2025年九年级数学二次函数双最值：将军饮马讲义

二次函数双最值与将军饮马、胡不归 一、将军饮马模型 【两定一动】 如图，在直线上找一点P使得PA+PB最小？ 当A’、P、B三点共线的时候，PA’+PB=A’B，此时为最小值（两点之间线段最短） 【一定两动】 在OA、OB上分别取点M、N，使得△PMN周长最小． 此处M、N均为折点，分别作点P关于OA（折点M所在直线）、OB（折点N所在直线）的对称点，化折线段PM+MN+NP为P’M+MN+NP’’，当P’、M、N、P’’共线时，△PMN周长最小． 【两定两动】 在OA、OB上分别取点M、N使得四边形PMNQ的周长最小。 考虑PQ是条定线段，故只需考虑PM+MN+NQ最小值即可，类似，分别作点P、Q关于OA、OB对称，化折线段PM+MN+NQ为P’M+MN+NQ’，当P’、M、N、Q’共线时，四边形PMNQ的周长最小。 【一定两动】 在OA、OB上分别取M、N使得PM+MN最小。 此处M点为折点，作点P关于OA对称的点P’，将折线段PM+MN转化为P’M+MN，即过点P’作OB垂线分别交OA、OB于点M、N，得PM+MN最小值（点到直线的连线中，垂线段最短） 【将军过桥】 已知将军在图中点A处，现要过河去往B点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：桥建在何处能使路程最短？ 考虑MN长度恒定，只要求AM+NB最小值即可．问题在于AM、NB彼此分离，所以首先通过平移，使AM与NB连在一起，将AM向下平移使得M、N重合，此时A点落在A’位置． 问题化为求A’N+NB最小值，显然，当共线时，值最小，并得出桥应建的位置． 【用几何变换将若干段原本彼此分离线段组合到一起】 【将军过两个桥】 已知将军在图中点A处，现要过两条河去往B点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：桥建在何处能使路程最短？ 考虑PQ、MN均为定值，所以路程最短等价于AP+QM+NB最小，对于这彼此分离的三段，可以通过平移使其连接到一起． AP平移至A’Q，NB平移至MB’，化AP+QM+NB为A’Q+QM+MB’． 当A’、Q、M、B’共线时，A’Q+QM+MB’取到最小值，再依次确定P、N位置． 【将军遛马】 如图，将军在A点处，现在将军要带马去河边喝水，并沿着河岸走一段路，再返回军营，问怎么走路程最短？ 【问题简化】已知A、B两点，MN长度为定值，求确定M、N位置使得AM+MN+NB值最小？ 【分析】考虑MN为定值，故只要AM+BN值最小即可．将AM平移使M、N重合，AM=A’N，将AM+BN转化为A’N+NB． 构造点A关于MN的对称点A’’，连接A’’B，可依次确定N、M位置，可得路线． 三、二次函数双最值：结合将军饮马问题 例：如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C,点D为抛物线的顶点. （1）求直线AC的解析式和顶点D的坐标； （2）在直线AC上方的抛物线上有一动点P，当△PAC的面积最大时，求点P的坐标以及△PAC的面积最大值； （3）在直线AC上方的抛物线上有一动点P，当△PAC的面积最大时，在轴上找一点H，使PH+DH的值最小，求点H的坐标. 变式1：在直线AC上方的抛物线上有一动点P，当△PAC的面积最大时，在轴上找一点I，使的值最大，求点I的坐标. 变式2：在直线AC上方的抛物线上有一动点P，当△PAC的面积最大时，在轴上找一点L，使的值最大，求点L的坐标. 变式3：点M（，），点N为轴上一动点，连接MN，将△OMN沿MN折叠，点O的对应点为，连接，在直线AC上方的抛物线上有一动点P，当△APC面积最大时，求的最小值. 变式4：在直线AC上方的抛物线上有一动点P，当△APC面积最大时，K、R为线段AO上的两动点，且KR=1，当四边形PKRC的周长最小时，求点K的坐标. 四、强化训练 1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与轴交于点，与轴交于两点（在的左侧），连接． (1)求抛物线的表达式； (2)点是射线上方抛物线上的一动点，过点作轴，垂足为，交于点．点是线段上一动点，轴，垂足为，点为线段的中点，连接．当线段长度取得最大值时，求的最小值； (3)将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过（2）中线段长度取得最大值时的点，且与直线相交于另一点．点为新抛物线上的一个动点，当时，直接写出所有符合条件的点的坐标． 2．如图，抛物线过点A（，2），且与直线交于B、C两点，点B的坐标为（，m）． （1）求抛物线的解析式； （2）点D为抛物线上位于直线BC上方的一点，过点D作DE⊥x轴交直线BC于点E，点P为对称轴上一动点，当线段DE的长度最大时，求PD+PA的最小值； （3）设点M为抛物线的顶点，在y轴上是否存在点Q，使得∠AQM=45°？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 3．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，AD为等腰△ABC底边BC上的高，抛物线的顶点为点A，且经过B、C两点，已知直线AB的解析式为y=x+2 (1)求该抛物线的解析式； (2)点E为抛物线上位于直线AC上方的一点，过点E作EN⊥x轴交直线AC于点N，点M（5，b）是抛物线上的一点，点P为对称轴上一动点，当线段EN的长度最大时，求PE+PM的最小值． 4．如图，已知抛物线与y轴相交于点C，顶点为D．    (1)求直线的解析式； (2)点P为直线左上方抛物线上的一动点，过点P作y轴的平行线交直线于点Q，当线段取得最大值时，在抛物线的对称轴上找一点G，使的周长最小，求点G的坐标； 5．如图，对称轴为直线的抛物线图象与轴交于点、点在点的左侧，与轴交于点，其中点的坐标为，点的坐标为． (1)求该抛物线的解析式； (2)如图，若点为抛物线上第二象限内的一个动点，点为线段上一动点，当的面积最大时，求周长的最小值； 6．如图，抛物线经过点和点，且与轴交于点． (1)分别求抛物线和直线的解析式； (2)点为抛物线上位于直线上方的一点，过点作轴交直线于点，点为对称轴上一动点，当线段的长度最大时，求的最小值． 7．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于点A，B两点，与y轴交于点C，连接BC，，，点D是此抛物线的顶点．    (1)求抛物线的解析式及点D坐标； (2)点E是第一象限内抛物线上的动点，连接和，求面积的最大值及此时点E的坐标； (3)在（2）的条件下，当的面积最大时，P为y轴上一点，过点P作抛物线对称轴的垂线，垂足为M，连接，，探究是否存在最小值，若存在，请直接写出此时点M的坐标；若不存在，请说明理由． 8．如图1，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0），与y轴交于点C，连接AC和BC，∠OAC＝60°． （1）求二次函数的表达式． （2）如图2，线段BC上有M、N两动点（N在M上方），且MN＝，P是直线BC下方抛物线上一动点，连接PC、PB，当△PBC面积最大时，连接PM、AN，当MN运动到某一位置时，PM+MN+NA的值最小，求出该最小值． 9．如图，已知抛物线与轴交于，两点（点位于点左侧），与轴交于点，连接．点为抛物线的顶点，点为．    10．如图甲所示，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点为该抛物线的顶点． （1）如图甲，点为抛物线上，两点间的一动点，连接，，当面积最大时，在对称轴上有一动点，如图乙所示，过点作轴交轴于点，连接，，求的最小值，并求出此时点的坐标； 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 二次函数双最值与将军饮马、胡不归 一、将军饮马模型 【两定一动】 如图，在直线上找一点P使得PA+PB最小？ 当A’、P、B三点共线的时候，PA’+PB=A’B，此时为最小值（两点之间线段最短） 【一定两动】 在OA、OB上分别取点M、N，使得△PMN周长最小． 此处M、N均为折点，分别作点P关于OA（折点M所在直线）、OB（折点N所在直线）的对称点，化折线段PM+MN+NP为P’M+MN+NP’’，当P’、M、N、P’’共线时，△PMN周长最小． 【两定两动】 在OA、OB上分别取点M、N使得四边形PMNQ的周长最小。 考虑PQ是条定线段，故只需考虑PM+MN+NQ最小值即可，类似，分别作点P、Q关于OA、OB对称，化折线段PM+MN+NQ为P’M+MN+NQ’，当P’、M、N、Q’共线时，四边形PMNQ的周长最小。 【一定两动】 在OA、OB上分别取M、N使得PM+MN最小。 此处M点为折点，作点P关于OA对称的点P’，将折线段PM+MN转化为P’M+MN，即过点P’作OB垂线分别交OA、OB于点M、N，得PM+MN最小值（点到直线的连线中，垂线段最短） 【将军过桥】 已知将军在图中点A处，现要过河去往B点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：桥建在何处能使路程最短？ 考虑MN长度恒定，只要求AM+NB最小值即可．问题在于AM、NB彼此分离，所以首先通过平移，使AM与NB连在一起，将AM向下平移使得M、N重合，此时A点落在A’位置． 问题化为求A’N+NB最小值，显然，当共线时，值最小，并得出桥应建的位置． 【用几何变换将若干段原本彼此分离线段组合到一起】 【将军过两个桥】 已知将军在图中点A处，现要过两条河去往B点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：桥建在何处能使路程最短？ 考虑PQ、MN均为定值，所以路程最短等价于AP+QM+NB最小，对于这彼此分离的三段，可以通过平移使其连接到一起． AP平移至A’Q，NB平移至MB’，化AP+QM+NB为A’Q+QM+MB’． 当A’、Q、M、B’共线时，A’Q+QM+MB’取到最小值，再依次确定P、N位置． 【将军遛马】 如图，将军在A点处，现在将军要带马去河边喝水，并沿着河岸走一段路，再返回军营，问怎么走路程最短？ 【问题简化】已知A、B两点，MN长度为定值，求确定M、N位置使得AM+MN+NB值最小？ 【分析】考虑MN为定值，故只要AM+BN值最小即可．将AM平移使M、N重合，AM=A’N，将AM+BN转化为A’N+NB． 构造点A关于MN的对称点A’’，连接A’’B，可依次确定N、M位置，可得路线． 三、二次函数双最值：结合将军饮马问题 例：如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C,点D为抛物线的顶点. （1）求直线AC的解析式和顶点D的坐标； （2）在直线AC上方的抛物线上有一动点P，当△PAC的面积最大时，求点P的坐标以及△PAC的面积最大值； （3）在直线AC上方的抛物线上有一动点P，当△PAC的面积最大时，在轴上找一点H，使PH+DH的值最小，求点H的坐标. 变式1：在直线AC上方的抛物线上有一动点P，当△PAC的面积最大时，在轴上找一点I，使的值最大，求点I的坐标. 变式2：在直线AC上方的抛物线上有一动点P，当△PAC的面积最大时，在轴上找一点L，使的值最大，求点L的坐标. 变式3：点M（，），点N为轴上一动点，连接MN，将△OMN沿MN折叠，点O的对应点为，连接，在直线AC上方的抛物线上有一动点P，当△APC面积最大时，求的最小值. 变式4：在直线AC上方的抛物线上有一动点P，当△APC面积最大时，K、R为线段AO上的两动点，且KR=1，当四边形PKRC的周长最小时，求点K的坐标. 四、强化训练 1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与轴交于点，与轴交于两点（在的左侧），连接． (1)求抛物线的表达式； (2)点是射线上方抛物线上的一动点，过点作轴，垂足为，交于点．点是线段上一动点，轴，垂足为，点为线段的中点，连接．当线段长度取得最大值时，求的最小值； (3)将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过（2）中线段长度取得最大值时的点，且与直线相交于另一点．点为新抛物线上的一个动点，当时，直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1)； (2)的最小值为； (3)符合条件的点的坐标为或． 【分析】（1）利用正切函数求得，得到，再利用待定系数法即可求解； （2）求得，利用待定系数法求得直线的解析式，设，求得最大，点，再证明四边形是平行四边形，得到，推出当共线时，取最小值，即取最小值，据此求解即可； （3）求得，再利用平移的性质得到新抛物线的解析式，再分两种情况讨论，计算即可求解． 【详解】（1）解：令，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 将和代入得， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：令，则， 解得或， ∴， 设直线的解析式为， 代入，得， 解得， ∴直线的解析式为， 设（），则， ∴， ∵， ∴当时，最大，此时， ∴，，， ∴，， 连接， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴当共线时，取最小值，即取最小值， ∵点为线段的中点， ∴， ∴， ∴的最小值为； （3）解：由（2）得点的横坐标为，代入，得， ∴， ∴新抛物线由向左平移2个单位，向下平移2个单位得到， ∴， 过点作交抛物线于点， ∴， 同理求得直线的解析式为， ∵， ∴直线的解析式为， 联立得， 解得，， 当时，， ∴， 作关于直线的对称线得交抛物线于点， ∴， 设交轴于点， 由旋转的性质得到， 过点作轴，作轴于点，作于点， 当时，， 解得， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 同理直线的解析式为， 联立， 解得或， 当时，， ∴， 综上，符合条件的点的坐标为或． 【点睛】本题是二次函数综合问题，考查二次函数的图象及性质，待定系数法确定函数关系式，熟练掌握二次函数的图象及性质，轴对称的性质，直角三角形的性质，数形结合是解题的关键． 2．如图，抛物线过点A（，2），且与直线交于B、C两点，点B的坐标为（，m）． （1）求抛物线的解析式； （2）点D为抛物线上位于直线BC上方的一点，过点D作DE⊥x轴交直线BC于点E，点P为对称轴上一动点，当线段DE的长度最大时，求PD+PA的最小值； （3）设点M为抛物线的顶点，在y轴上是否存在点Q，使得∠AQM=45°？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）PD+PA的最小值为；（3）Q1（0，2-）、Q2（0，2+）． 【分析】（1）将点B的坐标为（-4，m）代入，，B的坐标为（-4，），将A（-3，2），B（-4，）代入y=x2+bx+c，解得b=-1，c=，因此抛物线的解析式y=−x2-x+； （2）设D（m，m2-m+），则E（m，m+），DE=（m2-m+）-（m+）=m2-2m=（m+2）2+2，当m=-2时，DE有最大值为2，此时D（-2，），作点A关于对称轴的对称点A'，连接A'D，与对称轴交于点P．PD+PA=PD+PA'=A'D，此时PD+PA最小； （3）作AH⊥对称轴于点H，连接AM、AQ、MQ、HA、HQ，由M（-1，4），A（-3，2），可得AH=MH=2，H（-1，2）因为∠AQM=45°，∠AHM=90°，所以∠AQM=∠AHM，可知△AQM外接圆的圆心为H，于是QH=HA=HM=2设Q（0，t），则，t=2+或2-，求得符合题意的点Q的坐标：Q1（0，2-）、Q2（0，2+）． 【详解】解：（1）将点B的坐标为（-4，m）代入，得m=-4+=-， ∴B的坐标为（-4，-）， 将A（-3，2），B（-4，-）代入y=-x2+bx+c， 解得b=-1，c=， ∴抛物线的解析式y=−x2-x+； （2）设D（m，−m2-m+），则E（m，m+）， DE=（−m2-m+）-（m+）=−m2-2m=-（m+2）2+2， ∴当m=-2时，DE有最大值为2， 此时D（-2，）， 作点A关于对称轴的对称点A'，连接A'D，与对称轴交于点P． PD+PA=PD+PA'=A'D，此时PD+PA最小， ∵A（-3，2）， ∴A'（1，2）， A'D=， 即PD+PA的最小值为； （3）作AH⊥对称轴于点H，连接AM、AQ、MQ、HA、HQ， ∵抛物线的解析式， ∴M（-1，4）， ∵A（-3，2）， ∴AH=MH=2，H（-1，2） ∵∠AQM=45°，∠AHM=90°， ∴∠AQM=∠AHM， 可知△AQM外接圆的圆心为H， ∴QH=HA=HM=2 设Q（0，t）， 则， 解得，t=2+或2- ∴符合题意的点Q的坐标：Q1（0，2-）、Q2（0，2+）． 【点睛】本题考查了二次函数，熟练运用二次函数的图象的性质与一次函数的性质以及圆周角定理是解题的关键． 3．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，AD为等腰△ABC底边BC上的高，抛物线的顶点为点A，且经过B、C两点，已知直线AB的解析式为y=x+2 (1)求该抛物线的解析式； (2)点E为抛物线上位于直线AC上方的一点，过点E作EN⊥x轴交直线AC于点N，点M（5，b）是抛物线上的一点，点P为对称轴上一动点，当线段EN的长度最大时，求PE+PM的最小值． 【答案】(1) (2) (3)H（1，3），F（3，）或H（3，5），F（7，） 【分析】（1）由抛物线的解析式可求得抛物线的对称轴为，根据点A在上可求得点A的坐标为（2，4），将（2，4），（，0）代入抛物线的解析式可求得a和k的值，从而得到抛物线的解析式； （2）设点E的坐标为（t，），则点N的坐标为（t，），由坐标得，当时，EN最大为1，此时E的坐标为（4，3），过点E作AD的对称点，连接交AD于点P，此时最短，由勾股定理求得即可． （3）设GF交x轴于点E，在中，，，，，将代入抛物线的解析式可得F的坐标再证明，可得H的坐标；同理如图②所示，在中，，，，，将代入抛物线的解析式可得F的坐标再证明，可得H的坐标． 【详解】（1）∵抛物线的顶点为A， ∴.A的横坐标为2， 又∵直线AB的解析式为 ∴当时，，当时， ∴点A的坐标为（2，4），B（，0） 将（2，4），（，0）代入得：， ∴抛物线的解析式为． （2）由（1）得： ∵对称轴为直线，B（，0） 设E（t，），N（t，） ∴当时，EN最大为1 ∴E（4，3） ∵AD是此抛物线的对称轴 ∴过点E作AD的对称点（0，3），连接交AD于点P，此时最短，M（5，） 4．如图，已知抛物线与y轴相交于点C，顶点为D．    (1)求直线的解析式； (2)点P为直线左上方抛物线上的一动点，过点P作y轴的平行线交直线于点Q，当线段取得最大值时，在抛物线的对称轴上找一点G，使的周长最小，求点G的坐标； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用配方法求出抛物线的顶点坐标，用待定系数法即可求得函数的解析式； （2）设，则，依据图象用m的代数式表示出线段的长，利用配方法可求得线段取得最大值时的点P在坐标，利用将军饮马模型找出点C的对称点，连接交抛物线对称轴于点G，则G点为所求的点；利用待定系数法求出直线的解析式，令，则点G坐标可求； （3）分和，两种情况进行求解． 【详解】（1）解：∵， ∴． 令，则， ∴． 设直线的解析式为， ∴， 解得． ∴直线的解析式为． （2）解：设，则， ∵点P为直线左上方抛物线上的一动点， ∴． ∵， ∴当时，取得最大值，此时． ∵的周长，为定值， ∴当最小时，的周长最小， 设点C关于抛物线的对称轴对称的点为，则，， ∴当三点共线时，，值最小， 如图1，连接交抛物线对称轴于点G，则G点为所求的点．    设直线的解析式为， ∴， 解得． ∴直线的解析式为． 当时，， ∴． 5．如图，对称轴为直线的抛物线图象与轴交于点、点在点的左侧，与轴交于点，其中点的坐标为，点的坐标为． (1)求该抛物线的解析式； (2)如图，若点为抛物线上第二象限内的一个动点，点为线段上一动点，当的面积最大时，求周长的最小值； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据对称轴为直线，可得，再把点，代入解析式即可求解； （2）过点作的平行线，当直线与抛物线只有一个交点时，面积最大，由此可对称点的坐标；再根据轴对称最值问题可求出周长的最小值； 【详解】（1）解：抛物线的对称轴为直线， ， 抛物线过点，点， ， 解得：， 抛物线的解析式为：． （2）由（1）知函数解析式为：． ， 直线：， 过点作，设直线的解析式为：， 当的面积最大时，直线与抛物线有且仅有一个交点， 令，整理得， ， 解得：， ， ，即； 作点关于轴的对称点，连接交轴于点，如图，此时的周长最小， ， ， ，， 周长的最小值为：． 6．如图，抛物线经过点和点，且与轴交于点． (1)分别求抛物线和直线的解析式； (2)点为抛物线上位于直线上方的一点，过点作轴交直线于点，点为对称轴上一动点，当线段的长度最大时，求的最小值． 【答案】(1)抛物线的解析式为，直线的解析式为 (2) 【分析】（1）将点A（3，2）和点B（4，−）代入y＝ax2＋bx＋得 ，可解得抛物线的解析式为y＝ax2＋bx＋，令x＝0得y＝，得C（0，），设直线BC的解析式为y＝kx＋，将B（4，−）代入可得直线BC的解析式为y＝−x＋； （2）作A关于抛物线对称轴的对称点，连接交抛物线对称轴于，设，则，即知t＝2时，DE取最小值2，D（2，），抛物线的对称轴为直线，得A（3，2）关于对称轴直线x＝1的对称点，有，当D、P、共线时，最小，即最小，的最小值为的长，的最小值为． 【详解】（1）解：把点A（3，2）和点B（4，−）代入y＝ax2＋bx＋得 解得， 抛物线的解析式为， 在中，令得， ∴， 设直线的解析式为，将代入得： ， 解得， 直线的解析式为， 答：抛物线的解析式为，直线的解析式为． （2）作A关于抛物线对称轴的对称点，连接交抛物线对称轴于，如图： 设，则， ∴ ， 时，取最小值，此时， 抛物线的对称轴为直线， ∴关于对称轴直线的对称点， ∴ ∴， 又、、共线， 此时最小，即最小，的最小值为的长， ∵，， ， ∴的最小值为． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合应用，涉及待定系数法、平行四边形性质及应用、“将军饮马”问题等，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标及相关线段的长度． 7．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于点A，B两点，与y轴交于点C，连接BC，，，点D是此抛物线的顶点．    (1)求抛物线的解析式及点D坐标； (2)点E是第一象限内抛物线上的动点，连接和，求面积的最大值及此时点E的坐标； (3)在（2）的条件下，当的面积最大时，P为y轴上一点，过点P作抛物线对称轴的垂线，垂足为M，连接，，探究是否存在最小值，若存在，请直接写出此时点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)当时，有最大值 (3)当时存在最小值 【分析】（1）求出，，再将这两点代入，即可求函数解析式； （2）过点作轴交于点，求出直线的解析式为，设，则，则，即可求解； （3）过点作轴的平行线，且，则四边形是平行四边形，可得，作点关于轴的对称点，所以当、、三点共线时，的值最小，分别求出，，，，，在求出直线的解析式为，直线与轴的交点为，则． 【详解】（1），， ，， 将、两点代入， ， ， ； ， ， （2）如图1，过点作轴交于点，    设直线的解析式为， ， ， ， 设，则， ， ， 当时，有最大值，此时； （3）， ， 令，则， ， ， 故答案为：； （3）①②存在最小值，理由如下： 当时，，， ， 抛物线的对称轴为直线， 垂直对称轴， ∴轴，， 如图2，过点作轴的平行线，且，    四边形是平行四边形， ， 作点关于轴的对称点， ， ， 当、、三点共线时，的值最小， ，，， ，， ， ， 设直线的解析式为， ， 解得， ， ， ， 当时存在最小值． 8．如图1，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0），与y轴交于点C，连接AC和BC，∠OAC＝60°． （1）求二次函数的表达式． （2）如图2，线段BC上有M、N两动点（N在M上方），且MN＝，P是直线BC下方抛物线上一动点，连接PC、PB，当△PBC面积最大时，连接PM、AN，当MN运动到某一位置时，PM+MN+NA的值最小，求出该最小值． 【答案】（1）；（2）； 【分析】（1）由已知可设抛物线的解析式为，由已知条件可求得点C的坐标，把点C的坐标代入解析式中即可求得a的值，从而可得二次函数的表达式； （2）过点P作PD⊥x轴于点D，连接PO，设点P的坐标为，则由题意可得OD、PD的长度，由可得关于m的二次函数，即可求得此时函数的最大值，从而可得点P的坐标；过点A作BC的平行线，且在位于x轴下方的直线上取AG=NM，过G作GH垂直x轴于点H，连接GP，则可求得点G的坐标，当点M在线段GP上时，PM+NA最小，从而PM+MN+NA最小，可求得其最小值． 【详解】（1）∵抛物线交x轴于A（﹣1，0）、B（3，0）两点 ∴设抛物线的表达式为，且OA=1 ∵∠OAC=60゜，OA⊥OC ∴∠OCA=30゜ ∴AC=2OA=2 ∴ ∴ 把点C的坐标代入中，得 ∴ ∴ 展开得： 即二次函数的表达式为 （2）过点P作PD⊥x轴于点D，连接PO，如图2—1 设点P的坐标为 ∵点P位于第四象限内 ∴OD=m， ∵B(3，0) ∴OB=3 ∵ ∴当时，△PBC的面积有最大值 当当时， 此时点P的坐标为 ∵为定值 ∴PM+MN+NA的最小值就是求PM+NA的最小值 过点A作BC的平行线，且在位于x轴下方的直线上取AG=NM，过G作GH垂直x轴于点H，连接GP，如图2-2 ∵AG∥NM，AG=NM ∴四边形AGMN是平行四边形 ∴GM=AN ∴PM+NA=PM+GM≥GP ∴当点M在线段GP上时，PM+NA最小，且最小值为线段GP的长，从而PM+MN+NA最小 在Rt△COB中，由勾股定理得 ∴BC=2OC ∴∠CBO=30゜ ∵AG∥BC ∴∠HAG=∠CBO=30゜ ∵GH⊥x轴 ∴ 由勾股定理得 ∴ ∴G点坐标为 由勾股定理得 即PM+NA的最小值为 ∴PM+MN+NA的最小值为 9．如图，已知抛物线与轴交于，两点（点位于点左侧），与轴交于点，连接．点为抛物线的顶点，点为．    （1）点是第四象限内抛物线上的一点，过点作轴交抛物线于点，作轴于点，作轴于点，点在点右边．点是直线上一个动点，点是直线上一个动点，当四边形的周长最大时，求的最小值； 【答案】（1）的最小值为； 【分析】(1) 设，则．然后再确定抛物线的对称轴以及开口方向,即可确定最值； （2）由题意知，抛物线绕其对称轴与轴的交点旋转得抛物线，点的对应与点重合．设，，然后利用勾股定理得到；然后就和分别解答即可． 【详解】解：（1），，，． 设，则． 抛物线的对称轴为， ． 矩形的周长 ． 此函数的图象为抛物线，其对称轴为，且． ， 当时，矩形的周长最大，此时点的坐标为． 作点关于的对称点， ， 作于交于，此时最小，的最小值． 延长交于，可求得，， 的最小值．    10．如图甲所示，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点为该抛物线的顶点． （1）如图甲，点为抛物线上，两点间的一动点，连接，，当面积最大时，在对称轴上有一动点，如图乙所示，过点作轴交轴于点，连接，，求的最小值，并求出此时点的坐标；   【答案】（1）；； 【分析】（1）过点作轴于点，交于点，由面积最大，得到最大，利用二次函数的性质得到点的坐标，将向左平移一个单位，使点于点重合，点落在轴上的点处，点关于轴对称的点为，此时最小，最小值为，从而可得答案， 【详解】解：（1）过点作轴于点，交于点 设， ， 当 令 解得： 设为 解得： 为 ．    ∴当时，最大，此时的面积也最大． 此时 将向左平移一个单位，使点于点重合，点落在轴上的点处， 点关于轴对称的点为，连接交轴于点过点作轴于点，    此时 ， 为， 此时 2 学科网（北京）股份有限公司 $$