精品解析：河北沧州市青县第二中学2026-2027学年上学期八年级数学第一次阶段性检测

2026-2027学年青县第二中学八年级数学第一次阶段性 一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分） 1. 下面是三根小棒的长度（单位：），能围成三角形的是（ ） A. 1，2，3 B. 3，4，8 C. 5，5，10 D. 2，8，7 2. 在中，，且是的3倍，那么该三角形是（ ） A. 直角三角形 B. 钝角三角形 C. 锐角三角形 D. 等腰三角形 3. 已知三角形的三边长分别为3，5，x，则第三边长x的取值范围在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 到三角形各边距离相等的点是（ ） A. 三条中线的交点 B. 三角形三条高所在的直线的交点 C. 三条内角平分线的交点 D. 三角形三条边的垂直平分线的交点 5. 如图，在和中，，要使，下面是四个同学补充的条件，其中错误的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，是中的角平分线，于点E，的面积，，，则的长是（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 5 7. 随着地摊经济的蓬勃发展，街巷夜市充满了烟火气．某夜市摊主使用的折叠方桌（如图（1））结构稳固、方便收纳，将其展开后可抽象为如图（2）所示的图形．已知，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 三角形三边长分别为：2，x，6，化简（ ） A. 4 B. C. D. 9. 一副直角三角板按如图放置，点在边的延长线上，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，已知方格纸中是9个相同的正方形，则与的和为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，的面积为，为边上的中线，为上任意一点，连接，，图中阴影部分的面积为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 12. 如图，在中，，，、是斜边上两点，且，过点作，垂足是，过点作，垂足是，交于点，连接，下列结论：①；②；③若，，则；④，其中正确的是（ ） A. ①④ B. ②③ C. ①②③ D. ①②④ 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分． 13. 如图，数学活动课上，小李同学分别延长和的边，边、的延长线交于点，边、的延长线交于点，测得，，则的值为______． 14. 如图，射线平分，点D，Q分别在射线，上，若，的面积为10，过点D作于点P，则的长为______． 15. 如图，，，，点在同一条直线上，则的度数为____________． 16. 线段、相交于点，连接、，我们把如图1的图形称之为“8字形”，则，如图2，在图1的条件下，和的平分线和相交于点，并且与、分别相交于、，若，，则的度数是______． 三、解答题：本题共8小题，共72分． 17. 小明用边长分别为4，8，x（单位：）长的铁丝围成一个三角形铁架． （1）若x为奇数，求x的值； （2）若围成的三角形铁架为等腰三角形，求这个等腰三角形的周长． 18. 如图，，，垂足分别为B，D，且． （1）求证：； （2）若，，求四边形的面积． 19. 如图，在中，平分，交于点，于点，于点，是的高，交于点．已知：，，． （1）求的长； （2）求的长． 20. 如图，在一条直线上，，，，，．求： （1）的长； （2）的度数． 21. 【相关概念】三角形的一边与另一边的反向延长线组成的角，叫做三角形的外角．如图1，将中的边反向延长，与另一边形成的即为的一个外角．利用平行线的相关知识，我们可以推出结论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和． 【结论证明】为证明此结论，李明同学画好了图形（如图2），写好了“已知”和“求证”，根据李明的描述，请补充完整证明过程． 已知：如图2，是的一个外角． 求证：． 证明：过点作 …… 【结论应用】如图3，在中，，点在上，交于点，，求的度数． 【应用拓展】如图4，直线与直线相交于点，夹角为锐角，点在直线上且在点上方运动，点在直线上运动（不与点E、O重合）．当时，平分平分交直线于点，则的度数为___________． 22. 如图，已知平分，于E，于F，且． （1）求证：； （2）写出与之间的数量关系，并给出证明． 23. 如图①，是的一个外角，为的角平分线，为的角平分线，且、相交于点D． （1）猜想与的数量关系，并说明理由； （2）如图②，若的角平分线交于点O，，求的度数． 24. 如图1，在正方形中，E，F分别是，上的点，且，则有结论成立． （1）如图2，在四边形中，，，E，F分别是，上的点，，探究线段，，之间有怎样的数量关系，请写出你的结论，并说明理由； （2）如图3，在四边形中，，，延长到点E，延长到点F，使得，猜想线段，，又有怎样的数量关系，请直接写出你的猜想，不需要证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年青县第二中学八年级数学第一次阶段性 一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分） 1. 下面是三根小棒的长度（单位：），能围成三角形的是（ ） A. 1，2，3 B. 3，4，8 C. 5，5，10 D. 2，8，7 【答案】D 【解析】 【详解】解：选项A中，选项B中，选项C中，不符合三角形任意两边之和大于第三边，所以均不能围成三角形，选项D中，符合三角形任意两边之和大于第三边，所以能围成三角形． 2. 在中，，且是的3倍，那么该三角形是（ ） A. 直角三角形 B. 钝角三角形 C. 锐角三角形 D. 等腰三角形 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意求出和的度数即可． 【详解】解：∵是的3倍， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴是直角三角形． 3. 已知三角形的三边长分别为3，5，x，则第三边长x的取值范围在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形三边关系定理确定第三边的取值范围，再对应数轴表示即可． 【详解】解：∵三角形两边长分别为，， ∴第三边长x应满足， 即， 在数轴上表示为： 4. 到三角形各边距离相等的点是（ ） A. 三条中线的交点 B. 三角形三条高所在的直线的交点 C. 三条内角平分线的交点 D. 三角形三条边的垂直平分线的交点 【答案】C 【解析】 【分析】由角平分线的判定定理求解即可． 【详解】解：∵到角两边距离相等的点在这个角的平分线上， ∴到三角形三边距离相等的点，同时在三角形三个内角的角平分线上， ∴满足题意的点是三角形三条内角平分线的交点． 5. 如图，在和中，，要使，下面是四个同学补充的条件，其中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】已知  及公共边 ，根据直角三角形全等的判定定理（）或一般三角形全等判定定理（）逐项验证即可． 【详解】解：已知 ，， 对于A，若 ， 在  和  中， ， ，条件正确，故本选项不符合题意； 对于B，若 ， 在  和  中， ， ，条件正确，故本选项不符合题意； 对于C，若 ， 在  和  中， ， ，条件正确，故本选项不符合题意； 对于D，设  与  交于点 ， ，， ，此结论由已知条件即可推出，无法判定 ，条件错误，故本选项符合题意． 6. 如图，是中的角平分线，于点E，的面积，，，则的长是（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】过点作于点，如图所示，由角平分线的性质得到，由等面积法得，再结合三角形面积公式列方程求解即可得到答案． 【详解】解：过点作于点，如图所示： 是中的角平分线，于点，于点， ， 的面积，， ，即， ， 解得． 7. 随着地摊经济的蓬勃发展，街巷夜市充满了烟火气．某夜市摊主使用的折叠方桌（如图（1））结构稳固、方便收纳，将其展开后可抽象为如图（2）所示的图形．已知，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据邻补角的性质得到，再利用两直线平行，内错角相等得到，结合三角形内角和求出，进而利用对顶角相等求出的度数． 【详解】解：， ， ， ， ， ． 8. 三角形三边长分别为：2，x，6，化简（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据三角形三边关系确定的取值范围，再根据绝对值的化简法则去掉绝对值符号，合并计算得到结果． 【详解】解：∵三角形的三边长为，，， 根据三角形三边关系可得， ∴， ∴，， ∴． 9. 一副直角三角板按如图放置，点在边的延长线上，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直角三角板的特点得出、，根据平行线的性质求出，结合平角定义和三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：由题意可得：，， ， ， ， ． 10. 如图，已知方格纸中是9个相同的正方形，则与的和为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】标记格点，证明，得到，即可得解． 【详解】解：由题意可知，，，， ， ， ． 11. 如图，的面积为，为边上的中线，为上任意一点，连接，，图中阴影部分的面积为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形中线的性质可得，，即可求解． 【详解】解：为边上的中线， ， 的面积为， ，， ． 12. 如图，在中，，，、是斜边上两点，且，过点作，垂足是，过点作，垂足是，交于点，连接，下列结论：①；②；③若，，则；④，其中正确的是（ ） A. ①④ B. ②③ C. ①②③ D. ①②④ 【答案】C 【解析】 【分析】由证明可判断①正确；证明可判断②正确；由①②结论得到，，由求解可判断③正确；根据三角形的三边关系可判断④错误． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴，故①正确； ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故②正确； ∵，， ∴，，，， ∴， ∵，， ∴，故③正确； ∵在中，， ∴，故④错误， 综上，正确的是①②③． 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分． 13. 如图，数学活动课上，小李同学分别延长和的边，边、的延长线交于点，边、的延长线交于点，测得，，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查三角形外角的性质，掌握求三角形外角的方法是解题的关键． 连接，根据“三角形的外角等于与之不相邻的两个内角之和”，计算即可求解． 【详解】解：如图，连接， 由图可知，，， ， ， ． 故答案为：． 14. 如图，射线平分，点D，Q分别在射线，上，若，的面积为10，过点D作于点P，则的长为______． 【答案】5 【解析】 【分析】过点D作于点M，利用角的平分线的性质，三角形的面积公式即可解答． 【详解】解：过点D作于点M，如图 ∵射线平分，，， ∴； ∵，的面积为10， ∴； ∴； 解得， ∴． 15. 如图，，，，点在同一条直线上，则的度数为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据全等三角形的性质可得，，再根据平角的定义，即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∵点在同一条直线上 ∴的度数为 故答案为：． 16. 线段、相交于点，连接、，我们把如图1的图形称之为“8字形”，则，如图2，在图1的条件下，和的平分线和相交于点，并且与、分别相交于、，若，，则的度数是______． 【答案】##35度 【解析】 【分析】本题主要考查三角形内角和及外角，角平分线等知识点，熟练掌握基本知识是解题关键； 由“8字形”结论可知， ，结合，得到，再由角平分线得到，，最后代入计算即可． 【详解】解：由“8字形”结论得到， ， ∵，， ∴， ∴， ∵和的平分线和相交于点P， ∴，， ∵， ∴ ． 故答案为： ． 三、解答题：本题共8小题，共72分． 17. 小明用边长分别为4，8，x（单位：）长的铁丝围成一个三角形铁架． （1）若x为奇数，求x的值； （2）若围成的三角形铁架为等腰三角形，求这个等腰三角形的周长． 【答案】（1）或或或 （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角形的三边关系求出x的取值范围，再取奇数即可； （2）根据等腰三角形的定义得到x的值，再结合三角形三边关系进行取舍，即可求出周长． 【小问1详解】 解：根据题意，得， ∴， ∵x为奇数， ∴x的值为5或7或9或11． 【小问2详解】 解：边长分别为4，8，x（单位：）长的铁丝围成一个三角形铁架是等腰三角形， ∴或， 当时，三边长为4，8，4， 由于，不满足三角形的三边关系，故舍去； 当时，三边长为4，8，8，满足三角形三边关系， ∴这个等腰三角形的周长为． 18. 如图，，，垂足分别为B，D，且． （1）求证：； （2）若，，求四边形的面积． 【答案】（1）证明：∵，， ∴， ∵在和中， ， ∴． （2）12 【解析】 【分析】（1）根据“”证明即可； （2）根据全等三角形的性质求出，求出和的面积，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 19. 如图，在中，平分，交于点，于点，于点，是的高，交于点．已知：，，． （1）求的长； （2）求的长． 【答案】（1）3 （2） 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的性质可得； （2）利用面积法即可求出的长． 【小问1详解】 解：∵平分，于点，于点，且， ∴． 【小问2详解】 解：∵， ， ∴， 又∵是的高， ∴， 即， 解得． 20. 如图，在一条直线上，，，，，．求： （1）的长； （2）的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据，利用全等三角形的性质得出，再根据线段的和差关系得出，即可解答；（2）根据，利用全等三角形的性质得出，再利用外角的性质得出，即可解答． 【小问1详解】 解：， ． ， 即， ． 答：的长为． 【小问2详解】 解：， ． ， ． 答：的度数为． 21. 【相关概念】三角形的一边与另一边的反向延长线组成的角，叫做三角形的外角．如图1，将中的边反向延长，与另一边形成的即为的一个外角．利用平行线的相关知识，我们可以推出结论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和． 【结论证明】为证明此结论，李明同学画好了图形（如图2），写好了“已知”和“求证”，根据李明的描述，请补充完整证明过程． 已知：如图2，是的一个外角． 求证：． 证明：过点作 …… 【结论应用】如图3，在中，，点在上，交于点，，求的度数． 【应用拓展】如图4，直线与直线相交于点，夹角为锐角，点在直线上且在点上方运动，点在直线上运动（不与点E、O重合）．当时，平分平分交直线于点，则的度数为___________． 【答案】【结论证明】 证明：过点C作 ， ； 【结论应用】 【应用拓展】或 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的外角性质，角平分线的定义等知识点． （1）过点C作，则，再由角的和差计算证明即可； （2）先由求出，再根据平行线的性质求解即可； （3）分两种情况讨论，当点F在点O的右侧和点F在点O的左侧，根据三角形的外角性质以及角平分线的定义求解即可． 【详解】（1）证明：过点C作 ， ； （2）解：， ， ， ； （3）解：的度数为或 ①当点F在点O的右侧时， ， ， 是的角平分线，是的角平分线， ， ， ∴ ， ； ②当点F在点O的左侧时，如图， ， ， 是的角平分线，是的角平分线， ， ∴ 综上所述，或 22. 如图，已知平分，于E，于F，且． （1）求证：； （2）写出与之间的数量关系，并给出证明． 【答案】（1） 证明：∵是角平分线，于E，于F， ∴， 在和中， ∴； （2） ， 证明：∵于E，于F， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，本题中求证和是解题的关键． （1）根据角平分线的性质得到，，即可得到结论； （2）由于E，于F，得到，推出，根据全等三角形的性质得到，由，得到，于是得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. 如图①，是的一个外角，为的角平分线，为的角平分线，且、相交于点D． （1）猜想与的数量关系，并说明理由； （2）如图②，若的角平分线交于点O，，求的度数． 【答案】（1） ，理由如下： ∵为的角平分线，为的角平分线 ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】此题重点考查直角三角形的两个锐角互余、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、角平分线的定义等知识，正确理解和应用三角形内角和定理及其推论是解题的关键． （1）先根据角平分线的定义得，，再根据外角的定义得，则，，进而可得结论； （2）根据外角的定义得，根据角平分线的定义得，，则，根据三角形内角和定理求出，再结合（1）的结论即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵为的一个外角，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， 在中，， 由（1）得， ∴． 24. 如图1，在正方形中，E，F分别是，上的点，且，则有结论成立． （1）如图2，在四边形中，，，E，F分别是，上的点，，探究线段，，之间有怎样的数量关系，请写出你的结论，并说明理由； （2）如图3，在四边形中，，，延长到点E，延长到点F，使得，猜想线段，，又有怎样的数量关系，请直接写出你的猜想，不需要证明． 【答案】（1）结论． 证明：如图，延长到点G，使，连接． 在和中， ， ， ， ， 又， ， ． （2） 【解析】 【分析】（1）如图，延长到点G，使，连接，证出，根据全等三角形的性质得出，再证明得，再根据线段的和差以及等量代换即可解答； （2）如图，在上截取，使，连接，利用（1）的思路解答即可． 【小问1详解】 解：结论．证明略． 【小问2详解】 解：，理由如下： 如图，在上截取，使，连接， ∵， ， ， ∴， ， ， ， ， ∴， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $