专题03 一次方程与方程组（优质类型）-2024-2025学年七年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（沪科版2024新教材）

专题03一次方程与方程组思维导图 【类型覆盖】 类型一、一次方程中的整数解问题 【解惑】若关于的方程的解是正整数，且关于的多项式是二次三项式，那么所有满足条件的整数的值之和是（  ） A．1 B．3 C．5 D．7 【融会贯通】 1．若关于的方程有整数解，那么满足条件的整数的取值个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．若关于的方程的解为正整数，整数的值是 ． 3．已知关于x的方程的解为整数，则满足条件的所有整数m的和为 ． 类型二、二元一次方程中的有、无解 【解惑】关于x的方程（a+1）x＝a﹣1有解，则a的值为（　　） A．a≠0 B．a≠1 C．a≠﹣1 D．a≠±1 【融会贯通】 1．若方程组无解，则值是（   ） A． B．1 C． D．2 2．如果关于 的方程 无解，那么 的取值范围是 ． 3．关于的方程有解的条件是 ． 类型三、方程应用——几何问题 【解惑】如图，在长方形中，，．动点P从点A出发，沿线段向点C运动，速度为；动点Q从点B出发，沿线段BC向点C运动，速度为．点P、Q同时出发，任意一点到达点C时两点同时停止运动．设运动时间为t（s）．    (1)点P，Q同时出发，求几秒后P，Q两点相遇？ (2)求停止运动时P，Q两点之间的距离． 【融会贯通】 1． 如图，在长方形中，，点是的中点，动点从点出发，以每秒的速度沿运动，最终到达点．若设点运动的时间是秒，那么当取何值时，的面积会等于？ 2．如图，8块相同的小长方形地砖拼成了一个大长方形图案（地砖间的缝隙忽略不计），求每块小长方形的长和宽． 3．小明在拼图时，发现8个大小一样的长方形，恰好可以拼成如左图所示的一个大的长方形．小红看见了，说：“我来试一试．”结果小红七拼八凑，拼成如右图所示的正方形．但是中间还留下了一个小洞，恰好是边长为的小正方形!你能求出这些长方形的长和宽吗?．若能，请写出过程；若不能，请说出理由． 类型四、方程应用——方案问题 【解惑】甲地欲往外地运输一批水果，有火车和汽车两种运输方式，运输过程中的损耗均为元/时，其它主要参考数据如下： 运输工具 途中平均速度（千米/时） 运费（元/千米） 装卸费（元） 火车 汽车 (1)如果运往乙地，汽车的费用比火车的费用多元，求甲、乙两地间的路程；（费用包含损耗、运费和装卸费） (2)如果运往丙地，已知甲、丙两地间的路程为千米，通过计算选择哪种运输方式比较合算． 【融会贯通】 1．七年级某班因参加校园运动会为学生购置运动装．经了解，某服装店男款运动装每套100元，女款运动装每套120元，原价购买50套运动装共需5520元．为吸引顾客，该店推出两种优惠方案： 方案一：全部运动装八五折销售； 方案二：一次性购买40套运动装（男女运动装均可）及以上免费赠送10套男款运动装，其余的按原价销售． (1)该班购买的男款运动装和女款运动装各多少套？ (2)请通过计算说明该班购买50套运动装应选择哪种优惠方案更合算？ 2．市场淡季，为促进空调销售量，某商场进行优惠活动，已知购买台型空调和台型空调需要元；购买台型空调和台型空调需要元． (1)分别求出两种空调单价多少元； (2)某单位需要购买型空调台，型空调台，现商家推出活动，优惠一：型空调满台打折；优惠二：总购物金额满元减元（两种优惠不同时享受），问该单位如何购买更划算． 3．一直以来汽油价格总是波动调整，因此国内市场对新能源汽车的关注度逐渐提高，低碳绿色出行方式受到肯定，加上各地市对新能源汽车上牌等方面的支持，今年以来新能源汽车的月销量同比均呈现上升趋势．某汽车销售公司为提升业绩，计划购进一批新能源汽车进行销售，据了解2辆A型汽车，3辆B型汽车的进价共计95万元：3辆A型汽车，2辆B型汽车的进价共计105万元． (1)若一段时间内小明的爸爸准备去加油站加两次油，且两次汽油单价不同，现有两种加油方式： ①每次所加的油量固定；②每次加油的付款额固定．若平均单价越低则该加油方式越划算，不考虑其他因素影响，则 ． A．按方式①加油更划算；       B．按方式②加油更划算； C．两种加油方式一样划算；     D．无法比较哪种加油方式更划算． (2)求A，B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ (3)若该公司计划正好用250万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均有购买），请你通过计算写出所有购买方案． 类型五、一元一次方程的新定义计算 【解惑】观察下列式子，定义一种新运算： ；；； (1)这种新运算是：______（用含a，b的代数式表示）； (2)如果，求a的值； (3)若a，b为整数，试判断是否能被3整除． 【融会贯通】 1．对于整数，，，，定义，如：； (1)计算：的值； (2)当时，求的值． 2．对于实数a，b，定义关于“”的一种运算：，例如． (1)若，求m的值； (2)若，求的值． 3．用“★”定义一种新运算，对于任意有理数和，规定 如：． (1)求 (2)若，求的值． 类型六、一元一次方程的新定义方程 【解惑】方程的解的定义：使方程两边相等的未知数的值．如果一个方程的解都是整数，那么这个方程叫做“立信方程”． (1)若“立信方程”的解也是关于的方程的解，则______； (2)若关于的方程是“立信方程”，请求出符合要求的正整数的值． 【融会贯通】 1．阅读下列材料，并完成相应的任务． 定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”． 例如：方程与方程为“美好方程”． (1)请判断方程与方程是否为“美好方程”，并说明理由； (2)若关于的方程与方程是“美好方程”，求的值． 2．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”，例如：方程和为“美好方程”． (1)若关于x的方程与方程是“美好方程”，求m的值； (2)若“美好方程”的两个解的差为8，其中一个解为n，求n的值； (3)若关于x的一元一次方程和是“美好方程”，求关于y的一元一次方程的解． 3．定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“关联方程”如方程和为“关联方程”． (1)若关于的方程与方程是“关联方程”，求的值； (2)若两个“关联方程”的两个解的差为8，若两个“关联方程”的两个解分别为，求的值； (3)若关于的方程和是“关联方程”，求的值． 类型七、二元一次方程组的整体代入 【解惑】阅读感悟： 有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题： 已知实数x、y满足，求和的值． 本题常规思路是先解方程组得出x、y的值，再代入要求代数式的值，从而得到问题的答案，这样常规思路的运算量有时比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由可得，由可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 解决问题： (1)已知二元一次方程组，则 ， ； (2)某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，则购买1支铅笔、1块橡皮、1本日记本共需多少元？ (3)某社交平台上有这样的一副图片，请你运用所学的数学知识，求出桌子的高度应是 ． 【融会贯通】 1．善于思考的乐乐在解方程组时，采用了一种“整体代换”的方法． 解：将②变形，得，即，③ 把①代入③，得， 解得， 把代入①，得， 解得，所以方程组的解为 根据上述材料，用“整体代换”的方法解方程组 2．阅读理解：已知实数，满足，，求和的值．仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由可得，由可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．利用“整体思想”，解决下列问题： (1)已知二元一次方程组，则________，_______； (2)买支铅笔、块橡皮、本日记本共需元，买支铅笔、块橡皮、本日记本共需元，求购买支铅笔、块橡皮、本日记本共需多少元？ (3)对于实数，，定义新运算：，其中，，是常数，等式右边是实数运算．已知，，求的值． 3．“整体代换”是一种常用的数学思想，在解二元一次方程组时也可以运用“整体代换”的思想例如：求解二元一次方程组 将②式变形，得③． 将①式代入③式，得，解得． 将代入①式，得，解得， 该二元一次方程组的解为 (1)类比“整体代换”法解方程组 (2)已知，满足方程组求的值． 类型八、阅读理解与迁移探究题 【解惑】【阅读理解】我们知道，有理数包括整数、有限小数和无限循环小数，事实上，所有的有理数都可以化为分数形式（整数可看作分母为1的分数），运用方程思想可以将无限循环小数表示为分数形式．请看以下示例： 例1、将化为分数形式：由于，设①则②，②-①得，解得，于是得． 例2、将化为分数形式：由于，设①则②，②-①得，解得，于是得． 请根据以上知识解决下列问题 【应用新知】（1）把化成分数为_______； （2）把循环小数  化成分数．（注：．）． 【拓展提升】请用一元一次方程把循环小效化为分数． 【融会贯通】 1．【阅读理解】我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，解决此类问题时一般要进行转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．其依据是不等式（或等式）的性质：若，则；若，则；若，则． 例：已知，，其中，求证：． 证明：， 因为，所以，故， 【新知理解】 （1）比较大小：______．（填“”，“”，“”） 【问题解决】 （2）甲、乙两个平行四边形，其底和高如图所示（a为正整数），其面积分别为，．请比较，的大小关系． 【拓展应用】 （3）请用“作差法”解决下列问题： 初中生小明暑假准备去游泳，已知游泳馆在暑假期间对学生优惠开放，游泳票为30元一张，有A，B两种方案可供选择，A方案：每次按原价打9折收费；B方案：前5次按照原价收费，从第6次起每次打8折．请问小明选择哪种方案更合算？ 2．我们知道，借助天平和一些物品可以探究得到等式的基本性质． 【提出问题】能否借助一架天平和一个10克的砝码测量出一个乒乓球和一个一次性纸杯的质量？ 【实验探究】准备若干相同的乒乓球和若干相同的一次性纸杯（每个乒乓球的质量相同，每个纸杯的质量也相同），设一个乒乓球的质量是克，经过试验，将有关信息记录在下表中： 记录 天平左边 天平右边 天平状态 乒乓球总质量 一次性纸杯的总质量 记录一 5个乒乓球，1个10克的砝码 15个一次性纸杯 平衡 ______ 记录二 3个乒乓球 1个一次性纸杯 1个10克的砝码 平衡 ______ 【解决问题】 （1）将表格中两个空白部分用含的代数式表示； （2）分别求出一个乒乓球的质量和一个一次性纸杯的质量． 【及时迁移】 （3）借助以上相关数据以及实验经验，你能设计一种方案，使实验中选取的乒乓球的个数是纸杯的个数的3倍吗？请补全下面横线上内容，完善方案，并说明方案设计的合理性． 方案：将天平左边放置______，天平右边放置______，使得天平平衡． 理由： 3．小颖同学在学习了方程的内容后，用学习方程时积累的经验解决我国古代数学著作《九章算术》中的“燕雀问题”：“五只雀六只燕，共重十六两，雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重，问雀燕各几两？”．尝试解决：      (1)用表格梳理出数量关系如下： 每只重量（两） 数量（只） 总重量（两） 雀 5 燕 6 相互关系 互换1只一样重 共16 每只重量只数总重量． (2)设未知数，并用含有未知数的代数式表示其他量； (3)列方程(组)： 从表格中她发现有4个未知量，分别是：雀、燕每只的重量；5只雀、6只燕的重量． ①尝试设一个未知数解决． 如果设每只雀重量x两，则5只雀的总重量为_____两，6只燕的总重量为_____两，每只燕的重量为_____两，连接已知量和未知量的相等关系是“互换1只一样重”，于是列方程为_____．同样也可设5只雀的总重量(略)； ②尝试设两个未知数解决， 如果设每只雀重量为x两，每只燕重量为y两，连接已知量和未知量的相等关系是“五只雀六只燕，共重十六两”、“互换1只一样重”可列方程组为 ，同样也可设5只雀、6只燕的总重量(略)； 反思提炼： 经过上面的几个步骤可以将实际问题变成一个方程问题，这种思想方法在数学中通常称为数学建模．从以上探究可以看出，对于“燕雀问题”列一元一次方程解决比较复杂，因此_______是解决含有多个未知数问题的重要工具． 【一览众山小】 1．若关于y的一元一次方程的解是，则a的值是（　　） A． B． C．40 D．50 2．如图，沿着边长为米的正方形，按方向，甲从以米/分的速度，乙从以米/分的速度同时行走，当乙第一次追上甲时是在正方形的某个顶点处，则这个顶点是（    ） A．顶点A B．顶点B C．顶点C D．顶点D 3．一个学习小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动．图是一个正方形纸板，裁掉阴影部分后将其折叠成如图所示的长方体盒子，已知该长方体的宽是高的倍，长比高多，则这个正方形纸板的边长为 ．    4．现有含盐率为的盐水300克，如果要使含盐率降为，应加水( )克． 5．甲、乙两辆汽车同时从 A , B 两个城市相对开出，经过8小时相遇后，甲车继续向前开到B城还要4小时．已知甲车每小时比乙车快35千米．A,B两个城市间的公路长多少千米？ 6．某工厂一车间有名工人，其中男生人数比女生人数的倍少人，某月接到加工甲、乙两种零件的工作任务，每个工人每天能加工个甲种零件或个乙种零件.已知，个甲种零件和个乙种零件可以组装成一个丙种零件． (1)该车间男、女生各有多少人？ (2)该车间分别安排多少工人加工甲种零件和乙种零件，能使得每天加工的甲、乙两种零件恰好能全部组装成丙种零件？ 7．如图，在射线上有三点，，，满足，，（如图所示），点从点出发，沿方向以的速度匀速运动，点从点出发在线段上向点匀速运动，两点同时出发． (1)当在线段上，且时，点运动到的位置恰好是线段的三等分点，求点运动的速度； (2)若点运动的速度为，经过多长时间、两点相距； (3)当点运动到线段上时，分别取和的中点，，求的值． 8．综合与实践 问题情境：“综合与实践”课上，老师呈现了杭州市居民生活用电电价表（不完整）． 杭州市居民生活用电分段及价格一览表 单位：元/千瓦时 用电分档 分时电价 高峰电价 低谷电价 第一档 年用电a千瓦时及以下部分 0.568 0.288 第二档 年用电千瓦时部分 b c 第三档 年用电4801千瓦时及以上部分 0.868 0.588 注：电费=高峰价×高峰用电量+低谷电价×低谷用电量，若跨档，则分别计算各档电费后累加． 老师介绍了自己家庭生活用电的情况：截止上月底，本年度已用完第一档的额度，其中第一档低谷用电量为760千瓦时，第一档共产生电费1354.88元． （1）求表格中a的值． 数学思考： （2）同学们根据自己家庭生活用电的情况开展了讨论并提出问题：经查询，点点同学家4月份使用的均为第二档的用电额度，其中高峰用电量为200千瓦时，低谷用电量为500千瓦时，共产生电费292.6元；芳芳家5月份使用的均为第二档的用电额度，其中高峰用电量为100千瓦时，低谷用电量为300千瓦时，共产生电费163.2元．求表格中b和c的值． （3）若第一档花费144元可使用的最多电量为n千瓦时，则在第三档使用n千瓦时的电量最多需要电费多少元？说说你对家庭用电的建议． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03一次方程与方程组思维导图 【类型覆盖】 类型一、一次方程中的整数解问题 【解惑】若关于的方程的解是正整数，且关于的多项式是二次三项式，那么所有满足条件的整数的值之和是（  ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】C 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，多项式次数和项的定义，先解方程得到，根据方程的解为正整数推出是整数，进而得到解得或2或4；再根据多项式次数和项的定义得到且，据此得到所有满足条件的整数a的值为1，4，由此可得答案． 【详解】解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， ∵关于x的方程的解是正整数， ∴是整数，且 ∴或2或4， ∵是二次三项式， ∴， ∴且， ∴所有满足条件的整数a的值为1，4， ∴所有满足条件的整数a的值之积是， 故选：C． 【融会贯通】 1．若关于的方程有整数解，那么满足条件的整数的取值个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查的是一元一次方程的解与方程的解法，掌握“方程的整数解的含义以及求解整数解的方法”是解本题的关键． 先解方程可得，再根据关于的方程有整数解，为整数，可得或，从而可得答案． 【详解】解：∵， ∴，即， 当时， ∴， ∵关于的方程有整数解，为整数， ∴或， 解得：或或或， ∴满足条件的整数的取值个数是， 故选：C． 2．若关于的方程的解为正整数，整数的值是 ． 【答案】2或3或4或7 【分析】首先解方程表示出的值，然后根据解为正整数求解即可．本题主要考查方程的解和解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1． 【详解】解：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， 关于的方程的解为正整数， 为正整数， 或或或 或或或． 故答案为：2或3或4或7 3．已知关于x的方程的解为整数，则满足条件的所有整数m的和为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的整数解问题，解方程，结合整数解求解即可得到答案； 【详解】解：解方程得， ， ∵关于x的方程的解为整数， ∴或或或或或， 解得：或或1或或或7， ∴所有整数m的和为：， 故答案为：． 类型二、二元一次方程中的有、无解 【解惑】关于x的方程（a+1）x＝a﹣1有解，则a的值为（　　） A．a≠0 B．a≠1 C．a≠﹣1 D．a≠±1 【答案】C 【分析】根据一元一次方程有解，可得一元一次方程的系数不能为零，可得答案． 【详解】根据一元一次方程有解，可得一元一次方程的系数不能为零，可得答案． 解：由关于x的方程（a+1）x＝a﹣1有解， 得a+1≠0， 解得a≠﹣1． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元一次方程有解的条件，利用了一元一次方程的系数不能为零． 【融会贯通】 1．若方程组无解，则值是（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】把第二个方程整理得到，然后利用代入消元法消掉未知数x得到关于y的一元一次方程，再根据方程组无解，未知数的系数等于0列式计算即可得． 【详解】解： 由②得：③， 把③代入①得：， 整理得：， 方程组无解， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，消元得到关于x的方程是解题的关键，难点在于明确方程组无解未知数的系数等于0． 2．如果关于 的方程 无解，那么 的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程解的情况，一元一次方程（形如）的解的情况：①当时，方程有唯一解，②当，时，方程无解，③当，时，方程有无数个解． 【详解】解：∵关于 的方程 无解， ∴， ∴． 故答案为：． 3．关于的方程有解的条件是 ． 【答案】 【分析】根据一元一次方程的解的定义得出即可． 【详解】解：由可得， ∴， ∵当时，方程的解为：， ∴关于x的方程有解的条件是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解的定义，能熟记一元一次方程的解的定义的内容是解此题的关键． 类型三、方程应用——几何问题 【解惑】如图，在长方形中，，．动点P从点A出发，沿线段向点C运动，速度为；动点Q从点B出发，沿线段BC向点C运动，速度为．点P、Q同时出发，任意一点到达点C时两点同时停止运动．设运动时间为t（s）．    (1)点P，Q同时出发，求几秒后P，Q两点相遇？ (2)求停止运动时P，Q两点之间的距离． 【答案】(1)P，Q出发4秒相遇 (2)P，Q两点之间的距离为 【分析】本题考查一元一次方程的应用． （1）根据追及问题列方程求解即可； （2）先求得动点P到达点C时所用的时间，据此计算即可求解． 【详解】（1）解：由题意得， 解得， 答：P，Q出发4秒相遇； （2）解：动点P到达点C时用时：， ， ， 答：P，Q两点之间的距离为． 【融会贯通】 1． 如图，在长方形中，，点是的中点，动点从点出发，以每秒的速度沿运动，最终到达点．若设点运动的时间是秒，那么当取何值时，的面积会等于？ 【答案】或 【分析】本题主要考查了三角形面积的计算，一元一次方程的应用，分三种情况：当P在上时， 当P在上时，当点P在上时，分别画出图形，列出方程，进行求解即可． 【详解】解：在长方形中，， ∵点是的中点， ∴， 当P在上时，如图1所示：此时， ∵的面积等于， ∴ ， 解得：； 当P在上时，，如图2所示：， ， ， ∵的面积等于， ∴ 解得：，不符合要求，舍去； 当点P在上时，如图3所示： ， ， ∵的面积等于10， ∴， 解得，符合要求； 综合上述，当或时，的面积会等于10 ． 2．如图，8块相同的小长方形地砖拼成了一个大长方形图案（地砖间的缝隙忽略不计），求每块小长方形的长和宽． 【答案】每块地砖的长为，宽为 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．设每块地砖的长为，宽为，根据题意，列出方程组，即可求解． 【详解】解：设每块地砖的长为，宽为，根据题意得： ， 解得：， 答：每块地砖的长为，宽为． 3．小明在拼图时，发现8个大小一样的长方形，恰好可以拼成如左图所示的一个大的长方形．小红看见了，说：“我来试一试．”结果小红七拼八凑，拼成如右图所示的正方形．但是中间还留下了一个小洞，恰好是边长为的小正方形!你能求出这些长方形的长和宽吗?．若能，请写出过程；若不能，请说出理由． 【答案】能，长宽分别为，，理由见解析 【分析】此题考查了二元一次方程组的应用，设这些长方形的长和宽分别为，，根据长和宽的关系得到二元一次方程组，解方程组即可得到答案． 【详解】解：能求出这些长方形的长和宽， 理由如下：设这些长方形的长和宽分别为，， 根据两个图形可得：， 解得， 答：这些长方形的长和宽分别为，． 类型四、方程应用——方案问题 【解惑】甲地欲往外地运输一批水果，有火车和汽车两种运输方式，运输过程中的损耗均为元/时，其它主要参考数据如下： 运输工具 途中平均速度（千米/时） 运费（元/千米） 装卸费（元） 火车 汽车 (1)如果运往乙地，汽车的费用比火车的费用多元，求甲、乙两地间的路程；（费用包含损耗、运费和装卸费） (2)如果运往丙地，已知甲、丙两地间的路程为千米，通过计算选择哪种运输方式比较合算． 【答案】(1)千米； (2)选择汽车运输比较合算． 【分析】（）设甲、乙两地间的路程为千米，根据题意列出方程即可求解； （）分别求出两种方式的运输费用，再比较即可求解； 本题考查了一元一次方程的应用，根据题意正确列出一元一次方程是解题的关键． 【详解】（1）解：设甲、乙两地间的路程为千米， 由题意得，， 解得， 答：甲、乙两地间的路程为千米； （2）解：选择火车运输的费用为元， 选择汽车运输的费用为元， ∵， ∴选择汽车运输比较合算． 【融会贯通】 1．七年级某班因参加校园运动会为学生购置运动装．经了解，某服装店男款运动装每套100元，女款运动装每套120元，原价购买50套运动装共需5520元．为吸引顾客，该店推出两种优惠方案： 方案一：全部运动装八五折销售； 方案二：一次性购买40套运动装（男女运动装均可）及以上免费赠送10套男款运动装，其余的按原价销售． (1)该班购买的男款运动装和女款运动装各多少套？ (2)请通过计算说明该班购买50套运动装应选择哪种优惠方案更合算？ 【答案】(1)该班购买的男款运动装套． (2)按方案二购买更合算 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据已知的等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）设该班购买的男款运动装套，由总共需要5520元列方程，解出即可． （2）按方案一购买需：（元）；按方案二可以购买14套男运动装和26套女运动装加赠送10套男款运动装，费用为：（元），比较大小即可． 【详解】（1）解：设该班购买的男款运动装套，则购买的女款运动装各多少套为套，根据题意得 答：该班购买的男款运动装套． （2）按方案一购买需：（元） 按方案二购买需：按原价购买14套男运动装和26套女运动装加赠送10套男款运动装 （元） ∵ ∴按方案二购买更合算． 2．市场淡季，为促进空调销售量，某商场进行优惠活动，已知购买台型空调和台型空调需要元；购买台型空调和台型空调需要元． (1)分别求出两种空调单价多少元； (2)某单位需要购买型空调台，型空调台，现商家推出活动，优惠一：型空调满台打折；优惠二：总购物金额满元减元（两种优惠不同时享受），问该单位如何购买更划算． 【答案】(1)型空调单价为元，型空调单价为元； (2)选择优惠一购买更划算． 【分析】（）设型空调单价为元，型空调单价为元，根据题意列出二元一次方程组即可求解； （）分别算出选择优惠一和优惠二购买所需费用，比较即可求解； 本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【详解】（1）解：设型空调单价为元，型空调单价为元， 由题意得，， 解得， 答：型空调单价为元，型空调单价为元； （2）解：选择优惠一所需费用为元； 选择优惠二所需费用为元； ∵， ∴选择优惠一购买更划算． 3．一直以来汽油价格总是波动调整，因此国内市场对新能源汽车的关注度逐渐提高，低碳绿色出行方式受到肯定，加上各地市对新能源汽车上牌等方面的支持，今年以来新能源汽车的月销量同比均呈现上升趋势．某汽车销售公司为提升业绩，计划购进一批新能源汽车进行销售，据了解2辆A型汽车，3辆B型汽车的进价共计95万元：3辆A型汽车，2辆B型汽车的进价共计105万元． (1)若一段时间内小明的爸爸准备去加油站加两次油，且两次汽油单价不同，现有两种加油方式： ①每次所加的油量固定；②每次加油的付款额固定．若平均单价越低则该加油方式越划算，不考虑其他因素影响，则 ． A．按方式①加油更划算；       B．按方式②加油更划算； C．两种加油方式一样划算；     D．无法比较哪种加油方式更划算． (2)求A，B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ (3)若该公司计划正好用250万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均有购买），请你通过计算写出所有购买方案． 【答案】(1)B (2)A种型号的汽车每辆进价为25万元，B种型号的汽车每辆进价为15万元 (3)共有3种购买方案：①购进A型号汽车7辆，B型号汽车5辆；②购进A型号汽车4辆，B型号汽车10辆；③购进A型号汽车1辆，B型号汽车15辆． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，找准等量关系是解题的关键． （1）设两次汽油单价分别为a元，b元（），记①中每次所加的油量固定为A升，②中每次加油的付款额固定为B元，分别求出两次的平均单价，然后作差比较即可； （2）设A型汽车每辆的进价为x万元，B型汽车每辆的进价为y万元，列出二元一次方程组即可计算出答案； （3）设购进A型汽车m辆，购进B型汽车n辆，列出二元一次方程，求出正整数解即可得到答案． 【详解】（1）设两次汽油单价分别为a元，b元（）， 记①中每次所加的油量固定为A升，②中每次加油的付款额固定为B元， 则①中平均单价为（元）， ②中平均单价为（元）， 当时， ∴，即， ∴方式②平均油价更低． 故选：B． （2）设A种型号的汽车每辆进价为x万元，B种型号的汽车每辆进价为y万元， 由题意得：， 解得：， 答：A种型号的汽车每辆进价为25万元，B种型号的汽车每辆进价为15万元； （3）设购进A型汽车m辆，购进B型汽车n辆， 由题意得：， 整理得：， ∵m、n均为正整数， ∴， ，， ∴共有3种购买方案： ①购进A型号汽车7辆，B型号汽车5辆； ②购进A型号汽车4辆，B型号汽车10辆； ③购进A型号汽车1辆，B型号汽车15辆． 类型五、一元一次方程的新定义计算 【解惑】观察下列式子，定义一种新运算： ；；； (1)这种新运算是：______（用含a，b的代数式表示）； (2)如果，求a的值； (3)若a，b为整数，试判断是否能被3整除． 【答案】(1) (2)； (3)见解析 【分析】本题考查解一元一次方程和整式的加减运算，正确理解题意掌握运算顺序和计算法则正确计算是解题关键． （1）通过观察发现，； （2）根据定义新运算列方程计算求a； （3）根据定义新运算列式，然后先去括号，合并同类项化简，最后做出判断． 【详解】（1）解：∵； ； ； ∴； 故答案为：； （2）解：∵，又， ∴， 解得：； （3）解：根据题意得： ∵a、b为整数， ∴为整数 ∴能被3整除 即：能被3整除． 【融会贯通】 1．对于整数，，，，定义，如：； (1)计算：的值； (2)当时，求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了解一元一次方程，能根据新定义得出方程是解此题的关键． （1）根据新定义得出，进一步计算即可求解； （2）根据新定义得出，再解一元一次方程即可． 【详解】（1）解：； （2）解：∵， ∴， 解得． 2．对于实数a，b，定义关于“”的一种运算：，例如． (1)若，求m的值； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了新定义，一元一次方程和二元一次方程组的解法，读懂题意得到方程和方程组是解题的关键． （1）根据新定义得到一元一次方程，解方程即可得到答案； （2）根据新定义得到二元一次方程组，两个方程相加，进一步即可求得答案． 【详解】（1）解：， 解得； （2）由题意可得方程组， ∴①＋②得，， ∴ 3．用“★”定义一种新运算，对于任意有理数和，规定 如：． (1)求 (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了新定义运算，涉及整式的加减混合运算，解一元一次方程，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）直接根据新定义列式并进行计算即可； （2）根据新定义得出关于x的一元一次方程，再解方程即可． 【详解】（1）； （2）， 整理得， 解得． 类型六、一元一次方程的新定义方程 【解惑】方程的解的定义：使方程两边相等的未知数的值．如果一个方程的解都是整数，那么这个方程叫做“立信方程”． (1)若“立信方程”的解也是关于的方程的解，则______； (2)若关于的方程是“立信方程”，请求出符合要求的正整数的值． 【答案】(1)3 (2)符合要求的正整数的值为4，6，18． 【分析】本题考查方程的解，解一元一次方程．理解并掌握方程的解的定义，“立信方程”的定义，是解题的关键． （1）先求出的解，再将方程的解代入，求出的值即可； （2）求出方程的解，根据方程是“立信方程”得到方程的解为整数，进行求解即可． 【详解】（1）， 解得：， 的解也是关于的方程的解， ，解得：； 故答案为：3； （2）， 解得：， 是“立信方程”， 是整数， 或， 解得：或或（不合题意，舍去）或， 符合要求的正整数的值为4，6，18． 【融会贯通】 1．阅读下列材料，并完成相应的任务． 定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”． 例如：方程与方程为“美好方程”． (1)请判断方程与方程是否为“美好方程”，并说明理由； (2)若关于的方程与方程是“美好方程”，求的值． 【答案】(1)方程与方程互为“美好方程”，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的方法，准确计算． （1）先求出两个方程的解，然后根据“美好方程”的定义进行判断即可； （2）先求出两个方程的解，然后根据“美好方程”的定义得出，求出m的值即可． 【详解】（1）解：方程与方程互为“美好方程”； 理由如下： 解方程得， 解方程得， ， 方程与方程互为“美好方程”； （2）解：关于的方程的解为：， 方程的解为：， 关于的方程与方程是“美好方程”， ， ． 2．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”，例如：方程和为“美好方程”． (1)若关于x的方程与方程是“美好方程”，求m的值； (2)若“美好方程”的两个解的差为8，其中一个解为n，求n的值； (3)若关于x的一元一次方程和是“美好方程”，求关于y的一元一次方程的解． 【答案】(1)m的值为9 (2)或 (3)2024 【分析】本题考查一元一次方程以及新定义． （1）分别表示出两个方程的解，根据定义可知两个方程的解之和为1，可得方程，求解即可； （2）根据定义可得或，求解即可； （3）先求解可得，再将化为，即可求解． 【详解】（1）解：解方程得： 解方程得： ∵关于x的方程与方程是“美好方程” ∴  解得： 答：m的值为9； （2）∵“美好方程”的两个解之和为1 ∴另一个方程的解为 ∵“美好方程”的两个解的差为8 ∴或 ∴或； （3）∵ ∴ ∵关于x的一元一次方程和是“美好方程” ∴的解为： ∵关于y的一元一次方程可化为 ∴ ∴． 3．定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“关联方程”如方程和为“关联方程”． (1)若关于的方程与方程是“关联方程”，求的值； (2)若两个“关联方程”的两个解的差为8，若两个“关联方程”的两个解分别为，求的值； (3)若关于的方程和是“关联方程”，求的值． 【答案】(1)25 (2)或 (3)2 【分析】本题主要考查了解一元一次方程的应用、解二元一次方程组的应用，正确掌握一元一次方程的解法和二元一次方程组的方法是解题的关键． （1）根据“关联方程”的定义求解即可； （2）根据“关联方程”的定义和已知条件得到关于的二元一次方程组，解方程组即可； （3）分别求出方程的解，再由“关联方程”的定义解答． 【详解】（1）解：解方程，可得， ∵关于的方程与方程是“关联方程”， ∴方程的解为， 将代入方程， 可得， 解得； （2）根据题意，可得或， 解两个二元一次方程组，可得或， ∴求的值为或； （3）解方程，可得， 解方程，可得， ∵关于的方程和是“关联方程”， ∴， 解得． 类型七、二元一次方程组的整体代入 【解惑】阅读感悟： 有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题： 已知实数x、y满足，求和的值． 本题常规思路是先解方程组得出x、y的值，再代入要求代数式的值，从而得到问题的答案，这样常规思路的运算量有时比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由可得，由可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 解决问题： (1)已知二元一次方程组，则 ， ； (2)某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，则购买1支铅笔、1块橡皮、1本日记本共需多少元？ (3)某社交平台上有这样的一副图片，请你运用所学的数学知识，求出桌子的高度应是 ． 【答案】(1)；5 (2)购买1支铅笔、1块橡皮、1本日记本共需6元 (3)130 【分析】本题考查了加减消元法解二元一次方程组，二元一次方程组的应用，掌握加减消元法是解题的关键． （1）根据整体代入的思想，即可求得的值，由即可求得的值，进而求得的值； （2）设铅笔的单价为m元，橡皮的单价为n元，日记本的单价为p元，根据题意列出方程组，根据整体的思想由可得，即可求解； （3）设桌子的高度为，蹲着的猫高度为，睡着的猫高度为，由题意可得：，由，即可求解． 【详解】（1）解：， 由可得：， 由可得：，即：． 故答案为：，5； （2）设铅笔的单价为m元，橡皮的单价为n元，日记本的单价为p元， 依题意得：， 由可得， 答：购买1支铅笔、1块橡皮、1本日记本共需6元； （3）解：设桌子的高度为，蹲着的猫高度为，睡着的猫高度为， 由题意可得：， 由，可得：，解得：， 即：桌子的高度为， 故答案为：130． 【融会贯通】 1．善于思考的乐乐在解方程组时，采用了一种“整体代换”的方法． 解：将②变形，得，即，③ 把①代入③，得， 解得， 把代入①，得， 解得，所以方程组的解为 根据上述材料，用“整体代换”的方法解方程组 【答案】 【分析】本题考查了代入法求二元一次方程的方法，适当变形后整体代入求解是关键．把变形为，再把整体代入． 【详解】解： 将②变形，得，③ 把①代入③，得， 解得， 把代入①，得， 解得，所以方程组的解为． 2．阅读理解：已知实数，满足，，求和的值．仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由可得，由可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．利用“整体思想”，解决下列问题： (1)已知二元一次方程组，则________，_______； (2)买支铅笔、块橡皮、本日记本共需元，买支铅笔、块橡皮、本日记本共需元，求购买支铅笔、块橡皮、本日记本共需多少元？ (3)对于实数，，定义新运算：，其中，，是常数，等式右边是实数运算．已知，，求的值． 【答案】(1)，． (2)购买支铅笔、块橡皮、本日记本共需元． (3)该值为． 【分析】本题考查的知识点是加减消元法解二元一次方程组，加减消元法解三元一次方程组，解题关键是熟练掌握加减消元法． （1）根据题意列出二元一次方程组后利用加减消元法即可得解； （2）设铅笔为元，橡皮为元，日记本为元，根据题意列出三元一次方程组，再用加减消元法求解； （3）根据题意列出三元一次方程组，用加减消元法即可求解． 【详解】（1）解：依题得， 则可得即， 可得即． 故答案为：，． （2）解：设铅笔为元，橡皮为元，日记本为元， 则依题得， 可得， 即， ． 答：购买支铅笔、块橡皮、本日记本共需元． （3）解：依题得，由 可得， 即， ． 3．“整体代换”是一种常用的数学思想，在解二元一次方程组时也可以运用“整体代换”的思想例如：求解二元一次方程组 将②式变形，得③． 将①式代入③式，得，解得． 将代入①式，得，解得， 该二元一次方程组的解为 (1)类比“整体代换”法解方程组 (2)已知，满足方程组求的值． 【答案】(1) (2)4 【分析】本题主要考查运用“整体代换”解二元一次方程程组： （1）把变形为，再用整体代换的方法解题； （2）把①变形为这样的形式，再利用整体代换的方法解决． 【详解】（1）解： ， 把②变形为③， 把①代入③得，， 解得， 把代入①得， 即方程组的解为； （2）解： 把①变形为③， 把②代入③可得，， 解得， ． 答：的值是4． 类型八、阅读理解与迁移探究题 【解惑】【阅读理解】我们知道，有理数包括整数、有限小数和无限循环小数，事实上，所有的有理数都可以化为分数形式（整数可看作分母为1的分数），运用方程思想可以将无限循环小数表示为分数形式．请看以下示例： 例1、将化为分数形式：由于，设①则②，②-①得，解得，于是得． 例2、将化为分数形式：由于，设①则②，②-①得，解得，于是得． 请根据以上知识解决下列问题 【应用新知】（1）把化成分数为_______； （2）把循环小数  化成分数．（注：．）． 【拓展提升】请用一元一次方程把循环小效化为分数． 【答案】（1）；（2），；[拓展提升] 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，正确理解题意的解答过程并转化运用到循环小数的转化过程中是解决本题的关键． （1）根据题干示例进行推导求解即可得解； （2）根据题干示例进行推导求解即可得解． [拓展提升]根据题干示例进行推导求解即可得解． 【详解】解：（1）设， 则， 两式相减，得， 解得， ∴； 故答案为：； （2）设， 则， 两式相减，得， 解得， ∴； 设， 则， 两式相减，得， 解得， ∴； [拓展提升] 设， 则，， 两式相减，得， 解得， ∴． 【融会贯通】 1．【阅读理解】我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，解决此类问题时一般要进行转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．其依据是不等式（或等式）的性质：若，则；若，则；若，则． 例：已知，，其中，求证：． 证明：， 因为，所以，故， 【新知理解】 （1）比较大小：______．（填“”，“”，“”） 【问题解决】 （2）甲、乙两个平行四边形，其底和高如图所示（a为正整数），其面积分别为，．请比较，的大小关系． 【拓展应用】 （3）请用“作差法”解决下列问题： 初中生小明暑假准备去游泳，已知游泳馆在暑假期间对学生优惠开放，游泳票为30元一张，有A，B两种方案可供选择，A方案：每次按原价打9折收费；B方案：前5次按照原价收费，从第6次起每次打8折．请问小明选择哪种方案更合算？ 【答案】（1）； （2）； （3）当游泳次数多于10次时，选择B方案；当游泳次数等于10次时，选择A，B方案都可以；当游泳次数少于10次时，选择A方案． 【分析】本题考查了整式的加减，一元一次方程的应用，分类讨论是解（3）的关键． （1）作差即可作出判断； （2）分别求出，然后作差，根据a是正整数即可做出判断； （3）设原价为元，游泳x次，分别求出A，B方案的费用，然后作差，分三种情况讨论得出答案． 【详解】解：（1）∵， ∴， 故答案为：； （2）∵， ， ∴ ∵a为正整数， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）设原价为元，游泳x次， 则A方案的费用； B方案的费用； ∵， ∴当时，即时，； 当时，即时，； 当时，即时，； ∴当游泳次数多于10次时，选择B方案；当游泳次数等于10次时，选择A，B方案都可以；当游泳次数少于10次时，选择A方案 2．我们知道，借助天平和一些物品可以探究得到等式的基本性质． 【提出问题】能否借助一架天平和一个10克的砝码测量出一个乒乓球和一个一次性纸杯的质量？ 【实验探究】准备若干相同的乒乓球和若干相同的一次性纸杯（每个乒乓球的质量相同，每个纸杯的质量也相同），设一个乒乓球的质量是克，经过试验，将有关信息记录在下表中： 记录 天平左边 天平右边 天平状态 乒乓球总质量 一次性纸杯的总质量 记录一 5个乒乓球，1个10克的砝码 15个一次性纸杯 平衡 ______ 记录二 3个乒乓球 1个一次性纸杯 1个10克的砝码 平衡 ______ 【解决问题】 （1）将表格中两个空白部分用含的代数式表示； （2）分别求出一个乒乓球的质量和一个一次性纸杯的质量． 【及时迁移】 （3）借助以上相关数据以及实验经验，你能设计一种方案，使实验中选取的乒乓球的个数是纸杯的个数的3倍吗？请补全下面横线上内容，完善方案，并说明方案设计的合理性． 方案：将天平左边放置______，天平右边放置______，使得天平平衡． 理由： 【答案】（1）；；（2）一个乒乓球的质量为4克，一个一次性纸杯的质量为2克；（3）3个乒乓球，1个一次性纸杯和1个10克的砝码，详见解析； 【分析】解决问题：（1）用乒乓球的总质量加上砝码的总质量可得答案； （2）根据题意列出方程，求解可得答案； 及时迁移：根据乒乓球、纸杯、砝码的质量设计即可，只是平衡即可． 【详解】解：（1）根据题意可得：记录一中的一次性纸杯的总质量为：； 记录二中的一次性纸杯的总质量为：， 故答案为：；， （2）由题意得：， 解得：， 答：一个乒乓球的质量为4克，一个一次性纸杯的质量为2克． 及时迁移：将天平左边放置3个乒乓球，天平右边放置1个一次性纸杯和1个10克的砝码，使得天平平衡． 故答案为：3个乒乓球，1个一次性纸杯和1个10克的砝码， 理由：不唯一，算术方法或者方程方法说明都可以，言之有理即可． 【点睛】此题考查的是等式的性质、列代数式，掌握等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式是解决此题的关键． 3．小颖同学在学习了方程的内容后，用学习方程时积累的经验解决我国古代数学著作《九章算术》中的“燕雀问题”：“五只雀六只燕，共重十六两，雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重，问雀燕各几两？”．尝试解决：      (1)用表格梳理出数量关系如下： 每只重量（两） 数量（只） 总重量（两） 雀 5 燕 6 相互关系 互换1只一样重 共16 每只重量只数总重量． (2)设未知数，并用含有未知数的代数式表示其他量； (3)列方程(组)： 从表格中她发现有4个未知量，分别是：雀、燕每只的重量；5只雀、6只燕的重量． ①尝试设一个未知数解决． 如果设每只雀重量x两，则5只雀的总重量为_____两，6只燕的总重量为_____两，每只燕的重量为_____两，连接已知量和未知量的相等关系是“互换1只一样重”，于是列方程为_____．同样也可设5只雀的总重量(略)； ②尝试设两个未知数解决， 如果设每只雀重量为x两，每只燕重量为y两，连接已知量和未知量的相等关系是“五只雀六只燕，共重十六两”、“互换1只一样重”可列方程组为 ，同样也可设5只雀、6只燕的总重量(略)； 反思提炼： 经过上面的几个步骤可以将实际问题变成一个方程问题，这种思想方法在数学中通常称为数学建模．从以上探究可以看出，对于“燕雀问题”列一元一次方程解决比较复杂，因此_______是解决含有多个未知数问题的重要工具． 【答案】(1)见解析 (2)每只雀重量x两，5只雀的总重量为两，每只燕的重量为两，6只燕的总重量为两（答案不唯一） (3)①，，，；②，方程组 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． （1）每只雀重量x两，根据“5只麻雀和6只燕子一共重16两；4只麻雀和1只燕子的重量等于1只麻雀和5只燕子的重量”，此题得解； （2）根据（1）即可得解； （3）①根据（1）（2）即可得解； ②每只雀重量为x两，每只燕重量为y两，根据“5只麻雀和6只燕子一共重16两；4只麻雀和1只燕子的重量等于1只麻雀和5只燕子的重量”，即可得出关于，的二元一次方程组，此题得解． 【详解】（1）解：设每只雀重量x两， 用表格梳理出数量关系如下： 每只重量（两） 数量（只） 总重量（两） 雀 5 燕 6 相互关系 互换1只一样重 共16 （2）设每只雀重量x两，则5只雀的总重量为两，6只燕的总重量为两，每只燕的重量为两， 即：每只雀重量x两，5只雀的总重量为两，每只燕的重量为两，6只燕的总重量为两（答案不唯一）； （3）①设每只雀重量x两，则5只雀的总重量为两，6只燕的总重量为两，每只燕的重量为两，连接已知量和未知量的相等关系是“互换1只一样重”，于是列方程为． 故答案为：，，，； ②设每只雀重量为x两，每只燕重量为y两，连接已知量和未知量的相等关系是“五只雀六只燕，共重十六两”、“互换1只一样重”可列方程组为， 从以上探究可以看出，对于“燕雀问题”列一元一次方程解决比较复杂，因此方程组是解决含有多个未知数问题的重要工具． 故答案为：，方程组． 【一览众山小】 1．若关于y的一元一次方程的解是，则a的值是（　　） A． B． C．40 D．50 【答案】A 【分析】此题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 把代入方程，得到关于的方程，解方程即可求出的值． 【详解】解：把代入方程， 得：， 解得：． 则的值为． 故选：A． 2．如图，沿着边长为米的正方形，按方向，甲从以米/分的速度，乙从以米/分的速度同时行走，当乙第一次追上甲时是在正方形的某个顶点处，则这个顶点是（    ） A．顶点A B．顶点B C．顶点C D．顶点D 【答案】B 【分析】设乙第一次追上甲用了分钟，则有乙行走的路程等于甲行走的路程加上，根据其相等关系列方程得，再根据可得出答案．本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系． 【详解】解︰设乙第一次追上甲用了分钟， 由题意得∶， 解得∶， 而． 所以乙第一次追上甲时是在正方形的顶点处． 故选∶． 3．一个学习小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动．图是一个正方形纸板，裁掉阴影部分后将其折叠成如图所示的长方体盒子，已知该长方体的宽是高的倍，长比高多，则这个正方形纸板的边长为 ．    【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找到相等关系是解题的关键．先根据“正方形纸板的边长相等”列方程求出长方体的高，再求出正方形纸板的边长即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：设长方体的高为，则盒子的宽为， 则， 解得：， ∴， 故答案为：． 4．现有含盐率为的盐水300克，如果要使含盐率降为，应加水( )克． 【答案】150 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键．设应加水克，根据前后盐水中的含盐量不变建立方程，解方程即可得． 【详解】解：设应加水克， 由题意得：， 解得， 故答案为：150． 5．甲、乙两辆汽车同时从 A , B 两个城市相对开出，经过8小时相遇后，甲车继续向前开到B城还要4小时．已知甲车每小时比乙车快35千米．A,B两个城市间的公路长多少千米？ 【答案】千米 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，设乙车每小时行驶千米，则甲车每小时行驶千米，甲车行驶4小时的路程等于乙车8小时行驶的路程，据此列方程，解方程后进一步求出甲的行驶速度，即可得到答案． 【详解】解：设乙车每小时行驶千米，则甲车每小时行驶千米， ． 解得，， ∴， 即甲车每小时行驶千米， 则， 答：A,B两个城市间的公路长千米． 6．某工厂一车间有名工人，其中男生人数比女生人数的倍少人，某月接到加工甲、乙两种零件的工作任务，每个工人每天能加工个甲种零件或个乙种零件.已知，个甲种零件和个乙种零件可以组装成一个丙种零件． (1)该车间男、女生各有多少人？ (2)该车间分别安排多少工人加工甲种零件和乙种零件，能使得每天加工的甲、乙两种零件恰好能全部组装成丙种零件？ 【答案】(1)男生有，女生有人 (2)安排名工人加工甲种零件，安排名工人加工乙种零件 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系，列出方程； （1）根据题意设该车间有女生人，则男生有人，列方程求解即可； （2）设该车间安排名工人加工甲种零件，则安排名工人加工乙种零件，根据等量关系建立方程即可求解； 【详解】（1）解：设该车间有女生人，则男生有人， 根据题意得：， 解得：， 则人， 答：该车间男生有，女生有人； （2）设该车间安排名工人加工甲种零件，则安排名工人加工乙种零件， 根据题意得：， 解得：， 则， 答：该车间安排名工人加工甲种零件，安排名工人加工乙种零件，能使得每天加工的甲、乙两种零件恰好能全部组装成丙种零件； 7．如图，在射线上有三点，，，满足，，（如图所示），点从点出发，沿方向以的速度匀速运动，点从点出发在线段上向点匀速运动，两点同时出发． (1)当在线段上，且时，点运动到的位置恰好是线段的三等分点，求点运动的速度； (2)若点运动的速度为，经过多长时间、两点相距； (3)当点运动到线段上时，分别取和的中点，，求的值． 【答案】(1)点运动的速度为或； (2)经过或两点相距； (3)2 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，掌握分类讨论思想、数形结合思想以及用含字母的代数式表示相关线段的长度成为解答本题的关键. （1）由于点P及Q是运动的，当时实际上是P正好到了的三等分点上，分二种情况讨论，当和时，由此就可求出它的速度； （2）若点Q运动速度为，经过多长时间P、Q两点相距，这也有两种情况即当它们相向而行时，和它们直背而行时，此题可设运动时间为，运用速度公式求解即可； （3）先画出图形，然后可以把它当成一个静止的线段问题来求解即可． 【详解】（1）解：当P在线段上时，由及， 可求得，， 故点P运动时间为． 若时，则，， 故点Q的运动速度为； 若时，则，， 故点Q的运动速度为； 答：点运动的速度为或； （2）解：设运动时间为， 由题意得， 解得或40， ∵点Q运动到O点时停止运动， ∴点Q最多运动，当点Q运动到点O时，，之后点P继续运动即，则 ，此时， 故经过或两点相距； （3）解：如图， 设，点P在线段上，，， ， ∴． 8．综合与实践 问题情境：“综合与实践”课上，老师呈现了杭州市居民生活用电电价表（不完整）． 杭州市居民生活用电分段及价格一览表 单位：元/千瓦时 用电分档 分时电价 高峰电价 低谷电价 第一档 年用电a千瓦时及以下部分 0.568 0.288 第二档 年用电千瓦时部分 b c 第三档 年用电4801千瓦时及以上部分 0.868 0.588 注：电费=高峰价×高峰用电量+低谷电价×低谷用电量，若跨档，则分别计算各档电费后累加． 老师介绍了自己家庭生活用电的情况：截止上月底，本年度已用完第一档的额度，其中第一档低谷用电量为760千瓦时，第一档共产生电费1354.88元． （1）求表格中a的值． 数学思考： （2）同学们根据自己家庭生活用电的情况开展了讨论并提出问题：经查询，点点同学家4月份使用的均为第二档的用电额度，其中高峰用电量为200千瓦时，低谷用电量为500千瓦时，共产生电费292.6元；芳芳家5月份使用的均为第二档的用电额度，其中高峰用电量为100千瓦时，低谷用电量为300千瓦时，共产生电费163.2元．求表格中b和c的值． （3）若第一档花费144元可使用的最多电量为n千瓦时，则在第三档使用n千瓦时的电量最多需要电费多少元？说说你对家庭用电的建议． 【答案】（1）2760；（2），；（3）434元，建议：要节约家庭用电，尽量控制高峰用电（答案不唯一，合理即可）． 【分析】本题考查二元一次方程组的应用．理解电费由高峰用电费用和低谷用电费用组成是解决本题的关键．掌握最多用电量和最贵电费的求法是解决本题的易错点． （1）设他们家第一档高峰用电量为千瓦时，根据第一档共产生电费1354.88元列出方程求解可得高峰用电量，加上低谷用电量即为的值； （2）根据高峰用电量为200千瓦时，低谷用电量为500千瓦时，共产生电费292.6元和高峰用电量为100千瓦时，低谷用电量为300千瓦时，共产生电费163.2元．列出方程组求解即可得到和的值； （3）最多用电量第一档的总花费第一档的低谷电价，那么最多需要的电费高峰电价，所以需要节约用电，尽量控制高峰用电． 【详解】解：（1）设他们家第一档高峰用电量为千瓦时． ． ． ． ． ； （2）由题意得：． 解得：． 答：，； （3）（千瓦时）． （元． 答：在第三档使用千瓦时的电量最多需要电费434元．建议是：要节约家庭用电，尽量控制高峰用电（答案不唯一，合理即可）． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$