第08讲 整式的除法（2024）（1个知识点+3种题型+分层练习）-2024-2025学年七年级上学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（沪教版）

第08讲 整式的除法（2024）（1个知识点+3种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 1．整式的除法 整式的除法： （1）单项式除以单项式，把系数，同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同他的指数一起作为商的一个因式． 关注：从法则可以看出，单项式除以单项式分为三个步骤：①系数相除；②同底数幂相除；③对被除式里含有的字母直接作为商的一个因式． （2）多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加． 说明：多项式除以单项式实质就是转化为单项式除以单项式．多项式除以单项式的结果仍是一个多项式． 题型强化 题型一．整式的除法 1．下列计算结果正确的是　　 A． B． C． D． 2．（2023秋•奉贤区月考）计算：　　． 3．（2023秋•奉贤区月考）计算：． 题型二、同底数幂的除法运算 4．（23-24七年级上·上海杨浦·期末）下列各式中正确的是（　　） A． B． C． D． 5．（2022·上海浦东新·二模）计算：＝ ． 6．（20-21七年级上·上海浦东新·期末）计算：a•a7﹣（﹣3a4）2+a10÷a2． 题型三、整式四则混合运算 7．（22-23七年级上·上海普陀·期中）计算： ． 8．（23-24七年级上·上海青浦·期中）计算： 分层练习 一、单选题 1．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 4．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 5．下列运算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 6．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 7．• ． 8．（1） ； （2） ． 9．计算：（9a6﹣12a3）÷3a3＝ ． 10．已知＝2，＝9，则＝ 11．已知：，，则 ． 12．如果5x=7，5y=21，那么52x-y= ． 13．若，则的值为 ． 14．若，则 ． 15．已知，，m、n为正整数，则 ． 16．若长方形的面积是，其中一边长是，则它的邻边长是 ． 17．计算：① ；② ；③ ． 18．如图，将长为a cm（a＞2），宽为b cm（b＞1）的长方形ABCD先向右平移2cm，再向下平移1cm，得到长方形，则阴影部分的面积为 cm2.（用含a、b的代数式表示，结果要求化成最简） 三、解答题 19．已知一个长方形的面积是，它的一边长为，用含a、b的式子表示长方形的另一边长．（需化简） 20．有一容积为立方厘米的长方体水池，测得水面的面积为平方厘米，这个水池的深度是多少？ 21．计算或因式分解 （1） ； （2）． （3）因式分解 22．某学校准备在一块长为米，宽为米的长方形空地上修建一块长为米，宽为米的长方形草坪，四周铺设地砖（阴影部分），    (1)求铺设地砖的面积；（用含的式子表示，结果化为最简） (2)若，铺设地砖的成本为元平方米，则完成铺设地砖需要多少元？ 23．某银行去年新增居民存款3亿元人民币． (1)经测量，100张面值为100元的新版人民币大约厚，如果将总额为3亿元的这种纸币摞起来，大约有多高？（结果用科学记数法表示） (2)一台激光点钞机的点钞速度是张/时，按每天点钞5小时计算，如果让点钞机点一遍总额为3亿元的这种纸币，点钞机大约要点多少天？ 24．一个长方体模型的长、宽、高分别为，，．某种油漆每千克可漆面积为，问漆这个模型需要多少千克油漆？ 25．如图，有一张长方形纸板，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，制成一个高为的长方体形状的无盖纸盒．如果纸盒的容积为，底面长方形的宽为，求长方形纸板的周长． 26．如图为小明家住房的结构（单位：米） (1)小明家住房面积为 平方米；（用含，的代数式表示，化为最简形式） (2)现小明家需要进行装修，装修成本为元/平方米，若，，则全部装修完的成本为 元． 27．阅读下面材料，完成相应的任务： 阿贝尔是近代数学发展的先驱，他年轻时利用阶梯图形，发现了重要的恒等式——阿贝尔公式．如右图，用两种方法将一个二级阶梯图形分别分割成两个长方形，按图1的方法割成该阶梯图形的面积为；按图的方法，长方形①的面积为，长方形②的面积为，根据图、图面积相等，可得到二级阶梯图形对应的阿贝尔公式： 任务： (1)推理验证：材料中的阿贝尔公式可用代数运算验证，请补全如下说理过程 因为，左边（图）的面积 右边（图）的面积______________； 左边（图）的面积右边（图2）的面积 所以，__________________________________． (2)类比探究：如图，用两种方法将一个三级阶梯图形分别分割成三个长方形． ①图中长方形的长为，宽为______________； ②由图、图面积相等，可得三级阶梯图形对应的阿贝尔公式为：___________． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第08讲 整式的除法（2024）（1个知识点+3种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 1．整式的除法 整式的除法： （1）单项式除以单项式，把系数，同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同他的指数一起作为商的一个因式． 关注：从法则可以看出，单项式除以单项式分为三个步骤：①系数相除；②同底数幂相除；③对被除式里含有的字母直接作为商的一个因式． （2）多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加． 说明：多项式除以单项式实质就是转化为单项式除以单项式．多项式除以单项式的结果仍是一个多项式． 题型强化 题型一．整式的除法 1．下列计算结果正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据单项式除单项式的法则计算，再根据系数相等，相同字母的次数相同列式求解即可． 【解答】解：、，故本选项错误； 、，故本选项错误； 、，故本选项错误； 、，故本选项正确； 故选：． 【点评】本题主要考查多项式除以单项式运算．此外还应用了系数相同和相同字母的次数相同的性质，列出方程式求解的关键． 2．（2023秋•奉贤区月考）计算：　　． 【分析】根据整式的除法运算法则即可求出答案． 【解答】解：原式， 故答案为：． 【点评】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型． 3．（2023秋•奉贤区月考）计算：． 【分析】先计算除法，从左到右依次计算． 【解答】解：． 【点评】本题主要考查整式的除法，解题的关键是掌握整式的除法法则． 题型二、同底数幂的除法运算 4．（23-24七年级上·上海杨浦·期末）下列各式中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断分式变形是否正确、同底数幂的除法运算、积的乘方运算 【分析】本题主要考查了幂的计算，分式的变形．熟练掌握幂的乘方，同底数幂除法，分式的基本性质，是解决问题的关键． 根据幂的乘方，同底数幂除法法则，分式的基本性质变形分式，逐一判断，即得． 【详解】A、，故本选项不符合题意； B、，故本选项正确； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项不符合题意， 故选：B． 5．（2022·上海浦东新·二模）计算：＝ ． 【答案】 【知识点】同底数幂的除法运算 【分析】先依据公式得出正确的符号，再利用幂的除法公式计算． 【详解】 故答案为：． 【点睛】本题考查幂的运算，正确运用公式是解题的关键． 6．（20-21七年级上·上海浦东新·期末）计算：a•a7﹣（﹣3a4）2+a10÷a2． 【答案】﹣7a8 【知识点】同底数幂相乘、幂的乘方运算、积的乘方运算、同底数幂的除法运算 【分析】根据同底数幂的乘除法，积的乘方运算法则，幂的乘方运算，最后合并同类项即可 【详解】解：a•a7﹣（﹣3a4）2+a10÷a2 ＝a8﹣9a8+a8 ＝﹣7a8． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘除法，积的乘方运算法则，幂的乘方运算，掌握幂的运算是解题的关键． 题型三、整式四则混合运算 7．（22-23七年级上·上海普陀·期中）计算： ． 【答案】 【知识点】整式四则混合运算、同底数幂相乘 【分析】根据同底数幂的乘法：底数不变，指数相加．互为同类项的再合并，即可得解． 【详解】解： ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法以及合并同类项，熟记相关法则是解题的关键． 8．（23-24七年级上·上海青浦·期中）计算： 【答案】 【知识点】整式四则混合运算、幂的乘方运算、积的乘方运算 【分析】本题考查了积的乘方与幂的乘方、整式的混合运算，熟练掌握各运算法则是解题关键．先计算积的乘方与幂的乘方、单项式乘单项式、单项式除以单项式，再计算整式的加减法即可得． 【详解】解：原式 ． 分层练习 一、单选题 1．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了完全平方公式，平方差公式，单项式除以单项式，积的乘方计算，熟知相关计算法则是解题的关键． 根据完全平方公式，平方差公式，单项式除以单项式，积的乘方逐一判断各个选项即可 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算正确，符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选：B． 2．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据合并同类项，同底数幂的除法，零次幂的含义，完全平方公式逐一判断即可． 【详解】解：，故A不符合题意； ，故B符合题意； ，故C不符合题意； ，故D不符合题意； 故选B 【点睛】本题考查的是合并同类项，同底数幂的除法，零次幂的含义，完全平方公式的应用，掌握相应的运算法则是解本题的关键． 3．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用同底数幂的除法法则、零指数幂、完全平方公式和负整数指数幂进行计算即可． 【详解】解：A.原式，故A错误； B. ，故B错误； C.原式，故C错误； D.，故D正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了同底数幂除法、零指数幂、负整数指数幂的运算法则及完全平方公式，熟记相关的运算法则并灵活运用是解题的关键． 4．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了整式的运算，根据合并同类项法则、同底数幂的乘除法、积的乘方分别计算即可判断求解，掌握整式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：、与不是同类项，不能合并，该选项错误，不合题意； 、，该选项错误，不合题意； 、，该选项错误，不合题意； 、，该选项正确，符合题意； 故选：． 5．下列运算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】四个选项分别考查同底数的幂相乘，相除，幂的乘方以及积的乘方运算，分别依据运算法则进行计算即可． 【详解】解：，故错； ，故错； ，故错； ，故对． 故选：． 【点睛】本题考查整式的乘除运算．其中包括：同底数的幂相乘，相除，幂的乘方以及积的乘方．同底数的幂相乘，底数不变，指数相加；同底数的幂相除，底数不变，指数相减；幂的乘方，底数不变，指数相乘；积的乘方，等于把积的每个因式分别乘方再把所得的幂相乘．准确掌握各个运算的法则是解题的关键． 6．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据同底数幂的乘除法运算法则、积的乘方和幂的乘方的运算法则分别进行计算即可． 【详解】解：，故A错误； ，故B正确； ，故C错误； ， 故选：B． 【点睛】本题考查整式的乘除运算，熟练掌握同底数幂的乘除法运算法则、积的乘方和幂的乘方的运算法则是解题的关键． 二、填空题 7．• ． 【答案】-x3+3x 【分析】先进行乘法运算，再进行合并同类项即可． 【详解】解：（-2x）•（-x2）-3x（x2-1） =2x3-（3x3-3x） =2x3-3x3+3x =-x3+3x 故答案为：-x3+3x． 【点睛】本题主要考查了整式乘法运算，解决问题的关键是掌握单项式乘单项式的法则以及单项式乘多项式的法则．单项式与多项式相乘时，应注意以下几个问题：①用单项式去乘多项式中的每一项时，不能漏乘；②注意确定积的符号． 8．（1） ； （2） ． 【答案】 【分析】根据整式除法的运算法则直接计算即可． 【详解】（1） （2） 故答案为：， 【点睛】本题考查整式除法中的单项式除以单项式．单项式相除，把系数、同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式中出现的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式． 9．计算：（9a6﹣12a3）÷3a3＝ ． 【答案】 【分析】直接利用整式的除法运算法则计算得出答案． 【详解】解：， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了整式的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 10．已知＝2，＝9，则＝ 【答案】 【分析】根据同底数幂除法的逆用、幂的乘方的逆用进行计算即可得． 【详解】解：因为，， 所以 ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了同底数幂除法的逆用、幂的乘方的逆用，熟练掌握各运算法则是解题关键． 11．已知：，，则 ． 【答案】8 【分析】本题主要考查了同底数幂的除法，幂的乘方，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算． 【详解】解：∵，， ∴ ． 故答案为：8． 12．如果5x=7，5y=21，那么52x-y= ． 【答案】/ 【分析】利用同底数幂的除法的法则，幂的乘方的法则对所求的式子进行整理，再代入相应的值运算即可． 【详解】解：当5x=7，5y=21时， 52x-y=52x÷5y=（5x）2÷5y=72÷21=． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查同底数幂的除法，幂的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握与运用． 13．若，则的值为 ． 【答案】/6.25/ 【分析】先根据幂的乘方可得，再利用同底数幂除法的逆用即可得． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了幂的乘方、同底数幂除法的逆用，熟练掌握运算法则是解题关键． 14．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了幂的乘方的逆运算，同底数幂的乘法和除法，利用幂的乘方的逆运算和同底数幂的除法先把转化为，得到，再利用幂的乘方的逆运算和同底数幂的乘法把转化为，最后把代入计算即可求解，掌握幂的运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15．已知，，m、n为正整数，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂相除的逆运算，幂的乘方的逆运算，先把处理得，再结合，代入数值进行计算，即可作答． 【详解】解：∵ ∴ 则 故答案为： 16．若长方形的面积是，其中一边长是，则它的邻边长是 ． 【答案】 【分析】根据长方形面积公式即可列出式子，计算即可解答．本题考查了多项式除以单项式，解题的关键是掌握多项式除以单项式的法则． 【详解】解：邻边长为： ， 故答案为：． 17．计算：① ；② ；③ ． 【答案】 【分析】①根据同底数幂的乘法解答；②根据幂的乘方、同底数幂的除法解答；③根据积的乘方解答． 【详解】解：①； ②； ③． 故答案为：；；． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法、除法，幂的乘方，积的乘方，理清指数的变化是解题的关键． 18．如图，将长为a cm（a＞2），宽为b cm（b＞1）的长方形ABCD先向右平移2cm，再向下平移1cm，得到长方形，则阴影部分的面积为 cm2.（用含a、b的代数式表示，结果要求化成最简） 【答案】4b＋2a－4 【分析】利用平移的性质求出空白部分矩形的长，宽即可解决问题． 【详解】解：由题意，空白部分是矩形，长为(a-2)cm，宽为(b-1)cm， ∴阴影部分的面积=ab×2-2(a-2)(b-1)=(4b+2a-4)cm2， 故答案为：4b+2a-4． 【点睛】本题考查平移的性质，整式混合运算的应用等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 三、解答题 19．已知一个长方形的面积是，它的一边长为，用含a、b的式子表示长方形的另一边长．（需化简） 【答案】 【分析】本题考查多项式除以单项式．利用长方形的面积除以边长进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：长方形的另一边长为． 20．有一容积为立方厘米的长方体水池，测得水面的面积为平方厘米，这个水池的深度是多少？ 【答案】这个水池的深度是160厘米 【分析】本题考查了同底数幂的除法运算的应用，根据题意列式并进行计算即可． 【详解】（厘米）， 所以，这个水池的深度是160厘米． 21．计算或因式分解 （1） ； （2）． （3）因式分解 【答案】（1）；（2）；（3）． 【分析】（1）利用平方差公式和多项式乘多项式展开，再合并同类项即可． （2）将除法改为乘法，再利用平方差公式结合乘法分配律进行约分，最后合并同类项即可． （3）直接利用平方差公式即可． 【详解】（1） ． （2） ． （3） ． 【点睛】本题考查整式的加减乘除混合运算，分式的加减乘除混合运算以及分解因式，掌握相关的运算法则以及熟练利用平方差公式是解答本题的关键． 22．某学校准备在一块长为米，宽为米的长方形空地上修建一块长为米，宽为米的长方形草坪，四周铺设地砖（阴影部分），    (1)求铺设地砖的面积；（用含的式子表示，结果化为最简） (2)若，铺设地砖的成本为元平方米，则完成铺设地砖需要多少元？ 【答案】(1)平方米 (2)元 【分析】（1）根据题意可知长方形空地的面积为米，长方形草坪的面积为米，再利用整式的混合运算法则即可解答； （2）将代入铺设地砖的面积进而即可解答． 【详解】（1）解：∵长方形空地的长为米，宽为米， ∴长方形空地的面积为平方米， ∵长方形草坪的长为米，宽为米， ∴长方形草坪的面积为平方米， ∴铺设地砖的面积为： 平方米， 答：铺设地砖的面积为平方米； （2）解：∵铺设地砖的面积为平方米， ∴当时， 原式， ∵铺设地砖的成本为元平方米， ∴（元）． 答：完成铺设地砖需要元． 【点睛】本题考查了整式的混合运算的实际应用，熟练整式混合运算的法则是解题关键． 23．某银行去年新增居民存款3亿元人民币． (1)经测量，100张面值为100元的新版人民币大约厚，如果将总额为3亿元的这种纸币摞起来，大约有多高？（结果用科学记数法表示） (2)一台激光点钞机的点钞速度是张/时，按每天点钞5小时计算，如果让点钞机点一遍总额为3亿元的这种纸币，点钞机大约要点多少天？ 【答案】(1) (2)10天 【分析】本题考查了同底数幂的除法与乘法运算、科学记数法， （1）先算出3亿元人民币的张数，然后再用张数乘以一张人民币的厚度即可得到答案； （2）用3亿元人民币的张数除以速度，再根据同底数幂相除，底数不变指数相减进行计算． 【详解】（1）解：， 答：将总额为3亿元的这种纸币摞起来，大约有； （2）解：天， 答：点钞机大约要点10天． 24．一个长方体模型的长、宽、高分别为，，．某种油漆每千克可漆面积为，问漆这个模型需要多少千克油漆？ 【答案】千克 【分析】本题考查整式混合运算得实际应用，熟练掌握整式运算法则是解题的关键； 根据长方体的表面积公式求出表面积，再除以每千克可漆面积，即可解答． 【详解】这个长方体的表面积为： ； 漆好这个模型需要的油漆为： （千克）， 漆好这个模型需要千克油漆． 25．如图，有一张长方形纸板，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，制成一个高为的长方体形状的无盖纸盒．如果纸盒的容积为，底面长方形的宽为，求长方形纸板的周长． 【答案】 【分析】本题考查的是多项式除以单项式的实际应用，由长方体的容积，及长方体的高、底面的宽可得底面的长，从而可得原长方形纸板的长和宽是解题的关键. 【详解】解：由题意可知，长方体纸盒的长为：， 则长方形纸板的长为， 长方形纸板的宽为， ∴长方形纸板的周长为： ． 26．如图为小明家住房的结构（单位：米） (1)小明家住房面积为 平方米；（用含，的代数式表示，化为最简形式） (2)现小明家需要进行装修，装修成本为元/平方米，若，，则全部装修完的成本为 元． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）住房的总面积长宽的客厅的面积长宽的厨房的面积长宽的浴室的面积长宽的卧室的面积； （2）将，代入算出小明家住房面积，再乘以每平方米装修成本，即可得出全部装修完的成本． 【详解】（1）解： （平方米）． 故答案为：； （2）解：，， ， （元）． 答：全部装修完的成本为元． 故答案为：；． 【点睛】本题考查了整式的混合运算的应用，涉及的知识有：去括号法则，以及合并同类项法则，解题的关键是熟练掌握法则进行计算． 27．阅读下面材料，完成相应的任务： 阿贝尔是近代数学发展的先驱，他年轻时利用阶梯图形，发现了重要的恒等式——阿贝尔公式．如右图，用两种方法将一个二级阶梯图形分别分割成两个长方形，按图1的方法割成该阶梯图形的面积为；按图的方法，长方形①的面积为，长方形②的面积为，根据图、图面积相等，可得到二级阶梯图形对应的阿贝尔公式： 任务： (1)推理验证：材料中的阿贝尔公式可用代数运算验证，请补全如下说理过程 因为，左边（图）的面积 右边（图）的面积______________； 左边（图）的面积右边（图2）的面积 所以，__________________________________． (2)类比探究：如图，用两种方法将一个三级阶梯图形分别分割成三个长方形． ①图中长方形的长为，宽为______________； ②由图、图面积相等，可得三级阶梯图形对应的阿贝尔公式为：___________． 【答案】(1)； (2)； 【分析】（1）根据图，得图的面积为：的面积加上的面积；根据左边等于右边，即可； （2）如图，得长方形的长为：；根据图的面积为：，图的面积为等于长方形的面积加长方形的面积加长方形的面积，即可． 【详解】（1）如图： 图的面积：； ∵ ； ∴图、图面积相等， ∴． 故答案为：；． （2）如图可知 长方形的宽度为：； 如图，图所示： 图的面积为：； 图的面积为：； ∵图的面积等于图的面积， ∴． 故答案为：；． 【点睛】本题考查整式的知识，解题的关键是掌握把长方形的面积分成小长方形的面积之和，进行计算． 学科网（北京）股份有限公司 $$