专题03 一次方程与方程组（中等类型）-2024-2025学年七年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（沪科版2024新教材）

专题03一次方程与方程组思维导图 【类型覆盖】 类型一、方程应用——数字问题 【解惑】一个两位数，个位数字与十位数字的和是8，如果将个位数字与十位数字对调后所得的新数比原数大36，则原来的两位数为（     ） A．35 B．26 C．17 D．53 【融会贯通】 1．幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方一九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，则m与n的和是（    ） A．13 B．14 C．15 D．16 2．甲、乙两数的和是，甲数的小数点向左移动一位正好等于乙数，则甲数是 3．一个三位数是它各数位上数字之和的27倍．已知百位上的数字与个位上的数字之和比十位上的数字大1．若把百位上的数字与个位上的数字交换位置，则所得的新数比原数大99．求这个三位数． 类型二、方程应用——古代问题 【解惑】我国古代《九章算术》中有一个数学问题，其大意是：有若干人一起买鸡，如果每人出9文钱，就多出11文钱；如果每人出6文钱，就相差16文钱．问买鸡的人数和鸡的价钱各是多少？设买鸡的人数为x人，则依题意列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．其中《盈不足》卷记载了一道有趣的数学问题：“今有人合伙购物，每人出8钱，会多出3钱；每人出7钱，又差4钱，问人数，物价各多少？”，设人数为人，物价为钱，根据题意，下面所列方程组正确的是（　　） A． B． C． D． 2．《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作．在它的“方程”一章里，一次方程组是由算筹布置而成的．《九章算术》中的算筹图是竖排的，现在我们把它改为横排，如图1、图2，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数的系数与相应的常数项，把图1所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来就是，类似的，图2所示的算筹图我们可以用方程组形式表述为 ． 3．我国古代重要的数学著作《孙子算经》中记载了这样一个问题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四五尺，屈绳量之，不足一尺，问木长几何？”意思是：“现有一根木头，不知道它的长短．用整条绳子去量木头，绳子比木头长4.5尺；将绳子对折后去量，则绳子比木头短1尺，问木头的长度是多少尺？”试计算木头的长度． 类型三、方程应用——和差倍分问题 【解惑】甲队有28人，乙队有20人，现从乙队抽调x人到甲队，使甲队人数是乙队人数的2倍.依题意列出的方程是（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．甲、乙两水池现共贮水40 t，如果甲池进水4 t，乙池进水8 t，那么甲池水量等于乙池水量，则甲、乙两水池原先各自的贮水量是（　　） A．甲22 t，乙18 t B．甲23 t，乙17 t C．甲21 t，乙19 t D．甲24 t，乙16 t 2．甲、乙两人身上带的钱数之比是，甲给乙5元后，变成．那么，甲、乙两人共有 钱元． 3．某商场从厂家购进了两种品牌篮球共80个，已知购买品牌篮球的总价比购买品牌篮球总价的2倍还多200元，品牌篮球每个进价100元，品牌篮球每个进价80元． (1)求购进两种品牌篮球各多少个？ (2)在销售过程中，品牌篮球每个售价150元，售出30个后出现滞销，商场决定打a折出售剩余的品牌篮球；品牌篮球每个按进价加价销售，很快全部售出，两种品牌篮球全部售出后共获利2080元，求的值． 类型四、方程应用——配套问题 【解惑】某车间有28名工人生产螺栓和螺母，每人每小时平均能生产螺栓12个或螺母18个，应如何分配生产螺栓和螺母的工人，才能使螺栓和螺母正好配套？（一个螺栓配两个螺母）设生产螺栓有m人，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．机械厂加工车间有85名工人，平均每人每天加工大齿轮16个或小齿轮10个，已知2个大齿轮与3个小齿轮配成一套，问需分别安排多少名工人加工大、小齿轮，才能使每天加工的大小齿轮刚好配套？设安排x名工人加工大齿轮，则下面所列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 2．某车间有技工85人，平均每天每人可加工甲种部件16个或乙种部件10个，2个甲种部件和3个乙种部件配一套，应安排 人加工甲部件才能使每天加工的甲、乙两种部件刚好配套? 3．用150张铁皮做罐头盒，每张铁皮可制盒身15个或盒底45个，1个盒身与2个盒底配成一套罐头盒．问：用多少张铁皮制盒身，多少张铁皮制盒底，使得制成的盒身和盒底恰好配套？ 类型五、方程应用——行程问题 【解惑】甲、乙两车同时从A，B两地出发相向而行，在距B地54千米处相遇，他们各自到达对方出发地后立即返回，在距A地42千米处相遇．A ，B 两地相距（    ）千米． A．120 B．100 C．80 D．60 【融会贯通】 1．某船顺流航行用，逆流航行用，则水流的速度与船在静水中的速度分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 2．某部队进行军训从甲地到乙地，要翻越一座山，没有平路可走，去用了小时，返回时用了小时．已知走上坡每小时千米，走下坡时每小时千米．甲、乙两地的公路长 千米． 3．已知A、B两地相距480千米，甲、乙两车从A地向地运送货物，甲车的速度为，乙车的速度为，甲车先出发1.5小时后，乙车才出发． (1)乙车出发____________小时后，能追上甲车； (2)若乙车到达地后，立即原路返回A地，则乙车返回时再经过多少小时与甲车再次相遇？ 类型六、方程应用——工程问题 【解惑】整理一批图书，由一个人做要小时完成，现在计划由一部分人先做小时，再增加人和他们一起做小时，完成这项工作的，假设每个人的工作效率相同，具体先安排人工作，则列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．羊城某工程公司下属的甲工程队、乙工程队分别承包了白云区人和镇的工程、工程，甲工程队晴天需要天完成，雨天工作效率下降；乙工程队晴天需天完成，雨天工作效率下降，实际上两个工程队同时开工，同时完工，两个工程队各工作了（    ）天． A． B． C． D． 2．做一项工作，甲的工作效率等于乙、丙二人工作效率的和，丙的工作效率与甲、乙二人工作效率的和的比是；如果三人合作需10天完成，那么乙单独完成此项工作需要 天． 3．甲乙丙三队要完成 A 、B 两项工程，B 工程的工作量比 A 工程的工作量多四分之一，甲 乙丙三队单独完成A 工程所需时间分别是 20 天，24 天，30 天．为了同时完成这两项工程， 先派甲队做 A 工程，乙，丙两队共同做 B 工程，经过几天后，又调丙队与甲队共同完成 A 工程．那么丙队与甲队合做了多少天？ 类型七、方程应用——销售问题 【解惑】一商店出售书包时，将一种进价为50元的双肩背书包，按进价提高30%作为标价，由于清仓处理，需按打折出售，这样商场每卖出一个书包就可赢利8.5元．设每个双肩背书包打x折，根据题意列一元一次方程，正确的是（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．小月去买文具，打算买5支单价相同的签字笔和3本单价相同的笔记本，她与售货员的对话如下，那么购买一支笔和一本笔记本应共付（    ）． 小月：您好，我要买5支签字笔和3本笔记本 售货员：好的，那你应付款52元 小月：刚才我把两种文具的单价弄反了，以为要付44元 A．11元 B．12元 C．13元 D．14元 2．一件商品按比成本价高的价格定价，然后打八折销售，一周没有卖出去，周末在原来折扣上再打九五折卖出，结果赚了元，这件商品的成本价是 元． 3．某电器商场销售进价分别为120元，190元的A．B两种型号的电风扇，如下表所示是近两周的销售情况： 销售时段 销售数量 销售收入 A种型号 B种型号 第一周 5 6 2310 第二周 8 9 3540 (1)求A、B两种型号的电风扇的销售单价； (2)若商场再购进两种型号的电风扇共120台，并且全部销售完；该商场能否实现这两批电风扇的总利润为8240元的目标？若能，请给出相应的采购方案，若不能，请说明理由． 类型八、方程应用——电费和水费问题 【解惑】某城市按以下规定收取每月的天然气费：如果用气量不超过立方米，按每立方米元收费；如果用气量超过立方米，则超过的部分每立方米按元收费．若某用户月份交的天然气费平均每立方米元，该用户月份的天然气用气量是多少？设该用户月份的用气量为立方米，列方程为（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．某省居民生活用电实施阶梯电价，年用电量分为三个阶梯．阶梯电费计价方式如下： 阶梯档次 年用电量 电价（单位：元/度） 第一阶梯 2760度及以下部分 0.538 第二阶梯 2761度至4800度部分 0.588 第三阶梯 4801度及以上部分 0.838 小聪家去年12月份用电量为500度，电费为319元，则小聪家去年全年用电量为（   ） A．5250度 B．5100度 C．4900度 D．4850度 2．水费阶梯收费方式：每月每户用水量20立方米及以内的部分按1.2元/立方米收费，超过20立方米的部分按1.5元/立方米收费．如果某户居民在某月所交水费50元，那么该户这个月共用多少立方米的水？设这个月共用立方米的水，可列方程为 ． 3．我市电费实行阶梯式收费，标准如下： 用电量/(千瓦时/户) 价格/(元/千瓦时) 200千瓦时以内 0.55 千瓦时 0.6 400千瓦时以上 0.8 (1)小虎家三月份用电140千瓦时，应交电费多少元？丽丽家三月份用电260千瓦时，应交电费多少元？ (2)聪聪家五月份用电量为千瓦时，若在200-400之间时，应交电费______元(用含有的式子表示)；若时，则聪聪家应交电费______元(用含有的式子表示) (3)某超市三月份交电费390元，该超市三月份用电多少千瓦时？ 【一览众山小】 1．“朝三暮四”是一个源自于《庄子·齐物论》的寓言故事，某数学老师将其情景内容改编成一道数学题：老翁计划早上给猴子的粮食是晚上的，猴子们很不满意，于是老翁进行了调整，从晚上的粮食中取3千克放在早上投食，这样早上的粮食是晚上的，猴子们非常满意．问老翁每天给猴子的食物总量共多少千克？设原计划早上投食千克，那么晚上投食千克，根据这一情景，你认为下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在大长方形中不重叠的放入七个长、宽都相同的小长方形，根据图中给出的数据，可得出阴影部分面积为（   ） A．52 B．48 C．46 D．35 3．古代中国的数学专著《九章算术》中有一题：“今有生丝三十斤，干之，耗三斤十二两，今有干丝一十二斤，问生丝几何？”现有一类似问题：今有新鲜冬笋30斤，干燥后会损耗24斤，若干燥后得到的干冬笋是12斤，则原有新鲜冬笋 斤． 4．河中有A、B两点相距210km，两艘船分别从A、B两地同时出发，相向而行2小时相遇，朝一个方向行驶14时，甲追上乙，问甲的速度是 千米/小时． 5．(一元一次方程)有男、女同学共325人，新学年男生增加25人，女生减少，总人数增加16人，那么现有男同学多少人？ 6．一件工作，甲单独做要20小时完成，乙单独做要30小时完成，丙单独做要40小时完成．现在3人合做，甲因其他事中间暂停了几小时，结果从开始算起用了12小时完成．请问甲中间暂停了几小时？ 7．某一天蔬菜经营户张师傅花180元从蔬菜批发市场批发了黄瓜和茄子共80kg，到菜市场去卖，黄瓜和茄子当天的批发价与零售价如下表所示： 品名 黄瓜 茄子 批发价（元） 2 零售价（元） (1)他黄瓜批发了多少千克？茄子批发了多少千克？ (2)他当天卖完这些黄瓜和茄子可赚多少钱？ 8．在我国民间流传着许多诗歌形式的数学算题，这些题目叙述生动、活泼，它们大都是关于方程或方程组的应用题．由于诗歌的语言通俗易懂、雅俗共赏，因而一扫纯数学的枯燥无味之感，令人耳目一新，回味无穷． 一、周瑜寿属 而立之年督东吴，早逝英年两位数； 十比个位正小三，个位六倍与寿符； 哪位同学算得快，多少年寿属周瑜？ 诗的意思是：周瑜病逝时的年龄是一个大于30的两位数，其十位数上的数字比个位上的数字小3，个位上的数字的6倍正好等于这个两位数，求这个两位数？ 解：设这个两位数的十位上的数字是x，个位上的数字为y，根据题意，得 解之得 答：这个两位数是36，即周瑜活到36时病逝． 下面两个诗歌算题同学们能通过列方程组算出来吗？ 二、官兵分布 一千官兵一千布，一官四尺无零数； 四兵才得布一尺，请问官兵多少数？ 三、老头买梨 一群老头去赶集，半路买了一堆梨； 一人一个多一个，一人两个少两梨． 请问君子知道否，几个老头几个梨？ 关于这类的问题还有很多，平时同学们可以搜集一些！（注意：在中考时也有这样的题目哟！） 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03一次方程与方程组思维导图 【类型覆盖】 类型一、方程应用——数字问题 【解惑】一个两位数，个位数字与十位数字的和是8，如果将个位数字与十位数字对调后所得的新数比原数大36，则原来的两位数为（     ） A．35 B．26 C．17 D．53 【答案】B 【分析】本题考查一元一次方程的应用，设个位数字为x，则十位数字为，根据“将个位数字与十位数字对调后所得的新数比原数大36”列方程求解即可． 【详解】解：设个位数字为x，则十位数字为， 由题意得，， 解得， 则， ∴原来的两位数为， 故选：B． 【融会贯通】 1．幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方一九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，则m与n的和是（    ） A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．由每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，表示出最中间的数和最右下角的数，列出二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】解：∵每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等， ∴左下角的数为：， ∴最中间的数为：或， 右下角的数为：或， ∴， 解得：， ∴， 故选：D． 2．甲、乙两数的和是，甲数的小数点向左移动一位正好等于乙数，则甲数是 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，设甲数为x，则乙数为，再根据甲数的小数点向左移动一位正好等于乙数列出方程求解即可． 【详解】解：设甲数为x，则乙数为， 由题意得，， 解得， 所以甲数是， 故答案为：． 3．一个三位数是它各数位上数字之和的27倍．已知百位上的数字与个位上的数字之和比十位上的数字大1．若把百位上的数字与个位上的数字交换位置，则所得的新数比原数大99．求这个三位数． 【答案】这个三位数为243 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，设百位上的数字为x，个位上的数字为y．则十位上的数字为题意列出关于x，y的二元一次方程组求解，再行进计算即可得出结果． 【详解】解：设百位上的数字为x，个位上的数字为y．则十位上的数字为， 依题意，得：, 解得, 所以． 答：这个三位数为243． 类型二、方程应用——古代问题 【解惑】我国古代《九章算术》中有一个数学问题，其大意是：有若干人一起买鸡，如果每人出9文钱，就多出11文钱；如果每人出6文钱，就相差16文钱．问买鸡的人数和鸡的价钱各是多少？设买鸡的人数为x人，则依题意列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设买鸡的人数为x人，则根据每人出9文钱，就多出11文钱可知鸡的价格为文，再根据每人出6文钱，就相差16文钱列出方程即可． 【详解】解：设买鸡的人数为x人， 由题意得，， 故选：B． 【融会贯通】 1．《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．其中《盈不足》卷记载了一道有趣的数学问题：“今有人合伙购物，每人出8钱，会多出3钱；每人出7钱，又差4钱，问人数，物价各多少？”，设人数为人，物价为钱，根据题意，下面所列方程组正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设人数为人，物价为钱，根据“每人出8钱，会多出3钱；每人出7钱，又差4钱”，即可得出关于的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：设人数为人，物价为钱， 依题意得， 故选：B． 2．《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作．在它的“方程”一章里，一次方程组是由算筹布置而成的．《九章算术》中的算筹图是竖排的，现在我们把它改为横排，如图1、图2，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数的系数与相应的常数项，把图1所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来就是，类似的，图2所示的算筹图我们可以用方程组形式表述为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是列二元一次方程组，读懂题意，得到所给未知数的系数及相加结果是解题的关键． 由图1可得1个竖直的算筹数算1，一个横的算筹数算10，每一横行是一个方程，第一个数是x的系数，第二个数是y的系数，第三个数是相加的结果；前面的表示十位，后面的表示个位，由此可得图2的表达式． 【详解】解：第一个方程x的系数为2，y的系数为1，相加的结果为11；第二个方程x的系数为4，y的系数为3，相加的结果为27，所以可列方程为． 故答案为：． 3．我国古代重要的数学著作《孙子算经》中记载了这样一个问题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四五尺，屈绳量之，不足一尺，问木长几何？”意思是：“现有一根木头，不知道它的长短．用整条绳子去量木头，绳子比木头长4.5尺；将绳子对折后去量，则绳子比木头短1尺，问木头的长度是多少尺？”试计算木头的长度． 【答案】6.5尺 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设木头长x尺，根据“用整条绳子去量木头，绳子比木头长4.5尺；将绳子对折后去量，则绳子比木头短1尺”列方程即可作答． 【详解】设木头长x尺，由题意可知：， 解得 答：木头的长度是6.5尺． 类型三、方程应用——和差倍分问题 【解惑】甲队有28人，乙队有20人，现从乙队抽调x人到甲队，使甲队人数是乙队人数的2倍.依题意列出的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查从实际问题中抽象出一元一次方程，准确理解题意是解题的关键．根据题意设甲队人数为人，则乙队人数为人，列出方程即可得到答案． 【详解】解：设甲队人数为人，则乙队人数为人， 由题意得：． 故选D． 【融会贯通】 1．甲、乙两水池现共贮水40 t，如果甲池进水4 t，乙池进水8 t，那么甲池水量等于乙池水量，则甲、乙两水池原先各自的贮水量是（　　） A．甲22 t，乙18 t B．甲23 t，乙17 t C．甲21 t，乙19 t D．甲24 t，乙16 t 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，设甲水池原先的贮水量是x t，乙水池原先的贮水量是y t，根据题意，列出二元一次方程组进行求解即可． 【详解】设甲水池原先的贮水量是x t，乙水池原先的贮水量是y t． 根据题意，得， 解得； 所以甲水池原先的贮水量是22t，乙水池原先的贮水量是18t． 故选A． 2．甲、乙两人身上带的钱数之比是，甲给乙5元后，变成．那么，甲、乙两人共有 钱元． 【答案】100 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设甲有元，乙有元，根据甲给乙5元后，变成列出方程求解即可． 【详解】解：设甲有元，乙有元， 由题意得，， 解得， 所以， 所以甲、乙两人共有100元， 故答案为：100． 3．某商场从厂家购进了两种品牌篮球共80个，已知购买品牌篮球的总价比购买品牌篮球总价的2倍还多200元，品牌篮球每个进价100元，品牌篮球每个进价80元． (1)求购进两种品牌篮球各多少个？ (2)在销售过程中，品牌篮球每个售价150元，售出30个后出现滞销，商场决定打a折出售剩余的品牌篮球；品牌篮球每个按进价加价销售，很快全部售出，两种品牌篮球全部售出后共获利2080元，求的值． 【答案】(1)购进品牌篮球50个，购进品牌篮球30个 (2)7折 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次方程的应用，掌握题意，找出题目中的等量关系，列出方程并解答是关键． （1）设购进品牌篮球个，则购进品牌篮球个，根据两种品牌篮球共80个和购买品牌篮球的总价比购买品牌篮球总价的2倍还多200元可列出方程组求解即可； （2）根据两种品牌篮球全部售出后共获利2080元列出方程解决问题． 【详解】（1）解：设购进品牌篮球个，则购进品牌篮球个， ， 解得， 故购进品牌篮球50个，购进品牌篮球30个； （2）解：依题意有： ， 解得：， 故品牌篮球打7折出售． 类型四、方程应用——配套问题 【解惑】某车间有28名工人生产螺栓和螺母，每人每小时平均能生产螺栓12个或螺母18个，应如何分配生产螺栓和螺母的工人，才能使螺栓和螺母正好配套？（一个螺栓配两个螺母）设生产螺栓有m人，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了实际问题与一元一次方程的应用-配套问题，解题的关键是建立等量关系． 因为生产螺栓有人，则生产螺母有人，由一个螺栓配两个螺母可知，螺母的个数是螺栓的个数的2倍，从而得出等量关系，就可以列出方程． 【详解】解：因为生产螺栓有人，则生产螺母有人， 由题意得：， 故选：B． 【融会贯通】 1．机械厂加工车间有85名工人，平均每人每天加工大齿轮16个或小齿轮10个，已知2个大齿轮与3个小齿轮配成一套，问需分别安排多少名工人加工大、小齿轮，才能使每天加工的大小齿轮刚好配套？设安排x名工人加工大齿轮，则下面所列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了一元一次方程的应用，设名工人生产大齿轮，则名工人生产小齿轮，再由两个大齿轮与三个小齿轮配成一套列出方程即可． 【详解】解：设名工人生产大齿轮，则名工人生产小齿轮， 根据题意，得． 故选B． 2．某车间有技工85人，平均每天每人可加工甲种部件16个或乙种部件10个，2个甲种部件和3个乙种部件配一套，应安排 人加工甲部件才能使每天加工的甲、乙两种部件刚好配套? 【答案】25 【分析】此题考查一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．需注意：两个甲种部件和三个乙种部件配成一套的等量关系为：甲种部件的个数乙种部件的个数．两个等量关系为：加工的甲部件的人数加工的乙部件的人数；加工的甲部件的人数加工的乙部件的人数． 【详解】解：设加工的甲部件的有人，加工的乙部件的有人． 可得：， 解得：， ． 所以加工的甲部件的有25人， 故答案为：25． 3．用150张铁皮做罐头盒，每张铁皮可制盒身15个或盒底45个，1个盒身与2个盒底配成一套罐头盒．问：用多少张铁皮制盒身，多少张铁皮制盒底，使得制成的盒身和盒底恰好配套？ 【答案】用90张铁皮制盒身，60张铁皮制盒底，使得制成的盒身和盒底恰好配套． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，审清题意、找准等量关系、列出方程成为解题的关键 设用x张铁皮制盒身，制盒底的铁皮数是张，利用盒底的数量是盒身数量的2倍列出方程求解即可． 【详解】解：设用x张铁皮制盒身，则制盒底的铁皮数是张， 由题意可得：，解得：， ∴． 答：用90张铁皮制盒身，60张铁皮制盒底，使得制成的盒身和盒底恰好配套． 类型五、方程应用——行程问题 【解惑】甲、乙两车同时从A，B两地出发相向而行，在距B地54千米处相遇，他们各自到达对方出发地后立即返回，在距A地42千米处相遇．A ，B 两地相距（    ）千米． A．120 B．100 C．80 D．60 【答案】A 【分析】本题考查行程问题，设A ，B 两地相距千米，根据乙走的路程进行列方程，解方程即可． 【详解】解：设A ， B 两地相距千米， 则 解得， 即A ， B 两地相距千米， 故选：A． 【融会贯通】 1．某船顺流航行用，逆流航行用，则水流的速度与船在静水中的速度分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，设水流的速度为，船在静水中的速度为，根据题意列出关于x，y的二元一次方程组求解即可得出结果． 【详解】解：设水流的速度为，船在静水中的速度为， 根据同意有：， 解得：， 故水流的速度为，船在静水中的速度为， 故选：A． 2．某部队进行军训从甲地到乙地，要翻越一座山，没有平路可走，去用了小时，返回时用了小时．已知走上坡每小时千米，走下坡时每小时千米．甲、乙两地的公路长 千米． 【答案】 【分析】本题考查路程，时间与速度的关系，二元一次方程组，解题的关键是根据题意建立二元一次方程组； 根据速度时间路程，设上山路为，下山路为，列方程求解即可； 【详解】解：设上山路为，下山路为 得； 解得： 故 故答案为： 3．已知A、B两地相距480千米，甲、乙两车从A地向地运送货物，甲车的速度为，乙车的速度为，甲车先出发1.5小时后，乙车才出发． (1)乙车出发____________小时后，能追上甲车； (2)若乙车到达地后，立即原路返回A地，则乙车返回时再经过多少小时与甲车再次相遇？ 【答案】(1)3 (2)经过1小时与甲车再次相遇 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意找准等量关系准确列出方程是解题关键． （1）设乙车出发x小时后能追上甲车，此时乙车行驶，甲车行驶，于是列方程得，解方程求出x的值即得到问题的答案； （2）设乙车返回时再经过y小时与甲车再次相遇，则乙车返回时又行驶，甲车行驶，于是列方程得，解方程求出y的值即可． 【详解】（1）解：设乙车出发x小时后能追上甲车， 根据题意得， 解得：， ∴乙车出发3小时后能追上甲车， 故答案为：3． （2）设乙车返回时再经过y小时与甲车再次相遇， 根据题意得：， 解得：， 答：乙车返回时再经过1小时与甲车再次相遇． 类型六、方程应用——工程问题 【解惑】整理一批图书，由一个人做要小时完成，现在计划由一部分人先做小时，再增加人和他们一起做小时，完成这项工作的，假设每个人的工作效率相同，具体先安排人工作，则列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查由实际问题抽象出一元一次方程，准确理解题意是解题的关键．根据题中等量关系列出方程即可． 【详解】解：设应先安排人工作， 根据题意得：一个人做要小时完成，现在计划由一部分人先做小时，工作量为，再增加人和他们一起做小时的工作量为， 故可列式， 故选：B． 【融会贯通】 1．羊城某工程公司下属的甲工程队、乙工程队分别承包了白云区人和镇的工程、工程，甲工程队晴天需要天完成，雨天工作效率下降；乙工程队晴天需天完成，雨天工作效率下降，实际上两个工程队同时开工，同时完工，两个工程队各工作了（    ）天． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设两工程队各工作了天，在施工期间有天有雨，根据题意列出方程组即可求解，根据题意正确列出方程组是解题的关键． 【详解】解：设两工程队各工作了天，在施工期间有天有雨， 由题意得，， 解得 ∴两个工程队各工作了天， 故选：． 2．做一项工作，甲的工作效率等于乙、丙二人工作效率的和，丙的工作效率与甲、乙二人工作效率的和的比是；如果三人合作需10天完成，那么乙单独完成此项工作需要 天． 【答案】30 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，先计算出甲的工作效率和丙的工作效率，再设乙单独完成此项工作需要天，根据甲的工作效率等于乙、丙二人工作效率的和，列出一元一次方程，解方程即可． 【详解】解：三人合作需10天完成，甲的工作效率等于乙、丙二人工作效率的和， 甲的工作效率为：， 丙的工作效率与甲、乙二人工作效率的和的比是， 丙的工作效率为：， 设乙单独完成此项工作需要天， 由题意得：， 解得：， 故答案为：30． 3．甲乙丙三队要完成 A 、B 两项工程，B 工程的工作量比 A 工程的工作量多四分之一，甲 乙丙三队单独完成A 工程所需时间分别是 20 天，24 天，30 天．为了同时完成这两项工程， 先派甲队做 A 工程，乙，丙两队共同做 B 工程，经过几天后，又调丙队与甲队共同完成 A 工程．那么丙队与甲队合做了多少天？ 【答案】3天 【分析】此题重点考查一元一次方程的应用，正确地用代数式表示甲、乙、丙队各自完成的工作量是解题的关键． 将工程的工作量看作“1”，则工程的工作量为，设甲乙丙三队完成、两项工程用了天，则，求得，设丙队与甲队合做了天，则，解方程求出的值即可． 【详解】解：设甲乙丙三队完成、两项工程用了天， 根据题意得， 解得， 设丙队与甲队合做了天， 根据题意得， 解得， 答：丙队与甲队合做了3天． 类型七、方程应用——销售问题 【解惑】一商店出售书包时，将一种进价为50元的双肩背书包，按进价提高30%作为标价，由于清仓处理，需按打折出售，这样商场每卖出一个书包就可赢利8.5元．设每个双肩背书包打x折，根据题意列一元一次方程，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，根据等量关系列出方程．设每个双肩背书包的进价是x元，则每个双肩背书包的售价是元，根据利润=售价-进价，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解． 【详解】解：设每个双肩背书包的进价是x元，则每个双肩背书包的售价是元， 根据题意得：． 故选：C． 【融会贯通】 1．小月去买文具，打算买5支单价相同的签字笔和3本单价相同的笔记本，她与售货员的对话如下，那么购买一支笔和一本笔记本应共付（    ）． 小月：您好，我要买5支签字笔和3本笔记本 售货员：好的，那你应付款52元 小月：刚才我把两种文具的单价弄反了，以为要付44元 A．11元 B．12元 C．13元 D．14元 【答案】B 【分析】此题考查了二元一次方程组的应用，设签字笔的单价为x元，笔记本的单价为y元，根据题意列得，求解即可 【详解】解：设签字笔的单价为x元，笔记本的单价为y元， ， 解得， ∴购买一支笔8元，一本笔记本4元， 购买一支笔和一本笔记本应共付（元） 故选：B 2．一件商品按比成本价高的价格定价，然后打八折销售，一周没有卖出去，周末在原来折扣上再打九五折卖出，结果赚了元，这件商品的成本价是 元． 【答案】 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，设这件商品的成本价是元，根据售价减去成本等于利润列方程，解方程即可． 【详解】解：设这件商品的成本价是元， 则， 解得， 即这件商品的成本价是元， 故答案为：． 3．某电器商场销售进价分别为120元，190元的A．B两种型号的电风扇，如下表所示是近两周的销售情况： 销售时段 销售数量 销售收入 A种型号 B种型号 第一周 5 6 2310 第二周 8 9 3540 (1)求A、B两种型号的电风扇的销售单价； (2)若商场再购进两种型号的电风扇共120台，并且全部销售完；该商场能否实现这两批电风扇的总利润为8240元的目标？若能，请给出相应的采购方案，若不能，请说明理由． 【答案】(1)A型号的电风扇销售单价为150元，B型号的电风扇销售单价为260元 (2)能实现，购进A型号的电风扇4台，购进B型号的116台 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． （1）设A种型号的电风扇的销售单价为元，B种型号的电风扇的销售单价为元，根据总价单价数量结合近二周的销售情况统计表，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设再次购进A种型号的电风扇台，B种型号的电风扇台，根据销售120台两种型号的电风扇获得的总利润为8240元，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：设A型号的电风扇销售单价为x元，B型号的电风扇销售单价为y元， ， ， 答：A型号的电风扇销售单价为150元，B型号的电风扇销售单价为260元． （2）解：设购进A型号的电风扇m台，购进B型号的n台， ， 解得：， 答：能实现，购进A型号的电风扇4台，购进B型号的116台． 类型八、方程应用——电费和水费问题 【解惑】某城市按以下规定收取每月的天然气费：如果用气量不超过立方米，按每立方米元收费；如果用气量超过立方米，则超过的部分每立方米按元收费．若某用户月份交的天然气费平均每立方米元，该用户月份的天然气用气量是多少？设该用户月份的用气量为立方米，列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了列关于的一元一次方程，理清题意，找到等量关系列出一元一次方程是解答本题的关键． 先判断出月份的用气量一定超过立方米，等量关系为：超过立方米的立方数所用的立方数，即可得出关于的一元一次方程． 【详解】解：因为， 所以该用户月份的用气量一定超过了立方米，即， 根据等量关系：超过立方米的立方数所用的立方数， 所以可得方程：， 故选：A． 【融会贯通】 1．某省居民生活用电实施阶梯电价，年用电量分为三个阶梯．阶梯电费计价方式如下： 阶梯档次 年用电量 电价（单位：元/度） 第一阶梯 2760度及以下部分 0.538 第二阶梯 2761度至4800度部分 0.588 第三阶梯 4801度及以上部分 0.838 小聪家去年12月份用电量为500度，电费为319元，则小聪家去年全年用电量为（   ） A．5250度 B．5100度 C．4900度 D．4850度 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键是先判断出小聪家去年前11个月用电量超过2761度，不足4800度，设小聪家去年12月份用电量500度超过4800度的部分为x度，根据12月份用电量为500度，电费为319元，列出方程，解方程即可． 【详解】解：∵（元），（元）， 又∵， ∴小聪家去年前11个月用电量超过2761度，不足4800度， 设小聪家去年12月份用电量500度超过4800度的部分为x度，根据题意得： ， 解得：， （度）， 答：小聪家去年全年用电量为4900度． 故选：C． 2．水费阶梯收费方式：每月每户用水量20立方米及以内的部分按1.2元/立方米收费，超过20立方米的部分按1.5元/立方米收费．如果某户居民在某月所交水费50元，那么该户这个月共用多少立方米的水？设这个月共用立方米的水，可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键．设这个月共用立方米的水，根据题意得出关于的一元一次方程，即可获得答案． 【详解】解：设这个月共用立方米的水， 根据题意，可得． 故答案为：． 3．我市电费实行阶梯式收费，标准如下： 用电量/(千瓦时/户) 价格/(元/千瓦时) 200千瓦时以内 0.55 千瓦时 0.6 400千瓦时以上 0.8 (1)小虎家三月份用电140千瓦时，应交电费多少元？丽丽家三月份用电260千瓦时，应交电费多少元？ (2)聪聪家五月份用电量为千瓦时，若在200-400之间时，应交电费______元(用含有的式子表示)；若时，则聪聪家应交电费______元(用含有的式子表示) (3)某超市三月份交电费390元，该超市三月份用电多少千瓦时？ 【答案】(1)小虎家三月份用电千瓦时，应交电费元，丽丽家三月份用电千瓦时，应交元电费； (2)，； (3)千瓦时 【分析】本题考查的是列代数式、一元一次方程的应用、有理数的混合运算，解题的关键是明确用电量是属于哪一个范围的．（1）小虎家三月份用电千瓦时，在千瓦时以内，用元乘以用电的千瓦时即可得应交电费；丽丽家三月份用电千瓦时，在0千瓦时之间，200千瓦时的用电量乘元，超出千瓦时的用电量乘以元，两者相加即可得应交电费； （2）聪聪家五月份用电量为千瓦时，若x在之间时，千瓦时的用电量乘元，超出千瓦时的用电量乘以元，两者相加即可得应交电费；若时，千瓦时的用电量乘元，超出千瓦时不超过千瓦时的用电量乘以元，超过千瓦时的用电量乘元，三者相加即可得应交电费； （3）通过计算先判断出该超市的用电量超过了千瓦时，再代入（2）中相应的代数式计算即可． 【详解】（1）解：小虎家三月份应交电费 元)， 丽丽家三月份，应电费；元)， 答：小虎家三月份用电千瓦时，应交电费元，丽丽家三月份用电千瓦时，应交元电费； （2）解：聪聪家五月份用电量为x千瓦时， 若在之间时，应交电费元， 若时，应交电费元， 故答案为：，； （3）当用电量为200千瓦时，应交电费元)， 当用电量为千瓦时，应交电费元)， ， 所以该超市的用电量超过千瓦时， 令，解得：， 答：该超市三月份用电千瓦时． 【一览众山小】 1．“朝三暮四”是一个源自于《庄子·齐物论》的寓言故事，某数学老师将其情景内容改编成一道数学题：老翁计划早上给猴子的粮食是晚上的，猴子们很不满意，于是老翁进行了调整，从晚上的粮食中取3千克放在早上投食，这样早上的粮食是晚上的，猴子们非常满意．问老翁每天给猴子的食物总量共多少千克？设原计划早上投食千克，那么晚上投食千克，根据这一情景，你认为下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设原计划早上投食干克，那么晚上投食干克，根据从晚上的粮食中取3千克放在早上投食，这样早上的粮食是晚上的列出方程即可； 【详解】解：设原计划早上投食干克，那么晚上投食干克， 根据题意，得：， 故选：D． 2．如图，在大长方形中不重叠的放入七个长、宽都相同的小长方形，根据图中给出的数据，可得出阴影部分面积为（   ） A．52 B．48 C．46 D．35 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．设小长方形的长为a，宽为b，观察图形，根据各边之间的关系，可得出关于a，b的二元一次方程组，解之可求出a，b的值，再利用阴影部分的面积=大长方形的面积小长方形的面积，即可求出结论． 【详解】设小长方形的长为a，宽为b， 根据题意得：， 解得：， ∴阴影部分面积为：， 故答案为：A． 3．古代中国的数学专著《九章算术》中有一题：“今有生丝三十斤，干之，耗三斤十二两，今有干丝一十二斤，问生丝几何？”现有一类似问题：今有新鲜冬笋30斤，干燥后会损耗24斤，若干燥后得到的干冬笋是12斤，则原有新鲜冬笋 斤． 【答案】60 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，正确找到等量关系是解题关键．可设原有生丝为斤，根据比值是一定的，列出方程计算即可求解． 【详解】解：设新鲜冬笋为斤， ， 解得． 故新鲜冬笋为斤． 故答案为：． 4．河中有A、B两点相距210km，两艘船分别从A、B两地同时出发，相向而行2小时相遇，朝一个方向行驶14时，甲追上乙，问甲的速度是 千米/小时． 【答案】60 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设甲的速度是千米小时，乙的速度是千米小时，利用路程速度时间，结合“两艘船分别从、两地同时出发，相向而行2小时相遇，朝一个方向行驶14时，甲追上乙”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设甲的速度是千米小时，乙的速度是千米小时， 根据题意得：， 解得：， 甲的速度是60千米小时． 故答案为：60． 5．(一元一次方程)有男、女同学共325人，新学年男生增加25人，女生减少，总人数增加16人，那么现有男同学多少人？ 【答案】170人 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设原有男同学人，则原有女同学人，因为“新学年男生增加25人，女生减少，总人数增加16人”，所以列式，进行计算，即可作答． 【详解】解：依题意，设原有男同学人，则原有女同学人 则 解得 ∴（人） ∴现有男同学170人 6．一件工作，甲单独做要20小时完成，乙单独做要30小时完成，丙单独做要40小时完成．现在3人合做，甲因其他事中间暂停了几小时，结果从开始算起用了12小时完成．请问甲中间暂停了几小时？ 【答案】甲中间暂停了6小时． 【分析】此题重点考查一元一次方程的应用，正确地用代数式表示甲、乙、丙各自完成的工作量是解题的关键．设甲中间暂停了x小时，把整个工作量看作“1”，则甲、乙、丙完成的工作量分别为 、 、 ，于是列方程得，解方程求出x的值即可． 【详解】解：设甲中间暂停了x小时， 根据题意得， 解得， 答：甲中间暂停了6小时． 7．某一天蔬菜经营户张师傅花180元从蔬菜批发市场批发了黄瓜和茄子共80kg，到菜市场去卖，黄瓜和茄子当天的批发价与零售价如下表所示： 品名 黄瓜 茄子 批发价（元） 2 零售价（元） (1)他黄瓜批发了多少千克？茄子批发了多少千克？ (2)他当天卖完这些黄瓜和茄子可赚多少钱？ 【答案】(1)此蔬菜经营户批发的黄瓜有50千克，茄子有30千克； (2)卖完这些黄瓜和茄子共赚了84元． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．解题关键是弄清题意，合适的等量关系，列出方程组． （1）设他购进黄瓜千克，茄子千克，根据黄瓜的批发价是元，茄子批发价是2元，共花了180元，列出方程，求出的值，即可求出答案； （2）根据黄瓜和茄子的斤数，再求出每斤黄瓜和茄子赚的钱数，即可求出总的赚的钱数． 【详解】（1）解：设当天批发了黄瓜千克，茄子千克．根据题意， 得， 解得． 答：此蔬菜经营户批发的黄瓜有50千克，茄子有30千克； （2）解：（元）． 卖完这些黄瓜和茄子共赚了84元． 8．在我国民间流传着许多诗歌形式的数学算题，这些题目叙述生动、活泼，它们大都是关于方程或方程组的应用题．由于诗歌的语言通俗易懂、雅俗共赏，因而一扫纯数学的枯燥无味之感，令人耳目一新，回味无穷． 一、周瑜寿属 而立之年督东吴，早逝英年两位数； 十比个位正小三，个位六倍与寿符； 哪位同学算得快，多少年寿属周瑜？ 诗的意思是：周瑜病逝时的年龄是一个大于30的两位数，其十位数上的数字比个位上的数字小3，个位上的数字的6倍正好等于这个两位数，求这个两位数？ 解：设这个两位数的十位上的数字是x，个位上的数字为y，根据题意，得 解之得 答：这个两位数是36，即周瑜活到36时病逝． 下面两个诗歌算题同学们能通过列方程组算出来吗？ 二、官兵分布 一千官兵一千布，一官四尺无零数； 四兵才得布一尺，请问官兵多少数？ 三、老头买梨 一群老头去赶集，半路买了一堆梨； 一人一个多一个，一人两个少两梨． 请问君子知道否，几个老头几个梨？ 关于这类的问题还有很多，平时同学们可以搜集一些！（注意：在中考时也有这样的题目哟！） 【答案】二、有200名官，800名兵；三、3个老头，4个梨 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，先确定等量关系，再列出方程组，求出解即可． 【详解】解：二、设官兵各有x人，y人．根据题意，得 ， 解得. 答：有200名军官，800名士兵； 三、设有x个老头，y个梨．根据题意，得 ， 解得. 答：有3个老头，4个梨． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$