专题 一元二次方程的根的判别式及根与系数的关系（8大题型）-（题型·技巧培优系列）2024-2025学年九年级数学上册同步精讲精练（人教版）

（人教版）九年级上册数学《第二十一章 一元二次方程》 专题 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 题型一 利用根的判别式判断根的情况 1．（2024•娄底二模）一元二次方程x2+2x﹣1＝0的根的情况是（　　） A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根 2．（2024•潼南区一模）关于x的方程4x2﹣4x＝﹣1的根的情况是（　　） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．无实数根 3．（2023春•瑞安市期中）关于x的一元二次方程x2+kx+k﹣1＝0的根的情况，下列说法中正确的是（　　） A．有两个实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．无实数根 4．（2023•蜀山区校级三模）当b+c＝1时，关于x的一元二次方程x2+bx﹣c＝0的根的情况 为（　　） A．有两个实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．没有实数根 5．（2024•郸城县三模）已知关于x的一元二次方程x2﹣mx+n＝0，其中m，n在数轴上的对应点如图所示，则这个方程的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 6．（2023•虞城县三模）对于实数a、b定义运算“⊗”为a⊗b＝b2﹣ab，例如3⊗2＝22﹣3×2＝﹣2，则关于x的方程（m﹣2）⊗x＝m的根的情况，下列说法正确的是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定 7．（2024•石家庄模拟）已知关于x的方程（x﹣1）（x+2）＝p，则下列分析正确的是（　　） A．当p＝0时，方程有两个相等的实数根 B．当p＞0时，方程有两个不相等的实数根 C．当p＜0时，方程没有实数根 D．方程的根的情况与p的值无关 题型二 利用根的判别式求字母的值或取值范围 1．（2024•海淀区校级开学）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个相等的实数根，则实数m的值 为（　　） A．3 B．2 C．1 D．﹣1 2．（2024•项城市三模）若关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0有两个相等的实数根，则实数m的值为（　　） A．4 B．﹣4 C．±4 D．2 3．（2024•惠阳区校级三模）已知关于x的一元二次方程（k+1）x2﹣（2k+1）x+k﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是（　　） A． B．k≠﹣1 C．且k≠﹣1 D．且k≠﹣1 4．（2023•怀远县校级模拟）若关于x的一元二次方程（k+1）2x2﹣（2k﹣1）x+1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围为（　　） A．且k≠﹣1 B．且k≠﹣1 C． D． 5．（2024春•拱墅区校级期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）已知方程一个根为2，求k的值． 6．（2024春•寿县期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1＝0有两个实数根． （1）求m的取值范围； （2）设p是方程的一个实数根，且满足（p2﹣2p+3）（m+4）＝7，求m的值． 7．（2023秋•海门市期末）关于x的一元二次方程mx2+（2m+3）x+m+1＝0有两个不等的实数根． （1）求m的取值范围； （2）当m取最小整数时，求x的值． 题型三 利用根的判别式证明方程一定有根或无根 1．（2023秋•临渭区期末）已知：关于x的一元二次方程mx2﹣（m﹣2）x﹣2＝0（m≠0）．求证：此方程一定有实数根． 2．（2023春•通州区期末）已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+（2a+1）x+2＝0． （1）求证：此方程一定有两个不相等的实数根； （2）如果这个方程根的判别式的值等于9，求a的值． 3．（2024春•泰兴市期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣3mx+2m2+m﹣1＝0． （1）当m＝2时，解这个方程； （2）试判断方程根的情况，并说明理由． 4．（2023•昌平区二模）关于x的一元二次方程x2﹣kx+k﹣1＝0． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程有一个根小于0，求k的取值范围． 5．（2023春•慈溪市期中）已知关于x的方程x2﹣（m+2）x+（2m﹣1）＝0． （1）求证：无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根； （2）若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求以此两根为边长的直角三角形的周长． 6．（2023春•涡阳县月考）已知关于x的一元二次方程mx2﹣（2m﹣3）x﹣5＝0（m≠0）． （1）求证：无论m为何值，该一元二次方程都有两个不相等的实数根； （2）若m＝﹣2时，该一元二次方程的两个根恰好是等腰三角形的两边，求等腰三角形的周长． 题型四 利用根的判别式解决与三角形有关的问题 1．已知a，b，c是△ABC的三边，且方程以c（1﹣2x）﹣（x2﹣2x+1）b+ax2＝0有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并证明你的结论． 2．在等腰△ABC中，三边分别是a、b、c，其中a＝7，若关于x的方程x2+（b+2）x+6﹣b＝0有两个相等的实数根，求三角形的周长． 3．（2023春•宿迁期末）已知：关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k＝0． （1）求证：无论k取任何实数，方程总有实数根； （2）若等腰三角形的三边长分别为a，b，c，其中a＝1，并且b，c恰好是此方程的两个实数根，求此三角形的周长． 4．（2023秋•新市区校级期中）已知：关于x的一元二次方程x2﹣（2k+3）x+k2+3k+2＝0． （1）证明无论k取何值时方程总有两个实数根． （2）△ABC中，BC＝5，AB、AC的长是这个方程的两个实数根，求k为何值时，△ABC是等腰三角形？ 5．（2023春•涡阳县月考）已知关于x的一元二次方程mx2﹣（2m﹣3）x﹣5＝0（m≠0）． （1）求证：无论m为何值，该一元二次方程都有两个不相等的实数根； （2）若m＝﹣2时，该一元二次方程的两个根恰好是等腰三角形的两边，求等腰三角形的周长． 6．关于x的一元二次方程（c+a）x2+2bx+（c﹣a）＝0，其中a、b、c分别是△ABC三边的长． （1）如果x＝﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由； （2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状并说明理由； （3）已知a：b：c：＝3：4：5，求该一元二次方程的根． 题型五 利用根与系数的关系求关于方程两根代数式的值 1．（2024•定州市三模）若一元二次方程x2﹣4x+3＝0的两个根是x1，x2，则x1•x2的值是（　　） A．3 B．﹣3 C．﹣4 D．4 2．（2024•孝感模拟）一元二次方程x2+2x﹣1＝0的两根为x1，x2，则的值为（　　） A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣3 3．（2023•武昌区模拟）已知m，n是一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的两根，则m+n的值是（　　） A．2 B．3 C．﹣2 D．﹣3 4．（2023•东西湖区模拟）已知a，b是一元二次方程x2﹣23x﹣2023＝0的两根，则的值 是（　　） A．23 B．22 C． D．﹣22 5．（2024春•苏州期末）设x1，x2是方程x2﹣3x+1＝0的两个根，则　 　． 6．（2024春•惠山区期末）若m，n是一元二次方程x2﹣4x﹣5＝0的两个根，则m2n+mn2＝　 　． 7．已知一元二次方程4x2﹣7x+1＝0的两个根分别为α，β，不解方程，求下列各式的值： （1）αβ3+α3β； （2）． 8．已知x1，x2是方程2x2+4x﹣3＝0的两个实数根，不解方程，求下列代数式的值． （1）（x1+x2）2﹣x1x2 （2）（x1﹣2）（x2﹣2） （3）x12+x22 题型六 利用根与系数的关系求方程存在性问题中字母的值 1．（2023秋•绵阳期末）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求实数k的取值范围； （2）若原方程的两个实数根为x1，x2，是否存在实数k，使得x1+x2＝﹣2成立，若存在，求k的值；若不存在，请说明理由． 2．（2024•涟水县模拟）已知关于x的一元二次方程x2﹣2（k+1）x+k2+2＝0有实数根． （1）求k的取值范围； （2）若方程的两实数根分别为α，β，且（2α+1）（2β+1）＝21，求k的值． 3．（2024•秦安县校级三模）已知关于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣1）x+a2﹣a﹣2＝0有两个不相等的实数根x1，x2． （1）求a的取值范围； （2）若x1，x2满足，求a的值． 4．（2023春•广水市月考）已知x1、x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+3＝0的两个实数根． （1）求m的取值范围； （2）是否存在实数根m，使（x1﹣1）（x2﹣1）＝m+6成立，若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由． 5．已知关于x的方程kx2+（k+1）x0有实根． （1）当k＝4时，求解上述方程； （2）求k的取值范围； （3）是否存在实数k，使方程两根的倒数和为1？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由． 6．（2023•新邱区一模）已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+2m﹣1＝0有x1，x2两实数根． （1）若x1＝1，求x2及m的值； （2）是否存在实数m，满足（x1﹣1）（x2﹣1）？若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由． 题型七 根的判别式与根与系数关系的综合应用 1．已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2﹣3＝0有实数根． （1）求实数m的取值范围； （2）当m＝2时，方程的根为x1，x2，求代数式（x12+2x1）（x22+4x2+2）的值． 2．（2024•遂宁）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+m﹣1＝0． （1）求证：无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根； （2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且x1x2＝9，求m的值． 3．（2023•荆门一模）已知a、b是关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x+m2＝0的两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围； （2）若（a+1）（b+1）＝2ab﹣4，求m的值． 4．（2023秋•惠城区校级期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+4k﹣3＝0． （1）求证：无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）当一矩形ABCD的对角线长为AC，且矩形两条边AB和BC恰好是这个方程的两个根时，求矩形ABCD的周长． 5．（2024春•大观区校级期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若△ABC的两边AB、AC的长是方程的两个实数根，第三边BC的长为4，当△ABC是等腰三角形时，求k的值． 6．（2024•济南模拟）关于x的一元二次方程x2﹣6x+k＝0． （1）如果方程有两个不相等的实数根，求k的范围； （2）如果方程的一个根是2，求k的值和方程的另一个根； （3）如果x1，x2是这个方程的两个根，且3x1•x2＝25，求k的值． 7．（2023春•拱墅区校级期中）关于x的方程：x2﹣（2k﹣1）x+k2﹣2k+3＝0有两个不相等的实数根． （1）求实数k的取值范围； （2）用含k的代数式表示|x1﹣x2|； （3）设方程的两个实数根分别为x1，x2，是否存在实数k，使得|x1|﹣|x2|？若存在，试求出k的值；若不存在，说明理由． 题型八 一元二次方程的整数根问题（培优） 1．（2023秋•自贡期末）已知关于x的方程x2+nx+2m＝0． （1）求证：当n＝m+3时，方程总有两个不相等实数根； （2）若方程两个相等的实数根都是整数，写出一组满足条件的m，n的值，并求此时方程的根． 2．（2023秋•东城区校级期末）已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2＝0有实数根． （1）求m的取值范围； （2）若该方程的两个根都是整数，写出一个符合条件的m的值，并求此时方程的根． 3．（2024春•海淀区校级期中）已知关于x的一元二次方程mx2+（2+3m）x+（2m+2）＝0． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若m为整数，当此方程有两个互不相等的负整数根时，直接写出m的值． 4．已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x+2＝0， （1）证明：当m取不为0的任何值时，方程总有实数根； （2）m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根． 5．（2023•北京模拟）已知关于x的一元二次方程x2﹣2mx+n＝0． （1）若此方程总有两个相等的实数根，求n的值．（用含m的代数式表示）； （2）当m＝2时，此方程有两个不相等的整数根，写出一个满足条件的n的值，并求此时方程的根． 6．（2024春•招远市期末）关于x的一元二次方程x2﹣5x+k＝0有实数根． （1）求k的取值范围； （2）如果k是符合条件的最大整数，且关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+m﹣4＝0与方程x2﹣5x+k＝0有一个相同的根，求此时m的值； （3）若方程x2﹣5x+k＝0的两个实数根为x1，x2，且，求此时k的值． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ （人教版）九年级上册数学《第二十一章 一元二次方程》 专题 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 题型一 利用根的判别式判断根的情况 1．（2024•娄底二模）一元二次方程x2+2x﹣1＝0的根的情况是（　　） A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根 【分析】根据方程的系数结合根的判别式，可得出Δ＝8＞0，进而可得出一元二次方程x2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根． 【解答】解：∵a＝1，b＝2，c＝﹣1， ∴Δ＝b2﹣4ac＝22﹣4×1×（﹣1）＝8＞0， ∴一元二次方程x2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根． 故选：C． 【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键． 2．（2024•潼南区一模）关于x的方程4x2﹣4x＝﹣1的根的情况是（　　） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．无实数根 【分析】根据方程根的判别式即可判断． 【解答】解：原方程化为4x2﹣4x+1＝0， ∵a＝4，b＝﹣4，c＝1， ∴Δ＝b2﹣4ac＝16﹣4×4×1＝0， 则方程有两个相等的实数根． 故选：A． 【点评】此题考查了一元二次方程根的判别式，根的判别式的值大于0，方程有两个不相等的实数根；根的判别式的值等于0时，方程有两个相等的实数根；根的判别式的值小于0时，方程无实数根． 3．（2023春•瑞安市期中）关于x的一元二次方程x2+kx+k﹣1＝0的根的情况，下列说法中正确的是（　　） A．有两个实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．无实数根 【分析】先计算根的判别式得到Δ＝（k﹣2）2≥0，然后根据一元二次方程根的判别式的意义对各选项进行判断． 【解答】解：∵Δ＝k2﹣4（k﹣1） ＝k2﹣4k+4 ＝（k﹣2）2≥0， ∴方程有两个实数根． 故选：A． 【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根． 4．（2023•蜀山区校级三模）当b+c＝1时，关于x的一元二次方程x2+bx﹣c＝0的根的情况 为（　　） A．有两个实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．没有实数根 【分析】利用c＝1﹣b得到Δ＝（b﹣2）2≥0，然后根据根的判别式的意义对各选项进行判断． 【解答】解：∵b+c＝1， ∴c＝1﹣b， ∴Δ＝b2﹣4×（﹣c）＝b2+4（1﹣b）＝（b﹣2）2≥0， ∴方程有两个实数解． 故选：A． 【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根． 5．（2024•郸城县三模）已知关于x的一元二次方程x2﹣mx+n＝0，其中m，n在数轴上的对应点如图所示，则这个方程的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【分析】先观察数轴，根据m，n在数轴上的位置，判断其正负，再求出方程根的判别式，根据m，n的值判断判别式的大小，进行解答即可． 【解答】解：观察数轴可知：m＞0，n＜0， ∴m2＞0，﹣4n＞0 ∴x2﹣mx+n＝0， a＝1，b＝﹣m，c＝n， Δ＝b2﹣4ac＝（﹣m）2﹣4×1×n＝m2﹣4n＞0， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 【点评】本题主要考查了根的判别式和数轴，解题关键是熟练掌握利用根的判别式判断一元二次方程根的情况． 6．（2023•虞城县三模）对于实数a、b定义运算“⊗”为a⊗b＝b2﹣ab，例如3⊗2＝22﹣3×2＝﹣2，则关于x的方程（m﹣2）⊗x＝m的根的情况，下列说法正确的是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定 【分析】根据运算“⊗”的定义将方程（m﹣2）⊗x＝m转化为一般式，由根的判别式Δ＝m2+4＞0，即可得出该方程有两个不相等的实数根． 【解答】解：∵（m﹣2）⊗x＝m， ∴x2﹣（m﹣2）x＝m， ∴x2﹣（m﹣2）x﹣m＝0， ∴Δ＝[﹣（m﹣2）]2﹣4×1×（﹣m）＝m2+4＞0， ∴关于x的方程（m﹣2）⊗x＝m有两个不相等的实数根． 故选：A． 【点评】本题考查了根的判别式和实数的运算，牢记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解决问题的关键． 7．（2024•石家庄模拟）已知关于x的方程（x﹣1）（x+2）＝p，则下列分析正确的是（　　） A．当p＝0时，方程有两个相等的实数根 B．当p＞0时，方程有两个不相等的实数根 C．当p＜0时，方程没有实数根 D．方程的根的情况与p的值无关 【分析】先将该方程整理成一般式，再求得其根的判别式为4p+9，再判断各选项的正确与否即可． 【解答】解：方程（x﹣1）（x+2）＝p可整理为x2+x﹣2﹣p＝0， ∴Δ＝12﹣4×1×（﹣2﹣p）＝1+8+4p＝4p+9． 当p＝0时，Δ＝4p+9＝9＞0， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选项A不符合题意； 当p＞0时，Δ＝4p+9＞0， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选项B符合题意； 当p＜0时，Δ的正负无法确定， ∴无法判断该方程实数根的情况， 故选项C不符合题意； ∵方程的根的情况和p的值有关， 故选项D不符合题意． 故选B． 【点评】此题考查了一元二次方程根的判别式的应用能力，关键是能对该方程进行准确变形与计算． 题型二 利用根的判别式求字母的值或取值范围 1．（2024•海淀区校级开学）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个相等的实数根，则实数m的值 为（　　） A．3 B．2 C．1 D．﹣1 【分析】根据该方程有两个相等的实数根，得Δ＝b2﹣4ac＝0，代入数值化简计算，即可作答． 【解答】解：∵x2﹣2x+m＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝（﹣2）2﹣4m＝0， 解得m＝1． 故选：C． 【点评】本题考查了根据一元二次方程的根的情况求参数，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 2．（2024•项城市三模）若关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0有两个相等的实数根，则实数m的值为（　　） A．4 B．﹣4 C．±4 D．2 【分析】若一元二次方程有两个相等的实数根，则根的判别式Δ＝b2﹣4ac＝0，建立关于m的方程，即可求解． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4m＝0， 解得m＝4． 故选：A． 【点评】此题考查了根的判别式．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0⇔方程没有实数根． 3．（2024•惠阳区校级三模）已知关于x的一元二次方程（k+1）x2﹣（2k+1）x+k﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是（　　） A． B．k≠﹣1 C．且k≠﹣1 D．且k≠﹣1 【分析】由一元二次方程有实数根，得到根的判别式大于等于0，求出k的范围即可． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程（k+1）x2﹣（2k+1）x+k﹣1＝0有实数根， ∴b2﹣4ac＝[﹣（2k+1）]2﹣4（k+1）（k﹣1）≥0，k+1≠0， 解得：k且k≠﹣1． 故选：D． 【点评】此题考查了根的判别式，以及一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程根的判别式与方程解的关系是解本题的关键． 4．（2023•怀远县校级模拟）若关于x的一元二次方程（k+1）2x2﹣（2k﹣1）x+1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围为（　　） A．且k≠﹣1 B．且k≠﹣1 C． D． 【分析】根据二次项系数非零及根的判别式Δ＞0，即可得出关于k的不等式组，解之即可得出k的取值范围． 【解答】解：∵关x的一元二次方程（k+1）2x2﹣（2k﹣1）x+1＝0有两个不相等的实数根， ∴， 解得：且k≠﹣1． 故选：A． 【点评】本题考查一元二次方程的定义以及根的判别式，根据二次项系数非零及根的判别式Δ＞0，找出关于k的不等式组是解题的关键． 5．（2024春•拱墅区校级期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）已知方程一个根为2，求k的值． 【分析】（1）根据一元二次方程写出根的判别式，根据根的判别式的值为正数即可证明方程有两个不相等的实数根； （2）设方程的另一根为α，根据根与系数的关系列方程组，消去a，得到k的一元二次方程，解方程即得． 【解答】解：（1）∵Δ＝[﹣（2k+1）]2﹣4×1×（k2+k）＝4k2+4k+1﹣4k2﹣4k＝1＞0， 故方程有两个不相等的实数根． （2）设方程的另一根为a， 则， ∴k2﹣3k+2＝0， ∴（k﹣1）（k﹣2）＝0， ∴k﹣1＝0，或k﹣2＝0， 解得，k＝1，或k＝2． 【点评】本题主要考查了一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，解一元二次方程．熟练掌握一元二次方程根的判别式判定根的情况，一元二次方程根与系数的关系，是解题的关键． 6．（2024春•寿县期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1＝0有两个实数根． （1）求m的取值范围； （2）设p是方程的一个实数根，且满足（p2﹣2p+3）（m+4）＝7，求m的值． 【分析】（1）若一元二次方程有两实数根，则根的判别式Δ＝b2﹣4ac≥0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围． （2）p是方程的一个实数根，则p2﹣2p+m﹣1＝0，则p2﹣2p+3＝4﹣m，代入（p2﹣2p+3）（m+4）＝7，求得m的值． 【解答】解：（1）根据题意得Δ＝b2﹣4ac＝4﹣4×（m﹣1）≥0，解得m≤2； （2）p是方程的一个实数根，则p2﹣2p+m﹣1＝0，则p2﹣2p+3＝4﹣m， 则（p2﹣2p+3）（m+4）＝7即（4﹣m）（4+m）＝7， 解得：m＝3（舍去）或﹣3． 故m的值为﹣3． 【点评】本题考查了方程的根的定义以及根的判别式，（2）中注意求得的m要满足（1）中m的范围． 7．（2023秋•海门市期末）关于x的一元二次方程mx2+（2m+3）x+m+1＝0有两个不等的实数根． （1）求m的取值范围； （2）当m取最小整数时，求x的值． 【分析】（1）根据方程有两个不相等的实数根根，则根的判别式Δ＝b2﹣4ac＞0且m≠0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围； （2）得到m的最小整数，利用因式分解法解一元二次方程即可． 【解答】解：（1）∵一元二次方程mx2+（2m+3）x+m+1＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝（2m+3）2﹣4m（m+1）＝8m+9＞0， ∴m且m≠0； （2）m满足条件的最小值为m＝﹣1， 此时方程为﹣x2﹣x＝0， 解得x1＝0，x2＝﹣1． 【点评】考查了根的判别式，总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0⇔方程没有实数根． 题型三 利用根的判别式证明方程一定有根或无根 1．（2023秋•临渭区期末）已知：关于x的一元二次方程mx2﹣（m﹣2）x﹣2＝0（m≠0）．求证：此方程一定有实数根． 【分析】计算判别式的值得到Δ＝（m+2）2≥0，然后根据判别式的意义得到结论． 【解答】证明：∵m≠0， Δ＝（m﹣2）2﹣4m×（﹣2） ＝m2﹣4m+4+8m ＝m2+4m+4 ＝（m+2）2≥0， ∴方程一定有实数根； 【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．也考查了有理数的整除性． 2．（2023春•通州区期末）已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+（2a+1）x+2＝0． （1）求证：此方程一定有两个不相等的实数根； （2）如果这个方程根的判别式的值等于9，求a的值． 【分析】（1）表示出根的判别式，判断其值大于0即可得证； （2）表示出根的判别式，让其值为9求出a的值即可． 【解答】（1）证明：∵Δ＝（2a+1）2﹣8（a﹣1） ＝4a2+4a+1﹣8a+8 ＝4a2﹣4a+1+8 ＝（2a﹣1）2+8， ∵（2a﹣1）2≥0， ∴Δ＝（2a﹣1）2+8＞0， ∴此方程一定有两个不相等的实数根； （2）解：∵Δ＝（2a﹣1）2+8＝9， ∴（2a﹣1）2＝1， 解得：a1＝0，a2＝1， ∵a≠1， ∴a＝0． 【点评】此题考查了根的判别式，以及一元二次方程的定义，熟练掌握根的判别式与根的情况之间的关系是解本题的关键． 3．（2024春•泰兴市期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣3mx+2m2+m﹣1＝0． （1）当m＝2时，解这个方程； （2）试判断方程根的情况，并说明理由． 【分析】（1）把m＝2，代入方程，解方程即可； （2）证明Δ≥0，可得结论． 【解答】解：（1）m＝2时，方程为x2﹣6x+9＝0， ∴（x﹣3）2＝0， ∴x1＝x2＝3； （2）Δ＝（3m）2﹣4（2m2+m﹣1） ＝9m2﹣8m2﹣4m+4 ＝m2﹣4m+4 ＝（m﹣2）2≥0， ∴方程有实数根． 【点评】本题考查根的判别式，解题的关键是掌握根与系数关系，属于中考常考题型． 4．（2023•昌平区二模）关于x的一元二次方程x2﹣kx+k﹣1＝0． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程有一个根小于0，求k的取值范围． 【分析】（1）根据判别式即可求出答案； （2）根据因式分解法可求出方程的两根，然后列出不等式即可求出k的范围． 【解答】（1）证明：由题意可知：Δ＝k2﹣4k+4＝（k﹣2）2≥0， ∴方程总有两个实数根； （2）解：∵x2﹣kx+k﹣1＝0， ∴（x﹣k+1）（x﹣1）＝0， ∴x＝k﹣1或x＝1， ∵方程有一个根小于0， ∴k﹣1＜0， ∴k＜1． 【点评】本题考查一元二次方程，熟练运用一元二次方程的解法是解题的关键． 5．（2023春•慈溪市期中）已知关于x的方程x2﹣（m+2）x+（2m﹣1）＝0． （1）求证：无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根； （2）若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求以此两根为边长的直角三角形的周长． 【分析】（1）根据关于x的方程x2﹣（m+2）x+（2m﹣1）＝0的根的判别式的符号来证明结论； （2）根据一元二次方程的解的定义求得m值，然后由根与系数的关系求得方程的另一根，分两种情况进行讨论解答即可． 【解答】（1）证明：∵Δ＝（m+2）2﹣4（2m﹣1）＝（m﹣2）2+4， ∴在实数范围内，m无论取何值，（m﹣2）2+4≥4， 即△≥4， ∴关于x的方程x2﹣（m+2）x+（2m﹣1）＝0恒有两个不相等的实数根； （2）解：根据题意，得12﹣1×（m+2）+（2m﹣1）＝0， 解得，m＝2， 则方程的另一根为：m+2﹣1＝2+1＝3； ①当该直角三角形的直角边为为1、3时，斜边为， ∴周长为：4； ②当该直角三角形的斜边为3、直角边为1时，另一条直角边为2， 直角三角形的周长＝1+3+24+2． 【点评】本题综合考查了根的判别式、一元二次方程解的定义．解答（2）时，采用了“分类讨论”的数学思想． 6．（2023春•涡阳县月考）已知关于x的一元二次方程mx2﹣（2m﹣3）x﹣5＝0（m≠0）． （1）求证：无论m为何值，该一元二次方程都有两个不相等的实数根； （2）若m＝﹣2时，该一元二次方程的两个根恰好是等腰三角形的两边，求等腰三角形的周长． 【分析】（1）根据方程的系数，结合根的判别式Δ＝b2﹣4ac，可得出Δ＝4（m+1）2+5，结合偶次方的非负性，可得出Δ＞0，进而可证出：无论m为何值，该一元二次方程都有两个不相等的实数根； （2）将m＝﹣2代入原方程，利用因式分解法解之可得出方程的两根，结合等腰三角形的性质及三角形三边关系，可得出三角形的三边为1，，，再将其相加即可求出结论． 【解答】（1）证明：Δ＝[﹣（2m﹣3）]2﹣4×m×（﹣5）＝4m2﹣12m+9+20m＝4m2+8m+9＝4（m+1）2+5． ∵（m+1）2≥0， ∴4（m+1）2+5＞0，即Δ＞0， ∴无论m为何值，该一元二次方程都有两个不相等的实数根； （2）解：当m＝﹣2时，原方程为2x2﹣7x+5＝0，即（2x﹣5）（x﹣1）＝0， 解得：x1＝1，x2， ∵该一元二次方程的两个根恰好是等腰三角形的两边，且1+1＝2， ∴等腰三角形的三边只能为1，，， ∴等腰三角形的周长为16． 【点评】本题考查了根的判别式、三角形的三边关系、等腰三角形的性质、因式分解法解一元二次方程以及偶次方的非负性，解题的关键是：（1）牢记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”；（2）利用等腰三角形的性质及三角形的三边关系，找出等腰三角形三条边的长度． 题型四 利用根的判别式解决与三角形有关的问题 1．已知a，b，c是△ABC的三边，且方程以c（1﹣2x）﹣（x2﹣2x+1）b+ax2＝0有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并证明你的结论． 【分析】先把方程化为一般式得到（a﹣b）x2+2（b﹣c）x﹣（b﹣c）＝0，再根据判别式的意义得到Δ＝[2（b﹣c）]2+4（a﹣b）（b﹣c）＝0，整理得4（a﹣c）（b﹣c）＝0，即可判断三角形形状． 【解答】△ABC为等腰三角形． 证明：c（1﹣2x）﹣（x2﹣2x+1）b+ax2＝0， 整理得（a﹣b）x2+2（b﹣c）x﹣（b﹣c）＝0， ∵方程有两个相等的实数根， ∴Δ＝[2（b﹣c）]2+4（a﹣b）（b﹣c）＝0， 整理得4（a﹣c）（b﹣c）＝0， ∴a＝c或b＝c， ∴△ABC为等腰三角形． 【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根． 2．在等腰△ABC中，三边分别是a、b、c，其中a＝7，若关于x的方程x2+（b+2）x+6﹣b＝0有两个相等的实数根，求三角形的周长． 【分析】若一元二次方程有两个相等的实数根，则根的判别式Δ＝0，据此可求出b的值；进而可由三角形三边关系定理确定等腰三角形的三边长，即可求得其周长． 【解答】解：∵关于x的方程x2+（b+2）x+6﹣b＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝（b+2）2﹣4（6﹣b）＝0，即b2+8b﹣20＝0； 解得b＝2，b＝﹣10（舍去）； ①当a为底，b为腰时，则2+2＜7，构不成三角形，此种情况不成立； ②当b为底，a为腰时，则7﹣2＜7＜7+2，能够构成三角形； 此时△ABC的周长为：7+7+2＝16． 答：三角形的周长是12． 【点评】此题考查了根的判别式、等腰三角形的性质及三角形三边关系定理；在求三角形的周长时，不能盲目的将三边相加，而应在三角形三边关系定理为前提条件下分类讨论，以免造成多解、错解． 3．（2023春•宿迁期末）已知：关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k＝0． （1）求证：无论k取任何实数，方程总有实数根； （2）若等腰三角形的三边长分别为a，b，c，其中a＝1，并且b，c恰好是此方程的两个实数根，求此三角形的周长． 【分析】（1）表示出方程根的判别式，判断其值大于等于0即可得证； （2）分两种情况考虑：当b＝c时，求出方程的解，进而得到三角形周长；当a＝c或a＝b时，把x＝1代入方程求出k的值，进而求出周长即可． 【解答】（1）证明：∵关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k＝0， ∴Δ＝[﹣（k+2）]2﹣8k ＝k2+4k+4﹣8k ＝k2﹣4k+4 ＝（k﹣2）2≥0， 则无论k取何实数值，方程总有实数根； （2）解：当b＝c时，k＝2，方程为x2﹣4x+4＝0， 解得：x1＝x2＝2， 此时三边长为1，2，2，周长为1+2+2＝5； 当a＝b＝1或a＝c＝1时，把x＝1代入方程得：1﹣（k+2）+2k＝0， 解得：k＝1，此时方程为：x2﹣3x+2＝0， 解得：x1＝2，x2＝1， 此时三边长为1，1，2，不能组成三角形， 综上所述，△ABC的周长为5． 【点评】此题考查了根与系数的关系，根的判别式，三角形三边关系，以及等腰三角形的性质，熟练掌握各自的性质是解本题的关键． 4．（2023秋•新市区校级期中）已知：关于x的一元二次方程x2﹣（2k+3）x+k2+3k+2＝0． （1）证明无论k取何值时方程总有两个实数根． （2）△ABC中，BC＝5，AB、AC的长是这个方程的两个实数根，求k为何值时，△ABC是等腰三角形？ 【分析】（1）表示出方程根的判别式，根据根的判别式的正负即可确定出方程根的情况； （2）由（1）得到AB≠AC，分AC＝BC与AB＝BC两种情况求出k的值即可． 【解答】（1）证明：∵Δ＝[﹣（2k+3）]2﹣4×1×（k2+3k+2）＝1＞0， ∴无论k取何值时方程总有两个实数根． （2）解：∵方程x2﹣（2k+3）x+k2+3k+2＝0的解为： x，即x1＝k+2，x2＝k+1， ∵AB、AC是方程的两个实数根， ∴AB≠AC， ∵BC＝5， ∴当k+2＝5，或k+1＝5时，△ABC是等腰三角形， ∴k＝3或4， 故当k为3或4时，△ABC是等腰三角形． 【点评】此题考查了根与系数的关系，涉及的知识有：一元二次方程根与系数的关系，根的情况判断，以及等腰三角形的性质，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 5．（2023春•涡阳县月考）已知关于x的一元二次方程mx2﹣（2m﹣3）x﹣5＝0（m≠0）． （1）求证：无论m为何值，该一元二次方程都有两个不相等的实数根； （2）若m＝﹣2时，该一元二次方程的两个根恰好是等腰三角形的两边，求等腰三角形的周长． 【分析】（1）根据方程的系数，结合根的判别式Δ＝b2﹣4ac，可得出Δ＝4（m+1）2+5，结合偶次方的非负性，可得出Δ＞0，进而可证出：无论m为何值，该一元二次方程都有两个不相等的实数根； （2）将m＝﹣2代入原方程，利用因式分解法解之可得出方程的两根，结合等腰三角形的性质及三角形三边关系，可得出三角形的三边为1，，，再将其相加即可求出结论． 【解答】（1）证明：Δ＝[﹣（2m﹣3）]2﹣4×m×（﹣5） ＝4m2﹣12m+9+20m＝4m2+8m+9＝4（m+1）2+5． ∵（m+1）2≥0， ∴4（m+1）2+5＞0，即Δ＞0， ∴无论m为何值，该一元二次方程都有两个不相等的实数根； （2）解：当m＝﹣2时，原方程为2x2﹣7x+5＝0，即（2x﹣5）（x﹣1）＝0， 解得：x1＝1，x2， ∵该一元二次方程的两个根恰好是等腰三角形的两边，且1+1＝2， ∴等腰三角形的三边只能为1，，， ∴等腰三角形的周长为16． 【点评】本题考查了根的判别式、三角形的三边关系、等腰三角形的性质、因式分解法解一元二次方程以及偶次方的非负性，解题的关键是：（1）牢记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”；（2）利用等腰三角形的性质及三角形的三边关系，找出等腰三角形三条边的长度． 6．关于x的一元二次方程（c+a）x2+2bx+（c﹣a）＝0，其中a、b、c分别是△ABC三边的长． （1）如果x＝﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由； （2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状并说明理由； （3）已知a：b：c：＝3：4：5，求该一元二次方程的根． 【分析】（1）把x＝﹣1代入方程得c+a﹣2b+c﹣a＝0，整理得c＝b，从而可判断三角形的形状； （2）根据判别式的意义得Δ＝（2b）2﹣4（c+a）（c﹣a）＝0，即a2+b2＝c2，然后根据勾股定理的逆定理判断三角形的形状； （3）根据a：b：c＝3：4：5，设a＝3t，b＝4t，c＝5t，将其代入方程整理得4x2+4x+1＝0，解方程求出x值，此题得解． 【解答】解：（1）把x＝﹣1代入方程得c+a﹣2b+c﹣a＝0，则c＝b， 所以△ABC为等腰三角形； （2）根据题意得Δ＝（2b）2﹣4（c+a）（c﹣a）＝0，即a2+b2＝c2， 所以△ABC为直角三角形； （3）∵a：b：c＝3：4：5， ∴设a＝3t，b＝4t，c＝5t， ∴原方程可变为：4x2+4x+1＝0， 解得：x1＝x2． 【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．也考查了一元二次方程的解及解法，勾股定理的逆定理． 题型五 利用根与系数的关系求关于方程两根代数式的值 1．（2024•定州市三模）若一元二次方程x2﹣4x+3＝0的两个根是x1，x2，则x1•x2的值是（　　） A．3 B．﹣3 C．﹣4 D．4 【分析】直接根据根与系数的关系求解． 【解答】解：∵一元二次方程x2﹣4x+3＝0的两个根是x1，x2， ∴x1•x2＝3． 故选：A． 【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2． 2．（2024•孝感模拟）一元二次方程x2+2x﹣1＝0的两根为x1，x2，则的值为（　　） A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣3 【分析】先根据一元二次方程根与系数的关系，求出两根之和与两根之积，然后直接代入所求代数式进行计算即可． 【解答】解：∵一元二次方程x2+2x﹣1＝0的两根为x1，x2， ∴x1+x2＝﹣2，x1x2＝﹣1， ∴xx2（x1+x2）＝﹣1×（﹣2）＝2． 故选：A． 【点评】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解题关键是熟练掌握根与系数的关系，求出两根之和与两根之积． 3．（2023•武昌区模拟）已知m，n是一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的两根，则m+n的值是（　　） A．2 B．3 C．﹣2 D．﹣3 【分析】先将m+n通分、化简得，再利用配方法得，根据一元二次方程根与系数的关系可知m+n2，mn1，最后整体代入计算即可求解． 【解答】解：m+n ， ∵m，n是一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的两根， ∴m+n2，mn1， 则原式3． 故选：B． 【点评】本题主要考查分式的混合运算、根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系时解题关键．根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，，． 4．（2023•东西湖区模拟）已知a，b是一元二次方程x2﹣23x﹣2023＝0的两根，则的值 是（　　） A．23 B．22 C． D．﹣22 【分析】根据题意，利用根与系数的关系表示出a+b，原式化简后代入计算即可求出值． 【解答】解：∵a，b是一元二次方程x2﹣23x﹣2023＝0的两根， ∴a+b＝23， ∴原式 ． 故选：C． 【点评】此题考查了根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键． 5．（2024春•苏州期末）设x1，x2是方程x2﹣3x+1＝0的两个根，则　 　． 【分析】根据根与系数的关系得x1+x2＝3，根据方程解的定义得3x1+1＝0，即3x1﹣1，代入所求的式子计算即可． 【解答】解：∵x1，x2是方程x2﹣3x+1＝0的两个根， ∴x1+x2＝3，3x1+1＝0，x1x2＝1， ∴3x1﹣1， ∴3x2+x1x2 ＝3x1﹣1+3x2+1 ＝3（x1+x2） ＝3×3 ＝9． 故填空答案：9． 【点评】此题考查了根与系数的关系和一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键． 6．（2024春•惠山区期末）若m，n是一元二次方程x2﹣4x﹣5＝0的两个根，则m2n+mn2＝　 　． 【分析】利用一元二次方程根和系数的关系：两根之和等于，两根之积等于，先求出m+n和mn的值，再整体代入到代数式m2n+mn2＝mn（m+n）计算即可求解． 【解答】解：∵m，n是一元二次方程：x2﹣4x﹣5＝0的两个根， ∴m+n＝4，mn＝﹣5， ∴m2n+mn2＝mn（m+n）＝﹣5×4＝﹣20， 故答案为：﹣20． 【点评】本题考查了一元二次方程根和系数的关系，熟知一元二次方程根和系数的关系：两根之和等于，两根之积等于是解题的关键． 7．已知一元二次方程4x2﹣7x+1＝0的两个根分别为α，β，不解方程，求下列各式的值： （1）αβ3+α3β； （2）． 【分析】根据根与系数的关系得到α+β，αβ， （1）利用因式分解和完全平方公式把原式变形为αβ[（α+β）2﹣2αβ]，然后利用整体代入的方法计算； （2）先通分，再利用完全平方公式变形得到原式，然后利用整体代入的方法计算． 【解答】解：根据题意得α+β，αβ， （1）原式＝αβ（α2+β2）＝αβ[（α+β）2﹣2αβ][（）2﹣2]； （2）原式． 【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x1，x2，则x1+x2，x1•x2． 8．已知x1，x2是方程2x2+4x﹣3＝0的两个实数根，不解方程，求下列代数式的值． （1）（x1+x2）2﹣x1x2 （2）（x1﹣2）（x2﹣2） （3）x12+x22 【分析】首先利用根与系数的关系可得x1+x2、x1x2的值． （1）直接将x1+x2、x1x2的值代入，并计算即可解答； （2）利用多项式与多项式的乘法法则将其展开，得x1x2﹣2（x1+x2）+4，此时再将x1+x2、x1x2的值代入，计算即可； （3）结合完全平方公式将其变形得（x1+x2）2﹣2x1x2，可得结论． 【解答】解：∵x1，x2是方程2x2+4x﹣3＝0的两个实数根， ∴x1+x22，x1x2， （1）将x1+x2＝﹣2，x1x2代入（x1+x2）2﹣x1x2＝（﹣2）2﹣（）． （2）（x1﹣2）（x2﹣2）＝x1x2﹣2（x1+x2）+4， 将x1+x2＝﹣2，x1x2代入上式，得 2×（﹣2）+4． （3）x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝（﹣2）2﹣2×（）＝7． 【点评】本题考查根与系数的关系，解题的关键是学会利用整体代入的思想解决问题，属于中考常考题型． 题型六 利用根与系数的关系求方程存在性问题中字母的值 1．（2023秋•绵阳期末）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求实数k的取值范围； （2）若原方程的两个实数根为x1，x2，是否存在实数k，使得x1+x2＝﹣2成立，若存在，求k的值；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）由根的判别式Δ＞0，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围； （2）由根与系数的关系，得到，然后解关于k的一元二次方程，即可求出答案． 【解答】解：（1）∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴Δ＞0，且k≠0， 即， 即：1﹣2k＞0， ∴，且k≠0； （2）存在． 根据题意，， ∴， ∴， 经检验，是方程的根，且符合题意， 即． 【点评】本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的定义以及根的判别式，解题的关键是：（1）根据根的判别式Δ＞0，列出关于k的一元一次不等式；（2）根据根与系数的关系求出k值． 2．（2024•涟水县模拟）已知关于x的一元二次方程x2﹣2（k+1）x+k2+2＝0有实数根． （1）求k的取值范围； （2）若方程的两实数根分别为α，β，且（2α+1）（2β+1）＝21，求k的值． 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式即可解决问题． （2）利用根与系数的关系用k表示出α+β和αβ即可解决问题． 【解答】解：（1）因为关于x的一元二次方程x2﹣2（k+1）x+k2+2＝0有实数根， 所以[﹣2（k+1）]2﹣4×1×（k2+2）≥0， 解得k， 所以k的取值范围是k． （2）因为方程的两实数根分别为α，β， 所以，． 又因为（2α+1）（2β+1）＝21， 所以4αβ+2（α+β）+1＝21， 即4（k2+2）+2（2k+2）+1＝21， 解得k＝1或﹣2． 又因为k， 所以k＝1． 【点评】本题考查根与系数的关系及根的判别式，熟知一元二次方程根与系数的关系及根的判别式是解题的关键． 3．（2024•秦安县校级三模）已知关于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣1）x+a2﹣a﹣2＝0有两个不相等的实数根x1，x2． （1）求a的取值范围； （2）若x1，x2满足，求a的值． 【分析】（1）根据关于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣1）x+a2﹣a﹣2＝0有两个不相等的实数根，得到Δ＝[﹣2（a﹣1）]2﹣4（a2﹣a﹣2）＞0，于是得到结论； （2）根据x1+x2＝2（a﹣1），x1x2＝a2﹣a﹣2，代入x12+x22﹣x1x2＝16，解方程即可得到结论． 【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣1）x+a2﹣a﹣2＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝[﹣2（a﹣1）]2﹣4（a2﹣a﹣2）＞0， 解得：a＜3． （2）∵x1+x2＝2（a﹣1），x1x2＝a2﹣a﹣2， ∵x12+x22﹣x1x2＝16， ∴（x1+x2）2﹣3x1x2＝16， ∴[2（a﹣1）]2﹣3（a2﹣a﹣2）＝16， 解得：a1＝﹣1，a2＝6， ∵a＜3， ∴a＝﹣1． 【点评】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系及根的判别式，先判断出a的取值范围，再由根与系数的关系得出方程是解答此题的关键． 4．（2023春•广水市月考）已知x1、x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+3＝0的两个实数根． （1）求m的取值范围； （2）是否存在实数根m，使（x1﹣1）（x2﹣1）＝m+6成立，若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由． 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式，即可求解； （2）利用一元二次方程根与系数的关系可得x1+x2＝2（m+1），，再由（x1﹣1）（x2﹣1）＝m+6，可得关于m的方程，即可求解． 【解答】解：（1）由题意得：Δ＝[﹣2（m+1）]2﹣4（m2+3）≥0， 解得：m≥1， 即：m的取值范围为：m≥1； （2）存在， 由根与系数的关系得：x1+x2＝2（m+1），， ∵（x1﹣1）（x2﹣1）＝m+6， ∴x1x2﹣x1﹣x2+1＝m+6， ∴x1x2﹣（x1+x2）+1＝m+6， ∴m2+3﹣2（m+1）+1＝m+6， 解得：m1＝4，m2＝﹣1， ∵m≥1， ∴m＝4． 【点评】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式，根与系数的关系是解题的关键． 5．已知关于x的方程kx2+（k+1）x0有实根． （1）当k＝4时，求解上述方程； （2）求k的取值范围； （3）是否存在实数k，使方程两根的倒数和为1？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）利用因式分解法解方程即可； （2）讨论：当k＝0时，方程为一元一次方程，有实数解；当k≠0时，利用根的判别式的意义得到Δ＝（k+1）2﹣4k0，此时满足k且k≠0，然后综合两种情况得到k的取值范围； （3）设方程的两根分别为a、b，根据根与系数的关系得a+b，ab，再利用1得到，解得k，然后利用k且k≠0可判断不存在实数k，使方程两根的倒数和为1． 【解答】解：（1）k＝4，方程化为：4x2+5x+1＝0， （4x+1）（x+1）＝0， 4x+1＝0或x+1＝0， 所以x1，x2＝﹣1； （2）当k＝0时，方程化为x＝0，方程有实数解； 当k≠0时，根据题意得Δ＝（k+1）2﹣4k0， 解得k且k≠0， 综上所述，k的取值范围为k； （3）不存在． 理由如下： 设方程的两根分别为a、b， 根据根与系数的关系得a+b，ab， ∵1， 即1， ∴a+b＝ab， ∴， 解得k， ∵k且k≠0， ∴不存在实数k，使方程两根的倒数和为1． 【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2．也考查了根的判别式． 6．（2023•新邱区一模）已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+2m﹣1＝0有x1，x2两实数根． （1）若x1＝1，求x2及m的值； （2）是否存在实数m，满足（x1﹣1）（x2﹣1）？若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）根据一元二次方程根和系数的关系，得到x1+x2＝6，x1x2＝2m﹣1，即可求出x2及m的值； （2）将x1+x2＝6，x1x2＝2m﹣1代入（x1﹣1）（x2﹣1），整理得：m2﹣8m+12＝0，求出m的值，然后再舍去不合题意的值即可． 【解答】解：（1）根据题意得，x1x22m﹣1，x1+x2＝6， 若x1＝1，1+x2＝6，解得x2＝5， ∵52m﹣1， 解得：x2＝5，m＝3； （2）∵（x1﹣1）（x2﹣1）， ∴x1x2﹣（x1+x2）+1， ∵x1+x2＝6，x1x2＝2m﹣1， ∴2m﹣1﹣6+1， 整理得：m2﹣8m+12＝0， 解得：m1＝2，m2＝6， 经检验m1＝2，m2＝6为原方程的解， 又∵一元二次方程x2﹣6x+2m﹣1＝0有两个实数根， ∴Δ＝（﹣6）2﹣4（2m﹣1）≥0， 解得：m≤5， ∴m＝2． 【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，根和系数的关系，解分式方程，熟练掌握一元二次方程根和系数的关系：x1+x2，x1x2是解题关键． 题型七 根的判别式与根与系数关系的综合应用 1．已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2﹣3＝0有实数根． （1）求实数m的取值范围； （2）当m＝2时，方程的根为x1，x2，求代数式（x12+2x1）（x22+4x2+2）的值． 【分析】（1）根据△≥0，解不等式即可； （2）将m＝2代入原方程可得：x2+3x+1＝0，计算两根和与两根积，化简所求式子，可得结论． 【解答】解：（1）由题意△≥0， ∴（2m﹣1）2﹣4（m2﹣3）≥0， ∴m． （2）当m＝2时，方程为x2+3x+1＝0， ∴x1+x2＝﹣3，x1x2＝1， ∵方程的根为x1，x2， 解法一：x12+3x1+1＝0，x22+3x2+1＝0， ∴（x12+2x1）（x22+4x2+2） ＝（x12+2x1+x1﹣x1）（x22+3x2+x2+2） ＝（﹣1﹣x1）（﹣1+x2+2） ＝（﹣1﹣x1）（x2+1） ＝﹣x2﹣x1x2﹣1﹣x1 ＝﹣x2﹣x1﹣2 ＝3﹣2 ＝1． 解法二：x12+2x1＝3x1+x12﹣x1+1﹣1＝﹣x1﹣1 x22+4x2+2＝x22+3x2+1+x2+1＝x2+1 ∴（x12+2x1）（x22+4x2+2） ＝（﹣1﹣x1）（x2+1） ＝﹣x2﹣x1x2﹣1﹣x1 ＝﹣x2﹣x1﹣2 ＝3﹣2 ＝1． 【点评】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，根的判别式等知识，牢记“两根之和等于，两根之积等于”是解题的关键． 2．（2024•遂宁）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+m﹣1＝0． （1）求证：无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根； （2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且x1x2＝9，求m的值． 【分析】（1）先确定a、b、c，再计算根的判别式，利用根的判别式得结论； （2）先利用根与系数的关系求出两根的和与积，再代入已知中得关于m的方程，求解即可． 【解答】解：（1）x2﹣（m+2）x+m﹣1＝0， 这里a＝1，b＝﹣（m+2），c＝m﹣1， Δ＝b2﹣4ac ＝[﹣（m+2）]2﹣4×1×（m﹣1） ＝m2+4m+4﹣4m+4 ＝m2+8． ∵m2≥0， ∴△＞0． ∴无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根； （2）设方程x2﹣（m+2）x+m﹣1＝0的两个实数根为x1，x2， 则x1+x2＝m+2，x1x2＝m﹣1． ∵x1x2＝9，即（x1+x2）2﹣3x1x2＝9， ∴（m+2）2﹣3（m﹣1）＝9． 整理，得m2+m﹣2＝0． ∴（m+2）（m﹣1）＝0． 解得m1＝﹣2，m2＝1． ∴m的值为﹣2或1． 【点评】本题考查了一元二次方程，掌握根的判别式、根与系数的关系及完全平方公式的变形等知识点是解决本题的关键． 3．（2023•荆门一模）已知a、b是关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x+m2＝0的两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围； （2）若（a+1）（b+1）＝2ab﹣4，求m的值． 【分析】（1）根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于0，解不等式即可求解； （2）利用根与系数的关系表示出两根之和与两根之积，已知等式变形后代入计算即可求出m的值． 【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x+m2＝0有两个不相等的实数根a、b， ∴Δ＝[﹣（2m﹣1）]2﹣4m2＝﹣4m+1＞0， 解得：m， （2）∵（a+1）（b+1）＝2ab﹣4， 即：ab+（a+b）+1＝2ab﹣4 ∴ab﹣（a+b）﹣5＝0， 又∵a+b＝2m﹣1，ab＝m2， ∴m2﹣（2m﹣1）﹣5＝0， ∴m2﹣2m﹣4＝0， 解得：或（舍去）． 【点评】此题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键． 4．（2023秋•惠城区校级期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+4k﹣3＝0． （1）求证：无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）当一矩形ABCD的对角线长为AC，且矩形两条边AB和BC恰好是这个方程的两个根时，求矩形ABCD的周长． 【分析】（1）计算判别式的值得到Δ＝（2k﹣3）2+4，利用非负数的性质得到Δ＞0，从而根据判别式的意义得到结论； （2）利用根与系数的关系得到AB+BC＝2k+1，AB•BC＝4k﹣3，利用矩形的性质和勾股定理得到AB2+BC2＝AC2＝（）2，则（2k+1）2﹣2（4k﹣3）＝31，解得k1＝3，k2＝﹣2，利用AB、BC为正数得到k的值为3，然后计算AB+BC得到矩形ABCD的周长． 【解答】（1）证明：Δ＝（2k+1）2﹣4（4k﹣3） ＝4k2+4k+1﹣16k+12 ＝4k2﹣12k+13 ＝（2k﹣3）2+4， ∵（2k﹣3）2≥0， ∴Δ＞0， ∴无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）根据题意得AB+BC＝2k+1，AB•BC＝4k﹣3， 而AB2+BC2＝AC2＝（）2， ∴（2k+1）2﹣2（4k﹣3）＝31， 整理得k2﹣k﹣6＝0，解得k1＝3，k2＝﹣2， 而AB+BC＝2k+1＞0，AB•BC＝4k﹣3＞0， ∴k的值为3， ∴AB+BC＝7， ∴矩形ABCD的周长为14． 【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2．也考查了根的判别式． 5．（2024春•大观区校级期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若△ABC的两边AB、AC的长是方程的两个实数根，第三边BC的长为4，当△ABC是等腰三角形时，求k的值． 【分析】（1）计算判别式的值得到Δ＝1＞0，即可得到结论； （2）利用因式分解法解方程得到（x﹣k）[x﹣（k+1）]＝0，求出方程的两个解为x1＝k，x2＝k+1，再进行分类讨论即可． 【解答】（1）证明：∵Δ＝[﹣（2k+1）]2﹣4×1×（k2+k）＝1＞0． ∴方程有两个不相等的实数根； （2）解：∵x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0， （x﹣k）[x﹣（k+1）]＝0， ∴x1＝k，x2＝k+1 即AB、AC的长为k、k+1， 当AB＝BC时，即 k＝4，满足三角形构成条件； 当AC＝BC时，k+1＝4，解得 k＝3，满足三角形构成条件． 综上所述，k＝4或 k＝3． 【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根． 6．（2024•济南模拟）关于x的一元二次方程x2﹣6x+k＝0． （1）如果方程有两个不相等的实数根，求k的范围； （2）如果方程的一个根是2，求k的值和方程的另一个根； （3）如果x1，x2是这个方程的两个根，且3x1•x2＝25，求k的值． 【分析】（1）利用根的判别式的意义得到Δ＝（﹣6）2﹣4k＞0，然后解不等式； （2）设方程的另一个根为t，根据根与系数的关系得2+t＝6，2t＝k，然后解方程组即可； （3）根据根与系数的关系得x1+x2＝6，x1x2＝k，再由3x1•x2＝25得到（x1+x2）2+x1x2＝25，所以62+k＝25，然后解一次方程即可． 【解答】解：（1）根据题意得Δ＝（﹣6）2﹣4k＞0， 解得k＜9， 即k的取值范围为k＜9； （2）设方程的另一个根为t， 根据根与系数的关系得2+t＝6，2t＝k， 解得t＝4，k＝8， 即k的值为8，方程的另一个根为4； （3）根据根与系数的关系得x1+x2＝6，x1x2＝k， ∵3x1•x2＝25， ∴（x1+x2）2+x1x2＝25， ∴62+k＝25， 解得k＝﹣11， 即k的值为﹣11． 【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2．也考查了根与系数的关系． 7．（2023春•拱墅区校级期中）关于x的方程：x2﹣（2k﹣1）x+k2﹣2k+3＝0有两个不相等的实数根． （1）求实数k的取值范围； （2）用含k的代数式表示|x1﹣x2|； （3）设方程的两个实数根分别为x1，x2，是否存在实数k，使得|x1|﹣|x2|？若存在，试求出k的值；若不存在，说明理由． 【分析】（1）由方程根的性质，根据根的判别式，可得到关于k的不等式，则可求得k的取值范围； （2）利用k可表示出方程的两根，结合k的取值范围可判断出两根的符号，利用求根公式表示出两根，即可求得|x1﹣x2|的值； （3）在二的结论下代入数据，结合已知条件可得到关于k的方程，则可求得k的值． 【解答】解：（1）∵原一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴Δ＝（2k﹣1）2﹣4（k2﹣2k+3）＞0，得：4k﹣11＞0， ∴； （2）由一元二次方程的求根公式得：x1，x2， ∵， ∴， ∴x1＞0， 又∵x1•x2＝k2﹣2k+3＝（k﹣1）2+2＞0， ∴x2＞0， x1﹣x2； ∵， ∴4k﹣11＞0， ∴|x1﹣x2|； （3）当时，有， 即， ∴4k﹣11＝3， ∴， ∴存在实数，使得． 【点评】本题主要考查根的判别式及根与系数的关系，用k表示出判别式、表示出两根是解题的关键． 题型八 一元二次方程的整数根问题（培优） 1．（2023秋•自贡期末）已知关于x的方程x2+nx+2m＝0． （1）求证：当n＝m+3时，方程总有两个不相等实数根； （2）若方程两个相等的实数根都是整数，写出一组满足条件的m，n的值，并求此时方程的根． 【分析】（1）根据根的判别式符号进行判断； （2）根据判别式以及一元二次方程的解法即可求出答案． 【解答】（1）证明：∵n＝m+3， a＝1，b＝m+3，c＝2m， ∴Δ＝（m+3）2﹣8m ＝m2﹣2m+9 ＝（m﹣1）2+8， ∵（m﹣1）2≥0， ∴（m﹣1）2+8＞0，即Δ＞0， ∴方程总有两个不相等实数根； （2）由题意可知， Δ＝n2﹣4×1×2m＝n2﹣8m＝0， 即：n2＝﹣8m． 当n＝4，m＝﹣2时，方程为：x2﹣2x+1＝0． 解得：x1＝x2＝1． 【点评】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式． 2．（2023秋•东城区校级期末）已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2＝0有实数根． （1）求m的取值范围； （2）若该方程的两个根都是整数，写出一个符合条件的m的值，并求此时方程的根． 【分析】（1）根据关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2＝0有实数根，则Δ≥0，列出不等式，即可求出m的取值范围． （2）根据方程的两个根都是整数，确定出m的值，经检验即可得到满足题意的m的值，并求出方程的根（答案不唯一）． 【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2＝0有两个不相等的实数根， ∴（2m+1）2﹣4m2≥0， 解得：m． ∴m的取值范围是m； （2）利用求根公式表示出方程的解为x， ∵方程的解为整数， ∴4m+1为完全平方数， 则当m的值为0时，方程为：x2+x＝0， 解得：x1＝0，x2＝﹣1（不唯一）． 【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根． 3．（2024春•海淀区校级期中）已知关于x的一元二次方程mx2+（2+3m）x+（2m+2）＝0． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若m为整数，当此方程有两个互不相等的负整数根时，直接写出m的值． 【分析】（1）利用根的判别式进行证明即可． （2）用m表示出方程的实数根即可解决问题． 【解答】证明：（1）∵Δ＝（2+3m）2﹣4m（2m+2）＝m2+4m+4＝（m+2）2≥0， ∴方程总有两个实数根． 解：（2）由方程mx2+（2+3m）x+（2m+2）＝0得， （x+1）（mx+2m+2）＝0， 所以． 因为m为整数，且此方程有两个互不相等的负整数根， 所以为负整数，且不等于﹣1， 则m＝1或2． 【点评】本题考查根的判别式，熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键． 4．已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x+2＝0， （1）证明：当m取不为0的任何值时，方程总有实数根； （2）m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根． 【分析】（1）根据根的判别式即可求出答案． （2）根据因式分解法可求出方程的两根，根据题意给出的条件即可求出m的值． 【解答】解：（1）由题意可知：Δ＝（m+2）2﹣8m＝（m﹣2）2≥0， ∵m≠0， ∴当m取不为0的任何值时，方程总有实数根． （2）∵mx2﹣（m+2）x+2＝0， ∴（x﹣1）（mx﹣2）＝0， ∴x＝1或x， ∴由题意可知：m≠2且m≠0且m≠﹣1 由题意可知：m＝1． 【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型． 5．（2023•北京模拟）已知关于x的一元二次方程x2﹣2mx+n＝0． （1）若此方程总有两个相等的实数根，求n的值．（用含m的代数式表示）； （2）当m＝2时，此方程有两个不相等的整数根，写出一个满足条件的n的值，并求此时方程的根． 【分析】（1）利用根的判别式的意义得到Δ＝4m2﹣4n＝0，从而得到n的值； （2）由于n＜4，则n＝0时，方程变形为x2﹣4x＝0，利用因式分解法可得到方程的两整数根． 【解答】解：（1）根据题意得Δ＝4m2﹣4n＝0， 所以n＝m2； （2）当m＝2时，原方程变形为x2﹣4x+n＝0， ∵方程有两个不相等的根， ∴Δ＝42﹣4n＞0， 即n＜4， 当n＝0时，方程变形为x2﹣4x＝0， 方程有两个整数根， 即x1＝0，x2＝4． 【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根． 6．（2024春•招远市期末）关于x的一元二次方程x2﹣5x+k＝0有实数根． （1）求k的取值范围； （2）如果k是符合条件的最大整数，且关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+m﹣4＝0与方程x2﹣5x+k＝0有一个相同的根，求此时m的值； （3）若方程x2﹣5x+k＝0的两个实数根为x1，x2，且，求此时k的值． 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式即可解决问题． （2）根据（1）中所求范围，得出k的值，进而求出方程的解，再根据两个方程有一个相同的根即可解决问题． （3）根据一元二次方程根与系数的关系即可解决问题． 【解答】解：（1）因为关于x的一元二次方程x2﹣5x+k＝0有实数根， 所以Δ＝（﹣5）2﹣4×1×k≥0， 解得k， 故k的取值范围是：． （2）由（1）知， 符合条件的最大整数k的值为6． 将x＝6代入x2﹣5x+k＝0有得， x2﹣5x+6＝0， 解得x1＝2，x2＝3． 因为关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+m﹣4＝0与方程x2﹣5x+k＝0有一个相同的根， 所以当x＝2时，4（m﹣1）+2+m﹣4＝0， 解得m； 当x＝3时，9（m﹣1）+3+m﹣4＝0， 解得m＝1， 因为m﹣1≠0， 所以m≠1， 所以m的值为． （3）因为方程x2﹣5x+k＝0的两个实数根为x1，x2， 所以x1+x2＝5，x1x2＝k． 又因为， 所以， 则， 解得k． 因为， 所以k的值为． 【点评】本题主要考查了根与系数的关系、一元二次方程的解及根的判别式，熟知一元二次方程根与系数的关系及根的判别式是解题的关键． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$