分解即可得到答案． 【详解】解： ． 【点睛】本题主要考查了利用十字相乘法和完全平方公式分解因式，熟练掌握十字相乘法和完全平方公式是解题的关键． 27．阅读下列材料，并解决问题． 材料：两个正整数相除时，不一定都能整除，当不能整除时（0≤余数＜除数）．类似的，关于x的多项式除以多项式时，一定存在一对多项式、，使得，其中余式的次数小于除式的次数． 例如：多项式除以多项式，商为，余式数为7，即有． 又如：多项式除以多项式，商为，余式数为0，即有，此时，多项式能被多项式整除． 问题： (1)多项式除以多项式，所得的商为　　． (2)多项式除以多项式，所得的余式数为2，则商为　　． (3)多项式分别能被和整除，则多项式除以的商为　　． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）把已知多项式分解因式即可求解； （2）首先把已知多项式减去余式再分解因式即可求解； （3）设，其中A为一次多项式，然后把和时，代入等式可以得到关于a、b的方程组，解方程组求出a，b，最后分解因式即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴多项式除以多项式，所得的商为． 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∴多项式除以多项式，所得的余式数为2，则商为． 故答案为：； （3）解：∵多项式分别能被和整除， ∴设，其中A为一次多项式， 当时，， 当时，， 联立解得：， 解得， ∴ ， ∴多项式除以的商为． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了因式分解的应用，正确读懂题意是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$