第四章 平面基本图形章节压轴题模拟训练-【B卷常考题型】2024-2025学年四川成都七年级数学上学期题型全攻略（北师大版）

第四章 平面基本图形章节压轴题模拟训练 一、填空题 1．如图，已知∠AOB＝40°，自O点引射线OC，若∠AOC：∠COB＝2：3，OC与∠AOB的平分线所成的角的度数为 ． 2．如图，分别是数轴上的两点，点为线段上任意一点，点为的中点，点为的中点，若点表示的数分别为，那么 ． 3．数轴上，两点的距离为，一动点从点出发，按以下规律跳动：第1次跳动到的中点处，第2次从点跳动到的中点处，第3次从点跳动到的中点处、按照这样的规律继续跳动到点，，，…，（，是整数）处，那么线段的长度为 ．    4．定义：从的顶点出发，在角的内部引一条射线，把分成的两部分，射线叫做的三等分线．若在中，射线是的三等分线，射线是的三等分线，若，则 ． 5．如图，点O是直线上的一点，射线在直线的上方且，有一大小为的可绕其顶点O旋转一周，其中射线分别平分、，当时， ． 6．如图，直线与相交于点，，将一等腰直角三角尺的直角顶点与重合，平分．将三角尺以每秒的速度绕点顺时针旋转，同时直线以每秒的速度绕点顺时针旋转，设运动时间为秒，若直线平分，则的值为 ．    7．如图，C，D是线段AB上两点，M，N分别是线段，的中点，下列结论：①若，则；②若，则；③；④．其中正确的结论是 （填序号）． 8．已知线段和线段在同一直线上，线段（A在左，B在右）的长为a，长度小于的线段（D在左，C在右）在直线上移动，M为的中点，N为的中点，线段的长为b，则线段的长为 （用a，b的式子表示）． 9．已知线段，是直线上一点，是的中点，是中点，若，则的长为 ． 10．如图，数轴上有两点，点C从原点O出发，以每秒的速度在线段上运动，点D从点B出发，以每秒的速度在线段上运动．在运动过程中满足，若点M为直线上一点，且，则的值为 ． 二、解答题 11．如图①，已知线段，线段CD在线段AB上运动，E、F分别是AC、BD的中点． (1)已知，求EF的长． (2)若，求EF的长．由此你能得出EF与AB、CD之间存在怎样的数量关系？ (3)类比应用 ①我们发现角的很多规律和线段一样，如图②，已知在内部转动，OE、OF分别平分和，若∠，直接写出的度数． ②由此，你猜想与、会有怎样的数量关系______．（直接写出猜想即可） 12．如图①，已知点C在线段上，线段厘米，厘米，点M，N分别是，的中点． (1)求线段的长度； (2)根据第（1）题的计算过程和结果，设，其他条件不变，求的长度； (3)动点P、Q分别从A、B同时出发，点P以2厘米/秒的速度沿向右运动，终点为B，点Q以1厘米/秒的速度沿向左运动，终点为A，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，求运动多少秒时： ①点P恰好为线段的中点？ ②直接写出C、P、Q三点中有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点？（除①外） 13．（1）如图1，已知点C、D为线段上两点，且，点M和点N分别是线段和的中点．若线段，则线段______， ______， ______． （2）已知、为从顶点出发的两条射线，且，射线和射线分别平分、． ①如图2，若、均为内的两条射线，且，求的度数． ②如图3，若为外的一条射线，且，则______． 14．如图1，已知，且m、n满足等式，射线从处绕点O以4度/秒的速度逆时针旋转． (1)试求的度数； (2)如图1，当射线从处绕点O开始逆时针旋转，同时射线从处以1度/秒的速度绕点O顺时针旋转，当他们旋转多少秒时，使得？ (3)如图2，若射线为的平分线，当射线从处绕点O开始逆时针旋转，同时射线从射线处以x度/秒的速度绕点O顺时针旋转，使得这两条射线重合于射线处（OE在的内部）时，且，试求x． 15．数轴上有、、三点，如图1，点、表示的数分别为，点在点的右侧，． (1)若，，点是的中点． ①则点表示的数为______． ②如图2，线段（在的左侧，），线段从点出发，以1个单位每秒的速度向点运动（点不与点重合），点是的中点，是的中点，在运动过程中，的长度始终为1，求的值； (2)若，点是的中点，若，试求线段的长． 16．（1）特例感知：如图①，已知线段，，线段在线段上运动（点A不超过点，点B不超过点N），点C和点D分别是，的中点． ①若，则______； ②线段运动时，试判断线段的长度是否发生变化？如果不变，请求出的长度，如果变化，请说明理由． （2）知识迁移：我们发现角的很多规律和线段一样，如图②，已知在内部转动，射线和射线分别平分和． ①若，，求______度． ②请你猜想，和三个角的数量关系______． （3）类比探究：如图③，在内部转动，若，，，用含有k的式子表示的度数．（直接写出计算结果） 17．【问题初探】 （1）①如图1，以直线上一点O为端点作射线，使，将一个直角三角板的直角顶点放在点O处，即． ②如图2，将直角三角板绕点O顺时针转动到某个位置，若恰好平分，求的度数； 【深度探究】 （2）将直角三角板绕点O顺时针转动的过程中，恰好，当与重合时停止运动，求此时的度数． 【知识迁移】 （3）若线段与分别为同一钟表上某一时刻的时针与分针，，在时针与分针转动过程中，问经过几分钟后，的度数第一次等于115°．（直接写出答案） 18．【问题初探】 在一个角的内部，从顶点画一条射线，得到三个角，若其中有一个角是另一个角的倍，则称这条射线是已知角的“奇妙线”． 例如：图中，则射线是的“奇妙线”． （1）一个角的角平分线______这个角的“奇妙线”；（填“是”或“不是”） 【类比分析】 （2）如图，若，在内部画一条射线，使是的“奇妙线”，求的度数； 【变式拓展】 （3）如图，若，且射线绕点从位置开始以每秒的速度逆时针旋转，同时射线以每秒的速度也绕点逆时针旋转，当射线与射线重合时全部停止运动．设旋转时间为秒，请直接写出为何值时，射线是的“奇妙线”． 19．【问题背景】如图1，已知射线在的内部，若，和三个角中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的“量尺金线”． 【问题感知】 （1）一个角的平分线________这个角的“量尺金线”；（填“是”或“不是”） 【问题初探】 （2）如图2，．若射线是的“量尺金线”，则的度数为________； 【问题推广】 （3）在（2）中，若，，射线从位置开始，以每秒旋转的速度绕点P按逆时针方向旋转，当首次等于时停止旋转，设旋转的时间为．当t为何值时，射线是的“量尺金线”？（用含x的式子表示出t即可） 20．问题背景 整体思想就是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析，把握它们之间的关联，进行有目的、有意识的整体处理，整体思想在代数和几何中都有很广泛的应用． (1)如图1，A、B、O三点在同一直线上，射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC，则∠DOE的度数为 （直接写出答案）． (2)当x＝1时，代数式a+bx+2021的值为2020，当x＝﹣1时，求代数式a+bx+2021的值． (3)①如图2，点C是线段AB上一定点，点D从点A、点E从点B同时出发分别沿直线AB向左、向右匀速运动，若点E的运动速度是点D运动速度的3倍，且整个运动过程中始终满足CE＝3CD，求的值； ②如图3，在①的条件下，若点E沿直线AB向左运动，其它条件均不变．在点D、E运动过程中，点P、Q分别是AE、CE的中点，若运动到某一时刻，恰好CE＝4PQ，求此时的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第四章 平面基本图形章节压轴题模拟训练 一、填空题 1．如图，已知∠AOB＝40°，自O点引射线OC，若∠AOC：∠COB＝2：3，OC与∠AOB的平分线所成的角的度数为 ． 【答案】4°或100°． 【分析】由题意∠AOC：∠COB=2：3，∠AOB=40°，可以求得∠AOC的度数，OD是角平分线，可以求得∠AOD的度数，∠COD=∠AOD-∠AOC． 【详解】解：若OC在∠AOB内部， ∵∠AOC：∠COB＝2：3， ∴设∠AOC＝2x，∠COB＝3x， ∵∠AOB＝40°， ∴2x+3x＝40°， 得x＝8°， ∴∠AOC＝2x＝2×8°＝16°，∠COB＝3x＝3×8°＝24°， ∵OD平分∠AOB， ∴∠AOD＝20°， ∴∠COD＝∠AOD﹣∠AOC＝20°﹣16°＝4°． 若OC在∠AOB外部， ∵∠AOC：∠COB＝2：3， ∴设∠AOC＝2x，∠COB＝3x， ∵∠AOB＝40°， ∴3x﹣2x＝40°， 得x＝40°， ∴∠AOC＝2x＝2×40°＝80°，∠COB＝3x＝3×40°＝120°， ∵OD平分∠AOB， ∴∠AOD＝20°， ∴∠COD＝∠AOC+∠AOD＝80°+20°＝100°． ∴OC与∠AOB的平分线所成的角的度数为4°或100°． 【点睛】本题考查角的计算，结合角平分线的性质分析，当涉及到角的倍分关系时，一般通过设未知数，建立方程进行解决． 2．如图，分别是数轴上的两点，点为线段上任意一点，点为的中点，点为的中点，若点表示的数分别为，那么 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了线段的和差、线段的中点等知识点，明确各线段间的关系是解题的关键． 由中点的定义可得：，再根据数轴上表示的数确定，然后再根据线段的和差及等量代换即可解答． 【详解】解：∵点为的中点，点为的中点， ∴， ∵点表示的数分别为， ∴ ∴． 故答案为：． 3．数轴上，两点的距离为，一动点从点出发，按以下规律跳动：第1次跳动到的中点处，第2次从点跳动到的中点处，第3次从点跳动到的中点处、按照这样的规律继续跳动到点，，，…，（，是整数）处，那么线段的长度为 ．    【答案】 【分析】根据题意，得第一次跳动到OA的中点A1处，即在离原点的长度为×9，第二次从A1点跳动到A2处，即在离原点的长度为（）2×9，则跳动n次后，即跳到了离原点的长度为（）n×9，再根据线段的和差关系可得线段AnA的长度． 【详解】解：由题可知：， 此第一次跳动到的中点处时，， 同理，第二次从点跳动到处，， 同理，跳动次后，， 故线段的长度为：， 故答案为． 【点睛】本题考查了两点间的距离，是一道找规律的题目，对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．本题注意根据题意表示出各个点跳动的规律． 4．定义：从的顶点出发，在角的内部引一条射线，把分成的两部分，射线叫做的三等分线．若在中，射线是的三等分线，射线是的三等分线，若，则 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了角的计算，分类讨论思想是解题关键，画出图形，分四种情况计算即可求解． 【详解】如图：射线是的三等分线， 射线是的三等分线， 则， ， ； 如图：射线是的三等分线， 射线是的三等分线， 则， ； 如图：射线是的三等分线， 射线是的三等分线， 则， ； 如图：射线是的三等分线， 射线是的三等分线， 则， ， ． 综上，为或或． 故答案为：或或． 5．如图，点O是直线上的一点，射线在直线的上方且，有一大小为的可绕其顶点O旋转一周，其中射线分别平分、，当时， ． 【答案】/12度 【分析】分两种情况讨论：当点E在直线上方时，当点E在直线下方时，用含x的式子分别表示出和，再由，建立关于x的方程，即可求解． 【详解】解：设， 当点E在直线上方时，则， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， 即； 当点E在直线下方时，则， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， 此时， ∴此情况不存在，舍去； 故答案为： 【点睛】本题考查了角的计算，画出图形，分类讨论思想和方程思想是解决问题的关键． 6．如图，直线与相交于点，，将一等腰直角三角尺的直角顶点与重合，平分．将三角尺以每秒的速度绕点顺时针旋转，同时直线以每秒的速度绕点顺时针旋转，设运动时间为秒，若直线平分，则的值为 ．    【答案】36或108 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，旋转等知识点，分两种情况进行讨论：当平分时，；当平分时，，分别利用t表示角度，根据等量关系列方程求解即可，利用旋转的速度，角度，时间的关系，应用方程的思想是解决问题的关键． 【详解】∵平分， ∴， ∴， ①当平分时，， 此时， ∴ ∴， 解得，   ． ②当平分时，， 此时，， ∴， 解得． 故答案为：36或108．   ． 7．如图，C，D是线段AB上两点，M，N分别是线段，的中点，下列结论：①若，则；②若，则；③；④．其中正确的结论是 （填序号）． 【答案】①②③ 【分析】结合图形，根据线段中点的定义与线段之间的和差关系进行分析，即可进行解答． 【详解】解：①∵M，N分别是线段，的中点， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， 故①正确，符合题意； ②∵， ∴， ∵M是线段的中点， ∴， ∵， ∴， 故②正确，符合题意； ③∵M，N分别是线段，的中点， ∴， ∴， 整理得：，即， 故③正确，符合题意； ④∵， ∴， ∴， ∴， 故④不正确，不符合题意； 故答案为：①②③． 【点睛】本题主要考查了两点之间的距离，解题的关键是掌握中点的定义，根据图形，分析线段之间的和差关系． 8．已知线段和线段在同一直线上，线段（A在左，B在右）的长为a，长度小于的线段（D在左，C在右）在直线上移动，M为的中点，N为的中点，线段的长为b，则线段的长为 （用a，b的式子表示）． 【答案】/ 【分析】根据题意画出图形，分情况讨论，再利用线段和差分别表示线段的长度即可． 【详解】解：∵M为的中点，N为的中点， ∴，． ∵线段和线段在同一直线上， 线段（A在左，B在右）的长为a， 长度小于的线段（D在左，C在右）在直线上移动， ∴分以下5种情况说明： ①当在左侧时，如图1， 即， ， ， ； ②当点D与点A重合时，如图2， 即 ， ； ③当在内部时，如图3， 即 ， ； ④当点C在点B右侧时， 同理可得：； ⑤当在右侧时， 同理可得：； 综上所述：线段的长为． 故答案为：． 【点睛】本题考查线段的和差，根据题意画出对应情况的图形是解题的关键，注意分类讨论思想的运用． 9．已知线段，是直线上一点，是的中点，是中点，若，则的长为 ． 【答案】8或14.4 【分析】本题考查与线段中点有关的计算，分点在线段上以及点在线段的延长线上，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】∵， 是的中点， ∴， 当点在线段上时：如图， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是中点， ∴； 当点在线段的延长线上时，如图， 则：， ∴， ∴， ∴， ∵是中点， ∴； 综上：的长为8或； 故答案为：8或14.4． 10．如图，数轴上有两点，点C从原点O出发，以每秒的速度在线段上运动，点D从点B出发，以每秒的速度在线段上运动．在运动过程中满足，若点M为直线上一点，且，则的值为 ． 【答案】1或 【分析】设点A在数轴上表示的数为a，点B在数轴上表示的数为b，设运动的时间为t秒，由OD=4AC得a与b的关系，再根据点M在直线AB的不同的位置分4种情况进行解答，①若点M在点B的右侧时，②若点M在线段BO上时，③若点M在线段OA上时，④若点M在点A的左侧时，分别表示出AM、BM、OM，由AM-BM=OM得到t、a、b之间的关系，再计算的值即可． 【详解】设运动的时间为t秒，点M表示的数为m 则OC=t，BD=4t，即点C在数轴上表示的数为-t，点D在数轴上表示的数为b-4t， ∴AC=-t-a，OD=b-4t， 由OD=4AC得，b-4t=4（-t-a）， 即：b=-4a， ①若点M在点B的右侧时，如图1所示： 由AM-BM=OM得，m-a-（m-b）=m，即：m=b-a； ∴ ②若点M在线段BO上时，如图2所示： 由AM-BM=OM得，m-a-（b-m）=m，即：m=a+b； ∴ ③若点M在线段OA上时，如图3所示： 由AM-BM=OM得，m-a-（b-m）=-m，即： ∵此时m＜0，a＜0， ∴此种情况不符合题意舍去； ④若点M在点A的左侧时，如图4所示： 由AM-BM=OM得，a-m-（b-m）=-m，即：m=b-a=-5a； 而m＜0，b-a＞0， 因此，不符合题意舍去， 综上所述，的值为1或． 【点睛】考查数轴表示数的意义，掌握数轴上两点之间距离的计算方法是正确解答的关键，分类讨论和整体代入在解题中起到至关重要的作用． 二、解答题 11．如图①，已知线段，线段CD在线段AB上运动，E、F分别是AC、BD的中点． (1)已知，求EF的长． (2)若，求EF的长．由此你能得出EF与AB、CD之间存在怎样的数量关系？ (3)类比应用 ①我们发现角的很多规律和线段一样，如图②，已知在内部转动，OE、OF分别平分和，若∠，直接写出的度数． ②由此，你猜想与、会有怎样的数量关系______．（直接写出猜想即可） 【答案】(1)10 (2)10；EF=（AB+CD） (3)①80°；②∠EOF=∠AOB+∠COD． 【分析】（1）欲求EF，需求EC+DC+DF．已知CD，需求EC+DF．由E，F分别是AC，BD的中点，得EC=AC，DF=DB，那么EC+DF=AC+DB=（AC+DB），进而解决此题． （2）按照（1）的思路进行解答即可． （3）①欲求∠EOF，需求∠EOC+∠DOF+∠COD．已知∠COD，需求∠EOC+∠DOF．由OE，OF分别平分∠AOC和∠BOD，得∠EOC=∠AOC，∠DOF=∠DOB，进而解决此题． ②按照①的方法求解即可． 【详解】（1）∵E，F分别是AC，BD的中点， ∴EC=AC，DF=DB． ∴EC+DF=AC+DB＝ (AC+DB)． 又∵AB=18，CD=2， ∴AC+DB=AB-CD=18-2=16． ∴EC+DF= (AC+DB)=8． ∴EF=EC+DF+CD=8+2=10． 故答案为：10． （2）∵E，F分别是AC，BD的中点， ∴EC=AC，DF=DB． ∴EF=EC+CD+DF=AC+DB+CD=（AC+DB）+CD=（AB-CD）+CD=（AB+CD）． 又∵AB=18，CD=2， ∴EF=（AB+CD）=． （3）①∵OE，OF分别平分∠AOC和∠BOD， ∴∠EOC=∠AOC，∠DOF=∠DOB． ∴∠EOC+∠DOF=∠AOC+∠DOB=（∠AOC+∠DOB）． 又∵∠AOB=140°，∠COD=20°， ∴∠AOC+∠BOD=∠AOB-∠COD=120°． ∴∠EOC+∠DOF=60°． ∴∠EOF=∠EOC+∠DOF+∠COD=60°+20°=80°． ②由（1）得：∠EOC+∠DOF=（∠AOC+∠DOB）． ∵∠AOC+∠DOB=∠AOB-∠COD， ∴∠EOC+∠DOF=（∠AOB-∠COD）． ∴∠EOF=∠EOC+∠DOF+∠COD=（∠AOB-∠COD）+∠COD=∠AOB+∠COD， 故答案为：∠EOF=∠AOB+∠COD． 【点睛】本题主要考查线段中点以及角平分线的定义，熟练掌握线段中点以及角平分线的定义是解决本题的关键． 12．如图①，已知点C在线段上，线段厘米，厘米，点M，N分别是，的中点． (1)求线段的长度； (2)根据第（1）题的计算过程和结果，设，其他条件不变，求的长度； (3)动点P、Q分别从A、B同时出发，点P以2厘米/秒的速度沿向右运动，终点为B，点Q以1厘米/秒的速度沿向左运动，终点为A，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，求运动多少秒时： ①点P恰好为线段的中点？ ②直接写出C、P、Q三点中有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点？（除①外） 【答案】(1)厘米 (2) (3)①   ②或 【分析】本题考查了线段的中点和计算，利用线段中点的性质得出关于t的方程是解题关键，要分类讨论，以防遗漏． （1）根据中点的定义、线段的和差，可得答案； （2）根据中点的定义、线段的和差，可得答案； （3）①分为为线段的中点和为线段的中点，利用线段中点的定义，可得方程，根据解方程，可得答案； ②分为C为线段的中点和点为线段的中点，利用线段中点的定义，可得方程，根据解方程，可得答案． 【详解】（1）解：∵线段 厘米， 厘米，点, 分别是, 的中点, 厘米， 厘米， 厘米； （2）∵点, 分别是的中点, ， ； （3）解：①当 时，为线段的中点，， 解得； ②当时，是线段的中点，得 解得 当 时，为线段的中点， 解得 当时，为线段的中点， 解得(舍) , 综上所述：或 13．（1）如图1，已知点C、D为线段上两点，且，点M和点N分别是线段和的中点．若线段，则线段______， ______， ______． （2）已知、为从顶点出发的两条射线，且，射线和射线分别平分、． ①如图2，若、均为内的两条射线，且，求的度数． ②如图3，若为外的一条射线，且，则______． 【答案】（1）5；4；；（2）①；②64或16 【分析】本题考查了角平分线定义，角的运算，线段的和差和线段中点性质，熟练掌握并运用相关知识即可解题． （1）根据题意求得、、、，再根据中点求得、，利用即可求解； （2）①根据题意求得和，由平分线定义得和，再由求得，即可求解． ②根据题意求得，由平分线定义得，有，结合题干的条件，下面分类讨论，当在内部时，的取值，当在外部时，的取值，即可解题． 【详解】解：（1），， ，， ，， ∵点M和点N分别是线段和的中点， ，， ， 故答案为：5；4；； （2）①， ， ， 平分， ， ， ， ，， 平分， ， ； ②当在内部时， ，平分， ， ． ， ． 平分， ， ， ； 当在外部时，， ， ， ． 14．如图1，已知，且m、n满足等式，射线从处绕点O以4度/秒的速度逆时针旋转． (1)试求的度数； (2)如图1，当射线从处绕点O开始逆时针旋转，同时射线从处以1度/秒的速度绕点O顺时针旋转，当他们旋转多少秒时，使得？ (3)如图2，若射线为的平分线，当射线从处绕点O开始逆时针旋转，同时射线从射线处以x度/秒的速度绕点O顺时针旋转，使得这两条射线重合于射线处（OE在的内部）时，且，试求x． 【答案】(1)； (2)当它们旋转秒或秒时； (3)； 【分析】（1）本题考查绝对值的非负性及完全平方的非负性，根据非负式子和为0，它们分别等于0直接求解可得到答案； （2）本题考查动角问题，根据运动问题得到，，再根据列式求解即可得到答案； （3）本题考查有关角平分线的计算，根据为的平分线得到，根据运动结合列式求解即可得到答案； 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， 解得：，， ∴； （2）解：由题意可得，设时间为秒， ，， 当相遇前时， ， 解得：， 当相遇后时， ， 解得：， 综上所述：当它们旋转秒或秒时； （3）解：∵为的平分线， ， 设时间为秒，由题意可得， ，，， ∴， ∵， ∴， 解得：． 15．数轴上有、、三点，如图1，点、表示的数分别为，点在点的右侧，． (1)若，，点是的中点． ①则点表示的数为______． ②如图2，线段（在的左侧，），线段从点出发，以1个单位每秒的速度向点运动（点不与点重合），点是的中点，是的中点，在运动过程中，的长度始终为1，求的值； (2)若，点是的中点，若，试求线段的长． 【答案】(1)①，②4；(2)3 【分析】（1）①设C表示的数为，D表示的数为，根据点、表示的数分别为，得到即，根据计算即可． ②设运动t秒，的长度始终为1，此时点E表示的数是，点F表示的数是， 点M表示的数是，点N表示的数是，结合的长度始终为1，得到，化简绝对值计算即可． （2）设C表示的数为，D表示的数为，根据点、表示的数分别为，得到即，根据， 得到，建立方程计算即可． 【详解】（1）①设C表示的数为，D表示的数为， ∵点、表示的数分别为，， ∴即， ∴， ∵，， ∴． ②设运动t秒，的长度始终为1， ∵，点是的中点，是的中点， ∴点E表示的数是，点F表示的数是，点M表示的数是，点N表示的数是， ∵的长度始终为1， ∴， ∴ 解得， ∵， ∴． （2）设C表示的数为，D表示的数为，根据点、表示的数分别为，， ∴即，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得， 故线段的长3． 【点睛】本题考查了数轴上的点表示有理数，数轴上两点间的距离，数轴上线段中点的表示，绝对值的化简，熟练掌握两点间的距离公式，中点公式是解题的关键． 16．（1）特例感知：如图①，已知线段，，线段在线段上运动（点A不超过点，点B不超过点N），点C和点D分别是，的中点． ①若，则______； ②线段运动时，试判断线段的长度是否发生变化？如果不变，请求出的长度，如果变化，请说明理由． （2）知识迁移：我们发现角的很多规律和线段一样，如图②，已知在内部转动，射线和射线分别平分和． ①若，，求______度． ②请你猜想，和三个角的数量关系______． （3）类比探究：如图③，在内部转动，若，，，用含有k的式子表示的度数．（直接写出计算结果） 【答案】（1）①16；②不变，；（2）①90；②；（3） 【分析】本题主要考查线段中点以及角平分线的定义，线段的和差运算，角的和差运算，熟练掌握线段中点以及角平分线的定义是解决本题的关键． （1）①欲求，需求．点C和点D分别是，的中点，得，，那么，进而解决此题． ②与①同理． （2）①欲求，需求．由和分别平分和，得，，进而解决此题． ②与①同理． （3）由可得，，所以，根据可得结论． 【详解】解：（1）①∵，，， ∴， ∵点C和点D分别是，的中点， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：16； ②不变，理由如下： ∵点C和点D分别是，的中点， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴； （2）①∵和分别平分和， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：90； ②．理由如下： ∵和分别平分和， ∴，， ∴， ∴ ； （3）∵，， ∴， ∵ ， ∴，， ∴， ， ∴， ∴． 17．【问题初探】 （1）①如图1，以直线上一点O为端点作射线，使，将一个直角三角板的直角顶点放在点O处，即． ②如图2，将直角三角板绕点O顺时针转动到某个位置，若恰好平分，求的度数； 【深度探究】 （2）将直角三角板绕点O顺时针转动的过程中，恰好，当与重合时停止运动，求此时的度数． 【知识迁移】 （3）若线段与分别为同一钟表上某一时刻的时针与分针，，在时针与分针转动过程中，问经过几分钟后，的度数第一次等于115°．（直接写出答案） 【答案】（1）（2）的度数为或（3）经过10或分钟后，的度数第一次等于115° 【分析】本题考查几何图形中角度的计算，与角平分线有关的计算，以及钟面角． （1）由平角的定义及角平分线的定义求解的度数，进而可求解； （2）可分两种情况：①当在的内部时，②当在的外部时，根据角的和差可求解． （3）分分针在时针的前面和分针在时针的后面，两种情况进行讨论求解即可． 正确的识图，理清角度之间的和差关系，利用分类讨论的思想，进行求解，是解题的关键． 【详解】（1），， ， 平分， ， ， ； （2）①当在的内部时， ，而， ， ，， ， 又， ， ； ②当在的外部时， ，而， ， ，， ， 又， ， ， 综上所述：的度数为或． （3）钟面分针每分钟转过，时针每分钟转过， 当分针在时针的前面时，分钟； 当分针在时针的后面时，分钟； 答：经过10或分钟后，的度数第一次等于115°． 18．【问题初探】 在一个角的内部，从顶点画一条射线，得到三个角，若其中有一个角是另一个角的倍，则称这条射线是已知角的“奇妙线”． 例如：图中，则射线是的“奇妙线”． （1）一个角的角平分线______这个角的“奇妙线”；（填“是”或“不是”） 【类比分析】 （2）如图，若，在内部画一条射线，使是的“奇妙线”，求的度数； 【变式拓展】 （3）如图，若，且射线绕点从位置开始以每秒的速度逆时针旋转，同时射线以每秒的速度也绕点逆时针旋转，当射线与射线重合时全部停止运动．设旋转时间为秒，请直接写出为何值时，射线是的“奇妙线”． 【答案】（）是；（）或或；（）或或． 【分析】（）根据奇妙线定义即可求解； （）分三种情况，根据奇妙线定义即可求解； （）分三种情况，根据奇妙线定义得到方程求解即可； 本题考查了角平分线定义，角度和差，奇妙线的定义，理解“奇妙线”的定义是解题的关键． 【详解】（）解：根据角平分线的定义可知： 由平分， 得：， 则一个角的角平分线是这个角的“奇妙线”， 故答案为：是； （）当平分时， ∴， 当时， ∴， ， ∴， 则综上可知：的度数为或或； （）由题意得：如图， 则，，则， ∵射线是的“奇妙线”， ∴，即，解得：， ，即，解得：， ，即，解得：， 综上可知：或或． 19．【问题背景】如图1，已知射线在的内部，若，和三个角中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的“量尺金线”． 【问题感知】 （1）一个角的平分线________这个角的“量尺金线”；（填“是”或“不是”） 【问题初探】 （2）如图2，．若射线是的“量尺金线”，则的度数为________； 【问题推广】 （3）在（2）中，若，，射线从位置开始，以每秒旋转的速度绕点P按逆时针方向旋转，当首次等于时停止旋转，设旋转的时间为．当t为何值时，射线是的“量尺金线”？（用含x的式子表示出t即可） 【答案】（1）是；（2）20或30或40；（3），，； 【分析】本题主要考查新定义下的角的计算，几何图形中的角度计算，理解题意，列出相应的式子求解，是解题关键． （1）根据“量尺金线”的定义进行判断即可； （2）根据“量尺金线”的定义分三种情况讨论计算即可； （3）射线是的“量尺金线”，在的内部，在的外部，然后分三种情况求解即可． 【详解】解：（1）一个角的平分线中，大角是小角的2倍，满足“量尺金线”的定义， 故答案为：是； （2），射线是的“量尺金线”，根据“量尺金线”的定义分三种情况讨论： 当时，如图， ∵， ∴； 当时，如图， ∵ ∴； 当时，如图， ∵， ∴； 综上：当为，，时，射线是的“量尺金线”． （3）∵射线是的“量尺金线”， ∴在的内部， ∴在的外部； 分三种情况： ①如图，当时，如图所示： ∴， ∴； ②如图，当时，如图所示： ∴， ∴； ③当时，如图所示： ∵， ∴， ∴； 综上：当t为或或时，射线是的“量尺金线”． 20．问题背景 整体思想就是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析，把握它们之间的关联，进行有目的、有意识的整体处理，整体思想在代数和几何中都有很广泛的应用． (1)如图1，A、B、O三点在同一直线上，射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC，则∠DOE的度数为 （直接写出答案）． (2)当x＝1时，代数式a+bx+2021的值为2020，当x＝﹣1时，求代数式a+bx+2021的值． (3)①如图2，点C是线段AB上一定点，点D从点A、点E从点B同时出发分别沿直线AB向左、向右匀速运动，若点E的运动速度是点D运动速度的3倍，且整个运动过程中始终满足CE＝3CD，求的值； ②如图3，在①的条件下，若点E沿直线AB向左运动，其它条件均不变．在点D、E运动过程中，点P、Q分别是AE、CE的中点，若运动到某一时刻，恰好CE＝4PQ，求此时的值． 【答案】(1)90° (2)2022 (3)①；②或 【分析】（1）根据题意，∠DOE=∠DOC+∠COE ，∠DOE =∠AOC，∠COE=∠BOC，结合∠AOC+∠BOC=180°，整体代入计算即可． （2）根据题意，得到a+b=-1，变形-a-b=1，整体代入计算求值即可． （3）①设点D运动的路程为x，则点E运动的路程为3x，则CE＝BC+BE=BC+3x，CD=CA+AD=CA+x，代入已知CE＝3CD中，化简得到CB=3AC，代入计算即可． ②分点E在C点的右侧，点E在C点的左侧，且在点A的右侧，点E在A点的左侧三种情况求解即可． 【详解】（1）解：如图1，∵射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC， ∴∠DOC =∠AOC，∠COE=∠BOC， ∵∠DOE=∠DOC+∠COE ， ∴∠DOE=∠AOC+∠BOC=(∠AOC+∠BOC)， ∵∠AOC+∠BOC=180°， ∴∠DOE=×180°=90°， 故答案为：90°． （2）∵当x＝1时，代数式a+bx+2021的值为2020， ∴a +b+2021=2020， ∴a+b=-1， ∴-a-b=1， 当x＝﹣1时， a+bx+2021 = -a-b+2021 =1+2021 =2022． （3）①如图2， 设点D运动的路程为x，则点E运动的路程为3x， ∴CE＝BC+BE=BC+3x，CD=CA+AD=CA+x， ∵CE＝3CD， ∴BC+3x= 3CA+3x， ∴CB=3AC， ∴AB=CB+AC=4AC， ∴=． ②根据①，设AC=m，则CB=3m，AB=4m，设点D运动的路程为AD=x，则点E运动的路程为EB=3x， 当点E在C点的右侧时，如图3， ∴CE＝BC-BE=3m-3x，CD=CA+AD=m+x， ∵点P、Q分别是AE、CE的中点， ∴PE=，QE=， ∴PQ=PE-QE=-=， ∵CE＝4PQ， ∴3m-3x=4×， 解得x=， 故AD=， ∴=． 当点E在C点的左侧，且在点A的右侧时，如图4， ∴CE＝BE-BC=3x-3m，CD=CA+AD=m+x， ∵点P、Q分别是AE、CE的中点， ∴PE=，QE=， ∴PQ=PE+QE=+=， ∵CE＝4PQ， ∴3x-3m=4×， 解得x=， 故AD=， ∴=． 当点E在A点的左侧时，如图5， ∴CE＝BE-BC=3x-3m，CD=CA+AD=m+x， ∵点P、Q分别是AE、CE的中点， ∴PE=，QE=， ∴PQ=PE+QE=+=， ∵CE＝4PQ， ∴3x-3m=4×， 解得x=， 故AD=， ∴=． 综上所述，的值为或． 【点睛】本题考查了角的计算，代数式的值，线段的计算，熟练掌握整体思想，运用方程思想、分类思想求解是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$