专题01 三角形（考点串讲，5个常考点+8种重难点题型+4个易错+押题预测）-2024-2025学年八年级数学上学期期中考点大串讲（人教版）

八年级人教版数学上册期中考点大串讲 专题01 三角形 01 02 04 03 目 录 易错易混 题型剖析 考点透视 押题预测 五大常考点：知识梳理，也可用思维导图 八大题型典例剖析+技巧点拨+举一反三 四大易错易混经典例题 精选6道期中真题对应考点练 考点透视 考点透视 考点透视 考点透视 考点透视 考点 一： 三角形的三边关系 例1【情境题·生活应用】为估计池塘两岸 A ， B 间的距离，杨阳在池塘一侧选取了一点 P ，测得 PA ＝16 m， PB ＝12 m，那么 A ， B 间的距离不可能是(　D　) A. 15 m B. 17 m C. 20 m D. 28 m D 【变式1-1】如图，△ ABC 的三边长均为整数，且周长为22， AM 是边 BC 上的中线，△ ABM 的周长比△ ACM 的周长大2，则 BC 长的可能值有(　A　) A. 4个 B. 5个 C. 6个 D. 7个 A 【变式1-2】[2024上海外国语大学附属外国语学校期中] 一个三角形的 两边长分别为5 cm和7 cm，第三边的长度为奇数，则满足条件的三角形共有 个. 5 【变式1-3】 把长度为9的铁丝截成三段，围成不等边三角形，且使三 边长均为整数，那么这三边长分别为 ⁠. 2，3，4　 考点二：三角形的高线、中线与角平分线 例2 已知 BD 是△ ABC 的中线， AB ＝7， BC ＝3，且△ ABD 的周长为15，则△ BCD 的周长为 ⁠. 11　 【变式2-1】 如图，在△ ABC 中， BD 是角平分线， BE 是中线，若 AC ＝24 cm，则 AE ＝ cm，若∠ ABC ＝72°，则∠ ABD ＝ ⁠°. 12 36 【变式2-2】如图，在△ ABC 中， CD ⊥ AB 于 D ， CE 是∠ ACB 的平 分线，∠ A ＝20°，∠ B ＝60°.求∠ BCD 和∠ ECD 的度数. 解：∵ CD ⊥ AB ，∴∠ CDB ＝90°. ∵∠ B ＝60°，∴∠ BCD ＝90°－ ∠ B ＝90°－60°＝30°.∵∠ A ＝20°， ∠ B ＝60°，∠ A ＋∠ B ＋∠ ACB ＝180°， ∴∠ ACB ＝100°.∵ CE 是∠ ACB 的平分线， ∴∠ ACE ＝ ∠ ACB ＝50°.∴∠ CEB ＝∠ A ＋∠ ACE ＝20°＋50°＝70°.∴∠ ECD ＝90°－70°＝20°. 考点三：三角形的内角和定理 例3如图，△ ABC 中，∠ ACB ＝130°，将△ ABC 折叠，使顶点 B ， A 均与顶点 C 重合，那么∠ ECF 的度数为 ⁠. 80°　 【变式3-1】[2024清华大学附属中学期中] 如图，在△ ABC 中，∠ B ＝ 40°，△ ABC 的内角∠ BAC 和∠ BCA 的平分线交于点 E ，则∠ AEC ＝ ⁠. 110° 【变式3-2】 如图，线段 AF ⊥ AE ，垂足为点 A ，线段 GD 分别交AF ， AE 于点 C ， B ，连接 GF ， ED ，则∠ D ＋∠ G ＋∠ F ＋∠ E 的度数为 ⁠. 270°　 【变式3-3】【新视角·新定义型题】如果三角形的两个内角α与β满足 3α＋β＝90°，那么我们称这样的三角形为“准直角三角形”.如图， B ， C 为直线 l 上两点，点 A 在直线 l 外，且∠ ABC ＝45°.若 P 是 l 上一点，且△ ABP 是“准直角三角形”，则∠ APB 的所有可能的度数为 ⁠ ⁠. 15°或 22.5°或120°　 考点四：三角形的外角 例4如图，直线 AB ∥ CD ，连接 BC ，点 E 是 BC 上一点， ∠ A ＝15°，∠ C ＝27°，则∠ AEC 的大小为(　B　) A. 27° B. 42° C. 45° D. 70° B 【变式4-1】 【新视角·动点探究题】如图，∠ MAN ＝100°，点 B ， C 是射线 AM ， AN 上的动点，∠ ACB 的平分线和∠ MBC 的平分线 所在直线相交于点 D ，则∠ BDC 的大小为 ⁠. 50°　 【变式4-2】如图，∠1＝∠2，且∠ BAC ＝70°，∠ BED ＝60°，则 ∠ ABC 的度数为 ⁠. 50°　 【变式4-3】如图，∠ ABC ＝∠ ACB ， AD ， BD ， CD 分别平分△ ABC 的外角∠ EAC 、内角∠ ABC 、外角∠ ACF . 求证：(1) AD ∥ BC ； 证明：(1)∵∠ EAC ＝∠ ABC ＋∠ ACB ， ∠ ABC ＝∠ ACB ，∴∠ EAC ＝2∠ ACB ， ∵ AD 平分∠ EAC ，∴∠ EAC ＝2∠ DAC . ∴∠ DAC ＝∠ ACB . ∴ AD ∥ BC . (2)∠ BDC ＝ ∠ BAC . 证明：(2)根据题意设∠ ABD ＝∠ DBC ＝ x ， ∠ ACD ＝∠ DCF ＝ y ，则有 ∴∠ BDC ＝ ∠ BAC . 如图，∠ ABC ＝∠ ACB ， AD ， BD ， CD 分别平分△ ABC 的外角 ∠ EAC 、内角∠ ABC 、外角∠ ACF . 求证： 考点五：多边形的内角和与外角和 例5【新考向·传统文化】风铃，又称铁马，古称“铎”，常 见于中国传统建筑屋檐下，如图①，是一种六角形风 铎，其底部可抽象为正六边形 ABCDEF (如图②)，连接 AC ， CF ，则∠ ACF 的度数为 ⁠°. 30　 【变式5-1】 如图，在七边形 ABCDEFG 中， AB ， ED 的延长线相交 于 O 点.若图中∠1，∠2，∠3，∠4的外角的角度和为220°，则 ∠ BOD 的度数为 ⁠. 40°　 【变式5-2】阅读小华与木木的对话，解决下列问题： (1)“多边形内角和为2 024°”，为什么不可能？ 解：(1)设多边形的边数为 n ， 则180°( n －2)＝2 024°， 解得 n ＝13 .∵ n 为正整数， ∴ “多边形的内角和为2 024°” 不可能. 阅读小华与木木的对话，解决下列问题： (2)木木求的是几边形的内角和？ 解：(2)设应加的内角为 x ， 多加的外角为 y ，依题意 可列方程为( n －2)180°＝2 024° － y ＋ x ，∵－180°＜ x － y ＜180°， ∴2 024°－180°＜180°( n －2) ＜2 024°＋180°，解得12 ＜ n ＜14 .又∵ n 为正整数，∴ n ＝13或14.故木木求的是十三边形或十四边形的内角和. (3)错当成内角的那个外角为多少度？ 解：(3)十三边形的内角和 ＝180°×(13－2)＝1 980°， ∴ y － x ＝2 020°－1 980°＝40°， 又 x ＋ y ＝180°，解得 x ＝70°， y ＝110°. 十四边形的内角和＝180°×(14－2)＝2 160°， ∴ y － x ＝2 020°－2 160°＝－140°， 又∵ x ＋ y ＝180°，解得 x ＝160°，y ＝20°. ∴那个外角为110°或20°. 阅读小华与木木的对话，解决下列问题： 题型一：三角板问题 例6将一副三角板按如图所示的位置摆放，则∠1的度数为 (　C　) A. 75° B. 95° C. 105° D. 115° C 题型剖析 题型二：折叠问题 例7如图，在三角形纸片 ABC 中，∠ A ＝56°，∠ C ＝88°. 沿过点 B 的直线折叠这个三角形纸片，使点 C 落在 AB 边 上的点 E 处，折痕为 BD ，则∠ EDB 的度数为(　B　) A. 76° B. 74° C. 72° D. 70° B 【变式7-1】 已知一张三角形纸片 ABC (如图①)，其中∠ ABC ＝∠ C . 将纸片沿过点 B 的直线折叠，使点 C 落到 AB 边上的 E 点处，折痕为 BD (如图②).再将纸片沿过点 E 的直线折叠，点 A 恰好与点 D 重合，折痕为 EF (如图③).原三角形纸片 ABC 中，∠ ABC 的度数为 ⁠°. 72　 题型三：角平分线问题 例8如图，已知 CD 为∠ ACB 的平分线， AM ⊥ CD 于 M ，∠ B ＝46°，∠ BAM ＝8°，求∠ ACB 的度数. 解：∵ AM ⊥ CD ，∴∠ AMD ＝90°. ∵∠ DAM ＝8°，∴∠ ADM ＝82°. ∵∠ ADM ＝∠ B ＋∠ DCB ，∠ B ＝46°， ∴∠ DCB ＝36°. ∵ CD 平分∠ ACB ，∴∠ ACB ＝2×36°＝72°. 【变式8-1】 如图，已知： AD 平分∠ BAC ，点 F 是 AD 反向延长线上 的一点， EF ⊥ BC 于点 E ，∠1＝40°，∠ F ＝15°.求∠ B 和∠ C 的度数. 解：∵ EF ⊥ BC ，∴∠ DEF ＝90°. ∵∠ F ＝15°，∠ ADE ＋∠ F ＋∠ DEF ＝180°， ∴∠ ADE ＝75°. ∵∠ B ＋∠1＝∠ ADE ， ∠1＝40°，∴∠ B ＝35°. ∵ AD 平分∠ BAC ，∠1＝40°， ∴∠ BAC ＝2∠1＝80°. ∵∠ B ＋∠ C ＋∠ BAC ＝180°，∴∠ C ＝65°. 题型四：动点问题 例9在Rt△ ABC 中，∠ C ＝90°，点 D ， E 分别是△ ABC 的 边 AC ， BC 上的点，点 P 是一动点.令∠ PDA ＝∠1， ∠ PEB ＝∠2，∠ DPE ＝α. (1)若点 P 在线段 AB 上，如图①所示，且α＝50°，则∠1 ＋∠2＝ ⁠°. 140　 (2)若点 P 在边 AB 上运动，如图②所示，则α，∠1，∠2之间有何关系？ 解：(2)连接 PC ，由三角形的外角性质， 得∠1＝∠ PCD ＋∠ CPD ，∠2＝∠ PCE ＋∠ CPE ， ∴∠1＋∠2＝∠ PCD ＋∠ CPD ＋ ∠ PCE ＋∠ CPE ＝∠ DPE ＋∠ C ， ∵∠ C ＝90°，∠ DPE ＝α， ∴∠1＋∠2＝90°＋α. (3)若点 P 在Rt△ ABC 的斜边 BA 的延长线上运动( CE ＜ CD )，则α，∠1，∠2之间有何关系？ 解：(3)如图③，由三角形的外角性质， 得∠2＝∠ C ＋∠1＋α， ∴∠2－∠1＝90°＋α； 如图④，α＝0°， ∠2＝∠1＋90°； 如图⑤，∠2＝∠1－α＋∠ C ， ∴∠2－∠1＝90°－α. 题型五： 建模思想 例10在一次中学生创客比赛中，某八年级学生设计了一款机器狗，机器狗运行的程序如图所示.将该机器狗放置在平面上运行至结束，它的移动距离为(　B　) A. 12米 B. 8米 C. 6米 D. 不能确定 B 题型六：整体思想 例11如图，∠ A ＋∠ B ＋∠ C ＋∠ D ＋∠ E ＋∠ F ＋∠ G ＋ ∠ H ＋∠ K ＝ ⁠. 540°　 题型七： 方程思想 例12如图， AD 平分∠ BAC ，∠ EAD ＝∠ EDA . 若∠ B ＝50°，∠ CAD ∶∠ E ＝1∶3，求∠ E 的度数. 解：设∠ CAD ＝ x ，则∠ E ＝3 x . ∵ AD 平分∠ BAC ， ∴∠ BAD ＝∠ CAD . ∵∠ EAD ＝∠ EDA ， ∴∠ EAC ＋∠ CAD ＝∠ B ＋∠ BAD . ∴∠ EAC ＝∠ B ＝50°. ∴∠ EAD ＝∠ EDA ＝ x ＋50°. 在△ EAD 中，∵∠ E ＋∠ EAD ＋∠ EDA ＝180°， ∴3 x ＋2( x ＋50°)＝180°，解得 x ＝16°. ∴3 x ＝48°，即∠ E ＝48°. 题型八：分类讨论思想 例23【新视角·新定义型题】如果两个角的差等于30°，就称这两个角互为“伙伴角”，其中一个角叫做另一个角的“伙伴角”.例如α＝70°，β＝40°，α－β＝30°，则α和β互为“伙伴角”，即α是β的“伙伴角”，β也是α的“伙伴角”. (1)已知∠1和∠2互为“伙伴角”，∠1＞∠2，且∠1和∠2互补，求∠1的度数. 解：(1)∵∠1与∠2互为“伙伴角”，∠1＞∠2， ∴∠1－∠2＝30°，即∠1＝∠2＋30°. ∵∠1和∠2互补， ∴∠1＋∠2＝∠2＋30°＋∠2＝180°，解得∠2＝75°. ∴∠1＝30°＋75°＝105°. (2)在△ ABC 中，∠ ACB ＝90°， AE 是角平分线. ①如图①，过点 C 作 AB 的平行线 CM ，射线 CN 平分∠ BCM ，且与射线 AE 交于点 N ，若∠ ANC 与∠ ABC 互为“伙伴角”， 则∠ ABC ＝ ； 75°或15° 【新视角·新定义型题】如果两个角的差等于30°，就称这两个角互为“伙伴角”，其中一个角叫做另一个角的“伙伴角”.例如α＝70°，β＝40°， α－β＝30°，则α和β互为“伙伴角”，即α是β的“伙伴角”，β也是α的 “伙伴角”. ②如图②，过点 C 作 AB 的垂线，垂足为 D ， AE ， CD 相交于点 F ，若∠ FCE 与∠ FEC 互为“伙伴角”，求∠ ABC 的度数. 【新视角·新定义型题】如果两个角的差等于30°，就称这两个角互为 “伙伴角”，其中一个角叫做另一个角的“伙伴角”.例如α＝70°， β＝40°，α－β＝30°，则α和β互为“伙伴角”，即α是β的“伙伴角”， β也是α的“伙伴角”. (2)在△ ABC 中，∠ ACB ＝90°， AE 是角平分线. 解：(2)②设∠ FCE ＝ x ，∵∠ ACB ＝∠ CDA ＝90°， ∴∠ DAC ＋∠ ACD ＝∠ ACD ＋∠ DCB ＝90°. ∴∠ DAC ＝∠ DCB ＝ x . ∵ AE 平分∠ BAC ，∴∠ EAC ＝ ∠ BAC ＝ . 当∠ FEC ＞∠ FCE 时，∠ FEC －∠ FCE ＝30°. 则∠ FEC ＝30°＋ x . 易知∠ EAC ＋∠ FEC ＝90°， ∴ ＋30°＋ x ＝90°，解得 x ＝40°. ∴∠ FCE ＝40°.∴∠ ABC ＝90°－∠ FCE ＝50°. 当∠ FCE ＞∠ FEC 时，∠ FCE －∠ FEC ＝30°， 则∠ FEC ＝ x －30°. 易知∠ EAC ＋∠ FEC ＝90°， ∴ ＋ x －30°＝90°，解得 x ＝80°. ∴∠ FCE ＝80°. ∴∠ ABC ＝90°－∠ FCE ＝10°. 综上所述，∠ ABC 的度数为50°或10°. 易错易混 易错点一：画钝角三角形的高时出错 1.如图,在△ABC 中,作出边 AC 上的高 BE 正解:如图,过点B作边AG所在直线的垂线，重足为E 易错点二：确定等腰三角形的边长时,易忽略三角形的三边关系而出错 2.己知在等腰三角形 ABC 中,其中一边长为 4,周长为 17,则其底边长为( ） A.4 B.9 C.4或9 D.不存在 正解:当4为腰长时，它的底边长为17-4-4=9.4+4＜9∴不能构成三角形:当4为底边长时,它的腰长为(17-4)÷2=6.5..4+6.5>6.5...能构成等腰三角形.综上所述,其底边长为 4.故选 A. A 易错点三:忽视三角形的形状而漏解 3.在△ABC中，∠ABC=∠C,BD是边AC上的高，∠ABD=40°求∠C的度数 易错点四：在处理多边形的“截角”问题时漏解 4.从如图所示的五边形中截去一个三角形,得到一个三角形和一个新多边形,那么这个新多边形的内角和等于多少度?请画图说明 分两种情况 ①如图①,新多边形为四边形,则其内角和为 360°; ②如图② 新多边形为五边形,则其内角和为(5-2)x180°=540° 如图③,新多边形为六边形，则其内角和为(6-2)x180°=720° 综上所述,这个新多边形的内角和等于 360°或540°或720° 1.（2023秋•海珠区校级期中）如图，四个图形中，线段BE是△ABC的高的图是( __ ) A.____ B._____ C.____ D._____ 【解析】解：由图可得，线段BE是△ABC的高的图是D选项．故选：D． D 押题预测 2.（2023秋•禹州市期中）如图，学校门口设置的移动拒马护栏是由多个钢管焊接的三角形组成的，这里面蕴含的数学原理是( ____ ) A.同位角相等，两直线平行 B.三角形具有稳定性 C.两点之间，线段最短 D.垂线段最短 B 【解析】解：学校门口设置的移动拒马都用钢管焊接成三角形，这样做的数学原理是利用了三角形的稳定性，故选：B． 44 3.（2023秋•大冶市期中）下列各组线段中，能构成三角形的是( ____ ) A.2，5，8 B.3，3，6 C.3，4，5 D.4，5，9 【解析】解：三角形的三边关系定理：任意两边之和大于第三边． A、2+5=7＜8，不能构成三角形，此项不符题意； B、3+3=6，不能构成三角形，此项不符题意； C、4+5＞5，能构成三角形，此项符合题意； D、4+5=9，不能构成三角形，此项不符题意． C 故选：C． 45 4.（2023春•铜梁区校级期中）一个多边形的内角和是其外角和的4倍，则这个多边形的边数是 ____ 【解析】解：设这个多边形的边数为n,则该多边形的内角和为(n-2)×180°， 依题意得：(n-2)×180°=360°×4， 解得：n=10， ∴这个多边形的边数是10． 故答案为：10． 10 46 5.（2023春•民权县期中）如图，在△ABC中，E，G分别是AB，AC上的点，F，D是BC上的点，连接EF，AD，DG，AB∥DG，∠1+∠2=180°． (1)求证：AD∥EF； (2)若DG是∠ADC的平分线，∠2=140°，求∠B的度数． 【解析】(1)证明：∵AB∥DG，∴∠1=∠DAE， ∵∠1+∠2=180°，∴∠DAE+∠2=180°，∴AD∥EF； (2)解：∵AD∥EF，∠2=140°，∴∠DAE=180°-∠2=180°-140°=40°， ∵AB∥DG，∴∠1=∠DAE=40°， ∵DG是∠ADC的平分线，∴∠ADC=2∠1=2×40°=80°， ∵∠B+∠BAD=∠ADC，∴∠B=∠ADC-∠BAD=80°-40°=40°． 47 6.（2023秋•西城区校级期中）如图，在△ABC中，∠B=90° (1)分别作其内角∠ACB与外角∠DAC的平分线，且两条角平分线所在的直线交于点E(如图1)．则∠E= ____ °； (2)分别作∠EAB与∠ECB的平分线，且两条角平分线交于点F(如图1)．求∠AFC的度数； (3)在(2)的条件下，射线FM在∠AFC的内部且∠AFM= ∠AFC，设EC与AB的交点为H，射线HN在∠AHC的内部且∠AHN= ∠AHC，射线HN与FM交于点P，若∠FAH，∠FPH和∠FCH满足的数量关系为∠FCH=m∠FAH+n∠FPH，请直接写出m,n的值． 45 48 _____ 【解析】解：(1)如图1，∵EA平分∠DAC，EC平分∠ACB， ∴∠CAG= ∠DAC，∠ACE= ∠ACB， 设∠CAG=x,∠ACE=y,∵∠B=90°，∴∠ACB+∠BAC=90°， ∴2y+180-2x=90，x-y=45， ∵∠CAG=∠E+∠ACE，∴∠E=∠CAG-∠ACE=x-y=45°， 故答案为：45； (2)如图1所示，∵CF平分∠ECB，∴∠ECF= y, ∵∠E+∠EAF=∠F+∠ECF，∴45°+∠EAF=∠F+ y ①， 同理可得：∠E+∠EAB=∠B+∠ECB， ∴45°+2∠EAF=90°+y,∴∠EAF= ②， 把②代入①得：45°+ =∠F+ y,∴∠F=67.5°， 即∠AFC=67.5°； 49 (3)如图2，设∠FAH=α，∵AF平分∠EAB， ∴∠FAH=∠EAF=α， ∵∠AFM= ∠AFC= ×67.5°=22.5°， ∵∠E+∠EAF=∠AFC+∠FCH， ∴45+α=67.5+∠FCH，∴∠FCH=α-22.5①， ∵∠AHN= ∠AHC= (∠B+∠BCH)= (90+2∠FCH)=30+ ∠FCH， ∵∠FAH+∠AFM=∠AHN+∠FPH， ∴α+22.5=30+ ∠FCH+∠FPH，② 把①代入②得：∠FPH= ， ∵∠FCH=m∠FAH+n∠FPH，α-22.5=mα+n• ， 解得：m=2，n=-3． 50 $$