第一章 集合与常用逻辑用语（期中复习课件）高一数学上学期人教B版2019必修第一册

人教B版(2019)必修第一册 数学 期中考点大串讲 串讲 01 第一章 集合与常用逻辑用语 考场练兵 典例剖析 01 02 03 目 录 考点透视 01 考点透视 (1)集合中元素的三个特性：________、________、________． (2)元素与集合的关系是______或________，用符号____或____表示． (3)集合的表示法：________、________、________． (4)常见数集的记法 集合 非负整数 集(或自 然数集) 正整 数集 整数集 有理 数集 实数集 符号 ____ N*(或N＋) ____ ____ ____ 考点1．集合与元素 考点2.集合间的基本关系 (1)子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中______________都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集，记作________(或B⊇A)． (2)真子集：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且________，就称集合A是集合B的真子集，记作________(或BA)． (3)相等：若A⊆B，且________，则A＝B． (4)空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅.空集是__________的子集，是______________的真子集． 考点3 集合的基本运算 表示运算　 集合语言 图形语言 记法 并集 ____________________ ________ 交集 ____________________ ________ 补集 ____________________ ________ 考点 4.集合的运算性质 (1)A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A． (2)A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝B∪A． (3)A∩(∁UA)＝∅， A∪(∁UA)＝U， ∁U(∁UA)＝A． 常用结论 1．若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个，非空子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个． 2．A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁UA⊇∁UB． 3．∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)， ∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)． 考点 5.命题的概念及结构 充分条件与必要条件 命题 真命题 假命题 p q 真命题 p⇒q 充分条件 必要条件 充分条件 必要条件 考点 6.充要条件 p⇒q q⇒p p⇔q 充要条件 充要条件 充要条件 p⇔q 充要条件 考点 7.全称量词与全称量词命题 所有的 任意一个 ∀ 全称量词 ∀x∈M， p(x) 考点 8.存在量词与存在量词命题 存在一个 至少有一个 ∃ 存在量词 ∃x∈M，p(x) 考点 9.全称量词命题的否定 ∃x∈M，綈p(x) 存在量词 考点 10.存在量词命题的否定 ∀x∈M， 非 p(x) 全称量词 考点 11.常见词语的否定形式 原词语 否定词语 原词语 否定词语 是 不是 至少有一个 一个也没有 都是 不都是 至多有一个 至少有两个 大于 不大于 至少有n个 至多有(n－1)个 小于 不小于 至多有n个 至少有(n＋1)个 任意的 某个 能 不能 所有的 某些 等于 不等于 02 典例透析 考点透视 考 点 1 集合的概念 B 考点透视 考 点 1 集合的概念 考点透视 反思感悟 1．研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是什么，即弄清该集合是数集、点集，还是其他集合；然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什么，从而准确把握集合的含义． 2．利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合中的元素是否满足互异性． 考点透视 考 点 2 集合间的基本关系 【例题2】设集合A＝{0，－a}，B＝{1，a－2，2a－2}，若A⊆B，则a＝(　　) B 考点透视 考 点 2 集合间的基本关系 考点透视 反思感悟 1．判定两集合关系的方法 (1)化简集合，从表达式中寻找两集合的关系． (2)用列举法、图示法、数轴表示各个集合，从元素或图形中寻找关系． 2．已知两个集合间的关系求参数时，关键是将两个集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系，进而求得参数范围．注意：(1)合理利用数轴、Venn图等直观分析解决问题．(2)求得参数后，一定要把端点值代入进行验证，否则易增解或漏解． 考点透视 考 点 3 集合的运算 【例题3】(2023·全国甲卷)设全集U＝Z，集合M＝{x|x＝3k＋1，k∈Z}，N＝{x|x＝3k＋2，k∈Z}，则∁U(M∪N)＝(　　) A．{x|x＝3k，k∈Z} B．{x|x＝3k－1，k∈Z} C．{x|x＝3k－2，k∈Z} D． ∅ 考点透视 考 点 3 集合的运算 A　因为U＝{x|x＝3k或x＝3k＋1或x＝3k＋2，k∈Z}，所以∁U(M∪N)＝{x|x＝3k，k∈Z}．故选A． 考点透视 考 点 4 利用集合的运算求参数的值(范围) 【例题4】设集合A＝{x|m－3＜x＜2m＋6}，B＝{x|log2x＜2}，若A∪B＝A，则实数m的取值范围是(　　) A．∅ B．[－3，－1] C．(－1，3) D．[－1，3] D 考点透视 考 点 4 利用集合的运算求参数的值(范围) 考点透视 反思感悟 1．进行集合运算时， 首先看集合能否化简，能化简的先化简，再研究其关系并进行运算． 2．数形结合思想的应用 (1)离散型数集或抽象集合间的运算，常借助Venn图求解； (2)连续型数集的运算，常借助数轴求解，运用数轴时要特别注意端点是实心还是空心． 考点透视 考 点 5 充分条件的判断 【例题5】给出下列三组命题： (1)p：两个三角形相似，q：两个三角形全等； (2)p：一个四边形是矩形，q：这个四边形的对角线相等； (3)p：x＋1＝0，q：(x＋1)(x－2)＝0. 试分别指出哪些命题中的p是q的充分条件？ (2)因为矩形的对角线相等，所以p⇒q，所以p是q的充分条件． (3)因为由x＋1＝0可得(x＋1)(x－2)＝0，即p⇒q， 所以p是q的充分条件． 考点透视 考 点 6 必要条件的判断 解 考点透视 考 点7 利用充分条件、必要条件求参数的取值范围 考点透视 考 点7 利用充分条件、必要条件求参数的取值范围 考点 8. 　充要条件的判断　 解　 (1)因为由x≠0推不出x＋|x|>0，如当x＝－1时，x＋|x|＝0，所以p q， 所以p不是q的充要条件． (2)若关于x的方程ax＋b＝0(a，b∈R)有唯一解， 则a≠0，所以p q，所以p不是q的充要条件． (3)当c＝0时，函数y＝ax2＋bx的图象经过原点；当y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象经过原点时，0＝a×02＋b×0＋c，所以c＝0，所以p⇔q，所以p是q的充要条件． 考点透视 考点 9. 　充要条件的证明　 证明　假设p：方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1，q：a＋b＋c＝0. ①证明p⇒q，即证明必要性． ∵x＝1是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根，∴a×12＋b×1＋c＝0，即a＋b＋c＝0. 【例题9】(2024·江苏连云港灌南高级中学高一上第二次月考)求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0. ②证明q⇒p，即证明充分性． 由a＋b＋c＝0，得c＝－a－b.∵ax2＋bx＋c＝0，∴ax2＋bx－a－b＝0， 即a(x2－1)＋b(x－1)＝0，∴(x－1)(ax＋a＋b)＝0.∴x＝1是方程的一个根． 故关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0. 考点透视 考点 10. 　探求充要条件 【例题10】 求关于x的方程x2－2mx＋m2－m＋3＝0的两根都大于2的充要条件． 考点透视 考点 11. 全称量词命题与存在量词命题的识别 【例题11】判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并用符号“∀”或“∃”表示下列命题： (1)圆内接四边形的对角互补； (2)存在实数x，满足x2≥2； (3)有些平行四边形的对角线不互相垂直； (4)存在实数a，使函数y＝ax＋b的值随x的增大而增大． 解：(1)是全称量词命题，表示为∀圆内接四边形，其对角互补． (2)是存在量词命题，表示为∃x∈R，x2≥2. (3)是存在量词命题，表示为∃平行四边形，其对角线不互相垂直． (4)是存在量词命题，表示为∃a∈R，函数y＝ax＋b的值随x的增大而增大． 考点透视 考点 12. 全称量词命题与存在量词,命题的真假判断 【例题12】判断下列命题的真假： (1)任何实数都有平方根；(2)存在有理数x，使x2－2＝0； (3)∀x∈R，x2－x＋1>0；(4)∃x∈Z，3x＋4＝5. 考点透视 考点 13. 含有量词的命题的应用 【例题13】已知命题p：存在x∈R，x2＋3x＋a＝0. 若p为真命题，则实数a的取值范围是______________． 答案 解析 考点透视 考点 14. 全称量词命题的否定 【例题14】写出下列命题的否定，并判断其否定的真假． (1)不论m取何实数，方程x2＋x－m＝0必有实数根； (2)等圆的面积相等； (3)每个三角形至少有两个锐角． 考点透视 考点 14. 全称量词命题的否定 考点透视 考 点 15 存在量词命题的否定 考点透视 考 点 15 存在量词命题的否定 考点透视 考 点 16 含有量词命题的否定的应用 【例题16】命题“存在x>a，使得2x＋a<3”是假命题，求实数a的取值范围． 解：因为命题“存在x>a，使得2x＋a<3”是假命题，所以此命题的否定“对任意x>a，使得2x＋a≥3”是真命题，因为对任意x>a有2x＋a>3a，所以3a≥3，解得a≥1.所以实数a的取值范围为{a|a≥1}． 解 03 考场练兵 1．已知a∈{0，1，2，3}，且a∉{1，2，3}，则a的值为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 解析：因为a∈{0，1，2，3}，且a∉{1，2，3}，所以a的值为0.故选A. 3．由大于－3且小于11的偶数所组成的集合是(　　) A．{x|－3<x<11，x∈Z} B．{x|－3<x<11} C．{x|－3<x<11，x＝2k} D．{x|－3<x<11，x＝2k，k∈Z} 解析：由题意可知，满足题设条件的只有D. 4．若集合A＝{y|y＝x2＋1，x∈R}，B＝{x∈R|x＋5>0}，则集合A与B的关系是(　　) A．A∈B B．A⊆B C．B⊆A D．A＝B 解析：∵A＝{y|y≥1}，B＝{x|x>－5}，∴A⊆B.故选B. 5．(2024·江苏连云港灌南高级中学高一上第二次月考)集合B＝{a，b，c}，C＝{a，b，d}，集合A满足A⊆B，A⊆C，则满足条件的集合A的个数是(　　) A．8 B．2 C．4 D．1 解析：因为A⊆B，A⊆C，所以集合A是{a，b}的子集，所以这样的集合A共有22＝4个． 6.(2024·辽宁六校协作体高一上期中)设集合A＝{1，2}，则满足A∪B＝{1，2，3}的集合B的个数是(　　) A．1 B．3 C．4 D．8 解析：因为A＝{1，2}，A∪B＝{1，2，3}，所以B＝{3}或{1，3}或{2，3}或{1，2，3}．故选C. 7．(2024·海口市第一中学高一上期中)设集合S＝{x|x>－2}，T＝{x|－4≤x≤1}，则(∁RS)∪T＝(　　) A．{x|－2<x≤1} B．{x|x≤－4} C．{x|x≤1} D．{x|x≥1} 解析：因为S＝{x|x>－2}，所以∁RS＝{x|x≤-2}，又T＝{x|－4≤x≤1}，所以(∁RS)∪T＝{x|x≤－2}∪{x|－4≤x≤1}＝{x|x≤1}． 8．已知集合A＝{x|1≤x≤2}，命题“∀x∈A，x2－a≤0”是真命题的一个充分不必要条件是(　　) A．a≥4 B．a≤4 C．a≥5 D．a≤5 解析：当该命题是真命题时，只需a≥(x2)max，因为x∈A＝{x|1≤x≤2}，又y＝x2在1≤x≤2上的最大值是4，所以a≥4.因为a≥4 a≥5，a≥5⇒a≥4，故选C. 9．已知p：(a＋b)(a－b)＝0，q：a＝b，则p是q的(　　) A．充分条件 B．必要条件 C．既是充分条件也是必要条件 D．既不是充分条件也不是必要条件 10．(多选)已知集合A＝{x|－1<x≤3}，B＝{x|－2≤x≤2}，则下列关系式正确的是 (　　) A．A∩B＝∅ B．A∪B＝{x|－2≤x≤3} C．A∪(∁RB)＝{x|x≤－1，或x>2} D．A∩(∁RB)＝{x|2<x≤3} 解析：∵A＝{x|－1<x≤3}，B＝{x|－2≤x≤2}，∴A∩B＝{x|－1<x≤3}∩{x|－2≤x≤2}＝{x|－1<x≤2}，故A不正确；A∪B＝{x|－1<x≤3}∪{x|－2≤x≤2}＝{x|－2≤x≤3}，故B正确；∵ ∁RB＝{x|x<－2，或x>2}，∴A∪(∁RB)＝{x|－1<x≤3}∪{x|x<－2，或x>2}＝{x|x<－2，或x>－1}，故C不正确；A∩(∁RB)＝{x|－1<x≤3}∩{x|x<－2，或x>2}＝{x|2<x≤3}，故D正确． 11．(多选)(2024·山东日照国开中学高一上第一次月考)下列命题中为真命题的是(　　) A．“m是有理数”是“m是实数”的充分条件 B．“x∈A∩B”是“x∈A”的必要条件 C．“x2－2x－3＝0”是“x＝3”的必要条件 D．“x>3”是“x2>4”的充分条件 12．“方程x2－2x－a＝0无实根”的充要条件是________． 解析：方程x2－2x－a＝0无实根，所以有Δ＝4＋4a<0，解得a<－1.反之，若a<－1，则Δ<0，方程x2－2x－a＝0无实根．故“方程x2－2x－a＝0无实根”的充要条件是“a<－1”． a<－1 解　∵M∩N＝{3}，∴3∈M， ∴a2－3a－1＝3，即a2－3a－4＝0， 解得a＝－1或4. 当a＝－1时，集合N中的元素不满足互异性，舍去； 当a＝4时，M＝{1，2，3}，N＝{－1，3，4}，符合题意． ∴a＝4. 14.(2024·河北保定定州高一上期中)已知集合M＝{1，2，a2－3a－1}，N＝{－1，a，3}，M∩N＝{3}，求实数a的值． 知识点一　命题的概念及结构 (1)一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做_____．判断为真的语句是___________，判断为假的语句是__________． (2)当命题表示为“若p，则q”时， ____是命题的条件， ___是命题的结论． 知识点二　充分条件与必要条件 一般地，“若p，则q”为_______，是指由p通过推理可以得出q.这时，我们就说，由p可以推出q，记作_____，并且说，p是q的__________，q是p的__________． 如果“若p，则q”为假命题，那么由条件p不能推出结论q，记作_____．此时，我们就说p不是q的__________，q不是p的________． pq 知识点　　充要条件 (1)如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有______，又有_____，就记作______．此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为________． (2)条件与结论的等价性：如果p是q的____________，那么q也是p的_________． (3)概括：如果______，那么p与q互为_________． 知识点一　全称量词与全称量词命题 (1)全称量词：短语“________”“ ___________”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“____”表示． (2)全称量词命题：含有___________的命题，叫做全称量词命题． (3)符号表示 ①将含有变量x的语句用p(x)，q(x)，r(x)，…表示，变量x的取值范围用M表示． ②全称量词命题“对M中任意一个x，p(x)成立”可用符号简记为： _________ ________． 知识点二　存在量词与存在量词命题 (1)存在量词：短语“__________”“ _____________”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“_____”表示． (2)存在量词命题：含有__________的命题，叫做存在量词命题． (3)符号表示：存在量词命题“存在M中的元素x，p(x)成立”可用符号简记为： ________________． 知识点一　全称量词命题的否定 全称量词命题p 綈p 结论 ∀x∈M，p(x) ________________ 全称量词命题的否定是___________命题 知识点二　存在量词命题的否定 存在量词命题p p 结论 ∃x∈M，p(x) eq \x(\s\up1(01))_______________ 存在量词命题的否定是eq \x(\s\up1(02))__________命题 【例题1】已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为(　　) A．4 B．5 C．8 D．9 解：(1)因为相似的三角形不一定全等，所以pq，所以p不是q的充分条件． 【例题6】　下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？ (1)若△ABC是直角三角形，则△ABC是等腰三角形； (2)若x＝1，则x－1＝eq \r(x－1)； (3)若a是自然数，则a是正整数． 解　(1)直角三角形不一定是等腰三角形， 因此pq，所以q不是p的必要条件． (2)当x＝1时，x－1＝eq \r(x－1)＝0， 所以p⇒q，所以q是p的必要条件． (3)因为0是自然数，但不是正整数， 所以pq，所以q不是p的必要条件． 【例题7】已知p：关于x的不等式eq \f(3－m,2)<x<eq \f(3＋m,2)，q：0<x<3，若p是q的充分条件，求实数m的取值范围． 解　记A＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\f(3－m,2)<x<\f(3＋m,2)))))，B＝{x|0<x<3}， 若p是q的充分条件，则A⊆B. 注意到B＝{x|0<x<3}≠∅，分两种情况讨论： ①若A＝∅，则eq \f(3－m,2)≥eq \f(3＋m,2)，解得m≤0，此时A⊆B，符合题意； ②若A≠∅，则eq \f(3－m,2)<eq \f(3＋m,2)，解得m>0， 要使A⊆B，应有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(3－m,2)≥0，,\f(3＋m,2)≤3，解得0<m≤3.,m>0，)) 综上可得，实数m的取值范围是{m|m≤3}． 【例题8】　下列各题中，哪些p是q的充要条件？ (1)p：x≠0，q：x＋|x|>0； (2)p：关于x的方程ax＋b＝0(a，b∈R)有唯一解，q：a>0； (3)p：c＝0，q：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象经过原点． 解　设关于x的方程x2－2mx＋m2－m＋3＝0的两根为x1，x2. 依题意，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Δ≥0，,x1>2，,x2>2.))不等式组等价于eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（－2m）2－4（m2－m＋3）≥0，,（x1－2）＋（x2－2）>0，,（x1－2）（x2－2）>0，)) 即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4m－12≥0，,2m>4，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m－\f(5,2)))\s\up12(2)＋\f(3,4)>0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m≥3，,m>2，,m∈R，))所以m≥3. 即关于x的方程x2－2mx＋m2－m＋3＝0的两根都大于2的充要条件是m≥3. 解：(1)因为负数没有平方根，所以该命题为假命题． (2)因为方程x2－2＝0没有有理根，所以该命题为假命题． (3)因为x2－x＋1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2))) eq \s\up12(2)＋eq \f(3,4)>0恒成立，所以该命题为真命题． (4)因为3x＋4＝5不存在整数解，所以该命题为假命题． 解析：由题意可得，当p为真命题时，方程x2＋3x＋a＝0有实根，即32－4a≥0，得a≤eq \f(9,4)，故实数a的取值范围是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(a≤\f(9,4))))). eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(a≤\f(9,4))))) 解：(1)该命题可以表述为“对所有的实数m，方程x2＋x－m＝0有实数根”，其否定是“存在实数m，使得x2＋x－m＝0没有实数根”．因为当Δ＝12－4×1×(－m)＝1＋4m<0，即m<－eq \f(1,4)时，一元二次方程x2＋x－m＝0没有实数根，所以该命题的否定是真命题． (2)该命题可以表述为“所有等圆的面积相等”，其否定是“存在一对等圆，其面积不相等”．由等圆的概念知该命题的否定是假命题． (3)该命题的否定是“有的三角形至多有一个锐角”，由三角形的内角和为180°知该命题的否定为假命题． 【例题15】写出下列存在量词命题的否定，并判断其否定的真假． (1)有的素数是偶数； (2)∃x∈R，x2＋x＋eq \f(1,4)≠0； (3)至少有一个实数x，使x3＋1＝0. 解：(1)该命题的否定为“所有的素数都不是偶数”，是假命题，如2是素数也是偶数． (2)该命题的否定为“∀x∈R，x2＋x＋eq \f(1,4)＝0”，是假命题，因为当x＝1时，x2＋x＋eq \f(1,4)＝eq \f(9,4)≠0. (3)该命题的否定为“∀x∈R，x3＋1≠0”，是假命题，因为当x＝－1时，x3＋1＝0. 2．下列说法中不正确的是(　　) A．若a∈N，则eq \f(1,a)∉N B．若a∈Z，则a2∈Z C．若a∈Q，则|a|∈Q D．若a∈R，则eq \r(3,a)∈R 解析：A不正确，反例：a＝1∈N，eq \f(1,a)＝1∈N. 解析：因为(a＋b)(a－b)＝0a＝b，所以pq.又因为a＝b⇒(a＋b)(a－b)＝0，即q⇒p，所以p是q的必要条件． 解析：m是有理数⇒m是实数，故A正确；x∈Ax∈A∩B，故B不正确；x＝3⇒x2－2x－3＝0，故C正确；x>3⇒x2>4，故D正确． 13．设集合B＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x∈N\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\f(6,2＋x)∈N)))). (1)试判断元素1和2与集合B的关系； (2)用列举法表示集合B. 解：(1)当x＝1时，eq \f(6,2＋1)＝2∈N； 当x＝2时，eq \f(6,2＋2)＝eq \f(3,2)∉N，所以1∈B，2∉B. (2)因为eq \f(6,2＋x)∈N，x∈N，所以2＋x只能取2，3，6， 所以x只能取0，1，4，所以B＝{0，1，4}． $$