第14讲 十字相乘法 （1个知识点+1种经典题型+试题练习）-2024年新七年级数学暑假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（沪教版）

第14讲 十字相乘法 （1个知识点+1种经典题型+试题练习） 知识点合集 知识点．因式分解-十字相乘法等 借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的 方法，通常叫做十字相乘法． ①x2+（p+q）x+pq型的式子的因式分解． 这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积； 可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解： x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q） ②ax2+bx+c（a≠0）型的式子的因式分解 这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1，a2的积a1•a2， 把常数项c分解成两个因数c1，c2的积c1•c2，并使a1c2+a2c1正好是一 次项b，那么可以直接写成结果：ax2+bx+c＝（a1x+c1）（a2x+c2）． 【例1】（2022秋•宝山区期末）分解因式：□，其中□表示一个常数，则□的值是　　 A．7 B．2 C． D． 【变式1】（2023秋•普陀区校级期末）因式分解：　　． 【变式2】（2023秋•杨浦区期末）如果，那么　　 【变式3】（2023秋•青浦区期末）如果等式成立，那么和的值分别是　　 A．， B．， C．， D．， 【变式4】（2023秋•浦东新区期末）分解因式：． 【变式5】（2023秋•松江区期末）因式分解：． 经典题型汇编 题型一．因式分解-十字相乘法等 1．（2023秋•宝山区期末）如果关于的二次三项式可以用十字相乘法进行因式分解，那么整数等于 　　． 2．（2022秋•虹口区校级期中）如果多项式可以用十字相乘法因式分解，那么下列的取值正确的是　　 A．2 B．3 C．4 D．5 3．（2020秋•松江区期末）因式分解：． 试题练习 一、单选题 1．（21-22七年级上·上海奉贤·期中）如果多项式x2﹣5x+c可以用十字相乘法因式分解，那么下列c的取值正确的是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（20-21七年级上·上海静安·课后作业）已知，则，的值是（    ） A．， B．， C．， D．， 3．（19-20七年级上·上海·期末）要使能在有理数的范围内因式分解，则整数的值有（  ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 4．（23-24七年级上·上海普陀·期中）已知多项式，分解后有一个因式为，那么k的值可以是（    ） A．5； B．； C．7； D．． 5．（23-24七年级上·上海金山·期末）下列各等式中，因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（20-21七年级上·上海浦东新·期末）已知甲、乙、丙均为x的一次多项式，且其一次项的系数皆为正整数．若甲与乙相乘，积为，乙与丙相乘，积为，则甲与丙相加的结果是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 7．（23-24七年级上·上海浦东新·期末）因式分解： ． 8．（23-24七年级上·上海松江·期末）分解因式：= ． 9．（23-24七年级上·上海长宁·期中）在有理数范围内因式分解： ． 10．（20-21七年级上·上海徐汇·阶段练习）已知多项式可以分解成两个一次多项式，则整数m的值是 11．（23-24七年级上·上海宝山·期末）如果关于的二次三项式可以用十字相乘法进行因式分解，那么整数等于 ． 12．（20-21七年级上·上海静安·课后作业）( )( )；( )( )；( )( )；( )( )；( )( )；( )( )． 13．（20-21七年级上·上海·期中）因式分解x2+ax+b时，李明看错了a的值，分解的结果是（x+6）（x﹣2），王勇看错了b的值，分解的结果是（x+2）（x﹣3），那么x2+ax+b因式分解正确的结果是 ． 14．（22-23七年级上·上海静安·期中）因式分解：（1） ． （2） ． （3） ． 15．（23-24七年级上·上海静安·期中）因式分解： ； 16．（20-21七年级上·上海浦东新·期末）要使多项式x2﹣ax﹣20在整数范围内可因式分解，给出整数a＝ ． 17．（23-24七年级上·上海·期末）如果多项式在整数范围内可以因式分解，那么m可以取的值是 ． 18．（21-22七年级上·上海普陀·期末）已知关于x的多项式x2+kx﹣3能分解成两个一次多项式的积，那么整数k的值为 ． 三、解答题 19．（22-23七年级上·上海青浦·期中）因式分解： 20．（23-24七年级上·上海奉贤·期中）因式分解：． 21．（23-24七年级上·上海宝山·期末）分解因式：． 22．（22-23七年级上·上海浦东新·期末）分解因式： (1) (2)． 23．（20-21七年级上·上海浦东新·期中）因式分解： (1)． (2)． 24． （22-23七年级上·上海宝山·期末）分解因式：． 25．（23-24七年级上·上海青浦·期中）因式分解： 26．（23-24七年级上·上海闵行·期中）（1）因式分解： （2）因式分解： 27．（22-23七年级上·上海静安·期中）因式分解： (1) (2) (3) (4) 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第14讲 十字相乘法 （1个知识点+1种经典题型+试题练习） 知识点合集 知识点．因式分解-十字相乘法等 借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的 方法，通常叫做十字相乘法． ①x2+（p+q）x+pq型的式子的因式分解． 这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积； 可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解： x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q） ②ax2+bx+c（a≠0）型的式子的因式分解 这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1，a2的积a1•a2， 把常数项c分解成两个因数c1，c2的积c1•c2，并使a1c2+a2c1正好是一 次项b，那么可以直接写成结果：ax2+bx+c＝（a1x+c1）（a2x+c2）． 【例1】（2022秋•宝山区期末）分解因式：□，其中□表示一个常数，则□的值是　　 A．7 B．2 C． D． 【分析】利用十字相乘法因式分解即可． 【解答】解：， □表示， 故选：． 【点评】本题考查因式分解，熟练掌握利用十字相乘法进行因式分解是解题的关键． 【变式1】（2023秋•普陀区校级期末）因式分解：　　． 【分析】利用十字相乘法进行因式分解． 【解答】解： ， ． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握十字相乘法进行因式分解． 【变式2】（2023秋•杨浦区期末）如果，那么　　 【分析】根据多项式的乘法运算，把展开，再根据对应项的系数相等进行求解即可． 【解答】解：，， ． 故答案为：． 【点评】本题考查了因式分解与多项式的乘法的关系，根据对应项系数相等列式是解题的关键． 【变式3】（2023秋•青浦区期末）如果等式成立，那么和的值分别是　　 A．， B．， C．， D．， 【分析】直接利用多项式乘法去括号，进而得出，的值． 【解答】解：， ，， ，， 故选：． 【点评】此题主要考查了多项式乘多项式，正确合并同类项是解题关键． 【变式4】（2023秋•浦东新区期末）分解因式：． 【分析】直接利用十字相乘法分解因式得出答案． 【解答】解： ． 【点评】此题主要考查了十字相乘法分解因式，正确分解常数项是解题关键． 【变式5】（2023秋•松江区期末）因式分解：． 【分析】先利用十字相乘法因式分解，在利用平方差公式进行因式分解． 【解答】解： ， 【点评】本题考查的是十字相乘法因式分解，掌握十字相乘法、平方差公式因式分解是解题的关键． 经典题型汇编 题型一．因式分解-十字相乘法等 1．（2023秋•宝山区期末）如果关于的二次三项式可以用十字相乘法进行因式分解，那么整数等于 　　． 【分析】由题意可得或，继而求得整数的值． 【解答】解：关于的二次三项式可以用十字相乘法进行因式分解，或， 或， 故答案为：． 【点评】本题考查十字相乘法因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 2．（2022秋•虹口区校级期中）如果多项式可以用十字相乘法因式分解，那么下列的取值正确的是　　 A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】，，可以用十字相乘法因式分解． 【解答】解：当时， ． 故选：． 【点评】本题主要考查了因式分解十字相乘法，熟练掌握十字相乘法分解因式的方法是解题关键． 3．（2020秋•松江区期末）因式分解：． 【分析】把看成一个整体，利用十字相乘法因式分解，注意分解要彻底． 【解答】解：原式 ． 【点评】本题考查了整式的因式分解，掌握十字相乘法是解决本题的关键．解决本题亦可利用换元法． 试题练习 一、单选题 1．（21-22七年级上·上海奉贤·期中）如果多项式x2﹣5x+c可以用十字相乘法因式分解，那么下列c的取值正确的是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据十字相乘法进行因式分解的方法，对选项逐个判断即可． 【详解】解：A、，不能用十字相乘法进行因式分解，不符合题意； B、，不能用十字相乘法进行因式分解，不符合题意； C、，能用十字相乘法进行因式分解，符合题意； D、，不能用十字相乘法进行因式分解，不符合题意； 故选C 【点睛】此题考查了十字相乘法进行因式分解，解题的关键是掌握十字相乘法进行因式分解． 2．（20-21七年级上·上海静安·课后作业）已知，则，的值是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据十字相乘法的分解方法和特点解答． 【详解】解：由x2-4x-m=（x-5）（x-n）， 得：-5-n=-4，（-5）（-n）=-m 所以n=-1，m=5． 故选：C． 【点睛】本题主要考查十字相乘法分解因式，对常数项的不同分解是解本题的关键． 3．（19-20七年级上·上海·期末）要使能在有理数的范围内因式分解，则整数的值有（  ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】根据把-6分解成两个因数的积，m等于这两个因数的和，分别分析得出即可． 【详解】解：∵-1×6=-6，-6×1=-6，-2×3=-6，-3×2=-6， ∴m=-1+6=5或m=-6+1=-5或m=-2+3=1或m=-3+2=-1， ∴整数m的值有4个， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了十字相乘法分解因式，对常数16的正确分解是解题的关键． 4．（23-24七年级上·上海普陀·期中）已知多项式，分解后有一个因式为，那么k的值可以是（    ） A．5； B．； C．7； D．． 【答案】D 【分析】根据题意直接利用十字相乘法，进行分析判断即可． 【详解】解：∵多项式因式分解后有一个因式为， ∴另一个因式是， 即， ∴k的值为． 故选：D． 【点睛】本题考查利用十字乘法分解因式，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 5．（23-24七年级上·上海金山·期末）下列各等式中，因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了因式分解，根据提公因式法、公式法及十字相乘法的综合运用，进行分解逐一判断即可． 【详解】解：A. ，该选项错误，不符合题意； B. ，该选项正确，符合题意； C. ，该选项错误，不符合题意； D. ，该选项错误，不符合题意． 故选：B． 6．（20-21七年级上·上海浦东新·期末）已知甲、乙、丙均为x的一次多项式，且其一次项的系数皆为正整数．若甲与乙相乘，积为，乙与丙相乘，积为，则甲与丙相加的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先将两个代数式进行因式分解，从而得出甲、乙、丙三个代数式，进而得出答案． 【详解】解：∵ ∴甲为：x+7，乙为：x－7，丙为：x-2， ∴甲+丙=（x+7）+（x-2）=2x+5， 故选A． 【点睛】本题主要考查的就是因式分解的应用，属于基础题型． 二、填空题 7．（23-24七年级上·上海浦东新·期末）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，利用十字相乘法进行因式分解即可． 【详解】， 故答案为：． 8．（23-24七年级上·上海松江·期末）分解因式：= ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，掌握及十字相乘法的分解方法是解题的关键． 【详解】解：原式， 故答案：． 9．（23-24七年级上·上海长宁·期中）在有理数范围内因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，根据十字相乘法因式分解即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 10．（20-21七年级上·上海徐汇·阶段练习）已知多项式可以分解成两个一次多项式，则整数m的值是 【答案】或 【分析】分别把2和3分解成2个因数的积的形式，共有4种情况，所以对应的也有4种情况． 【详解】解：，或， ①或，即， ②或，即， 故答案为：或． 【安静】此题主要考查了分解因式十字相乘法，解题的关键是要熟知二次三项式的一般形式与分解因式之间的关系：，即常数项与一次项系数之间的等量关系． 11．（23-24七年级上·上海宝山·期末）如果关于的二次三项式可以用十字相乘法进行因式分解，那么整数等于 ． 【答案】 【分析】本题考查十字相乘法进行因式分解，根据5可以分成或即可求解． 【详解】解：，， ，， 如果关于的二次三项式可以用十字相乘法进行因式分解，那么整数等于． 故答案为：． 12．（20-21七年级上·上海静安·课后作业）( )( )；( )( )；( )( )；( )( )；( )( )；( )( )． 【答案】 【分析】利用十字相乘法进行因式分解即可得． 【详解】； ； ； ； ； ； 故答案为：；；；；；． 【点睛】本题考查了利用十字相乘法进行因式分解，熟练掌握十字相乘法是解题关键． 13．（20-21七年级上·上海·期中）因式分解x2+ax+b时，李明看错了a的值，分解的结果是（x+6）（x﹣2），王勇看错了b的值，分解的结果是（x+2）（x﹣3），那么x2+ax+b因式分解正确的结果是 ． 【答案】（x﹣4）（x+3） 【分析】根据甲、乙看错的情况下得出a、b的值，进而再利用十字相乘法分解因式即可． 【详解】解：因式分解x2+ax+b时， ∵李明看错了a的值，分解的结果是（x+6）（x﹣2）， ∴b＝6×（﹣2）＝﹣12， 又∵王勇看错了b的值，分解的结果为（x+2）（x﹣3）， ∴a＝﹣3+2＝﹣1， ∴原二次三项式为x2﹣x﹣12， 因此，x2﹣x﹣12＝（x﹣4）（x+3）， 故答案为：（x﹣4）（x+3）． 【点睛】本题主要考查了十字相乘分解因式，解题的关键在于能够熟练掌握十字相乘法． 14．（22-23七年级上·上海静安·期中）因式分解：（1） ． （2） ． （3） ． 【答案】 【分析】（1）利用提公因式法分解因式求解即可； （2）利用平方差公式分解因式求解即可； （3）利用十字相乘法分解因式求解即可； 【详解】（1）； （2）； （3）． 故答案为：（1），（2），（3）． 【点睛】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．因式分解的方法有：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等． 15．（23-24七年级上·上海静安·期中）因式分解： ； 【答案】 【分析】先运用十字相乘法进行因式分解，再运用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了因式分解，掌握十字相乘法和公式法进行因式分解是解答本题的关键． 16．（20-21七年级上·上海浦东新·期末）要使多项式x2﹣ax﹣20在整数范围内可因式分解，给出整数a＝ ． 【答案】±1或±19或±8 【分析】把﹣20分成20和﹣1，﹣2和10，5和﹣4，﹣5和4，2和﹣10，﹣20和1，进而得出即原式分解为（x+20）（x﹣1），（x﹣2）（x+10），（x+5）（x﹣4），（x﹣5）（x+4），（x+2）（x﹣10），（x﹣20）（x+1），即可得到答案． 【详解】解：当x2﹣ax﹣20＝（x+20）（x﹣1）时，a＝20+（﹣1）＝19， 当x2﹣ax﹣20＝（x﹣2）（x+10）时，a＝﹣2+10＝8， 当x2﹣ax﹣20＝（x+5）（x﹣4）时，a＝5+（﹣4）＝1， 当x2﹣ax﹣20＝（x﹣5）（x+4）时，a＝﹣5+4＝﹣1， 当x2﹣ax﹣20＝（x+2）（x﹣10）时，a＝2+（﹣10）＝﹣8， 当x2﹣ax﹣20＝（x﹣20）（x+1）时，a＝﹣20+1＝﹣19， 综上所述：整数a的值为±1或±19或±8． 故答案为：±1或±19或±8． 【点睛】本题主要考查对因式分解−十字相乘法的理解和掌握，理解x2＋（a＋b）x＋ab＝（x＋a）（x＋b）是解此题的关键． 17．（23-24七年级上·上海·期末）如果多项式在整数范围内可以因式分解，那么m可以取的值是 ． 【答案】或 【分析】此题考查因式分解—十字相乘法，解题关键在于理解．把分成和，和，和，和，进而得到答案． 【详解】解：当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 综上所述：的取值是或， 故答案为：或． 18．（21-22七年级上·上海普陀·期末）已知关于x的多项式x2+kx﹣3能分解成两个一次多项式的积，那么整数k的值为 ． 【答案】 【分析】把常数项分解成两个整数的乘积，k就等于那两个整数之和． 【详解】解：∵﹣3＝﹣3×1或﹣3＝﹣1×3， ∴k＝﹣3+1＝﹣2或k＝﹣1+3＝2， ∴整数k的值为：±2， 故答案为：±2． 【点睛】本题考查因式分解—十字相乘法，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 三、解答题 19．（22-23七年级上·上海青浦·期中）因式分解： 【答案】 【分析】先提取公因式后，再利用十字相乘法进行分解即可． 【详解】解； 【点睛】此题考查了因式分解，熟练掌握十字相乘法是解题的关键． 20．（23-24七年级上·上海奉贤·期中）因式分解：． 【答案】 【分析】先提取公因式，再利用十字相乘法分解因式，熟练掌握因式分解的方法并解决问题是解题的关键． 【详解】解：原式． 21．（23-24七年级上·上海宝山·期末）分解因式：． 【答案】 【分析】本题考查十字相乘法进行因式分解； 利用十字相乘法进行因式分解，注意要分解彻底． 【详解】解： 22．（22-23七年级上·上海浦东新·期末）分解因式： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）通过添括号，将转化为，再利用平方差公式进行分解因式即可求解． （2）将转化为，先提出公因式，再利用十字相乘法进行分解因式即可求解． 【详解】（1） （2） 【点睛】本题考查分解因式的方法，解题的关键是掌握提公因式法，公式法和十字相乘法． 23．（20-21七年级上·上海浦东新·期中）因式分解： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用完全平方公式分解因式即可； （2）先提公因式，然后再用十字相乘法和平方差公式分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【点睛】本题主要考查了分解因式，解题的关键是熟练掌握完全平方公式，平方差公式． 24．（22-23七年级上·上海宝山·期末）分解因式：． 【答案】 【分析】先利用十字相乘法分解因式，然后利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键． 25．（23-24七年级上·上海青浦·期中）因式分解： 【答案】 【分析】本题考查的是因式分解，掌握利用公式法与十字乘法分解因式是解本题的关键，本题先把看作是整体，计算乘法运算，再利用十字乘法与公式法分解因式即可． 【详解】解： . 26．（23-24七年级上·上海闵行·期中）（1）因式分解： （2）因式分解： 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）直接提取公因式即可； （2）利用十字相乘法进行因式分解即可． 【详解】解：（1）原式， ， ； （2）原式． 【点睛】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止． 27．（22-23七年级上·上海静安·期中）因式分解： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）利用提公因式法分解因式求解即可； （2）利用换元法设，然后利用十字相乘法分解因式求解即可； （3）首先提公因式，然后利用平方差公式分解因式，最后再利用提公因式法分解因式即可求解； （4）首先去括号，然后利用完全平方公式分解因式，最后利用平方差公式分解因式求解即可． 【详解】（1） ； （2）设， ∴原式 ∴ ； （3） ； （4） ． 【点睛】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．因式分解的方法有：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$