精品解析：2024年浙江省杭州高级中学（贡院校区）分班考九年级数学试题

数学 考生须知： 1．本试卷分试题卷和答题卷两部分．满分120分，考试时间100分钟． 2．答题时，请在答题卷指定位置内写明姓名、试场号、座位号． 3．所有答案都必须做在答题卷标定的位置上，请务必注意试题序号和答题序号相对应． 4．考试过程中，不得使用计算器； 5．考试结束后，上交试题卷、答题卷． 一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分） 1. 如图直线y＝mx与双曲线y=交于点A、B，过A作AM⊥x轴于M点，连接BM，若S△AMB＝2，则k的值是(　　) A 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. △ABC中，已知BD和CE分别是两边上中线，并且BD⊥CE，BD=4，CE=6，那么ABC的面积等于（ ） A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 3. 若：，，，则：代数式的值等于（　　） A. B. C. D. 4. 已知实数，且满足，则的值为（ ） A. 23 B. C. D. 5. 如图，值等于（ ） A. 360° B. 450° C. 540° D. 720° 6. 将一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷两次，记第一次掷出的点数为，第二次掷出的点数为，则使关于的方程组 只有正数解的概率为（ ）． A B. C. D. 7. 如图，正方形内接于，点在劣弧上，连接，交于点．若，则的值为（　　） A. B. C. D. 8. 某校初三两个毕业班的学生和教师共100人一起在台阶上拍毕业照留念，摄影师要将其排列成前多后少的梯形队阵（排数），且要求各行的人数必须是连续的自然数，这样才能使后一排的人均站在前一排两人间的空当处，那么，满足上述要求排法的方案有（ ）． A. 1种 B. 2种 C. 4种 D. 0种 二、填空题（本大题有10个小题，每小题4分，共40分） 9. 在中，，若斜边是直角边的3倍，则的值是______． 10. 如图，在中，，，，则______. 11. 已知非零实数a、b满足，则a+b等于_______． 12. 如图，等腰为上一点，以为斜边作等腰，连接，若，则的长为________________． 13. 时，函数最小值为，则实数的值为________． 14. 如图，正方形ABCD的边长为（+1），点M、N分别是边BC、AC上的动点，沿MN所在直线折叠正方形，使点C的对应点C'始终落在边AB上，若△NAC'为直角三角形，则CN的长为______． 15. 已知实数、、、满足，，则________． 16. 实数，，满足，，则的最大值是______． 17. 已知对任意正整数都有，则___________． 18. 已知，，，，是满足条件的五个不同的整数，若是关于的方程的整数根，则的值为______． 三、解答题：本大题有5小题，共56分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 如图，一次函数与反比例函数的图像交于，两点． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）过点作轴，垂足为，连接，求的面积． 20. 解关于的不等式． 21. 已知关于x的方程有实根． （1）求取值范围； （2）若原方程的两个实数根为，且，求的值． 22. 如图，⊙O的内接四边形ABCD中，AC，BD是它的对角线，AC的中点I是△ABD的内心．求证： （1）OI是△IBD的外接圆的切线； （2）AB+AD＝2BD． 23. 个正整数满足如下条件：且中任意个不同的数的算术平均数都是正整数．求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学 考生须知： 1．本试卷分试题卷和答题卷两部分．满分120分，考试时间100分钟． 2．答题时，请在答题卷指定位置内写明姓名、试场号、座位号． 3．所有答案都必须做在答题卷标定的位置上，请务必注意试题序号和答题序号相对应． 4．考试过程中，不得使用计算器； 5．考试结束后，上交试题卷、答题卷． 一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分） 1. 如图直线y＝mx与双曲线y=交于点A、B，过A作AM⊥x轴于M点，连接BM，若S△AMB＝2，则k的值是(　　) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】此题可根据反比例函数图象的对称性得到A、B两点关于原点对称，再由S△ABM=2S△AOM并结合反比例函数系数k的几何意义得到k的值． 【详解】根据双曲线的对称性可得：OA=OB,则S△ABM＝2S△AOM＝2，S△AOM＝|k|＝1， 则k＝±2．又由于反比例函数图象位于一三象限，k＞0，所以k＝2． 故选B． 【点睛】本题主要考查了反比例函数y＝中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点． 2. △ABC中，已知BD和CE分别是两边上的中线，并且BD⊥CE，BD=4，CE=6，那么ABC的面积等于（ ） A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】连接ED，根据BD和CE分别是两边上的中线，并且BD⊥CE，BD=4，CE=6，先求出S四边形BCDE=BD·CE=12．然后利用D，E是△ABC两边中点连线即可求得答案． 【详解】解：如图，连接ED， 则S四边形BCDE=DB·EH+BD·CH=DB（EH+CH）=BD·CE=12． 又∵CE是△ABC中线 ∴S△ACE=S△BCE， ∵D为AC中点， ∴S△ADE=S△EDC， ∴S△ABC=S四边形BCDE=×12=16． 故选C． 【点睛】此题考查学生对三角形面积的理解和掌握，解答此题的关键是连接ED，求出S四边形BCDE． 3. 若：，，，则：代数式的值等于（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据题意，联立方程组，得出，用字母表示出、的值，然后把、的值代入代数式，计算即可得出结果． 【详解】解：∵，， ∴， 由，可得：， 把代入，可得：， 又∵， ∴ ． 故选：D 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法、分式的化简求值，解本题的关键在根据已知二元一次方程组进行消元，将分式中的三个未知数化成只含一个未知数的式子表示． 4. 已知实数，且满足，则值为（ ） A. 23 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得是方程即的两个根，根据根与系数的关系可得，整理可得，，即得，，然后把所求的式子变形后整体代入即可求解. 【详解】解：∵，且满足， ∴是方程即的两个根， ∴， 整理，得，， ∴，， ∴； 故选：B. 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，二次根式的化简求值，由题意得出，，是解题的关键． 5. 如图，的值等于（ ） A. 360° B. 450° C. 540° D. 720° 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理和多边形的内角和定理，利用四边形的内角和得到，，从而有，，然后利用三角形的内角和求的度数． 【详解】解：如图，连接， ∵，， ∴， 即， ∵， ∴， 故选：C． 6. 将一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷两次，记第一次掷出的点数为，第二次掷出的点数为，则使关于的方程组 只有正数解的概率为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】列举出所有情况，看所求的情况占总情况的多少即可． 【详解】解：当2a-b=0时，方程组无解； 当2a-b≠0时，由a、b的实际意义为1，2，3，4，5，6易知a，b都为大于0的整数， 则两式联合求解可得， ∵使x、y都大于0则有， 解得a＜1.5，b＞3或者a＞1.5，b＜3，而a，b都为1到6的整数， 所以可知当a为1时b只能是4，5，6；或者a为2，3，4，5，6时b为1或2， 这两种情况的总出现可能有3+10=13种； 又掷两次骰子出现的基本事件共6×6=36种情况，故所求概率， 故选D． 【点睛】难点是：当方程组相同未知数的系数之比相等，但与常数项之比不相等时，方程组无解，关键是得到使方程组为正整数的解的个数．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 7. 如图，正方形内接于，点在劣弧上，连接，交于点．若，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接，，由得，设，根据条件求得，设，则，，即可表示出所求比值． 【详解】解：连接，． ， ， 设， ， ， ． ， 设，则， ． 故选：D． 【点睛】本题考查了圆周角定理及正方形性质．熟记并灵活应用定理是解题的关键． 8. 某校初三两个毕业班的学生和教师共100人一起在台阶上拍毕业照留念，摄影师要将其排列成前多后少的梯形队阵（排数），且要求各行的人数必须是连续的自然数，这样才能使后一排的人均站在前一排两人间的空当处，那么，满足上述要求排法的方案有（ ）． A. 1种 B. 2种 C. 4种 D. 0种 【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】选B．理由：设最后一排有k个人，共有n排，那么从后往前各排的人数分别为，由题意可知， 即． 因为k，n都是正整数，且，所以，且n与的奇偶性不同． 将200分解质因数，可知或． 当时，；当时，． 因此共有两种不同方案． 二、填空题（本大题有10个小题，每小题4分，共40分） 9. 在中，，若斜边是直角边的3倍，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据勾股定理求出AC，根据正切的概念计算即可． 【详解】解：在中，，设BC=x，则AB=3x， 则 故答案为： 【点睛】本题考查的是锐角三角函数的定义以及勾股定理的应用，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边． 10. 如图，在中，，，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】设，，则有与，联立方程解方程组即可 【详解】依题意，设，， ，①，② 由得2，∴. 【点睛】本题主要考查三角形外角的性质，在复杂图形中找三角形的外角与不相邻的两内角是解题关键 11. 已知非零实数a、b满足，则a+b等于_______． 【答案】1 【解析】 【分析】根据题意可得a≥3，化简原式得，根据非负数的性质先求出a，b的值，从而求得a+b的值． 【详解】解∶根据题意得∶a≥3， ∴， ∴原等式可化为 即， ∴b+2=0且， ∴a=3，b=﹣2， ∴a+b=1． 故答案为1． 【点睛】本题考查了算术平方根的非负性，绝对值的非负性、偶次方都是非负数，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 12. 如图，等腰为上一点，以为斜边作等腰，连接，若，则的长为________________． 【答案】 【解析】 【分析】由等腰直角三角形的性质得出∠B=∠ACB=45°，BCABAC，得出AB=AC=1，由直角三角形的性质得出ACAE=1，CE=2AE，得出AE，CE，BE=AB﹣AE=1，证出∠BCE=∠ACD，，得出△BCE∽△ACD，得出比例式，即可得出结果． 【详解】∵等腰Rt△ABC，∠BAC=90°，BC， ∴∠B=∠ACB=45°，BCABAC， ∴AB=AC=1． ∵∠ACE=30°， ∴ACAE=1，CE=2AE， ∴AE，CE， ∴BE=AB﹣AE=1． ∵△CDE是等腰直角三角形， ∴∠DCE=45°，CECD， ∴∠BCE=∠ACD，， ∴△BCE∽△ACD， ∴， ∴AD． 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质；熟练掌握等腰直角三角形的性质，证明三角形相似是解答本题的关键． 13. 时，函数的最小值为，则实数的值为________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的最值，化顶点式，解题的关键是利用分类讨论的思想解决问题。利用函数解析式得到对称轴，根据题意分以下三种情况①当时，函数在处取得最小值，②当时，函数在处取得最小值，③当时，函数在处取得最小值，建立等式求解，即可解题． 【详解】解：， ， 函数在对称轴处取得最小值为， 时，函数的最小值为， ①当时，函数在处取得最小值， 有， ②当时，函数在处取得最小值， 有， 整理得， 解得或（均不符合题意舍去）， ③当时，函数在处取得最小值， 有， 解得． 综上所述，或． 故答案为：或． 14. 如图，正方形ABCD的边长为（+1），点M、N分别是边BC、AC上的动点，沿MN所在直线折叠正方形，使点C的对应点C'始终落在边AB上，若△NAC'为直角三角形，则CN的长为______． 【答案】或 【解析】 【分析】由正方形的性质可得AC= ，∠CAB=45°，∠NC'A=90°和∠C'NA=90°两种情况讨论，由折叠的性质，可求CN的长． 【详解】解：∵正方形ABCD边长为（+1）， ∴AC=×（+1）=2+，AB=+1，∠CAB=45° 若∠C'NA=90°， ∴∠AC'N=∠CAB=45° ∴AN=NC'， ∵折叠 ∴CN=C'N ∴CN=AN= 若∠NC'A=90° ∴∠ANC'=∠CAB=45° ∴NC'=AC' ∴AN=AC'=C'N ∵折叠 ∴CN=C'N ∵AC=CN+AN=CN+CN=2+ ∴CN= 故答案为或 【点睛】本题考查了翻折变换，正方形的性质，勾股定理，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键． 15. 已知实数、、、满足，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算，以及代数式求值，根据题意得到，再将变形为，将，代入上式4求解，即可解题． 【详解】解：实数、、、满足， ， ， ， ． 故答案为：． 16. 实数，，满足，，则的最大值是______． 【答案】 【解析】 【分析】把x，y看成是一元二次方程的两个实数根，根据根与系数的关系列出一元二次方程，然后由判别式得到z的取值范围，求出z的最大值． 【详解】解：∵x＋y＝5−z，xy＝3−z(x＋y)＝3−z(5−z)＝z2−5z＋3， ∴x、y是关于t的一元二次方程t2−(5−z)t＋z2−5z＋3＝0的两实根． ∵△＝(5−z)2−4(z2−5z＋3)≥0，即3z2−10z−13≤0， (3z−13)(z＋1)≤0． ∴−1≤z≤， 当 x＝y＝时，z＝． 故z的最大值为 ． 故答案为：． 【点睛】本题考查是一元二次方程根与系数的关系，根据根与系数的关系列出一元二次方程，然后由判别式求出z的取值范围，确定z的最大值． 17. 已知对任意正整数都有，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】 【详解】，则 ， 所以原式 ． 故答案为：． 18. 已知，，，，是满足条件的五个不同的整数，若是关于的方程的整数根，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是方程的整数根问题，根据已知条件可知，，，，是五个不同的整数，再把分解成五个整数积的形式，再把，，，，五个整数相加可得它们的和，最后把代入计算即可求解，根据题意把分解成几个整数积的形式是解题的关键． 【详解】解：∵是关于的方程的整数根， ∴， ∵，且，，，，是五个不同的整数， ∴，，，，也是五个不同的整数， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题：本大题有5小题，共56分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 如图，一次函数与反比例函数的图像交于，两点． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）过点作轴，垂足为，连接，求的面积． 【答案】（1）； （2）5 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，用待定系数法求一次函数、反比例函数的解析式，三角形的面积的应用； （1）把的坐标代入反比例函数的解析式，求出其解析式，把的坐标代入反比例函数的解析式，求出的坐标，把、的坐标代入一次函数的解析式，得出方程组，求出方程组的解即可； （2）求出，边上的高是，代入三角形的面积公式即可． 【小问1详解】 解：∵点）在的图像上， ∴， ∴反比例函数的解析式为：， ∴ ∴ ∵点，在的图像上， ∴， ∴， ∴一次函数的解析式为：； 【小问2详解】 以为底，则边上的高为， ∴， 20. 解关于的不等式． 【答案】当时，或，当时，． 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式的运用，解一元一次不等式组，解题的关键在于利用分类讨论的思想解决问题．根据不等式得到，利用同号为正推出或，再根据当时，以及当时，求解不等式组，即可解题． 【详解】解： 或， 当时， 解得， 或解得； 当时， 无解， 或解得； 综上所述，当时，或，当时，． 21. 已知关于x的方程有实根． （1）求取值范围； （2）若原方程的两个实数根为，且，求的值． 【答案】（1），且． （2） 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系及根的判别式，关键是掌握根与系数之间的关系及根的判别式进行解题． （1）设，分两种情况讨论，①方程一元一次方程，②方程为二元一次方程，那么有， 根据即可求解； （2）设，，根据根与系数的关系即可求解． 【小问1详解】 解：设，则，原方程化为：， ①当方程为一次方程时，即， ， 若，方程为，即， 解得，满足条件； 若，方程为，即， 解得，满足条件； ∴当时，原方程有实数根； ②当方程为二次方程时，，则， 要使方程有解， 则， 解得：， 又∵， 当时，， 解得：， ∵， ∴当，且时，原方程有实数根， 综上，a的取值范围为，且． 【小问2详解】 解：设，， 则是方程的两个实数根， 由根与系数的关系得：， ∵， ∴， 解得：，， 由（1）可知，为，且， ∵， ∴． 22. 如图，⊙O的内接四边形ABCD中，AC，BD是它的对角线，AC的中点I是△ABD的内心．求证： （1）OI是△IBD的外接圆的切线； （2）AB+AD＝2BD． 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据三角形内心的性质和同弧上圆周角的性质，以及等角对等边即可证得C是△IBD的外心，然后证得OI⊥CI，即可证得OI是△IBD的外接圆的切线； （2）根据（1）可以得到AI=CD，AB=2BF，即可证得． 【详解】(1)∵∠CID=∠IAD+∠IDA，∠CDI=∠CDB+∠BDI=∠BAC+∠IDA=∠IAD+∠IDA ∴∠CID=∠CDI， ∴CI=CD． 同理，CI=CB． 故点C是△IBD的外心． 连接OA，OC， ∵I是AC的中点，且OA=OC， ∴OI⊥AC，即OI⊥CI． ∴OI是△IBD外接圆的切线． (2)由(1)可得： ∵AC的中点I是△ABD的内心， ∴∠BAC=∠CAD ∴∠BDC=∠DAC=∠BAC， 又∵∠ACD=∠DCF， ∴△ADC∽△DFC， ∴， ∵AC=2CI ∴AC=2CD ∴AD=2DF 同理可得：AB=2BF ∴AB+AD=2BF+2DF=2BD． 【点睛】本题考查了圆的切线的证明，以及三角形的内心的计算，证得C是△IBD的外心是关键． 23. 个正整数满足如下条件：且中任意个不同的数的算术平均数都是正整数．求的最大值． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查数的整除性问题，难度较大，在解答时要抓住中任意个不同的数的算术平均数都是正整数这个条件进行解答． 设中去掉后剩下个数的算术平均数为正整数，从而可推出能整除，然后根据，可得出n的范围，从而结合题意可得出n的值． 【详解】解：设中去掉后剩下的个数的算术平均数为正整数， ，即 于是，对于任意的，都有， 从而整除， 由于是正整数， 故整除， 由于， 所以， 于是， 结合整除， 所以， 另一方面， 令，，，，， 则这9个数满足题设要求， 综上所述，n的最大值为9． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $