热点02 空间角与距离的向量求法-2024-2025学年高二上学期数学重难热点提升精讲与过关测试（人教A版）

热点02 空间角与距离的向量求法 一、利用空间向量求空间角 设直线的方向向量分别为，平面的法向量分别为. （1）直线所成的角为，则，计算方法：； （2）直线与平面所成的角为，则，计算方法：； （3）平面所成的二面角为，则， 如图①，AB，CD是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小． 如图②③，分别是二面角的两个半平面的法向量，则二面角的大小θ满足，二面角的平面角大小是向量与的夹角(或其补角)． 注意：平面所成的角为， 二、利用空间向量求距离 （1）点到平面的距离 如图所示，已知AB为平面的一条斜线段，为平面的法向量， 则B到平面的距离为. （2）点到直线的距离 设为直线上一点, 为直线的方向向量, 在向量方向上的投影向量的模长为,则点到直线的距离. 热点一 异面直线夹角的向量求法 例1．在长方体中，已知，，E为的中点，则直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 例2．在长方体中，已知异面直线与AD，与AB所成角的大小分别为60°和45°，则直线和平面所成的角的余弦值为 ． 变式1-1．如图，在三棱锥中，为等边三角形，为等腰直角三角形，，平面平面，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 变式1-2．（多选）如图，在直四棱柱中，四边形为正方形，为面对角线上的一个动点，则下列说法正确的有（    ）    A．平面 B．三棱锥的体积为定值 C．异面直线与所成角的正切值为1 D．异面直线与所成角的余弦值为 变式1-3．如图，正三棱柱中，底面边长为. (1)设侧棱长为，求证：； (2)设与的夹角为，求侧棱的长． 热点二 线面角的向量求法 例3．如图，PC是圆台的一条母线，是圆的内接三角形，AB为圆的直径，．    (1)证明：； (2)若圆台的高为3，体积为，求直线AB与平面PBC夹角的正弦值． 例4．正四棱柱中，，与平面所成角的正弦值为，则 ． 变式2-1．如图，在四棱锥中，底面为正方形、平面分别为棱的中点 (1)证明：平面; (2)若，求直线与平面所成角的正弦值 变式2-2．如图，在直三棱柱中， 为直角，侧面为正方形， ，分别为，的中点． (1)求证：平面； (2)求证：； (3)求直线与平面所成角的正弦值． 变式2-3．在如图①所示的平面图形中，四边形为菱形，现沿进行翻折，使得平面，过点作，且，连接，所得图形如图②所示，其中为线段的中点，连接.    (1)求证：平面； (2)若，直线与平面所成角的正弦值为，求的值. 热点三 面面角的向量求法 例5．如图所示，在三棱锥中，．    (1)求证：； (2)若点D为AP的中点，且，求二面角的大小． 例6．如图，直四棱柱中，,点E为的中点，F为中点. (1)若，证明：； (2)若二面角的正弦值为，求. 变式3-1．如图，在五面体中，底面为平行四边形，为等边三角形，．    (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 变式3-2．如图，在四棱柱中，平面ABCD，底面ABCD为梯形，，，，Q为AD的中点．    (1)在上是否存在点P，使直线平面，若存在，请确定点P的位置并给出证明，若不存在，请说明理由； (2)若（1）中点P存在，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值． 变式3-3．如图，四棱锥中，底面，，，．    (1)若，证明：平面； (2)若，且二面角的正弦值为，求． 热点四 点到平面、异面直线距离的向量求法 例7．如图，在下列四个正方体中，是顶点，是棱的中点，则三棱锥体积最大的是（    ） A．   B．   C．   D．   例8．如图1，在等腰直角三角形ABC中，，,分别是上的点，，为中点，将沿折起，得到如图2所示的四棱锥，其中．    (1)求证：⊥平面； (2)求点到平面的距离． 变式4-1．（多选）如图，棱长为的正方体中，，分别为，的中点，则（    ）    A．直线与底面所成的角为 B．平面与底面夹角的余弦值为 C．直线与直线的距离为 D．直线与平面的距离为 变式4-2．如图，在直三棱柱中，D，E，F分别为AB，BC，的中点．    (1)证明：平面； (2)若，，，求点E到平面的距离． 变式4-3．如图，在直四棱柱中，底面四边形为梯形，，. (1)证明： ; (2)若直线 与平面 所成角的正弦值为 ，点 为线段 上一点，求点到平面 的距离. 热点五 点到直线的向量求法 例9．如图，在正三棱柱中，，点D是棱BC的中点，则点到直线的距离为（    ）    A． B． C． D． 例10．在长方体中，，点为侧面内一动点，且满足平面，则的最小值为 ，此时点到直线的距离为 . 变式5-1．如图，在四棱锥中，平面平面，底面是矩形，，，点是的中点，点为线段上靠近的三等分点，则点到直线的距离为 ．    变式5-2．已知三棱柱的棱长均为. (1)证明：平面平面； (2)若，且直线与平面所成角的正弦值为，求点到直线的距离. 变式5-3．如图，在四棱锥中，平面，，∥，，，为棱的中点. (1)证明：平面； (2)求平面和平面夹角的余弦值； (3)求A点到直线的距离. 热点六 最值范围问题 例11．如图，已知点是圆台的上底面圆上的动点，在下底面圆上，，，，，则直线与平面所成角的正弦值的最大值为 . 例12．如图，平行六面体的所有棱长均为2，底面为正方形，，点为的中点，点为的中点，动点在平面内. (1)若中点为，求的面积； (2)若平面，求线段长度的最小值. 变式6-1．直四棱柱的所有棱长都为，，点在四边形及其内部运动，且满足，则点到平面的距离的最小值为 ．    变式6-2．如图，在三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，在菱形中，，，平面平面，，分别是线段､的中点.    (1)求证：平面； (2)若点为线段上的动点（不包括端点），求锐二面角的余弦值的取值范围. 变式6-3．如图，已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，，，是线段的中点. (1)求证：平面； (2)若，求平面与平面夹角的大小； (3)若线段上总存在一点，使得，求的最大值. 热点七 探索性问题 例13．如图1，在中，、分别为、的中点，为的中点，，．将沿折起到的位置，使得平面平面，如图2．    (1)求证：； (2)线段上是否存在点，使得直线和所成角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 例14．（多选）如图，在多面体中，平面，四边形是正方形，且，，分别是线段的中点，是线段上的一个动点（含端点），则下列说法正确的是（    ） A．存在点，使得 B．存在点，使得异面直线与所成的角为 C．三棱锥体积的最大值是 D．当点自向处运动时，二面角的平面角先变小后变大 变式7-1．（多选）如图，在直三棱柱中，，，，是棱上的动点，则（    ）    A．平面平面 B．存在点，使 C．存在点，使点到平面的距离为 D．存在点，使直线与所成角的余弦值为 变式7-2．如图1，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝1，E是DC的中点，将沿AE折起，使得点D到达点P的位置，且PB＝PC，如图2所示．F是棱PB上的一点． (1)若F是棱PB的中点，求证：平面PAE； (2)是否存在点F，使得二面角的余弦值为？若存在，则求出的值；若不存在，请说明理由． 变式7-3．已知矩形中，，，是的中点，如图所示，沿将翻折至，使得平面平面. (1)证明：； (2)若是否存在，使得与平面所成的角的正弦值是？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 一、单选题 1．（2023-24高三上·四川成都·期中）已知M，N分别是正四面体中棱AD，BC的中点，若点E是棱CD的中点.则MN与AE所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 2．（2023-24高二下·云南昭通·期中）在空间中，“经过点，法向量为的平面的方程（即平面上任意一点的坐标满足的关系式）为：".用此方法求得平面和平面的方程，化简后的结果为分别和，则这两平面所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 3．（2023-24高二上·北京顺义·期末）在长方体中，，，，则点D到平面的距离为（    ） A．1 B．3 C． D． 4．（2024·山东济南·三模）如图所示，正方体的棱长为1，点分别为的中点，则下列说法正确的是（    ） A．直线与直线垂直 B．直线与平面平行 C．三棱锥的体积为 D．直线BC与平面所成的角为 5．（2023-24高三下·湖南长沙·期中）三棱锥中，平面，，.，点是面内的动点（不含边界），，则异面直线与所成角的余弦值的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 6．（2023-24高二上·江苏·期中）设两条不同直线，的方向向量分别为，，两个不同平面，的法向量分别为，，下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，的夹角为，则 7．（2023-24高二下·浙江·期末）已知长方体，则有（    ） A．若与所成的角分别为，则 B．若与面、面、面三侧面所成的角分别为，则 C．若，则 D．若，则． 8．（2023-24高三上·贵州贵阳·期中）如图，在长方体中，，点为线段上动点（包括端点），则下列结论正确的是（    ）    A．当点为中点时，平面 B．当点为中点时，直线与直线所角的余弦值为 C．当点在线段上运动时，三棱锥的体积是定值 D．点到直线距离的最小值为 三、填空题 9．（2023-24高二上·河北保定·期中）在空间直角坐标系中，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为 . 10．（2023-24高二下·全国·单元测试）如图，在长方体中，，以D为原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，若为线段的中点，则点到平面的距离为 ．    11．（2023-24高二上·浙江台州·期中）已知梯形如图1所示，其中，A为线段的中点，四边形为正方形，现沿进行折叠，使得平面⊥平面，得到如图2所示的几何体．已知当点F满足时，平面平面，则λ的值为 ．           图1                         图2 四、解答题 12．（2023-24高三上·广西贵港·期中）如图，在正方体中，点分别在上，且.    (1)若，证明：平面. (2)求平面与平面夹角的余弦值. 13．（2024·山东·模拟预测）如图，在直三棱柱中，为棱上一点，且．    (1)证明：平面平面； (2)求二面角的大小． 14．（2023-24高三下·安徽黄山·阶段练习）如图，四棱锥中，底面为直角梯形，，，且，，，直线与平面所成的角为，，，分别是，的重心． (1)证明：平面平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 15．（2023-2024学年高三上学期摸底演练数学试题）在直三棱柱中，，，，G是的重心，点Q在线段AB（不包括两个端点）上．    (1)若Q为的中点，证明：平面； (2)若直线与平面所成的角正弦值为，求． 16．（2023-2024 广东汕头 期末）如图，在长方体中，，点在棱上移动.    (1)当点在棱的中点时，求平面与平面所成的夹角的余弦值； (2)当为何值时，直线与平面所成角的正弦值最小，并求出最小值. 17．（2023-24高三上·江苏南通·期中）如图，在三棱柱中，平面，E，F，G分别是棱AB，BC，上的动点，且．      (1)求证：； (2)若平面与平面的夹角的余弦值为，求． 18．（2023-24高三上·湖北·阶段练习）如图，直角梯形 ACDE 中， 、M 分别为AC、ED 边的中点，将△ABE 沿BE 边折起到△A'BE 的位置，N 为边A'C 的中点． (1)证明：MN∥平面A'BE； (2)当三棱锥的体积为，且二面角为锐二面角时，求平面 NBM 与平面BEDC 夹角的正切值． 19．（2023-24高三上·江苏扬州·期中）在四棱锥中，平面，底面为正方形，为线段的中点，为线段上的动点，． (1)证明：； (2)求实数的值，使得平面与平面所成角的余弦值最大． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 热点02 空间角与距离的向量求法 一、利用空间向量求空间角 设直线的方向向量分别为，平面的法向量分别为. （1）直线所成的角为，则，计算方法：； （2）直线与平面所成的角为，则，计算方法：； （3）平面所成的二面角为，则， 如图①，AB，CD是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小． 如图②③，分别是二面角的两个半平面的法向量，则二面角的大小θ满足，二面角的平面角大小是向量与的夹角(或其补角)． 注意：平面所成的角为， 二、利用空间向量求距离 （1）点到平面的距离 如图所示，已知AB为平面的一条斜线段，为平面的法向量， 则B到平面的距离为. （2）点到直线的距离 设为直线上一点, 为直线的方向向量, 在向量方向上的投影向量的模长为,则点到直线的距离. 热点一 异面直线夹角的向量求法 例1．在长方体中，已知，，E为的中点，则直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图，为坐标原点，直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则 ∴， 设直线与所成角为， 则， 即异面直线与所成角的余弦值为； 故选: A 例2．在长方体中，已知异面直线与AD，与AB所成角的大小分别为60°和45°，则直线和平面所成的角的余弦值为 ． 【答案】/ 【详解】设，，，则， 由于，所以异面直线与AD所成角为，而，从而， 由于，所以异面直线与AB所成角为，从而， 所以，． 如图，以D为原点，分别以DA、DC、所在直线为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，    则，，，，， ，，． 设平面的法向量为， 则，取， 所以直线和平面所成的角的正弦值为， 从而直线和平面所成的角的余弦值为． 故答案为： 变式1-1．如图，在三棱锥中，为等边三角形，为等腰直角三角形，，平面平面，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】取的中点，连接，，因为，所以. 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面.又因为，所以，于是以为坐标原点， 建立如图所示的空间直角坐标系，结合为等腰直角三角形， ，为等边三角形， 则，，，， 所以，， 所以， 故异面直线与所成角的余弦值为. 故选：D 变式1-2．（多选）如图，在直四棱柱中，四边形为正方形，为面对角线上的一个动点，则下列说法正确的有（    ）    A．平面 B．三棱锥的体积为定值 C．异面直线与所成角的正切值为1 D．异面直线与所成角的余弦值为 【答案】BCD 【详解】    以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系. 设，则，， 对于A选项，，，则， 故与不垂直，进而可知与平面不垂直，故A错误； 对于B选项，在正四棱柱中，且， 所以四边形为平行四边形，所以，因为平面， 平面，所以平面，所以点到平面的距离为定值， 又的面积为定值，故三棱锥的体积为定值，故B正确； 对于C选项，因为，所以与所成的角为， 因为四边形为正方形，所以，故C正确； .对于D选项，， 所以， 所以异面直线与所成角的余弦值为，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】方法点睛：求空间角的常用方法： （1）定义法：由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应的三角形，即可求出结果； （2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量的夹角（两直线的方向向量、直线的方向向量与平面的法向量、两平面的法向量）的余弦值，即可求得结果. 变式1-3．如图，正三棱柱中，底面边长为. (1)设侧棱长为，求证：； (2)设与的夹角为，求侧棱的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）由已知得，， 平面， ，， 又是正三角形， , ； ； （2）由（1）得， 又， ， ， 解得， 即侧棱长为. 热点二 线面角的向量求法 例3．如图，PC是圆台的一条母线，是圆的内接三角形，AB为圆的直径，．    (1)证明：； (2)若圆台的高为3，体积为，求直线AB与平面PBC夹角的正弦值． 【答案】(1)证明见详解； (2). 【详解】（1）由题知，因为为圆的直径，所以， 又，所以， 因为为的中点，所以， 由圆台性质可知，平面，且四点共面， 因为平面，所以， 因为是平面内的两条相交直线，所以平面， 因为平面，所以. （2）圆台的体积，其中， 解得或(舍去). 由（1）知两两垂直，分别以为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图， 则， 所以. 设平面的一个法向量为， 则解得 于是可取. 设直线与平面的夹角为， 则， 故所求正弦值为. 例4．正四棱柱中，，与平面所成角的正弦值为，则 ． 【答案】 【详解】 如图，以为坐标原点，分别以，，所在直线为轴建立空间直角坐标系， 因为棱柱为正四棱柱，设， 则， 其中平面的一个法向量为， 设与平面所成角为， 则， 得：，即 故答案为： 变式2-1．如图，在四棱锥中，底面为正方形、平面分别为棱的中点 (1)证明：平面; (2)若，求直线与平面所成角的正弦值 【答案】(1)证明见解析； (2). 【详解】（1）分别为的中点 为正方形 平面平面 平面. （2）由题知平面 建立如图所示的空间直角坚标系， ，则, ,,, 设平面的一个法向量为 则,令则, 设直线与平面所或的角为, ， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 变式2-2．如图，在直三棱柱中， 为直角，侧面为正方形， ，分别为，的中点． (1)求证：平面； (2)求证：； (3)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）连接， 在中，因为分别为，的中点，所以 又平面，平面，所以平面． （2）因为直三棱柱中，为侧棱， 所以平面， 因为平面， 所以， 又为直角， 所以 又，平面， 所以平面， 因为平面， 所以， 由（1），所以. （3）建立空间直角坐标系， 则，，，．， 因此，． 设平面的法向量为， ，即 令，则，于是， 设直线与平面所成角为． 所以． 变式2-3．在如图①所示的平面图形中，四边形为菱形，现沿进行翻折，使得平面，过点作，且，连接，所得图形如图②所示，其中为线段的中点，连接.    (1)求证：平面； (2)若，直线与平面所成角的正弦值为，求的值. 【答案】(1)证明见解析 (2)2 【详解】（1）证明：.    在菱形中，， 因为平面，平面，所以， 又，平面，所以平面. 因为分别为的中点，所以，， 又， ， 所以，，所以四边形为平行四边形， 所以，所以平面. （2）在菱形中，因为，所以和都是正三角形， 取的中点，连接，则， 又平面，所以，即两两垂直. 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，    设，则， 则，. 设平面的法向量为，则 取，则. 记直线与平面所成角为， 则.， 解得，即的值为2. 热点三 面面角的向量求法 例5．如图所示，在三棱锥中，．    (1)求证：； (2)若点D为AP的中点，且，求二面角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：如图所示，取的中点，分别连接， 在中，因为，可得， 在中，因为，可得， 又由，且平面，所以平面， 因为平面，所以. （2）解：因为且，所以， 又因为，所以， 因为，即， 以点为坐标原点，以所在的直线分别为和轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，设，可得， 设，因为，可得，即，则， 则且, 设平面的法向量为，则， 令，可得，所以， 因为平面，所以平面的一个法向量为， 设二面角的平面角为，可得， 所以二面角的大小为.    例6．如图，直四棱柱中，,点E为的中点，F为中点. (1)若，证明：； (2)若二面角的正弦值为，求. 【答案】(1)证明见解析 (2)4 【详解】（1）以分别为轴建立空间直角坐标系，, 可得, 所以中点, 所以, ， 可得. （2）设, 则 设平面法向量为, 因为，则， 令，可得， 设平面法向量为， 因为，则， 令,则， 设为， 因为所以, 则,解得（舍负）， 所以. 变式3-1．如图，在五面体中，底面为平行四边形，为等边三角形，．    (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）如图：    在中，，，， 由余弦定理得：. 又，所以为直角三角形，. 在中，，，，因为，所以为直角三角形，. 因为，，,平面， 所以平面. （2）如图：取中点，中点.    则，平面，所以平面， 又为等边三角形，所以.故可以为原点，建立如图空间直角坐标系. 则，，，，， 因为为中点，所以，由可得；由可得. 所以，，. 设平面的法向量为， 则，取. 设平面的法向量为， 则，取. 设平面与平面所成的角为，则. 变式3-2．如图，在四棱柱中，平面ABCD，底面ABCD为梯形，，，，Q为AD的中点．    (1)在上是否存在点P，使直线平面，若存在，请确定点P的位置并给出证明，若不存在，请说明理由； (2)若（1）中点P存在，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值． 【答案】(1)存在，P是中点，证明见解析； (2)． 【详解】（1）存在，证明如下： 在四棱柱中，因为平面平面， 所以可在平面内作， 由平面几何知识可证，所以，可知P是中点， 因为平面，所以平面． 即存在线段的中点，满足题设条件． 满足条件的点只有一个，证明如下： 当平面时，因为平面， 所以过作平行于CQ的直线既在平面内，也在平面内， 而在平面内过只能作一条直线， 故满足条件的点P只有唯一一个． 所以，有且只有的中点为满足条件的点P，使直线平面． （2）过点D作，垂足为F，又因为平面ABCD，    所以DA，DF，两两互相垂直， 以D为坐标原点，分别以DA，DF，所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图的空间直角坐标系， 则，，，，， ，，， 设平面的法向量为， 则有即 令，得，，所以． 设平面的法向量为． 则有即 令，得，，所以． 所以． 故平面与平面所成的锐二面角的余弦值为． 变式3-3．如图，四棱锥中，底面，，，．    (1)若，证明：平面； (2)若，且二面角的正弦值为，求． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）因为平面，而平面，所以， 又，，平面，所以， 而平面，所以． 因为，所以， 又平面，故， 又平面，平面，所以平面． （2）以，为，轴，过点作平面垂直的线为轴，建立如图所示空间直角坐标系：    令，则，，， ，， ， 设平面的法向量，所以， 设，则，，所以， 设平面CPD的法向量为，所以， 设，则，，所以， 因为二面角A-CP-D的正弦值为，则余弦值为， 又二面角为锐角，所以， 解得，所以 热点四 点到平面、异面直线距离的向量求法 例7．如图，在下列四个正方体中，是顶点，是棱的中点，则三棱锥体积最大的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系,设正方体的边长为2.    对于A, 所以 设平面的一个法向量为，则 令则，所以 设点到平面的距离为，则 易知为等边三角形，边长为，所以， 所以. 对于B，易求得,点B到平面的距离为1， 所以； 对于C， 所以 设平面的一个法向量为，则， 令则，所以 设点到平面的距离为，则, 易求得所以； 对于D，易求得,点A到平面的距离为1， 所以; 所以A选项的体积最大. 故选：A. 例8．如图1，在等腰直角三角形ABC中，，,分别是上的点，，为中点，将沿折起，得到如图2所示的四棱锥，其中．    (1)求证：⊥平面； (2)求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）解：（1）连接OD，OE，， 在△COD中，， 同理得， 因为，所以, 所以， 因为 所以， 所以 又因为平面,平面 所以⊥平面； （2）（2）取中点，则以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系    则， 设平面的一个法向量为， 又， 所以，令，则， 则， 又，， 所以点B到平面A′CD的距离为． 变式4-1．（多选）如图，棱长为的正方体中，，分别为，的中点，则（    ）    A．直线与底面所成的角为 B．平面与底面夹角的余弦值为 C．直线与直线的距离为 D．直线与平面的距离为 【答案】BCD 【详解】     如图所示，以点为坐标原点，为轴，为轴，为轴， 则，，，，，， A选项：，平面的法向量， 设直线与底面所成的角为， 则， 直线与底面所成的角不为，故A错误； B选项：，， 设平面的法向量，则，令，则 设平面与底面的夹角为， 则， 平面与底面夹角的余弦值为，故B正确； C选项，， 直线与直线的距离为：，故C正确； D选项，，平面，平面， 又，平面的法向量， 直线与平面的距离为：，故D正确； 故选：BCD. 变式4-2．如图，在直三棱柱中，D，E，F分别为AB，BC，的中点．    (1)证明：平面； (2)若，，，求点E到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【详解】（1）因为为直三棱柱，所以， 又D，E，分别为AB，BC的中点，所以， 所以， 又平面，平面， 所以平面. （2）    因为为直三棱柱，且， 以为坐标原点，分别以所在直线为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 设，且，则， 则，， 由可得，即，且，解得， 设，则，即， 设平面的法向量为， 则，解得，取，则， 所以平面的一个法向量为， 又，即， 所以点E到平面的距离. 变式4-3．如图，在直四棱柱中，底面四边形为梯形，，. (1)证明： ; (2)若直线 与平面 所成角的正弦值为 ，点 为线段 上一点，求点到平面 的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）因为，， 所以，所以, 因为为直四棱柱， 所以, 因为，平面， 所以平面， 因为，所以平面， 因为平面，所以 （2）由（1）及题意知，两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系 因为，.设， 所以 所以, 设平面的一个法向量为 则， 令，则，所以 设直线 与平面 所成的角为， 则， 解得，所以 所以点到平面 的距离为 因为，所以 因为不在平面，所以平面， 因为M在线段上，所以点M到平面 的距离等价于点到平面 的距离，为 故点M到平面 的距离. 热点五 点到直线的向量求法 例9．如图，在正三棱柱中，，点D是棱BC的中点，则点到直线的距离为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】取AC的中点O，取的中点E，连接OE，则，所以平面ABC， 连接OB，因为是等边三角形，所以，因为OB，平面ABC， 所以OB，AC，OE两两垂直，所以O以为坐标原点，OB所在直线为x轴， OC所在直线为y轴，OE所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所 示．又，所以，，， ，所以，所以，， 所以， 所以点到直线的距离. 故选：A．    例10．在长方体中，，点为侧面内一动点，且满足平面，则的最小值为 ，此时点到直线的距离为 . 【答案】 / 【详解】如图所示，因为且，故四边形为平行四边形，则， 因为平面平面，所以平面， 同理可证平面，因为平面， 所以平面平面，因为平面，要使得平面， 则平面，因为平面平面， 故点的轨迹为线段，当取最小值时，，则为的中点， 则. 以为原点，的方向分别为，轴建立空间直角坐标系， 易知， 取， 则， 所以点到直线的距离为. 故答案为：； 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是通过平面平面确定点的轨迹为线段，即当时取最小值，注重考查学生的数学运算和逻辑推理能力. 变式5-1．如图，在四棱锥中，平面平面，底面是矩形，，，点是的中点，点为线段上靠近的三等分点，则点到直线的距离为 ．    【答案】3 【详解】取的中点为，连接，因为为的中点，所以， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面，平面，所以， 又底面是矩形，点是的中点，的中点为，所以， 以点为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系如图所示，    由，得， 所以， 点为线段上靠近的三等分点，则， 则，所以，， 则，， 因此点到直线的距离， 故答案为：3 变式5-2．已知三棱柱的棱长均为. (1)证明：平面平面； (2)若，且直线与平面所成角的正弦值为，求点到直线的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2). 【详解】（1）证明：取的中点，连接， 所以， 所以，所以， 由题设可知，为边长为2的等边三角形，所以， 因为，所以，所以， 又因为平面， 所以平面， 又因为平面，所以平面平面； （2）由（1）可知两两垂直， 所以以所在直线为轴，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系. 所以， . 因为，则， 设平面的法向量为， 则即 取， 所以是平面的一个法向量. 设直线与平面所成角为， ， 化简整理得 解得，或（舍去）， 所以， 又因为， 所以. 设点到直线的距离为，则， 所以. 变式5-3．如图，在四棱锥中，平面，，∥，，，为棱的中点. (1)证明：平面； (2)求平面和平面夹角的余弦值； (3)求A点到直线的距离. 【答案】(1)证明见详解 (2) (3) 【详解】（1）取中点，连接，． 在中，，分别为，的中点，则，， 因为，，则，， 可知四边形为平行四边形，则， 且平面，平面，所以平面PAD． （2）因为平面，，平面ABCD， 则，，且， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 取CD的中点，连接BE， 因为，，则，， 又因为，所以四边形ABED为矩形， 且，可知四边形ABED是以边长为2的正方形， 则，，，，，， 可得，，， 设平面BDM的法向量为，所以， 令，则，．所以平面BDM的一个法向量为， 易知为平面PDM的一个法向量， 所以， 所以平面和平面夹角的余弦值为. （3）由（2）可知：， 则， 即，可知为锐角， 则， 所以A点到直线的距离为. 热点六 最值范围问题 例11．如图，已知点是圆台的上底面圆上的动点，在下底面圆上，，，，，则直线与平面所成角的正弦值的最大值为 . 【答案】 【详解】解：连接，过点作垂直于的延长线于点，以为坐标原点，建立空间直角坐标系如下所示： 在三角形中，因为， 故， 则， 则， ， 故点，又，，， 设点，，由，可得， ，， 设平面的法向量， 则，即， 取，则， 故平面的法向量， 又， 设直线与平面所成角为，， 则， 因为，且， 故令，，， 则，，， 又，所以， ，即， 所以的最大值为. 故答案为：. 例12．如图，平行六面体的所有棱长均为2，底面为正方形，，点为的中点，点为的中点，动点在平面内. (1)若中点为，求的面积； (2)若平面，求线段长度的最小值. 【答案】(1)1 (2) 【详解】（1）连接、、， ， ，同理， 是正方形对角线AC中点， ，且， ， 即，则， . （2）法一： 取中点，连接，，， 易得，故四边形是平行四边形， ，又 平面 平面， 平面，同理， 平面 平面， 平面 ，且都在面内， 故平面平面， 则点必在上，且当时取得的最小长度， ， 由等面积法得：，解得， 故的最小长度为. 法二： 取为一组空间基底，则，， 平面， ，代入整理得， 故， 动点在平面内， ， ， 故， 当且仅当时，有最小值为. 法三： 由第一问知，如图建立空间直角坐标系， 则，，，，， ， ，， 同理， ，， ，， 设平面的法向量为， 则，令，得， 设点，， ，即， 故， 当且仅当时，有最小值为. 变式6-1．直四棱柱的所有棱长都为，，点在四边形及其内部运动，且满足，则点到平面的距离的最小值为 ．    【答案】/ 【详解】   取交点于点， 因为直四棱柱的所有棱长都为， 所以， 以所在直线为轴，过点竖直向上所直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系， 所以，，，， ，， 设平面的法向量为， 则有，令，则，，所以， 因为点在四边形及其内部运动，所以设，， 又因为，所以， 即，则， 设点到平面的距离为，则有， 又因为，所以时，， 即点到平面的距离的最小值为 . 故答案为：. 变式6-2．如图，在三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，在菱形中，，，平面平面，，分别是线段､的中点.    (1)求证：平面； (2)若点为线段上的动点（不包括端点），求锐二面角的余弦值的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）由平面平面，且两平面交线为,为中点，， 平面，所以平面，由于平面，故， 在菱形中，，，所以为等边三角形， 又为中点，所以， 则以为坐标原点，所在直线为，，轴，可建立如图所示空间直角坐标系， 则， ，， ， ， 又，，平面，平面．    （2）， 设，则， ，，； 由（1）知平面， 平面的一个法向量， 设平面的法向量，又 则，，即， 令，则，，， ， 令，则， ， ，所以， ，， 即锐二面角的余弦值的取值范围为． 变式6-3．如图，已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，，，是线段的中点. (1)求证：平面； (2)若，求平面与平面夹角的大小； (3)若线段上总存在一点，使得，求的最大值. 【答案】(1)证明负了解析； (2)； (3). 【详解】（1）设，连结，，矩形中，是线段的中点，是线段的中点， 则，，于是为平行四边形，则， 又平面，平面，所以平面. （2）由平面平面，，平面平面，平面， 得平面，又，则直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立如空间直角坐标系，， 则， ，，设平面的法向量为， 则，令，得， 由，得平面的一个法向量为， 设平面与平面夹角为，则，解得， 所以平面与平面夹角的大小为. （3）由（2）知，， 则，，设， 则，，于是， 由，得，即，因此，又， 所以，即的最大值为. 【点睛】关键点睛：第三问，设，其中，根据向量的坐标表示得到，，再由垂直关系列方程得到参数关系为关键. 热点七 探索性问题 例13．如图1，在中，、分别为、的中点，为的中点，，．将沿折起到的位置，使得平面平面，如图2．    (1)求证：； (2)线段上是否存在点，使得直线和所成角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，且. 【详解】（1）在图1中，因为，、分别为、的中点， 则，， 翻折后，在图2中，因为为的中点，则， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以，平面， 因为平面，所以，. （2）取的中点，连接，翻折前，则、、三点共线， 又因为，为的中点，则，即， 翻折后，则有， 又因为平面，以点为坐标原点， 、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，    则、、、， 设，其中， 所以，， , 由题意可得， 整理可得，又因为，解得， 因此，线段上存在点，使得直线和所成角的余弦值为，且. 例14．（多选）如图，在多面体中，平面，四边形是正方形，且，，分别是线段的中点，是线段上的一个动点（含端点），则下列说法正确的是（    ） A．存在点，使得 B．存在点，使得异面直线与所成的角为 C．三棱锥体积的最大值是 D．当点自向处运动时，二面角的平面角先变小后变大 【答案】AD 【详解】以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系， 设，则； ，，，，，，，； 对于A，假设存在点，使得， 则，又， ，解得：， 即点与重合时，，A正确； 对于B，假设存在点，使得异面直线与所成的角为， ，， ，方程无解； 不存在点，使得异面直线与所成的角为，B错误； 对于C，连接； 设， ， 当，即点与点重合时，取得最大值； 又点到平面的距离， ，C错误； 对于D，由上分析知：，， 若是面的法向量，则， 令，则， 而面的法向量， 所以，令， 则，而， 由从到的过程，由小变大，则由大变小，即由小变大， 所以先变大，后变小，由图知：二面角恒为锐角， 故二面角先变小后变大，D正确. 故选：AD. 变式7-1．（多选）如图，在直三棱柱中，，，，是棱上的动点，则（    ）    A．平面平面 B．存在点，使 C．存在点，使点到平面的距离为 D．存在点，使直线与所成角的余弦值为 【答案】ACD 【详解】在直三棱柱中，因为平面，平面， ∴平面平面，故A正确； 连接，由平面，平面，得， 在中，当与重合时，， 又，故不存在点，使，故B错误； ∵平面平面，在平面内过作的垂线，垂足为， 则为点到平面的距离， 易知，故C正确； 如图，以，，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， 则，，，设（）， 则，，令 ， 整理得，解得（舍去），， 且，故D正确.    故选：ACD. 变式7-2．如图1，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝1，E是DC的中点，将沿AE折起，使得点D到达点P的位置，且PB＝PC，如图2所示．F是棱PB上的一点． (1)若F是棱PB的中点，求证：平面PAE； (2)是否存在点F，使得二面角的余弦值为？若存在，则求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【详解】（1）如下图，在上取中点，链接、.由题意知，，所以四边形为平行四边形，所以.又因为分别为中点，所以，且，在平面内，则平面平行于平面，而,则 （2）如下图，以为原点，为轴正向，为轴正方向，垂直平面于的为轴，建立空间直角坐标系. 由图可知，，设，，则，， 设平面的法向量为，则，令解得，即，平面的法向量设为，则，令，得，即. ①，根据题意，，则，又，即，得,代入上式，解得,将、代入①式，解得. ，故存在点. 变式7-3．已知矩形中，，，是的中点，如图所示，沿将翻折至，使得平面平面. (1)证明：； (2)若是否存在，使得与平面所成的角的正弦值是？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【详解】（1）依题意矩形，，，是中点， 所以， 又，所以，，， 因为平面平面，平面平面， 所以平面， 又平面，所以. （2） 以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系. 则，，，， 设是的中点， 因为，所以， 又平面平面，平面平面， 所以平面，， 假设存在满足题意的，则由. 可得，. 设平面的一个法向量为， 则，令，可得，，即， 设与平面所成的角为，所以 解得（舍去）， 综上，存在，使得与平面所成的角的正弦值为. 一、单选题 1．（2023-24高三上·四川成都·期中）已知M，N分别是正四面体中棱AD，BC的中点，若点E是棱CD的中点.则MN与AE所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】    由于两两夹角，可以作为空间基底.设正四面体的棱长为2. 则，同理. ， . 因此,． . 故.则MN与AE所成角的余弦值为. 故选：D. 2．（2023-24高二下·云南昭通·期中）在空间中，“经过点，法向量为的平面的方程（即平面上任意一点的坐标满足的关系式）为：".用此方法求得平面和平面的方程，化简后的结果为分别和，则这两平面所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】平面的法向量为，平面的法向量为，则，则两平面所成角的余弦值为， 故选：B. 3．（2023-24高二上·北京顺义·期末）在长方体中，，，，则点D到平面的距离为（    ） A．1 B．3 C． D． 【答案】D 【详解】由题意，以为原点，分别为轴所在直线建立如图所示的空间直角坐标系： 因为，，， 所以， 则， 不妨设平面的法向量为， 所以，不妨令，解得， 即取平面的法向量为， 所以点D到平面的距离为. 故选：D. 4．（2024·山东济南·三模）如图所示，正方体的棱长为1，点分别为的中点，则下列说法正确的是（    ） A．直线与直线垂直 B．直线与平面平行 C．三棱锥的体积为 D．直线BC与平面所成的角为 【答案】B 【详解】A选项：为正方体，所以，直线与直线不垂直，所以直线与直线不垂直，故A错误； 如图建立空间直角坐标系，则， 对于B，设平面的法向量为，则， 令，则， 因为，所以，所以， 因为在平面外，所以直线与平面平行，所以B正确， 对于C， ，所以三棱锥的体积为，所以C错误， 对于D，，直线BC与平面所成的角为，，所以D错误， 故选：B. 5．（2023-24高三下·湖南长沙·期中）三棱锥中，平面，，.，点是面内的动点（不含边界），，则异面直线与所成角的余弦值的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由平面平面，得， 又平面，则平面， 平面，则，又，平面， 因此平面，而平面，则， 如图，以为坐标原点，的方向为轴正方向建立空间直角坐标系， 则，设， ，由，得， ，设异面直线与所成角为， 则， 令，则， 显然函数在上单调递增，此时，， 所以异面直线与所成角的余弦值的取值范围为. 故选：A 【点睛】思路点睛：求空间角余弦的最值或范围问题，根据给定条件，选定变量，将该角的余弦建立起变量的函数，求出函数最值或范围即可. 二、多选题 6．（2023-24高二上·江苏·期中）设两条不同直线，的方向向量分别为，，两个不同平面，的法向量分别为，，下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，的夹角为，则 【答案】AB 【详解】对于，两条不同的直线，的方向向量分别为，，当时，，故选项正确； 对于，直线的方向向量为，平面的法向量为，当时，，故选项正确； 对于，当时，或，故选项错误； 对于，若，的夹角为，则或，故选项错误． 故选：． 7．（2023-24高二下·浙江·期末）已知长方体，则有（    ） A．若与所成的角分别为，则 B．若与面、面、面三侧面所成的角分别为，则 C．若，则 D．若，则． 【答案】ABC 【详解】 如图所示，以为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标， 设， 则， 则， 对于， 同理可得， 则，故A正确； 对于B，面、面、面的一个法向量分别为， 则， 同理可得，则，故B正确； 对于C，， 故，C正确； 由C选项分析可知，， 则，即； 同理，， 而显然，则，故D错误； 故选：ABC． 8．（2023-24高三上·贵州贵阳·期中）如图，在长方体中，，点为线段上动点（包括端点），则下列结论正确的是（    ）    A．当点为中点时，平面 B．当点为中点时，直线与直线所角的余弦值为 C．当点在线段上运动时，三棱锥的体积是定值 D．点到直线距离的最小值为 【答案】ACD 【详解】在长方体中，以点为原点建立如图所示的空间直角坐标系，    则，设， 对于A，，，，， ，即， 而平面，因此平面，A正确； 对于B，，，B错误； 对于C，由选项A知，点到平面的距离为，而的面积， 因此三棱锥的体积是定值，C正确； 对于D，，则点到直线的距离 ，当且仅当时取等号，D正确. 故选：ACD 三、填空题 9．（2023-24高二上·河北保定·期中）在空间直角坐标系中，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为 . 【答案】/0.2 【详解】依题意可得， 则， 故异面直线与所成角的余弦值为. 故答案为： 10．（2023-24高二下·全国·单元测试）如图，在长方体中，，以D为原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，若为线段的中点，则点到平面的距离为 ．    【答案】 【详解】如图可得, 设平面法向量为, 所以, 令,所以, 所以, 所以到平面的距离为. 故答案为：. 11．（2023-24高二上·浙江台州·期中）已知梯形如图1所示，其中，A为线段的中点，四边形为正方形，现沿进行折叠，使得平面⊥平面，得到如图2所示的几何体．已知当点F满足时，平面平面，则λ的值为 ．          图1                         图2 【答案】/ 【详解】如图，以A为坐标原点， 所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系， ∴ 则， 若是平面的一个法向量， 则 可得， 若是平面的一个法向量， 则可得 由平面平面，得， 即， 解得． 故答案为：. 四、解答题 12．（2023-24高三上·广西贵港·期中）如图，在正方体中，点分别在上，且.    (1)若，证明：平面. (2)求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明过程见解析 (2) 【详解】（1）因为，， 所以四边形为平行四边形，故，， 又，，故，， 又，， 故，所以四边形为平行四边形， 故， 因为平面，平面， 所以平面； （2）以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，    设正方体棱长为3，则， 可得， 设平面的法向量为，则， 令得，，故， 且平面的法向量为， 设平面与平面夹角的大小为， 则 所以平面与平面夹角的余弦值为. 13．（2024·山东·模拟预测）如图，在直三棱柱中，为棱上一点，且．    (1)证明：平面平面； (2)求二面角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）在直三棱柱中，平面， ∵平面， ∴， ∵， ∴， ∴， ，平面， ∴平面． 平面， ∴， ，平面， ∴平面． 又平面， 平面平面． （2）由（1）可知两两垂直， 如图，以点为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， 则．    设点， 则． ，解得． 设平面的法向量为， 则可取． 易知为平面的一个法向量． ， 故由图可知二面角的大小为． 14．（2023-24高三下·安徽黄山·阶段练习）如图，四棱锥中，底面为直角梯形，，，且，，，直线与平面所成的角为，，，分别是，的重心． (1)证明：平面平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）连延长交AB于E，连延长交AD于F，连延长交CD于G， 因为分别是，的重心， 所以，所以，            又平面平面，所以平面 同理平面，，    平面平面， 所以平面平面. （2）设点在底面的射影为，以为原点，轴，轴，如图建立空间直角坐标系， 因为，直线与平面的所成角为，即， 所以. 作，垂足，连接，由平面，平面， 又平面， 平面，又平面，. 又， 所以，，，， ， 设平面的一个法向量为 则，令，则， 设平面的一个法向量为， 则，∴，令，则， 设平面与平面夹角为， ∴， ∴平面与平面夹角的余弦值. 15．（2023-2024学年高三上学期摸底演练数学试题）在直三棱柱中，，，，G是的重心，点Q在线段AB（不包括两个端点）上．    (1)若Q为的中点，证明：平面； (2)若直线与平面所成的角正弦值为，求． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）连接并延长，交于点，则为的中点，连接， 因为为直三棱柱，所以平面平面，，， 又分别为的中点，所以，， 所以四边形为平行四边形，所以， 又因为平面平面，平面平面， 所以， 因为平面，平面，所以平面， 同理可得平面， 因为平面，且， 所以平面平面，又平面， 所以平面．    （2）以为原点，分别以所在直线为轴，建立如图空间直角坐标系， 设， 则，，， 所以， 由直三棱柱可得，为的中点， 所以，则， 设平面的一个法向量为， 由得，，取，则， 因为直线与平面所成的角正弦值为， 所以， 整理得，，解得或（不合题意舍）  ， 所以．    16．（2023-2024 广东汕头 期末）如图，在长方体中，，点在棱上移动.    (1)当点在棱的中点时，求平面与平面所成的夹角的余弦值； (2)当为何值时，直线与平面所成角的正弦值最小，并求出最小值. 【答案】(1) (2)当时，直线与平面所成角的正弦值最小，最小值为 【详解】（1）以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，    当点在棱的中点时，则， 则， 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 所以平面的一个法向量为， 又平面的一个法向量为， 所以， 所以平面与平面所成的夹角的余弦值为； （2）设， 则， 则，    设平面的一个法向量为， 则，令，则， 所以平面的一个法向量为， 设直线与平面所成的角为， 则， 令， 则， 当时，取得最小值，最小值为. 17．（2023-24高三上·江苏南通·期中）如图，在三棱柱中，平面，E，F，G分别是棱AB，BC，上的动点，且．      (1)求证：； (2)若平面与平面的夹角的余弦值为，求． 【答案】(1)证明过程见解析 (2) 【详解】（1）因为平面，平面， 所以，， 又，故两两垂直， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 因为，，设，， 所以， 则， 则， 故；    （2），则， 则， 则， 又，平面， 所以平面， 故为平面的一个法向量， 又平面的法向量为， 则平面与平面的夹角的余弦值为 ， 又平面与平面的夹角的余弦值为， 所以，解得，故. 18．（2023-24高三上·湖北·阶段练习）如图，直角梯形 ACDE 中， 、M 分别为AC、ED 边的中点，将△ABE 沿BE 边折起到△A'BE 的位置，N 为边A'C 的中点． (1)证明：MN∥平面A'BE； (2)当三棱锥的体积为，且二面角为锐二面角时，求平面 NBM 与平面BEDC 夹角的正切值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）取的中点，的中点，由题意知，， 直角梯形中，四边形为正方形， 为的中点， ， 四边形为平行四边形，， 平面，不在面内， 平面. （2）连接，则，以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系， ，面， 平面， ， ，， ，为等边三角形， 则， 设为平面的法向量，为平面的法向量， ，令 ，令， 设平面与平面的夹角为，由题可知为锐角， ， 平面与平面的夹角的正切值为. 19．（2023-24高三上·江苏扬州·期中）在四棱锥中，平面，底面为正方形，为线段的中点，为线段上的动点，． (1)证明：； (2)求实数的值，使得平面与平面所成角的余弦值最大． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）因为平面，又平面，所以， 又因为底面为正方形，所以， 又,平面,平面, 所以平面,又平面,所以, 又为线段的中点，所以, 又,平面,平面, 所以平面,又平面, 所以. （2）如图，分别以所在的直线为轴，建立空间直角坐标系 不妨设， 则，， ，设， 则，解得， 设平面的法向量为， 则， 所以，取，则，即， 设平面的法向量为， 则，令，故可取， 设平面与平面所成角为， 则， 令，则， 所以， 因为，当且仅当，即时取等号， 所以当时，即时，． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$