第15讲 分组分解法 （3个知识点+3种经典题型+试题练习）-2024年新七年级数学暑假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（沪教版）

第15讲 分组分解法 （3个知识点+3种经典题型+试题练习） 本节知识导图 知识点合集 知识点1．因式分解-分组分解法 1、分组分解法一般是针对四项或四项以上多项式的因式分解，分组有两个目的，一是分组后能出现公因式，二是分组后能应用公式． 2、对于常见的四项式，一般的分组分解有两种形式：①二二分法，②三一分法． 例如：①ax+ay+bx+by ＝x（a+b）+y（a+b） ＝（a+b）（x+y） ②2xy﹣x2+1﹣y2 ＝﹣（x2﹣2xy+y2）+1 ＝1﹣（x﹣y）2 ＝（1+x﹣y）（1﹣x+y） 【例1】（浦东新区校级期中）多项式因式分解后的结果是　　 A． B． C． D． 【变式1】（2023秋•普陀区期末）因式分解：　　． 【变式2】（2022秋•上海期末）分解因式：　　． 【变式3】（2023秋•杨浦区期末）因式分解：． 知识点2．实数范围内分解因式 实数范围内分解因式是指可以把因式分解到实数的范围（可用无理数的形式来表示）， 一些式子在有理数的范围内无法分解因式，可是在实数范围内就可以继续分解因式． 例如：x2﹣2在有理数范围内不能分解，如果把数的范围扩大到实数范围则可分解 x2﹣2＝x2﹣（）2＝（x+）（x﹣） 【例2】（浦东新区期中）下列二次三项式在实数范围内不能因式分解的是　　 A． B． C． D． 【变式1】（普陀区期中）在实数范围内分解因式：　　． 【变式2】（2024春•虹口区校级月考）我们知道在有理数范围内因式分解，如果在实数范围内因式分解，则，则在实数范围内因式分解为 　　． 【变式3】（徐汇区校级期中）分解因式： 知识点3．因式分解的应用 1、利用因式分解解决求值问题． 2、利用因式分解解决证明问题． 3、利用因式分解简化计算问题． 【规律方法】因式分解在求代数式值中的应用 1．因式分解是研究代数式的基础，通过因式分解将多项式合理变形，是求代数式值的常用解题方法，具体做法是：根据题目的特点，先通过因式分解将式子变形，然后再进行整体代入． 2．用因式分解的方法将式子变形时，根据已知条件，变形的可以是整个代数式，也可以是其中的一部分． 【例3】（2021秋•松江区期中）已知，，那么的值为　　 A．3 B．6 C． D． 【变式1】（2020秋•浦东新区期中）已知，那么的值为　　 A．2019 B．2020 C．2021 D．2022 【变式2】（2023秋•普陀区校级期中）已知：，，那么代数式的值是 　　． 【变式3】（2022秋•黄浦区期中）已知，， （1）求代数式的值； （2）求代数式的值． 经典题型汇编 题型一．因式分解-分组分解法 1．（浦东新区校级期末）多项式因式分解的结果是　　 A． B． C． D． 2．（2022秋•徐汇区期末）分解因式：　　． 3．（2023秋•浦东新区期末）分解因式：． 题型二．实数范围内分解因式 4．在实数范围内因式分解：　　． 5．下列多项式在实数范围内不能用公式法因式分解的是　　 A． B． C． D． 6．在实数范围内分解因式：． 题型三．因式分解的应用 7．（2022秋•静安区校级期中）是整数，式子计算的结果　　 A．是0 B．总是奇数 C．总是偶数 D．可能是奇数也可能是偶数 8．（2023秋•闵行区期中）已知，，求的值． 9．（2022秋•浦东新区校级期中）与之积等于的因式为 　　． 试题练习 一、单选题 1．因式分解的值为（    ） A． B． C． D． 2．（19-20七年级上·上海浦东新·阶段练习）用分组分解的因式，分组正确的是（　　） A． B． C． D． 3．（19-20七年级上·上海·期中）已知二次三项式可分解成两个整系数的一次因式的乘积，那么（    ） A．一定是奇数 B．一定是偶数 C．一定是负数 D．可为奇数也可为偶数 4．已知a、b、c是三角形的边长，那么代数式的值是（    ） A．小于零 B．等于零 C．大于零 D．大小不确定 5．下列因式分解错误的是(    ) A．3x2–6xy=3x(x–2y) B．x2–9y2=(x–3y)(x+3y) C．4x2+4x+1=(2x+1)2 D．x2–y2+2y–1=(x+y+1)(x–y–1) 6．（23-24七年级上·上海浦东新·期末）已知甲、乙、丙均为x的一次多项式，且其一次项的系数皆为正整数．若甲与乙相乘的积为，乙与丙相乘的积为，则甲与丙相减的结果是(  ) A． B．5 C．1 D． 二、填空题 7．（21-22七年级上·上海静安·期末）因式分解：m2-n2-2m+1= ． 8．（22-23七年级上·上海·期末）分解因式： ． 9．（22-23七年级上·上海浦东新·期中）与之积等于的因式为 ． 10．（23-24七年级上·上海奉贤·期末）如果一个多项式因式分解后有一个因式为，那么符合条件的多项式可以是 ．（只需写一个） 11．（22-23七年级上·上海·期中）如图，边长分别为a，b的长方形，它的周长为15，面积为10，则= ．    12．（2022七年级上·上海·专题练习）当时，代数式 13．（22-23七年级上·上海静安·期中）已知，则的值为 14．（22-23七年级上·上海闵行·期中）已知a，b，c是三个连续的正整数，，，那么 ． 15．（22-23七年级上·上海青浦·期中） 多项式的因式（填“是”或“不是”） 16．（23-24七年级上·上海·期末）多项式添加一个单项式后能用分组分解法进行因式分解．如果将和分成一组，和此单项式分成一组，那么这个单项式为 ． 17．（2022七年级上·上海·专题练习）因式分解： ； ； ； 18．（23-24七年级上·上海长宁·期中）由多项式乘以多项式的法则可以得到： 即：，我们把这个公式叫做立方和公式， 同理：，我们把这个公式叫做立方差公式， 请利用以上公式分解因式： 三、解答题 19．（23-24七年级上·上海浦东新·期末）分解因式： (1)； (2)． 20．（22-23七年级上·上海黄浦·期中）已知，， (1)求代数式的值； (2)求代数式的值． 21．（23-24七年级上·上海崇明·期末）分解因式：． 22．（23-24七年级上·上海·期末）因式分解：． 23．（22-23七年级上·上海青浦·期中）已知a，b，c三个数两两不等，且有，试求m的值． 24．（22-23七年级·上海·假期作业）长方形的周长为，它的两边，是整数，且满足，求它的面积． 25．（23-24七年级上·上海浦东新·期中）阅读下列解题的过程． 分解因式： 解： 请按照上述解题思路完成下列因式分解： (1)； (2)． 26．（22-23七年级上·上海青浦·期中）阅读下列材料，然后解答问题： 问题：分解因式： 解答：对于任意一元多项式，其奇次项系数之和为，偶次项系数之和为，若，则，若，则，在中，因为，，所以把代入多项式，得其值为，由此确定多项式中有因式，于是可设，分别求出，的值，再代入，就容易分解多项式，这种分解因式的方法叫做“试根法”． (1)上述式子中_______， _______； (2)对于一元多项式，必定有（___）； (3)请你用“试根法”分解因式：． 27．（23-24七年级上·上海青浦·期中）关于、、的多项式，，，，在将字母、、轮换（即将换成，换成，换成）时，保持不变．这样的多项式称为、、的轮换式．我们可以利用轮换式的特征帮助我们进行巧妙地因式分解，我们也叫轮换式法． 例题：分解因式 解：令时，原式 所以是原式的因式，由于原式是、、的轮换式，所以、也是原式的因式，从而可以设 ， （保证两边次数相同，其中是系数） 令，得，即 所以 阅读上述材料分解因式完成下列两题： (1)对多项式 令________，原式；令________，原式 所以设 令得________ (2)用轮换式法因式分解： 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第15讲 分组分解法 （3个知识点+3种经典题型+试题练习） 本节知识导图 知识点合集 知识点1．因式分解-分组分解法 1、分组分解法一般是针对四项或四项以上多项式的因式分解，分组有两个目的，一是分组后能出现公因式，二是分组后能应用公式． 2、对于常见的四项式，一般的分组分解有两种形式：①二二分法，②三一分法． 例如：①ax+ay+bx+by ＝x（a+b）+y（a+b） ＝（a+b）（x+y） ②2xy﹣x2+1﹣y2 ＝﹣（x2﹣2xy+y2）+1 ＝1﹣（x﹣y）2 ＝（1+x﹣y）（1﹣x+y） 【例1】（浦东新区校级期中）多项式因式分解后的结果是　　 A． B． C． D． 【分析】原式是一个复杂的三元三次多项式，直接分解有一定困难，把原式整理成关于某个字母按降幂排列的多项式，再运用提取公因式法和十字相乘法分解因式． 【解答】解： ． 故选：． 【点评】本题考查了用分组分解法进行因式分解，难点是将原式重新整理成关于的二次三项式，改变其结构，寻找分解的突破口． 【变式1】（2023秋•普陀区期末）因式分解：　　． 【分析】把前两项分为一组，后两项分为一组，然后再进行分解即可解答． 【解答】解： ， 故答案为：． 【点评】本题考查了因式分解分组分解法，熟练掌握因式分解分组分解法是解题的关键． 【变式2】（2022秋•上海期末）分解因式：　　． 【分析】先把多项式的一二两项、三四两项分组，分组后利用提公因式法分解． 【解答】解： ． 故答案为：． 【点评】本题考查了整式的因式分解，掌握分组分解法和提公因式法是解决本题的关键． 【变式3】（2023秋•杨浦区期末）因式分解：． 【分析】先把各式分组，再提取公因式即可． 【解答】解： ． 【点评】本题考查的是因式分解，熟知因式分解的分组分解法是解题的关键． 知识点2．实数范围内分解因式 实数范围内分解因式是指可以把因式分解到实数的范围（可用无理数的形式来表示）， 一些式子在有理数的范围内无法分解因式，可是在实数范围内就可以继续分解因式． 例如：x2﹣2在有理数范围内不能分解，如果把数的范围扩大到实数范围则可分解 x2﹣2＝x2﹣（）2＝（x+）（x﹣） 【例2】（浦东新区期中）下列二次三项式在实数范围内不能因式分解的是　　 A． B． C． D． 【分析】利用一元二次方程根的判别式判断即可． 【解答】解： △，在实数范围内能因式分解； △，在实数范围内能因式分解； △，在实数范围内能因式分解； △，在实数范围内不能因式分解； 故选：． 【点评】本题考查的是二次三项式的因式分解，掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 【变式1】（普陀区期中）在实数范围内分解因式：　　． 【分析】根据完全平方公式、平方差公式，可分解因式． 【解答】解：原式 ， 故答案为：． 【点评】本题考查了因式分解，先加4凑成完全平方公式，再利用平方差公式． 【变式2】（2024春•虹口区校级月考）我们知道在有理数范围内因式分解，如果在实数范围内因式分解，则，则在实数范围内因式分解为 　　． 【分析】先利用十字相乘法分解因式，然后利用平方差公式在实数范围内继续分解因式． 【解答】解：原式 ． 故答案为：． 【点评】本题考查了实数范围内分解因式：实数范围内分解因式是指可以把因式分解到实数的范围（可用无理数的形式来表示）．也考查了十字相乘法． 【变式3】（徐汇区校级期中）分解因式： 【分析】令多项式等于0求出方程的解，即可确定出因式分解的结果． 【解答】解：令， 解得：， 【点评】此题考查了实数范围中分解因式，求出多项式等于0时方程的解是解本题的关键． 知识点3．因式分解的应用 1、利用因式分解解决求值问题． 2、利用因式分解解决证明问题． 3、利用因式分解简化计算问题． 【规律方法】因式分解在求代数式值中的应用 1．因式分解是研究代数式的基础，通过因式分解将多项式合理变形，是求代数式值的常用解题方法，具体做法是：根据题目的特点，先通过因式分解将式子变形，然后再进行整体代入． 2．用因式分解的方法将式子变形时，根据已知条件，变形的可以是整个代数式，也可以是其中的一部分． 【例3】（2021秋•松江区期中）已知，，那么的值为　　 A．3 B．6 C． D． 【分析】根据，，把化为这种形式，整体代入即可． 【解答】解：，， 原式 ． 故选：． 【点评】本题考查了因式分解在求代数式值中的应用，掌握先通过提取公因式法因式分解将式子变形，然后再配方，最后进行整体代入是解题关键． 【变式1】（2020秋•浦东新区期中）已知，那么的值为　　 A．2019 B．2020 C．2021 D．2022 【分析】利用因式分解法将原式进行分解，再整体代入即可求解． 【解答】解：， ． 故选：． 【点评】本题考查了因式分解的应用，解决本题的关键是掌握因式分解的方法． 【变式2】（2023秋•普陀区校级期中）已知：，，那么代数式的值是 　32　． 【分析】首先把的两边平方，再代入计算，即可得出结果． 【解答】解：， ， ； 故答案为：32． 【点评】本题考查了完全平方公式、代数式的求值；熟练掌握完全平方公式是解决问题的关键． 【变式3】（2022秋•黄浦区期中）已知，， （1）求代数式的值； （2）求代数式的值． 【分析】（1）根据，再将已知代入即可； （2）将所求的式子变形为，再将，代入求值即可． 【解答】解：（1）， 又，， ， ； （2） ， ，， 原式． 【点评】本题考查因式分解的应用，熟练掌握完全平方公式的变形形式，提取公因式法因式分解是解题的关键． 经典题型汇编 题型一．因式分解-分组分解法 1．（浦东新区校级期末）多项式因式分解的结果是　　 A． B． C． D． 【分析】直接将前两项提取公因式分解因式，进而利用平方差公式分解因式得出即可． 【解答】解： ． 故选：． 【点评】此题主要考查了分组分解法分解因式，正确分组是解题关键． 2．（2022秋•徐汇区期末）分解因式：　　． 【分析】先利用完全平方公式，再利用平方差公式． 【解答】解： ． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了整式的因式分解，掌握因式分解的公式法是解决本题的关键． 3．（2023秋•浦东新区期末）分解因式：． 【分析】先分组各自提公因式，然后再利用平方差公式继续分解即可． 【解答】解： ． 【点评】本题考查了因式分解分组分解法，一定要注意把每一个多项式分解到不能再分解为止． 题型二．实数范围内分解因式 4．在实数范围内因式分解：　　． 【分析】原式提取，再利用平方差公式分解即可． 【解答】解：原式， 故答案为：． 【点评】此题考查了实数范围内分解因式，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 5．下列多项式在实数范围内不能用公式法因式分解的是　　 A． B． C． D． 【分析】通过对各选项中多项式进行逐一因式分解进行求解． 【解答】解：在实数范围内不能分解， 选项符合题意； ， 选项不符合题意； ， 选项不符合题意； ， 选项不符合题意， 故选：． 【点评】此题考查了在实数范围内进行因式分解的能力，关键是能准确理解并运用该知识进行正确地因式分解． 6．在实数范围内分解因式：． 【分析】先用完全平方公式，再用平方差公式分解． 【解答】解：． 【点评】本题考查了在实数范围内分解因式．根据因式分解的意义，在实数范围内进行因式分解，其结果必须是几个整式的积．对于，不能再分解． 题型三．因式分解的应用 7．（2022秋•静安区校级期中）是整数，式子计算的结果　　 A．是0 B．总是奇数 C．总是偶数 D．可能是奇数也可能是偶数 【分析】根据题意，可以利用分类讨论的数学思想探索式子计算的结果等于什么，从而可以得到哪个选项是正确的． 【解答】解：当是偶数时， ， 当是奇数时， ， 设为整数）， 则， 或为整数）都是偶数， 故选：． 【点评】本题考查因式分解的应用，解题的关键是明确题意，利用分类讨论的数学思想解答问题． 8．（2023秋•闵行区期中）已知，，求的值． 【分析】根据因式分解，可得的值，再根据因式分解，可得，根据代数式求值，可得答案． 【解答】解：， 当时，， 解得． 当，时， ． 【点评】本题考查了因式分解的应用，利用了完全平方公式，提取公因式分解因式． 9．（2022秋•浦东新区校级期中）与之积等于的因式为 　　． 【分析】根据平方差公式将分解因式，并变形为，即可得出答案． 【解答】解：， 与之积等于的因式为． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了分解因式的应用，解题的关键是熟练掌握平方差公式． 试题练习 一、单选题 1．因式分解的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用分组分解法分解因式即可． 【详解】解：原式 ； 故选B． 【点睛】本题考查因式分解．解题的关键是掌握分组分解法分解因式． 2．（19-20七年级上·上海浦东新·阶段练习）用分组分解的因式，分组正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把二、三、四项作为一组，第一项作为一组，然后根据完全平方公式和平方差公式分解即可． 【详解】解： ． 故选：D． 【点睛】本题考查了分组分解法分解因式，正确分组是解答本题的关键． 3．（19-20七年级上·上海·期中）已知二次三项式可分解成两个整系数的一次因式的乘积，那么（    ） A．一定是奇数 B．一定是偶数 C．一定是负数 D．可为奇数也可为偶数 【答案】A 【分析】根据十字相乘法的分解方法，以及奇数+偶数=奇数，奇数﹣偶数=奇数即可求解． 【详解】设21x2+ax﹣10=(mx+p)(nx+q)=mnx2+(mq+pn)x+pq ∴mn=21，pq=-10，a=mq+pn． ∴m、n为奇数，p、q有一个为偶数，一个为奇数， ∴mq、pn中有一个为奇数，一个为偶数， ∴a=mq+pn一定是奇数． 故选：A． 【点睛】本题考查了因式分解﹣十字相乘法等，运用十字相乘法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程． 4．已知a、b、c是三角形的边长，那么代数式的值是（    ） A．小于零 B．等于零 C．大于零 D．大小不确定 【答案】A 【分析】把代数式利用完全平方公式和平方差公式分解因式，根据三角形中任意两边之和大于第三边即可进行判断． 【详解】解： ∵a，b，c是三角形的三边． ∴，． ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查了因式分解的应用，用到的知识点是完全平方公式、平方差公式及三角形中三边之间的关系，熟练运用完全平方公式、平方差公式是解题关键． 5．下列因式分解错误的是(    ) A．3x2–6xy=3x(x–2y) B．x2–9y2=(x–3y)(x+3y) C．4x2+4x+1=(2x+1)2 D．x2–y2+2y–1=(x+y+1)(x–y–1) 【答案】D 【详解】对于A，3x2－6xy＝3x(x－2y)，分解正确； 对于B，x2－9y2＝(x－3y)(x+3y)，分解正确； 对于C，4x2+4x+1＝(2x+1)2，分解正确. 对于D，x2－y2+2y-1= x2-(y-1)2=(x+y-1)(x-y+1),故分解因式错误； 故选D. 6．（23-24七年级上·上海浦东新·期末）已知甲、乙、丙均为x的一次多项式，且其一次项的系数皆为正整数．若甲与乙相乘的积为，乙与丙相乘的积为，则甲与丙相减的结果是(  ) A． B．5 C．1 D． 【答案】D 【分析】此题考查了十字相乘法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．把题中的积分解因式后，确定出各自的整式，相减即可． 【详解】解：∵甲与乙相乘的积为，乙与丙相乘的积为，甲、乙、丙均为x的一次多项式，且其一次项的系数皆为正整数， ∴甲为，乙为，丙为， 则甲与丙相减的差为：； 故选：D 二、填空题 7．（21-22七年级上·上海静安·期末）因式分解：m2-n2-2m+1= ． 【答案】（m-1+n）（m-1-n） 【分析】先分组，得到m2-2m+1-n2，后进行完全平方公式分解与平方差公式分解即可． 【详解】原式=m2-2m+1-n2 =（m-1）2-n2 =（m-1+n）（m-1-n）． 故答案为（m-1+n）（m-1-n）． 【点睛】本题考查了分组分解法、完全平方公式、平方差公式，将原式分组得到可以运用公式解决是关键． 8．（22-23七年级上·上海·期末）分解因式： ． 【答案】 【分析】前两项一组，提取公因式x，后两项一组，提取公因式a，然后两组之间再提取公因式整理即可． 【详解】解： 故答案为： 【点睛】本题主要考查了多项式的因式分解，熟练掌握多项式的因式分解方法——提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法，并会结合多项式的特征，灵活选用合适的方法是解题的关键． 9．（22-23七年级上·上海浦东新·期中）与之积等于的因式为 ． 【答案】/ 【分析】根据平方差公式将分解因式，并变形为，即可得出答案． 【详解】解：∵ ， ∴与之积等于的因式为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了分解因式的应用，解题的关键是熟练掌握平方差公式． 10．（23-24七年级上·上海奉贤·期末）如果一个多项式因式分解后有一个因式为，那么符合条件的多项式可以是 ．（只需写一个） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查多项式的因式分解，根据提取公因式、平方差公式或完全平方公式等知识解答即可． 【详解】解：． 故答案为：． 11．（22-23七年级上·上海·期中）如图，边长分别为a，b的长方形，它的周长为15，面积为10，则= ．    【答案】225 【分析】根据长方形的周长及面积可得出，，将其代入中即可求出结论． 【详解】解：长方形的周长为15，面积为10， ，， ． 故答案为：225． 【点睛】本题考查了因式分解的应用以及长方形的周长及面积，根据长方形的周长及面积找出，是解题的关键． 12．（2022七年级上·上海·专题练习）当时，代数式 【答案】 【分析】原式先提取x，再分组，利用因式分解，代入数值即可求解． 【详解】解：∵，， ∴ ． 故答案为：0． 【点睛】本题考查了因式分解的应用，掌握分组分解法以及提公因式法分解因式是解题的关键． 13．（22-23七年级上·上海静安·期中）已知，则的值为 【答案】 【分析】先根据完全平方公式的变形求出，再把所求式子提取公因式得到，据此代值计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了因式分解的应用，完全平方公式的变形求值，正确得到是解题的关键． 14．（22-23七年级上·上海闵行·期中）已知a，b，c是三个连续的正整数，，，那么 ． 【答案】33489 【分析】利用平方差公式得到，再根据a、b、c是三个连续正整数得到，于是可计算出，然后可得c，从而得到b的值． 【详解】解：， ∵a、b、c是三个连续正整数， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：33489． 【点睛】本题考查了因式分解的应用：利用因式分解解决求值问题；利用因式分解解决证明问题；利用因式分解简化计算问题． 15．（22-23七年级上·上海青浦·期中） 多项式的因式（填“是”或“不是”） 【答案】是 【分析】假设是多项式的因式，则只需将多项式进行分组，可写成，此时两两一组分解因式即可得到结果． 【详解】， ， ， ， ∴是多项式的因式． 故答案为：是 【点睛】本题主要考查因式分解的应用，掌握分组分解法是解题的关键． 16．（23-24七年级上·上海·期末）多项式添加一个单项式后能用分组分解法进行因式分解．如果将和分成一组，和此单项式分成一组，那么这个单项式为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是因式分解，掌握分组分解因式的方法是解本题的关键，先分解得到分组后的公因式是，从而可得答案． 【详解】解：∵， ∴必须与一组， ∴ ， 故答案为： 17．（2022七年级上·上海·专题练习）因式分解： ； ； ； 【答案】 / ； ； ． 【分析】利用完全平方公式、十字相乘法、提取公因式法以及分组分解法求解即可． 【详解】解：； ； ； ； 故答案为：；；；． 【点睛】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止． 18．（23-24七年级上·上海长宁·期中）由多项式乘以多项式的法则可以得到： 即：，我们把这个公式叫做立方和公式， 同理：，我们把这个公式叫做立方差公式， 请利用以上公式分解因式： 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，先提公因式，再运用立方差公式即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 三、解答题 19．（23-24七年级上·上海浦东新·期末）分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了因式分解法则；熟悉因式分解的一般步骤，并正确运用其法则是解题的关键． （1）本题先用提公因式法提出公因式，再运用十字相乘法进行因式分解； （2）本题先进行分组，再运用平方差公式进行因式分解． 【详解】（1）解： （2） 20．（22-23七年级上·上海黄浦·期中）已知，， (1)求代数式的值； (2)求代数式的值． 【答案】(1) (2)3 【分析】（1）根据完全平方公式，将已知代数式的值代入求解； （2）将原式变形，用已知代数式表示，，将已知代数式的值代入求解． 【详解】（1）解;∵， 又∵，， ∴， ∴； （2）解：， ∵，， ∴原式． 【点睛】本题考查完全平方公式，因式分解，将原式变形用已知的代数式表示是解题的关键． 21．（23-24七年级上·上海崇明·期末）分解因式：． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解，先分组得到，再利用平方差公式和提公因式法分解因式，进一步提取公因式分解因式即可得到答案． 【详解】解： ． 22．（23-24七年级上·上海·期末）因式分解：． 【答案】 【分析】本题考查的是利用分组分解法分解因式，先把后三项作为一组，利用完全平方公式分解因式，再利用平方差公式分解因式即可，熟练的分组是解本题的关键． 【详解】解： ． 23．（22-23七年级上·上海青浦·期中）已知a，b，c三个数两两不等，且有，试求m的值． 【答案】或 【分析】，得，移项后因式分解得到，由a，b，c三个数两两不等，则，得到①，同理可得②，③，分和两种情况求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， ∵a，b，c三个数两两不等， ∴， ∴①， 同理可得②，③， 当时， ①＋②＋③得，， ∴， ∴， ∴， 解得， 当时， ∵a，b，c三个数两两不等， ∴a，b，c三个数中至少一个不是0， 设， ∴, ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， 综上可知，m的值为或． 【点睛】此题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解是基础，分类讨论是解题的关键． 24．（22-23七年级·上海·假期作业）长方形的周长为，它的两边，是整数，且满足，求它的面积． 【答案】 【分析】利用因式分解得出．然后根据周长求出边长再求面积即可求解． 【详解】∵长方形周长为16cm， ∴． ∵，     ∴． 因式分解，得：， 即． ∴或者， 解得：或． ∵，是整数，     ∴． ∴该矩形的面积为． 【点睛】本题考查了因式分解的应用，二元一次方程组的应用，熟练掌握因式分解方法是解题的关键． 25．（23-24七年级上·上海浦东新·期中）阅读下列解题的过程． 分解因式： 解： 请按照上述解题思路完成下列因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题中所给方法可进行因式分解； （2）根据题中所给方法可进行因式分解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键． 26．（22-23七年级上·上海青浦·期中）阅读下列材料，然后解答问题： 问题：分解因式： 解答：对于任意一元多项式，其奇次项系数之和为，偶次项系数之和为，若，则，若，则，在中，因为，，所以把代入多项式，得其值为，由此确定多项式中有因式，于是可设，分别求出，的值，再代入，就容易分解多项式，这种分解因式的方法叫做“试根法”． (1)上述式子中_______， _______； (2)对于一元多项式，必定有（___）； (3)请你用“试根法”分解因式：． 【答案】(1)，． (2) (3) 【分析】（1）根据题意，展开即可求解； （2）根据定义，可得奇次项系数之和为，偶次项系数之和为，即可求解； （3）根据（2）的结论，设，进而即可求解． 【详解】（1）解：依题意，设 ∴ 解得：， 故答案为：，． （2）解：∵ 其奇次项系数之和为，偶次项系数之和为 ∴ （3）∵ ∴多项式中有因式 设 ∴ ∴， ∴ 【点睛】本题考查了多项式乘法与因式分解，理解题意是解题的关键． 27．（23-24七年级上·上海青浦·期中）关于、、的多项式，，，，在将字母、、轮换（即将换成，换成，换成）时，保持不变．这样的多项式称为、、的轮换式．我们可以利用轮换式的特征帮助我们进行巧妙地因式分解，我们也叫轮换式法． 例题：分解因式 解：令时，原式 所以是原式的因式，由于原式是、、的轮换式，所以、也是原式的因式，从而可以设 ， （保证两边次数相同，其中是系数） 令，得，即 所以 阅读上述材料分解因式完成下列两题： (1)对多项式 令________，原式；令________，原式 所以设 令得________ (2)用轮换式法因式分解： 【答案】(1)1，1，1 (2) 【分析】本题考查了因式分解，正确掌握轮换式法分解因式是解题关键． （1）观察多项式可得当时，多项式的值等于0；再将代入即可求出的值； （2）先分别求出当，，时，多项式的值等于0，从而可设，再将代入求出的值即可得． 【详解】（1）解：对多项式， 令，原式；令，原式， 所以设， 令得，，即， 故答案为：1，1，1． （2）解：对多项式， 令时，原式， 令时，原式， 令时，原式， 所以设（保证两边次数相同，其中是系数）， 令时，， 解得， 所以， 即． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$