专题05 利用空间向量破解立几中的含参、最值与范围问题10大题型（期中专项训练·冲刺版）高二数学上学期人教A版

专题05 利用空间向量破解参数取值、范围与最值问题 题型1 基底求参 题型6 由空间向量共面定理求最值（重点） 题型2 三点共线求参（常考点） 题型7 动点数量积的最值或范围（常考点） 题型3 向量平行或垂直求参（重点） 题型8 线段长度最值或范围（常考点） 题型4 空间多点共面求参 题型9 空间角的最值或范围（重点） 题型5 由数量积运算求参（重点） 题型10 空间距离的最值或范围（难点） 题型一 基底求参（共3小题） 1．（26-27高二上·辽宁葫芦岛·阶段检测）已知，若三个向量不能构成空间的一个基底，则实数等于（    ） A．6 B．5 C． D． 2．（24-25高二上·福建福州·期中）若是空间的一个基底，且向量不能构成空间的一个基底，则（    ） A． B． C． D．0 3．（26-27高二上·宁夏银川·阶段检测）若是空间的一个基底，且向量，，不能构成空间的一个基底，则（     ） A． B． C． D． 题型二 三点共线求参（共2小题） 4．（26-27高二上·山西吕梁·阶段检测）已知三点，，共线，那么（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（25-26高二上·全国·课后作业）设向量不共面，已知，若三点共线，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型三 向量平行或垂直求参（共3小题） 6．（26-27高二上·河北·阶段检测）已知向量，，且，则（   ） A． B． C． D．3 7．（26-27高二上·河北沧州·阶段检测）在空间直角坐标系中，直线的方向向量为，平面的一个法向量为，若直线与平面平行，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 8．（25-26高二上·河北邯郸·期末）已知是不共面的空间向量，若与（是实数）是平行向量，则的值为（    ） A．16 B．-13 C．3 D．-3 题型四 空间多点共面求参（共3小题） 9．（26-27高二上·河北·阶段检测）已知空间中、、、四点共面，则（   ） A． B． C． D． 10．（25-26高一下·广东深圳·期末）已知三点不共线，点在平面外，点P满足，则当点共面时，实数（    ） A． B． C． D． 11．（24-25高一下·贵州贵阳·阶段练习）如图，在正四面体中，E为的中点，，，当时，四点共面，则（    ） A． B． C． D． 题型五 由数量积运算求参（共3小题） 12．（26-27高二上·云南昭通·阶段检测）已知空间向量，且的夹角为钝角，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 13．（26-27高二上·河北邯郸·阶段检测）已知，且，则（ ） A． B．1 C． D．2 14．（25-26高二下·江苏南京·期中）已知空间向量，，若在上的投影向量是，则的值为__________． 题型六 由空间向量共面定理求最值（共3小题） 15．（24-25高二上·广东广州·阶段练习）已知点D在确定的平面内，是平面外任意一点，满足，且，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 16．（23-24高二上·江苏盐城·期末）已知点在确定的平面内，是平面外任意一点，若正实数满足，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D．4 17．（24-25高二上·广东汕头·期中）已知空间5个点A，B，C，D，P，且A，B，C，D共面，若且，，则的最小值为 ． 题型七 动点数量积的最值或范围（共3小题） 18．（25-26高二下·福建龙岩·期中）设O为坐标原点，向量，，，点Q在直线OP上运动，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 19．（23-24高二下·河北唐山·期末）如图，长方体中，，点为线段上一点，则的最大值为__________. 20.（26-27高二上·河北邢台·阶段检测）在空间直角坐标系中，已知，，，，则点到平面的距离是_________．若空间中点满足，则的最大值是_________． 题型八 线段长度最值或范围（共3小题） 21．（26-27高二上·河北邢台·阶段检测）已知正方体的棱长为2，点满足，且，则的最小值是（     ） A． B． C． D． 22．（26-27高二上·河南·开学考试）在棱长为2的正方体中，点，分别为棱，的中点，为线段上的动点，则面积的最小值为________. 23．（26-27高二上·四川绵阳·阶段检测）在棱长为8的正方体中，E是棱上的一个动点，F为线段上的一个动点，则的最小值为______ 题型九 空间角的最值或范围（共3小题） 24．（26-27高二上·云南昭通·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，分别为的中点. (1)证明：. (2)已知二面角为是线段上的一个动点. ①若，求点到平面的距离； ②若在平面上的射影为，直线与平面所成的角为，求的最大值. 25．（26-27高二上·四川绵阳·阶段检测）如图，在直三棱柱中，，，，为棱的中点. (1)求点到平面的距离； (2)若点在上，且平面. ①求的值； ②设点为棱上的动点，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围 26．（25-26高二下·江苏南通·阶段检测）在平行四边形中，，，为上一点，且平分，将沿翻折至． (1)若平面平面． （i）求证：； （ii）设平面，若，求点到平面的距离； (2)试判断锐二面角是否存在最大角，若存在，求出其正弦值，若不存在，说明理由． 题型十 空间距离的最值或范围（共4小题） 27．（26-27高二上·福建厦门·阶段检测）如图，正方体的棱长为4，若在正方体内部且满足，则到直线的距离最小值为 （     ） A． B． C． D． 28．(多选)（25-26高二上·山东威海·阶段检测）正方体的棱长为，，，（，且）．下列结论正确的是（   ） A．的最小值为 B．若，则平面 C．若，，则四面体的体积为 D．点到直线的距离的最小值为 29．（26-27高二上·上海徐汇·阶段检测）如图，已知平面内的两条射线满足．直线将分成两个区域，记包括点的区域为（不含直线OB）．平面外有一动点，同时满足三个条件：①，②，③点在平面内的射影．记点到平面的距离为，点到直线的距离为． (1)若点在射线上，求的值； (2)若点不在的内部，求的最大值． 30．（26-27高二上·河南平顶山·阶段检测）如图，在直三棱柱中，，，为棱的中点，是棱上的异于端点的一点. (1)求证：； (2)若是棱的中点，求平面与平面的夹角的余弦值； (3)记点，到平面的距离分别为，，求的最小值. 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 利用空间向量破解参数取值、范围与最值问题 题型1 基底求参 题型6 由空间向量共面定理求最值（重点） 题型2 三点共线求参（常考点） 题型7 动点数量积的最值或范围（常考点） 题型3 向量平行或垂直求参（重点） 题型8 线段长度最值或范围（常考点） 题型4 空间多点共面求参 题型9 空间角的最值或范围（重点） 题型5 由数量积运算求参（重点） 题型10 空间距离的最值或范围（难点） 题型一 基底求参（共3小题） 1．（26-27高二上·辽宁葫芦岛·阶段检测）已知，若三个向量不能构成空间的一个基底，则实数等于（    ） A．6 B．5 C． D． 【答案】D 【详解】根据题意，得到存在实数使得，列出方程组，即可求解. 【分析】三个向量不能构成空间基底，即共面，即存在实数，使， 所以， 所以，解得. 2．（24-25高二上·福建福州·期中）若是空间的一个基底，且向量不能构成空间的一个基底，则（    ） A． B． C． D．0 【答案】A 【分析】由基底概念可知不共线，再由不能构成基底可得共面，由共面向量基本定理待定系数求解. 【详解】由题意，是空间的一个基底， ，所以不共线， 因为不能构成空间的一个基底，则共面， 所以存在使得， 即 所以，解得． 故选：A． 3．（26-27高二上·宁夏银川·阶段检测）若是空间的一个基底，且向量，，不能构成空间的一个基底，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用三个向量不能构成基底即它们共面的性质，将表示为和的线性关系，进而通过比较已知基底向量的对应系数列出方程组求解出. 【详解】因为和显然不共线， 因此必然存在实数，使得， 即， 即， 所以有，联立，解得， 代入，即. 题型二 三点共线求参（共2小题） 4．（26-27高二上·山西吕梁·阶段检测）已知三点，，共线，那么（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】由题意知，，结合三点共线，则， 所以，可得，故. 5．（25-26高二上·全国·课后作业）设向量不共面，已知，若三点共线，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】利用三点共线得到，再使用共线向量定理即可. 【详解】因为三点共线，所以，则存在实数，使得， 由已知得 故 由于不共面，故解得 另解:因为向量不共面，所以， 由已知得 故向量表达式中的系数对应成比例，即，解得． 故选：C. 题型三 向量平行或垂直求参（共3小题） 6．（26-27高二上·河北·阶段检测）已知向量，，且，则（   ） A． B． C． D．3 【答案】A 【详解】由，可得， 因为，则，即，解得． 7．（26-27高二上·河北沧州·阶段检测）在空间直角坐标系中，直线的方向向量为，平面的一个法向量为，若直线与平面平行，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】利用直线与平面平行时，其方向向量与平面法向量垂直，数量积为0的性质列方程求解. 【详解】若直线与平面平行，则直线的方向向量与平面的一个法向量垂直， 则， 所以. 8．（25-26高二上·河北邯郸·期末）已知是不共面的空间向量，若与（是实数）是平行向量，则的值为（    ） A．16 B．-13 C．3 D．-3 【答案】C 【分析】根据，结合，列出方程组，求解即可. 【详解】因为是不共面的空间向量且， 故，则， 解得，所以. 故选：C. 题型四 空间多点共面求参（共3小题） 9．（26-27高二上·河北·阶段检测）已知空间中、、、四点共面，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可得，，， 因为、、、四点共面，且、不共线，设， 即， 所以，解得. 10．（25-26高一下·广东深圳·期末）已知三点不共线，点在平面外，点P满足，则当点共面时，实数（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，利用空间向量的共面定理，列出方程，即可求解. 【详解】由点四点共面，且， 根据共面向量的基本定理，可得，解得． 11．（24-25高一下·贵州贵阳·阶段练习）如图，在正四面体中，E为的中点，，，当时，四点共面，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由四点共面可得，，运用空间向量的线性运算得到，代入，根据系数对应相等列方程组即可得到答案. 【详解】因为四点共面，所以存在唯一的，使得. 因为，所以， 因为E为的中点，， 所以，， 所以， ， ， 代入，得， 所以，解得. 故选：B． 题型五 由数量积运算求参（共3小题） 12．（26-27高二上·云南昭通·阶段检测）已知空间向量，且的夹角为钝角，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为的夹角为钝角,故， 又不共线，当共线时，，所以的取值范围是. 13．（26-27高二上·河北邯郸·阶段检测）已知，且，则（ ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【详解】，而，故，故. 14．（25-26高二下·江苏南京·期中）已知空间向量，，若在上的投影向量是，则的值为__________． 【答案】 【分析】根据向量投影向量的计算公式，结合已知条件列出关于的方程，求解的值. 【详解】，， ， ， 在上的投影向量为， 所以，. 题型六 由空间向量共面定理求最值（共3小题） 15．（24-25高二上·广东广州·阶段练习）已知点D在确定的平面内，是平面外任意一点，满足，且，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由四点共面可知，结合基本不等式的乘“1”法即可求解. 【详解】, 因为四点共面，所以， 注意到，从而. 当且仅当时等号成立， 所以的最小值为. 故选：B. 16．（23-24高二上·江苏盐城·期末）已知点在确定的平面内，是平面外任意一点，若正实数满足，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【分析】由四点共面可得，再由“1”的技巧及均值不等式求解. 【详解】由四点共面，可知，即， 由， ，当且仅当，即时等号成立， 故选：B 17．（24-25高二上·广东汕头·期中）已知空间5个点A，B，C，D，P，且A，B，C，D共面，若且，，则的最小值为 ． 【答案】12 【分析】首先根据空间共面向量定理的推论得到与的关系式，然后根据均值不等式“1”的代换求解的最小值即可. 【详解】已知，，，四点共面， 若满足，且，， 则根据空间共面向量定理推论可知：，即：. 由于，，则， 当且仅当，即，时等号成立. 因此的最小值为. 故答案为： 题型七 动点数量积的最值或范围（共3小题） 18．（25-26高二下·福建龙岩·期中）设O为坐标原点，向量，，，点Q在直线OP上运动，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间向量共线定理即可表示出，进而再求的坐标即可运算. 【详解】∵，点Q在直线OP上运动， ∴可设. 又向量，， ∴，， 则. 易得当时，取得最小值. 故选：B. 19．（23-24高二下·河北唐山·期末）如图，长方体中，，点为线段上一点，则的最大值为__________. 【答案】3 【分析】建立空间直角坐标系，设，利用向量数量积的坐标运算得关于的函数，再求解函数最值即可. 【详解】以为坐标原点，分别以为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 设， 则， ， 则， 因为，所以当时，取最大值，最大值为3. 故答案为：3. 20.（26-27高二上·河北邢台·阶段检测）在空间直角坐标系中，已知，，，，则点到平面的距离是_________．若空间中点满足，则的最大值是_________． 【答案】 / 【分析】求出平面的法向量，根据点到平面的距离公式即可求出点到平面的距离；设出点坐标，求出的中点，的中点，根据求出点的轨迹，再根据，求出的最大值即可得解. 【详解】①，，. 设平面的法向量为， 则，即，令，则，所以. 所以点到平面的距离为. ②设，由题意得的中点，的中点， ， 又，则， 即点在以为球心，半径的球面上. 同理，， 又， 则， ， 故， 所以的最大值为. 题型八 线段长度最值或范围（共3小题） 21．（26-27高二上·河北邢台·阶段检测）已知正方体的棱长为2，点满足，且，则的最小值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】法一：由向量共面定理得四点共面，所以本题转化为求点到平面距离，这个距离即的最小值，建立空间坐标系用点到平面的距离公式计算可得.法二：用等体积法求三棱锥底面上的高. 【详解】，由得， 四点共面. 的最小值即求点到平面距离. 法一：以为原点建立坐标系如图: , 设平面的法向量为 ，，取得 . 法二：由正方体的棱长为2， 所以三棱锥是边长为的正四面体. 的最小值也就是三棱锥以为底面上的高. 因为， 由， 所以，得. 22．（26-27高二上·河南·开学考试）在棱长为2的正方体中，点，分别为棱，的中点，为线段上的动点，则面积的最小值为________. 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量求得点到直线距离的最小值，进而得到面积的最小值． 【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 由于正方体的棱长为2，故， 由为线段上的动点，可设， 又，得，所以点的坐标为， 的面积可表示为，其中为定值，为点到直线的距离， 因此的面积最小等价于最小， 因为， ，， 所以，， ， ， 所以， 因为，所以， 所以． 23．（26-27高二上·四川绵阳·阶段检测）在棱长为8的正方体中，E是棱上的一个动点，F为线段上的一个动点，则的最小值为______ 【答案】 【分析】建系，设出点E坐标和向量的坐标，进而求出点F的坐标，利用两点间的距离公式可得的长度，进而求出的最小值. 【详解】以为坐标原点建立空间直角坐标系，则， 可得， 设，， 设，， 则，即， 可得， 当，即时，取到最小值． 题型九 空间角的最值或范围（共3小题） 24．（26-27高二上·云南昭通·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，分别为的中点. (1)证明：. (2)已知二面角为是线段上的一个动点. ①若，求点到平面的距离； ②若在平面上的射影为，直线与平面所成的角为，求的最大值. 【答案】(1)因为，是的中点，所以， 因为是正方形，为的中点，所以， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以； (2)①；② 【分析】（1）求证平面即可； （2）①以为原点建系，计算平面的法向量，再利用距离公式计算； ②设，得出，结合得出，再利用公式求出线面角即可. 【详解】（1）略 （2）①以为原点，所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 因为二面角为，，，所以， 因为，，所以， 则， 则， 设平面的法向量为， 则，令，所以， 因为，所以，则， 则点到平面的距离为； ②设， 则， 因为在平面上的射影为，所以， 则，得，则， 设，其中，则， 则， 则， 若，则； 若，则， 因为，所以，则当时，有最大值， 故的最大值为. 25．（26-27高二上·四川绵阳·阶段检测）如图，在直三棱柱中，，，，为棱的中点. (1)求点到平面的距离； (2)若点在上，且平面. ①求的值； ②设点为棱上的动点，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围 【答案】(1) (2)①；②. 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量求点到平面的距离. （2）①借助空间向量，利用与平面的法向量垂直，求的值； ②利用空间向量求直线与平面所成角的正弦的取值范围. 【详解】（1）在直三棱柱中，，，两两垂直， 以为空间直角坐标原点，以，，方向分别为，，轴的正方向，建立空间直角坐标系. ，，，， 则，， 设平面的法向量为， 则，则有， 令，可得， 又，所以点到平面的距离为， 所以，点到平面的距离为. （2）①，，则， 设， 则， 因为平面， 所以，，即 ， 得， 所以，得，所以. ②因为，，点为棱上的动点， 可设点的坐标为. 又，，， 所以，. 设平面的法向量为， 则，令，则. 又，设直线与平面所成角为， 则. 当时，； 当时，，当，取得最大值. 综上. 即直线与平面所成角的正弦值的取值范围为. 26．（25-26高二下·江苏南通·阶段检测）在平行四边形中，，，为上一点，且平分，将沿翻折至． (1)若平面平面． （i）求证：； （ii）设平面，若，求点到平面的距离； (2)试判断锐二面角是否存在最大角，若存在，求出其正弦值，若不存在，说明理由． 【答案】(1)（i）因为，， 在中，由余弦定理，，, 所以，即，所以. 因为平面平面，平面平面， 平面，， 所以平面． 因为平面，所以； （ii） (2)存在，正弦值最大值为 【分析】（1）（i）由平面平面，得 平面，推出； （ii）方法1（坐标法）：建系写出所有点坐标，求出平面的法向量，利用点到平面距离公式算出距离；方法2（等体积法）：，分别求出底面面积、高，解方程得到点到平面距离； （2）求出锐二面角的正弦值的最大值为，由正弦函数的单调性知角存在最大角. 【详解】（1）（i）略； （ii）设，连接， 因为，平面，平面， 所以． 因为平分，所以， 所以，， 由（1）知，，，，平面． 法1： 以为原点，，及垂直平面所在的直线分别为轴、轴、轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 因为，，， 设平面（即）的一个法向量为， 所以，即，令，则，， 所以， 设到平面的距离是， 所以， 所以点到平面的距离是； 法2： 由，得， 所以的面积为． 由（1）知平面，平面，所以． 又,平面，所以平面， 因为平面，所以， 所以，即； 在中，由余弦定理得，所以， 设到平面的距离为， 因为，所以， 所以，所以点到平面的距离是； （2）以为原点，，及垂直平面所在的直线分别为轴、轴、轴， 建立如图所示的空间直角坐标系． 因为，设， 因为，， 所以，， 设平面的一个法向量为， 则，所以， 解得，令，则， 所以， 又因为，， 设平面的一个法向量为， 所以，所以， 得， 所以， 令，则， 所以， 设， 因为，， 所以当，即时，取得最小值， 所以， 设锐二面角的大小为， 因为，所以， 所以锐二面角的正弦值的最大值为，由正弦函数的单调性知角存在最大角. 题型十 空间距离的最值或范围（共4小题） 27．（26-27高二上·福建厦门·阶段检测）如图，正方体的棱长为4，若在正方体内部且满足，则到直线的距离最小值为 （     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系,利用空间向量及配方法求解即可. 【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系： 则, 所以，，, 所以， 所以， 又因为在正方体内部， 所以， 又因为，, 所以 设到直线的距离为， 则 ， 所以当时，取最小值，为， 所以到直线的距离最小值为. 28．(多选)（25-26高二上·山东威海·阶段检测）正方体的棱长为，，，（，且）．下列结论正确的是（   ） A．的最小值为 B．若，则平面 C．若，，则四面体的体积为 D．点到直线的距离的最小值为 【答案】BCD 【分析】通过建立空间直角坐标系，将几何问题代数化，利用空间向量的坐标运算，分别求出各点的坐标，再结合空间距离公式、线面平行判定、体积计算以及点到直线距离公式，对各个选项进行逐一验证. 【详解】以为原点，分别以、、的方向为轴、轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示， 已知正方体的棱长为，根据正方体的结构，各顶点的坐标如下： ，，，，，，，， 由，可知是线段的中点， 因为，，所以， 由，且，已知，，则，所以， 设，则，故， 由，且，已知，， 所以，即，说明点在底面正方形 内（不含原点 ）， 对于 A，点，点，点在平面（即平面）上， 要求的最小值，可将其转化为求空间中一点到两定点的距离之和， 由于在的平面上，我们可以找关于平面的对称点，关于平面的对称点为，此时， 所以，当且仅当三点共线，且交点落在正方形内部及边界（不含）时，取得最小值， 计算的长度，，， 此时，直线的方程参数化为，令，得，此时，，即交点， 此时，满足 且，所以该点是可行的，因此，的最小值为，故A错误； 对于B，已知，，，计算平面内的两个向量，， 设平面的法向量为，则有， 令，则，，所以平面的一个法向量， 由题意，，若，则，， 这说明，即直线平行于平面或在平面内， 平面过点，法向量为，其平面方程为， 将代入，所以点不在平面内，因此平面，故B正确； 对于 C，当时，， 已知，，， 观察点的坐标，它们都满足（即都在平面内），所以在平面上， 由于，，沿轴方向，长度为，点到直线（即直线在平面上）的距离， 就是的坐标与的坐标之差的绝对值，即，所以， 点到平面的距离，四面体体积， 故C正确； 对于D，已知，，直线经过和， 方向向量，单位方向向量 ， 向量， ， 点到直线的距离，其中是向量在方向上的投影长， 投影长， 距离， 当时，距离，即点到直线的距离的最小值为，故D正确. 29．（26-27高二上·上海徐汇·阶段检测）如图，已知平面内的两条射线满足．直线将分成两个区域，记包括点的区域为（不含直线OB）．平面外有一动点，同时满足三个条件：①，②，③点在平面内的射影．记点到平面的距离为，点到直线的距离为． (1)若点在射线上，求的值； (2)若点不在的内部，求的最大值． 【答案】(1) (2)5 【分析】（1）以为原点，射线为轴正方向建立空间直角坐标系，设，根据题设条件求得，再利用空间向量法求得，代入计算即可； （2）根据将化为，再利用柯西不等式求得的最小值即可． 【详解】（1）如图，以为原点，射线为轴正方向建立空间直角坐标系， 设，则，， 射线的单位方向向量，射线的单位方向向量， 由得， 由得，即，故， 由得，由在射线上得， 因此，故， 又，， 故． （2）由（1）得， 注意到， 上式是因为， 故，故， 当时等号成立，此时确实不在的内部， 因此的最大值为5． 30．（26-27高二上·河南平顶山·阶段检测）如图，在直三棱柱中，，，为棱的中点，是棱上的异于端点的一点. (1)求证：； (2)若是棱的中点，求平面与平面的夹角的余弦值； (3)记点，到平面的距离分别为，，求的最小值. 【答案】(1)取和的中点和，连接， 则，因为，可得， 在直三棱柱中，可得底面，且底面， 所以，所以，可得， 又因为，且，可得， 以为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，可得， 因为为的中点，所以 ， 所以， 可得， 所以，所以. (2) (3) 【分析】（1）取的中点，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得向量和，结合，即可证得； （2）分别求得平面和平面的法向量和，结合向量的夹角公式，即可求解； （3）设，求得平面的法向量为，结合向量的距离公式，求得，结合基本不等式，即可求解. 【详解】（1）略 （2）因为是棱的中点，可得，所以， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 又由， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 设平面与平面的夹角为， 可得， 所以平面与平面的夹角的余弦值. （3）因为是棱上的异于端点的一点，令，其中， 由，可得，所以点， 即平面的三点为， 可得， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 又由， 则点到平面的距离为，则 点到平面的距离为，则， 所以 ， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为. 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $