专题03 一次方程与方程组（基础类型）-2024-2025学年七年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（沪科版2024新教材）

专题03一次方程与方程组思维导图 【类型覆盖】 类型一、列方程 【解惑】甲袋有大米千克，乙袋有大米千克．如果从甲袋取出6千克倒入乙袋，则两袋大米一样重，下面等式不符合题意的是（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．用方程表示“比它的多3”正确的是（    ） A． B． C． D． 2．比a的3倍大5的数等于a的4倍，依题意列出的方程是 ． 3．“的倍与的和等于的与的差”，用等式表示为 类型二、方程的解 【解惑】若是关于的方程的解，则的值是（    ） A． B．0 C．1 D． 【融会贯通】 1．已知是关于的方程的解，则常数的值为（    ） A．2 B． C．4 D． 2．若是关于x的方程的解，则代数式 ． 3．整式的值随取值的变化而变化，下表是当取不同值时对应的整式的值：则关于的方程的解为 ．   类型三、等式的性质 【解惑】下列等式根据等式的变形正确的有（　　） ①若，则；② 若，则；③ 若，则；④ 若，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【融会贯通】 1．根据等式的基本性质，下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．方程从到变形的依据是 ． 3．下列等式变形：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则；⑤若，则．其中一定正确的是 （填序号）． 类型四、一元一次方程的定义 【解惑】① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ ．其中一元一次方程的个数是（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．在方程① ，② ，③ ，④ 中，一元一次方程共有（    ） A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 2．若是关于的一元一次方程，则的值为 ． 3．若关于x的方程是一元一次方程，则 ． 类型五、二元一次方程(组)的定义 【解惑】下列方程中，属于二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．下列方程组中，是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 2．观察所给的4个方程组：①；②；③；④，其中，符合二元一次方程组定义的是 （写出所有正确的序号）． 3．若是二元一次方程，那么a、b的值分别是 ． 类型六、三元一次方程的定义及解 【解惑】方程组的解使代数式的值为，则的值为（    ） A．0 B． C． D． 【融会贯通】 1．三个整数a，b，c满足，则a的值为（    ） A．3 B．0 C． D． 2．方程组的解是 ． 3．已知，，为三个非负实数，且满足，若，则的最大值为 ． 类型七、解一元一次方程 【解惑】解下列一元一次方程 (1) (2) 【融会贯通】 1．解方程： (1) (2) 2．解方程： (1)； (2)． 3．（1）解方程：； （2）解方程：． 类型八、解二元一次方程 【解惑】用指定的方法解下列方程组： (1)（代入法）； (2)（加减法）． 【融会贯通】 1．解下列方程组： (1)； (2)． 2. 解下列方程组： (1) (2) 3．解下列方程组． (1)； (2)． 【一览众山小】 1．若是关于x的一元一次方程，则m的值为（　　） A． B．1 C． D．任何实数 2．将方程 去分母， 得（    ） A． B． C． D．以上都不对 3．已知，那么( )． 4．若是方程的解，则 ． 5．列式解答． (1)10.2减去3.4的差除以与2的积，商是多少？ (2)一个数的比36的多2，这个数是多少？（列方程解答） 6．方程与方程的解相同，求代数式的值． 7．解方程组： (1)； (2)． 8．解下列方程或方程组 (1) (2) (3) 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03一次方程与方程组思维导图 【类型覆盖】 类型一、列方程 【解惑】甲袋有大米千克，乙袋有大米千克．如果从甲袋取出6千克倒入乙袋，则两袋大米一样重，下面等式不符合题意的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了列方程、等式的性质等知识点，掌握等式的基本性质是解题的关键． 根据题干可得，如果从甲袋中倒出6千克放入乙袋，则两袋大米一样重，可得，然后根据等式的性质变形逐项判断即可． 【详解】解：∵甲袋有大米千克，乙袋有大米千克．如果从甲袋取出6千克倒入乙袋，则两袋大米一样重， ∴，即A选项正确，不符合题意； ，即B选项错误，符合题意； ， 则，即C选项正确，不符合题意； ，即D选项正确，不符合题意． 故选：B． 【融会贯通】 1．用方程表示“比它的多3”正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键．根据题意列出方程即可． 【详解】解：表示“比它的多3”，可列方程为． 故选：B． 2．比a的3倍大5的数等于a的4倍，依题意列出的方程是 ． 【答案】 【分析】本题考查了列方程，理清题意，找准等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】解：由题意得：， 故答案为：． 3．“的倍与的和等于的与的差”，用等式表示为 【答案】 【分析】本题考查了列一元一次方程；的倍与的和可以表示为，的与的差可以表示为，由两个代数式相等，即可列出关于的一元一次方程，此题得解． 【详解】解：依题意，得， 故答案为：． 类型二、方程的解 【解惑】若是关于的方程的解，则的值是（    ） A． B．0 C．1 D． 【答案】A 【分析】本题考查方程的解，解题的关键是理解题意，根据方程的解的定义把代入方程可得关于m的方程，解方程即可解决问题． 【详解】解：把代入方程，得： ， 解得：， 故选：A． 【融会贯通】 1．已知是关于的方程的解，则常数的值为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】本题考查了方程的解，解一元一次方程，解题的关键是掌握使方程两边相等的未知数的值是方程的解． 把代入即可求出a的值． 【详解】解：把代入得， 解得：， 故选：C． 2．若是关于x的方程的解，则代数式 ． 【答案】5 【分析】本题考查一元一次方程，解题的关键是正确理解一元一次方程的解的概念，本题属于基础题型．将代入原方程即可求出，然后将其整体代入求值． 【详解】解：将代入原方程可得：， ∴， 故答案为：5 3．整式的值随取值的变化而变化，下表是当取不同值时对应的整式的值：则关于的方程的解为 ．   【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解的定义，等式的性质等知识，根据表格得到当时，，再根据等式性质进行变形即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由表格得当时，， 等式两边同乘，得， 所以关于的方程的解为， 故答案为：． 类型三、等式的性质 【解惑】下列等式根据等式的变形正确的有（　　） ①若，则；② 若，则；③ 若，则；④ 若，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查等式的基本性质，根据等式的基本性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：若，则；故①正确； 若，且，则；故②错误； 若，则，故；故③正确； 若，因为，故；故④正确； 故选C． 【融会贯通】 1．根据等式的基本性质，下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题考查了等式的性质，掌握性质1、等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；性质2、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式，是解题的关键． 根据等式的性质解答． 【详解】解：A、当时，等式不成立，故本选项错误． B、的两边同时乘以3，等式才成立，即，故本选项错误． C、的两边同时除以m，只有时等式才成立，即，故本选项错误． D、的两边同时减去m，等式仍成立，即，故本选项正确． 故选：D． 2．方程从到变形的依据是 ． 【答案】等式的性质1 【分析】本题主要考查了等式的基本性质，等式性质：1、等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍成立；2、等式的两边同时乘以或除以同一个不为0数或字母，等式仍成立. ． 根据等式的基本性质即可解答. 【详解】解：∵方程的两边同时减去，再同时减去，即可得到， ∴依据是等式的性质1． 故答案为：等式的性质1． 3．下列等式变形：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则；⑤若，则．其中一定正确的是 （填序号）． 【答案】①④⑤ 【分析】本题考查的是等式的基本性质，等式两边同时加(减)同一个数(式子)，结果仍相等；等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等；应用等式的性质对等式进行变形时，必须注意“同”字，要对等式进行变形，就要保证等式两边始终相等，也就是说，运用等式的性质时，等式两边必须同时进行变形．根据等式的基本性质逐一判断即可． 【详解】解：∵， ∴，符合等式性质1，故①符合题意； ∵，， ∴，故②不符合题意； ∵， ∴，故③不符合题意； ∵， ∴，符合等式性质2，故④符合题意； ∵， ∴，符合等式性质2，故⑤符合题意； 故答案为：①④⑤． 类型四、一元一次方程的定义 【解惑】① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ ．其中一元一次方程的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的识别，判断一个方程是否是一元一次方程，看它是否具备以下三个条件：①只含有一个未知数，②含未知数项的最高次数是1，③未知数不能在分母里，这三个条件缺一不可．据此逐个分析即可． 【详解】解：① 的分母含有未知数，故不是一元一次方程； ② 不是等式，故不是一元一次方程； ③ 中未知数的最高次数是2，故不是一元一次方程； ④ 是一元一次方程；； ⑤ 是一元一次方程； ⑥ 含2个未知数，故不是一元一次方程； 故选A． 【融会贯通】 1．在方程① ，② ，③ ，④ 中，一元一次方程共有（    ） A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程，根据一元一次方程的定义“只含有一个未知数、未知数的最高次数为1且两边都为整式的等式”即可求解． 【详解】解：①，含有一个未知数，未知数的最高次数是2，不是一元一次方程，不符合题意； ②，含有一个未知数，未知数的最高次数是1，是一元一次方程，符合题意； ③，含有两个未知数，未知数的最高次数是1次，不是一元一次方程，不符合题意； ④，不是整式，不是一元一次方程，不符合题意； 综上所述，一元一次方程的共有1个， 故选：A ． 2．若是关于的一元一次方程，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义，解一元一次方程，只含有一个未知数，且未知数的次数为1的整式方程叫做一元一次方程．据此可得，且，解之即可得到答案． 【详解】解：∵是关于的一元一次方程， ∴，且， ∴， 故答案为：． 3．若关于x的方程是一元一次方程，则 ． 【答案】0 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义，解题的关键在于熟知只含有一个未知数，且未知数的次数为1的整式方程叫做一元一次方程． 【详解】解：∵若关于x的方程是一元一次方程， ∴， ∴， 故答案为：0． 类型五、二元一次方程(组)的定义 【解惑】下列方程中，属于二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二元一次方程，根据二元一次方程的定义判断即可． 【详解】解：根据二元一次方程的定义：方程中含有两个未知数，且含未知数的项的次数是1．可得：方程是二元一次方程． 故选：B 【融会贯通】 1．下列方程组中，是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义，熟记定义是解题的关键．方程组中含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程组是二元一次方程组，二元一次方程组中的各个方程应是整式方程，根据定义解答． 【详解】解：A．，方程组中含有三个未知数，不是二元一次方程组，故不符合题意； B．，是二元一次方程组，故符合题意； C．，含有二次项，不是二元一次方程组，故不符合题意； D．，不是整式方程，不是二元一次方程组，故不符合题意． 故选：B． 2．观察所给的4个方程组：①；②；③；④，其中，符合二元一次方程组定义的是 （写出所有正确的序号）． 【答案】①②④ 【分析】含有两个未知数，且未知数的最高次数是1，这样的整式方程组是二元一次方程组，根据定义逐一判断即可． 【详解】解：① ，符合二元一次方程组定义； ② ，符合二元一次方程组定义； ③ ，未知数x的最高次数是2，不符合二元一次方程组定义； ④ ，符合二元一次方程组定义； 所以符合二元一次方程组定义的是①②④． 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查的是二元一次方程组的定义，熟记定义是解本题的关键． 3．若是二元一次方程，那么a、b的值分别是 ． 【答案】2，1 【分析】本题考查二元一次方程的定义，解二元一次方程组，含有两个未知数，且含有未知数的项的次数为1的整式方程，叫做二元一次方程，据此列出方程组进行求解即可． 【详解】解：由题意，得： ，解得：； 故答案为：2，1． 类型六、三元一次方程的定义及解 【解惑】方程组的解使代数式的值为，则的值为（    ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了解三元一次方程组，解题的关键是掌握消元的方法并熟练运用． 用加减消元法求解该三元一次方程组，再将方程组的解代入即可求出k． 【详解】解：， 得：， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， 把代入③得：， 解得：， ∴原方程组的解为， 把代入得：， 解得：． 故选：C． 【融会贯通】 1．三个整数a，b，c满足，则a的值为（    ） A．3 B．0 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查解三元一次方程组，将三个式子相加求出的值，进而求出的值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴； 故选C． 2．方程组的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查解三元一次方程组，熟练掌握加减消元法解方程组是解决问题的关键．由得，然后把分别代入①和③即可求解． 【详解】 得 解得 把代入①得 解得 把代入③ 解得 ∴ 故答案为： 3．已知，，为三个非负实数，且满足，若，则的最大值为 ． 【答案】130 【分析】本题考查三元一次方程组，通过解方程组得到与的关系是解题的关键．将方程组两个方程相加，得到，整体替换可得，再由的取值范围即可求解． 【详解】解：， 解得：， ①②，得， ，，为三个非负实数， ，， ， ， 当时，的最大值为130， 故答案为：130． 类型七、解一元一次方程 【解惑】解下列一元一次方程 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）移项，合并同类项，最后把未知数的系数化成1，进行解答即可． （2）先去分母，去括号，移项，合并同类项，最后把未知数的系数化成1，进行解答即可 本题主要考查了解一元一次方程，解题关键是熟练掌握解一元一次方程的一般步骤． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）， 方程两边同时乘4得：， ， ， ， ， ． 【融会贯通】 1．解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是一元一次方程的解法，掌握解法步骤是解本题的关键； （1）先移项，再合并同类项，最后把未知数的系数化为1即可； （2）先去括号，移项，再合并同类项，最后把未知数的系数化为1即可； 【详解】（1）解： ∴， 解得：． （2）解：， ∴， ∴； 2．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的基本步骤，先去分母，再去括号，然后移项合并同类项，最后未知数系数化为1即可． （1）先去括号，然后移项合并同类项，最后未知数系数化为1即可； （2）先去分母，再去括号，然后移项合并同类项，最后未知数系数化为1即可． 【详解】（1）解： 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：； （2）解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：． 3．（1）解方程：； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． （1）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次方程即可求解； （2）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次方程即可求解． 【详解】解：（1）， 去分母得，， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 化系数为1得，； （2）， 去分母得，， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 化系数为1得，． 类型八、解二元一次方程 【解惑】用指定的方法解下列方程组： (1)（代入法）； (2)（加减法）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组． （1）利用代入法解方程组； （2）利用加减消元法解方程组． 【详解】（1）， 由①得③， 把③代入②，得 ， 解得， ， 方程组的解为； （2）， ，得 ， 解得， 把代入②，得 ， 解得． 方程组的解为． 【融会贯通】 1．解下列方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，解题的关键是利用代入消元法或加减消元法消去一个未知数． （1）方程组利用代入消元法求解即可； （2）方程组利用加减消元法求解即可． 【详解】（1） 将①代入②得： 解得 将代入①得： 解得， ∴方程组的解为：； （2） 得： 解得 将代入①得： 解得， ∴方程组的解为：． 2. 解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考考查解二元一次方程组： （1）代入法解方程组即可； （2）加减法解方程组即可． 【详解】（1）解： 把①代入②得：，解得：． 将代入①得：． ∴原方程组的解是． （2） 得：，即 将代入①得：，解得： ∴原方程组的解是． 3．解下列方程组． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解二元一次方程组，解题的关键是掌握方程组解法，根据未知数系数的特点，选择合适的方法． （1）运用代入消元法求解即可； （2）先将方程组整理后，再运用代入法求解即可． 【详解】（1）解：， 由②得，， 把③代入①得，， ∴ 把代入③得，， 所以，方程组的解为； （2）解：， 由①得， 由②得，， ∴， 将代入③得，， ∴， 把代入，得， ∴方程组的解为． 【一览众山小】 1．若是关于x的一元一次方程，则m的值为（　　） A． B．1 C． D．任何实数 【答案】B 【分析】本题主要考查一元一次方程的定义，掌握一元一次方程的定义是解题的关键．根据一元一次方程的定义可得到且，即可求出的值． 【详解】解：是关于x的一元一次方程， 根据题意得：且， 解得：， 故选：B． 2．将方程 去分母， 得（    ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】C 【分析】本题考查的是一元一次方程的求解步骤中去分母的方法，去分母的关键是确定所有分母的最小公倍数．去分母的方法是方程左右两边同时乘以分母的最小公倍数；因为方程的分母分别为和，所以最小公倍数是，所以方程中每一项都乘以即可． 【详解】解：方程两边同时乘以， 得， 故选：C． 3．已知，那么( )． 【答案】6 【分析】此题考查等式的性质，用第一个式子减去第二个式子即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：6 4．若是方程的解，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了方程的解，解题的关键是掌握使方程两边相等的未知数的值是方程的解．将代入原方程进行解答即可． 【详解】解：把代入得：， 解得：， 故答案为：1． 5．列式解答． (1)10.2减去3.4的差除以与2的积，商是多少？ (2)一个数的比36的多2，这个数是多少？（列方程解答） 【答案】(1)17 (2)45 【分析】本题考查了列式计算，列方程，解方程，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）先算10.2减去3.4的差，与2的积，再用所得的差除以所得的积即可； （2）设这个数是，由题意得，解方程即可． 【详解】（1）解：， 故商是17； （2）解：设这个数是， 故这个数是45． 6．方程与方程的解相同，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了同解方程，代数式求值，先解，把代入，求出k的值，然后再代入代数式求值即可． 【详解】解： 又∵方程与方程的解相同 ∴ 7．解方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查的是二元一次方程组的解法， （1）利用加减消元法解方程组即可； （2）先对式子①变形为：，再利用加减消元法解方程组即可． 【详解】（1）解：①+②×2得：， 解得：， 把代入②得：， 得：， ∴原方程组的解是：； （2）①×12得：， 得：， 把代入得：，解得 ∴原方程组的解是：． 8．解下列方程或方程组 (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了解一元一次方程，三元一次方程组，熟练掌握解题方法是解题的关键． （1）按照移项，合并同类项，系数化1计算即可； （2）先去分母，再去括号，移项，合并同类项，系数化1计算即可； （3）利用加减消元求解即可． 【详解】（1）解： 解得：， ∴原方程的解为：； （2）解：， ∴原方程的解为：； （3）解：， 得，， 得，， 解得， 将代入①得，， 解得， 将代入②得，， 解得， ∴原方程组的解为：． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$