精品解析：2024年广东省东莞市初中生毕业水平考试数学试卷

2024年东莞市初中生毕业水平考试试题 数学 （全卷满分120分，考试用时为120分钟） 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 有理数2024的相反数是（ ） A. 2024 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了求一个数的相反数，只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0，据此求解即可． 【详解】解：有理数2024的相反数是， 故选：B． 2. 东莞图书馆馆藏3590000多册纸本文献和多种电子图书等数字资源．其中用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法，解题的关键时要正确确定a的值以及n的值． 根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数． 【详解】解：， 故选：C． 3. “八年级数学课本共160页，某同学随手翻开，恰好翻到第60页”，这个事件是（ ） A. 必然事件 B. 不可能事件 C. 随机事件 D. 以上都不正确 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据事件发生的可能性大小判断即可． 【详解】解：“八年级数学课本共160页，某同学随手翻开，恰好翻到第60页”，这个事件是随机事件， 故选：C． 4. 计算的结果是（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查分式的加减，根据分式的减法运算法则，先通分，再加减求解即可． 【详解】解： ， 故选：B． 5. 如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，若DE=5，则BC=（　　） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】C 【解析】 【详解】：解：∵D、E分别是AB、AC的中点， ∴DE=BC， ∵DE=5， ∴BC=10． 故选C． 6. 数轴上的点P位于原点的左侧，与点P对应的实数用代数式表示．那么m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查数轴、解不等式，先根据数轴上，原点左侧的数都小于0列不等式，然后解不等式即可求解． 【详解】解：∵数轴上的点P位于原点的左侧，与点P对应的实数用代数式表示， ∴，解得， 故选：D． 7. 如图，图形中的x值是（ ） A. 105 B. 110 C. 115 D. 120 【答案】C 【解析】 【分析】该题主要考查了多边形内角和以及一元一次方程的应用，解题的关键是掌握多边形内角和公式． 根据多边形内角和列出非常即可求解； 【详解】解：根据题意可得：， 解得：， 故选：C． 8. 已知，，则的值是（ ） A. 9 B. 16 C. 17 D. 19 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式：灵活运用完全平方公式是解决此类问题的关键．完全平方公式为：． 利用完全平方公式得到，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：∵， ， 故选：D． 9. 如图，在中，若，，则的长度是（ ） A. π B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，弧长公式，掌握圆周角定理是解题的关键． 根据圆周角定理可得，继而根据弧长公式即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴的长． 故选：B． 10. 在中，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形，根据正切定义，设，则，再根据勾股定理求得，然后利用余弦定义求解即可． 【详解】解：如图， ∵在中，，， ∴设，则， ∴， ∴， 故选：D． 二、填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分） 11. 分解因式：x2－9＝______． 【答案】(x＋3)(x－3) 【解析】 【详解】解：x2-9=（x+3）（x-3）， 故答案为：（x+3）（x-3）. 12. 写出一个具体的y随x的增大而减小的一次函数解析式___________ 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据一次函数的性质只要使一次项系数大于0即可． 【详解】∵一次函数y随x的增大而减小 ∴k＜0 ∴y=-x+2（答案不唯一）． 故答案是：y=-x+2（答案不唯一）． 13. 如图，中，，，则的度数为________ 【答案】##115度 【解析】 【分析】该题主要考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理以及三角形外角的性质，解题的关键是掌握三角形内角和定理、等腰三角形的性质以及三角形外角的性质． 根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理算出，再根据三角形外角的定义即可求解 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 已知，则代数式的值为________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查代数式求值，先由已知得到，然后代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， 故答案为：3． 15. 点D是锐角内一点，于点E，点F是线段的一个动点，点G是射线的一个动点，连接，当的周长最小时，与的数量关系式是________ 【答案】 【解析】 【分析】作关于的对称点，作关于的对称得，连接，交、于，此时的周长最小，最小值为，连、、，根据轴对称的性质得出，即可得出，，由，根据三角形内角和定理即可得出． 【详解】解：作关于的对称点，作关于的对称得，连接，交、于、， 此时四点共线，此时的周长最小，最小值为，连接、、， 由轴对称的性质可知， ， ， ， ． 三、解答题一（本大题共3小题，第16题10分，第17、18题各7分，共24分）． 16. （1）计算：． （2）如图，．交于点O，，．求证：． 【答案】 （1）2； （2）在和中 ， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了平方根、特殊角的三角函数、负整数指数幂，运用全等三角形的性质和判定和等腰三角形的性质的运用，解答时掌握平方根、特殊角的三角函数、负整数指数幂的计算法则，全等三角形的性质和判定是关键． （1）先算平方根、特殊角的三角函数、负整数指数幂分别计算，再合并即可； （2）根据直角三角形的判定方法，直接运用就可以得出，得出就可以得出结论． 【详解】解：（1）原式； （2）略 17. 中国新能源汽车企业在10余年间实现了“弯道超车”，使我国一跃成为新能源汽车产量连续七年居世界第一的全球新能源汽车强国．某汽车专卖店销售A，B两种型号的新能源汽车，已知1辆A型车和3辆B型车共销售96万元，2辆A型车和4辆B型车共销售140万元．每辆A型车和B型车的售价各为多少万元？ 【答案】每辆A型车售价为18万元，每辆B型车售价为26万元 【解析】 【分析】该题主要考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是找出等量关系式． 设每辆A型车的售价为x万元，每辆B型车的售价为y万元，根据“已知1辆A型车和3辆B型车共销售96万元，2辆A型车和4辆B型车共销售140万元”，列出方程组求解即可； 【详解】解：设每辆A型车的售价为x万元，每辆B型车的售价为y万元， 由题意得， 解得， 答：每辆A型车售价为18万元，每辆B型车售价为26万元． 18. 在中，． （1）实践与操作：作边的垂直平分线分别交于点D和点E（利用尺规作图，保留作图痕迹）； （2）应用与计算：若，，求的长度． 【答案】（1） 解：如图 （2） 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图，解直角三角形，线段垂直平分线的定义及作图等知识，掌握以上知识是解题的关键． （1）按照作线段垂直平分线的步骤作图即可； （2）先根据线段垂直平分线定义求出，然后在中，根据解直角三角形求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵垂直平分，， ∴，， ∵， ∴． 四、解答题二（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 19. 某校在创建书香校园活动中，为了解全校1600名学生年度课外阅读量，随机抽查了部分学生，并用得到的数据绘制了统计图，如图1和图2所示，请根据图中信息，解答下列问题： （1）补全学生年度课外阅读量条形统计图； （2）估算该校全体学生年度课外阅读量在8本以上（含8本）的学生总人数； （3）某班开展“名著阅读周”，语文老师推荐了《白洋淀纪事》《创业史》《名人传》《我是猫》供同学选读，对4本名著完全不了解的小明随机抽取两本，刚好是《白洋淀纪事》和《我是猫》的概率是________ 【答案】（1） 补全统计图如图： （2）该校全体学生的年度课外阅读量在8本以上（含8本）的学生人数估计为960人 （3） 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图的关联、用样本估计总体、列表法或画树状图法求概率．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． （1）先根据“6本及以下”人数及其所占比例求出被调查的总人数，再用总人数乘以“8本”对应的百分比求出其人数即可补全图形； （2）用全校总人数乘以样本中课外阅读量在8本以上（含8本）的学生人数所占比例即可． （3）由题意画树状图，然后求概率即可． 【小问1详解】 解：被调查的总人数为人， 所以“8本”的人数为人； 【小问2详解】 解：由题意得，样本数据中年度课外阅读量在8本以上（含8本）的学生数比例为， 人， 故该校全体学生的年度课外阅读量在8本以上（含8本）的学生人数估计为960人． 【小问3详解】 解：假设《白洋淀纪事》《创业史》《名人传》《我是猫》分别为A、B、C、D， 由题意画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中所选刚好是《白洋淀纪事》和《我是猫》的有2种结果， ∴小明随机抽取两本，刚好是《白洋淀纪事》和《我是猫》的概率是． 20. 如图，是等腰直角三角形，；点A是线段上的动点（不与E、D重合），连接，以为边作等腰直角三角形，，交于点F，连接， （1）证明：； （2）求证：； （3）当与满足________________数量关系时，四边形为正方形． 【答案】（1） 证明：∵和都是等腰直角三角形， ，， ， 在和中， ， ； （2） 证明：∵， ， ， ， 在等腰直角中，， ； （3）当与满足时，四边形为正方形 【解析】 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得到，利用定理证明； （2）根据全等三角形的性质得到，得到，根据勾股定理计算，即可证明； （3）当与满足时，四边形为正方形．根据，，，得出，根据，得出四点共圆，，是直径，得出，即可证明四边形为正方形． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 略． 【小问3详解】 解：当与满足时，四边形为正方形 证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四点共圆， ∴是直径， ∵， ∴也是直径， ∴， ∵，， ∴四边形为正方形． 【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、正方形的判定、圆周角定理等知识点，掌握相关的判定定理和性质定理是解题的关键． 五、解答题三（本大题共3小题，每小题11分，共33分） 21. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数经过点，交y轴于点，经过原点O的抛物线交直线于点A，C，抛物线的顶点为D． （1）求抛物线的表达式； （2）M是线段上一点，N是抛物线上一点，当轴且时，求点M的坐标． 【答案】（1） （2）或或． 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法求函数的解析式、函数图象上点的坐标特点等知识，熟练掌握二次函数的相关知识是解题的关键. （1）将点A、O的坐标分别代入抛物线解析式，解方程组即可； （2）先利用待定系数法求出直线的解析式，再根据一次和二次函数解析式设出M点坐标和N的坐标，再表示出，然后根据解方程可得答案． 【小问1详解】 解：抛物线过点和， ， 解得， 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 一次函数经过点和点， ， 解得， 一次函数解析式为， 轴， 设，，其中， 当M在N点的上方时，如图： ， 解得： ，（舍去）， ， 当M在N点下方时， ， 解得：，， ，， 综上，满足条件的点M的坐标有三个或或． 22. 如1图所示，已知是等边三角形，，正方形在的左侧，，，三点在同一条直线上，射线经过点B． （1）求的长度； （2）将正方形沿所在直线向右平移，得到正方形，点O，C，D，E的对应点分别为，，，．设． ①如2图所示，与线段相交于点F，当时，求t的值； ②在平移过程中，正方形与重叠部分的面积记为S．当时，试用含有t的式子表示S． 【答案】（1） （2）①；②当时， ，当时，．当时，． 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、平移的性质、等边三角形、直角三角形的性质、运动图形的函数问题等，属于综合题，需要画出动点不同状态下的图形求解，本题难度较大，需要分类讨论． （1）过点B作，垂足为H，解三角形求出，进而，由此求解； （2）①当时，求出，再利用三角函数求解即可； ②画出不同情况下重叠部分的图形，分和和三种情况，将重叠部分的面积表示成关于t的二次函数， 【小问1详解】 解：如图，过点B作，垂足为H． ∵是等边三角形，， ∴，，， ∴． ∵在正方形中，，， ∴四边形是矩形， ∴． 【小问2详解】 ①当时，是等边三角形， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 即 ②当时，如图，在O点左边，在点右边， 此时：， ∵， ∵， ∵ ∴． ∴， 当时，如图，在O点右边，在点右边， 此时：， ∵， ∵， ∵ ∴， 整理后得到：． 当时，如图，在H点左边，在点右边， 此时：， ∵ ∵ ∴， 整理后得到：． 综上所述：当时， ，当时，．当时，． 23. 【概念呈现】设一个钝角三角形的两个锐角为α与β，如果满足条件，那么我们称这个钝角三角形为倍余三角形，这个锐角α叫做倍余角． （1）【概念理解】当倍余三角形是等腰三角形时，求倍余角的度数； （2）【拓展探索】如1图，是倍余三角形，是钝角，是倍余角，求证： （3）【综合应用】如2图，是的直径，点C，D是圆上的两点，弦与交于点E，连接，且，，当是倍余三角形，且为倍余角时，求的长． 【答案】（1）倍余角的度数为 （2） 证明：如图1，作交于， ， ∵是倍余三角形，是钝角，是倍余角， ， ， ， ∵， ， ． （3） 【解析】 【分析】（1）根据新定义，等腰三角形的性质，列方程再求解即可； （2）作，根据新定义可得，再证明，利用相似三角形的性质和锐角的正切的比例关系证明即可； （3）当为倍余角时，由，可知为倍余角，由（2）得：，则，进而可得出，作于，由即可求出长． 【小问1详解】 解：设倍余角的度数为． 根据题意可得：， 解得：， ∴倍余角的度数为． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，当是倍余三角形，且为倍余角时， ∵ ∴， ，是倍余三角形，且为倍余角， ∵是直径， ∴， 由（2）得：， ， 当是倍余三角形，且为倍余角时， ， ，即， ∵， ∴， ， ∵，， ， 作于， ， ∴， ∴， ， ； 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，圆周角定理，三角函数，等腰三角形的性质和判定,勾股定理等，解题的关键是理解新定义，结合以上知识点解题，熟练掌握新定义的运用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年东莞市初中生毕业水平考试试题 数学 （全卷满分120分，考试用时为120分钟） 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 有理数2024的相反数是（ ） A. 2024 B. C. D. 2. 东莞图书馆馆藏3590000多册纸本文献和多种电子图书等数字资源．其中用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. “八年级数学课本共160页，某同学随手翻开，恰好翻到第60页”，这个事件是（ ） A. 必然事件 B. 不可能事件 C. 随机事件 D. 以上都不正确 4. 计算的结果是（ ） A. B. C. 1 D. 5. 如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，若DE=5，则BC=（　　） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 6. 数轴上的点P位于原点的左侧，与点P对应的实数用代数式表示．那么m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，图形中的x值是（ ） A. 105 B. 110 C. 115 D. 120 8. 已知，，则的值是（ ） A. 9 B. 16 C. 17 D. 19 9. 如图，在中，若，，则的长度是（ ） A. π B. C. D. 10. 在中，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分） 11. 分解因式：x2－9＝______． 12. 写出一个具体的y随x的增大而减小的一次函数解析式___________ 13. 如图，中，，，则的度数为________ 14. 已知，则代数式的值为________． 15. 点D是锐角内一点，于点E，点F是线段的一个动点，点G是射线的一个动点，连接，当的周长最小时，与的数量关系式是________ 三、解答题一（本大题共3小题，第16题10分，第17、18题各7分，共24分）． 16. （1）计算：． （2）如图，．交于点O，，．求证：． 17. 中国新能源汽车企业在10余年间实现了“弯道超车”，使我国一跃成为新能源汽车产量连续七年居世界第一的全球新能源汽车强国．某汽车专卖店销售A，B两种型号的新能源汽车，已知1辆A型车和3辆B型车共销售96万元，2辆A型车和4辆B型车共销售140万元．每辆A型车和B型车的售价各为多少万元？ 18. 在中，． （1）实践与操作：作边的垂直平分线分别交于点D和点E（利用尺规作图，保留作图痕迹）； （2）应用与计算：若，，求的长度． 四、解答题二（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 19. 某校在创建书香校园活动中，为了解全校1600名学生年度课外阅读量，随机抽查了部分学生，并用得到的数据绘制了统计图，如图1和图2所示，请根据图中信息，解答下列问题： （1）补全学生年度课外阅读量条形统计图； （2）估算该校全体学生年度课外阅读量在8本以上（含8本）的学生总人数； （3）某班开展“名著阅读周”，语文老师推荐了《白洋淀纪事》《创业史》《名人传》《我是猫》供同学选读，对4本名著完全不了解的小明随机抽取两本，刚好是《白洋淀纪事》和《我是猫》的概率是________ 20. 如图，是等腰直角三角形，；点A是线段上的动点（不与E、D重合），连接，以为边作等腰直角三角形，，交于点F，连接， （1）证明：； （2）求证：； （3）当与满足________________数量关系时，四边形为正方形． 五、解答题三（本大题共3小题，每小题11分，共33分） 21. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数经过点，交y轴于点，经过原点O的抛物线交直线于点A，C，抛物线的顶点为D． （1）求抛物线的表达式； （2）M是线段上一点，N是抛物线上一点，当轴且时，求点M的坐标． 22. 如1图所示，已知是等边三角形，，正方形在的左侧，，，三点在同一条直线上，射线经过点B． （1）求的长度； （2）将正方形沿所在直线向右平移，得到正方形，点O，C，D，E的对应点分别为，，，．设． ①如2图所示，与线段相交于点F，当时，求t的值； ②在平移过程中，正方形与重叠部分的面积记为S．当时，试用含有t的式子表示S． 23. 【概念呈现】设一个钝角三角形的两个锐角为α与β，如果满足条件，那么我们称这个钝角三角形为倍余三角形，这个锐角α叫做倍余角． （1）【概念理解】当倍余三角形是等腰三角形时，求倍余角的度数； （2）【拓展探索】如1图，是倍余三角形，是钝角，是倍余角，求证： （3）【综合应用】如2图，是的直径，点C，D是圆上的两点，弦与交于点E，连接，且，，当是倍余三角形，且为倍余角时，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $