专题01 分式（8大基础题+2大提升题）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学上学期期中真题分类汇编（湖南专用）

专题01 分式 分式的定义 1．（23-24八年级上·山东烟台·期中）下列各式，，，，，中，属于分式的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．（23-24八年级上·湖南郴州·期中）在中，分式有（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．（23-24九年级上·贵州贵阳·期中）已知时，分式无意义，则□所表示的代数式是（    ） A． B． C．x D．2x 4．（23-24八年级上·河北唐山·期中）若分式的值为负数，则x的取值范围是（    ） A．x为任意数 B． C． D． 5．（23-24八年级上·湖南怀化·期中）当x 时，分式有意义． 6．（23-24八年级下·河南周口·期末）若分式的值为0，则 ． 7．（23-24七年级上·上海青浦·期中）已知时，分式无意义，时，此分式值为，则 ． 8．（23-24八年级上·湖南郴州·期中）当x 时，分式值为0． 分式的基本性质的应用 1．（23-24八年级上·山东烟台·期中）如果把分式中的，都扩大到原来的10倍，那么分式的值（   ） A．扩大到原来的10倍 B．缩小到原来的 C．不变 D．无法确定 2．（23-24八年级上·山东聊城·阶段练习）如果将分式中都扩大到原来的倍，则分式的值（    ） A．扩大到原来的倍 B．扩大到原来的倍 C．缩小到原来的 D．不变 3．（23-24八年级上·山东烟台·期中）下列分式中，最简分式的是（   ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级上·湖南邵阳·期中）如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式是最简分式，那么我们称这个分式为“和谐分式”．下列分式中，是“和谐分式”的是（　　）（填序号即可）． ①；②；③；④． A．① B．② C．③ D．④ 5．（23-24八年级上·全国·课堂例题）不改变分式的值，把分式的分子与分母的各项系数化为整数为 ． 7．（23-24八年级上·山东烟台·期中）化简：= ． 同底数幂的除法、零指数幂和负整数指数幂 1．（23-24八年级上·四川泸州·期中）下列运算正确的是（　　　） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·吉林·期中）若 ，则 的值是 （   ） A．2 B．4 C．8 D．32 3．（23-24七年级上·江西九江·期中）已知：，则的值是（　　） A． B．2 C． D． 4．（2023·山西临汾·一模）原子是化学变化中的 最小微粒，按照国际单位制的规定，质量单位是“千克”．例如：1个氧原子的质量是．如果小数0.000…02657用科学记数法表示为，则这个小数中“”的个数为（    ） A．25个 B．26个 C．27个 D．28个 5．（23-24八年级上·重庆渝中·期中）我国一款手机的芯片采用了先进的制造工艺，已知，将用科学记数法表示为： ． 6．（23-24八年级上·内蒙古兴安盟·期中）计算：． 7．（23-24七年级下·陕西咸阳·期中）计算：． 整数指数幂的运算 1．（23-24八年级上·云南昆明·期中）计算： ． 2．（23-24八年级上·福建福州·期中）计算： (1)； (2)． 3．（22-23七年级下·江苏无锡·期中）计算： (1)； (2)； (3)． 分式的混合运算 1．（23-24八年级上·山东烟台·期中）计算 (1)； (2)； (3)； (4)． 2．（23-24八年级上·湖南岳阳·期中）计算： (1) (2) 3．（23-24八年级上·山东聊城·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6) (7)； (8)． 分式的化简求值 1．（23-24八年级上·湖南郴州·期中）化简求值：，其中． 2．（23-24八年级上·广东中山·期中）已知，，求的值． 3．（23-24八年级上·山东烟台·期中）若a，b为实数，且 ，求的值． 4．（23-24八年级上·湖南岳阳·期中）有这样一道题：求的值，其中小明不小心把错抄成，但他的计算结果却是正确的，请说明原因． 5．（23-24八年级上·辽宁盘锦·期中）先化简，再求值：，请在，，0，1中选择一个适当的数作为的值． 分式方程的解法 1．（23-24八年级上·河北承德·期中）解分式方程时，去分母正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·湖南怀化·期中）若，则x的值为( ) A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·山东济宁·期中）解方程： (1) (2)． 4．（23-24八年级上·贵州铜仁·期中）解分式方程： (1)； (2)． 5．（23-24八年级下·江苏扬州·期中）解分式方程： (1)； (2)． 分式方程的实际应用 1．（23-24八年级上·辽宁盘锦·期中）甲、乙两名同学同时从家里出发，分别到距家和的实践基地参加劳动．若甲、乙的速度比是，结果甲比乙提前到达基地，求甲，乙的速度．设甲的速度为，则依题意可列方程为（     ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·湖南岳阳·期中）某超市用6 000元购进一批“红富士”苹果进行试销，由于销售状况良好，超市又调拨13 000元资金购进该品种苹果，但这次的进价比试销时的进价每千克多了0.5元，购进苹果的质量是试销时的2倍． (1)试销时该品种苹果的进价是每千克多少元？ (2)如果超市将该品种苹果按每千克8元的定价出售，当大部分苹果售出后，余下的400千克按定价的7折（“7折”即定价的）售完，那么超市在这两次苹果销售中共盈利多少元？ 3．（23-24八年级上·湖南益阳·期中）小明家距离科技馆1900米，已知小明骑车到科技馆比他步行到科技馆少用20分钟，且骑车的速度是步行速度的5倍．一天小明步行去科技馆看表演，走到路程的一半时，他发现忘带门票，此时离表演开始还有23分钟，于是立刻步行回家取票，随后骑车赶往科技馆．小明进家取票时间共用4分钟． (1)小明步行的速度是每分钟多少米？ (2)请你判断小明能否在表演开始前赶到科技馆，并通过计算说明理由． 4．（23-24八年级上·湖南永州·期中）为支援贫困山区，某学校爱心活动小组准备用筹集的资金购买A、B两种型号的学习用品．已知B型学习用品的单价比A型学习用品的单价多元，用元购买B型学习用品与用元购买A型学习用品的件数相同．求A，B两种学习用品的单价各是多少元？ 5．（23-24八年级上·山东烟台·期中）科研机构试验采集的某样本须在4小时内（含采集时间）送达检测中心，使超过时问，样本就会失效．已知甲、乙两科研机构到检测中心的路程分别为30千米，36千米，两科研机构的送检车有如图所示的信息．根据信息，请解答下列问题： (1)求甲科研机构送检车的平均速度； (2)若乙科研机构从开始采集样本到送检车出发用了3.2小时，则它采集的样本会不会失效？ 6．（23-24八年级上·山东烟台·期中）（1）为保障夏秋季节果农需求，某生物科技公司开启“加速”模式，生产效率比原先提高了，现在生产240万剂农药所用的时间比原先生产220万剂农药所用的时间少0.5天，问原先每天生产多少万剂农药？ （2）周末，小明和父母外出游玩．他们从家出发去景点，在景点停留4h后回家．去时的路程是10，回来时的路程比去时多2，来回（包括停留时间在内）一共用了6．若去时的速度是回来时的1.25倍，求去时的速度． 分式的阅读理解类问题 1．（23-24八年级上·湖南株洲·期中）【阅读理解】在比较两个数或代数式的大小时，解决策略一般是利用“作差法”，即要比较代数式M，N的大小，只要作出差，若，则；若，则；若，则．【解决问题】 (1)例如：若，要比较、大小，只需要用， 所以可得：______（填>，=，<）； (2)已知，，当时，比较A与的大小，利用做差法说明理由； (3)小王和小张的加油习惯不同，小王每次加300元的油（油箱未加满），而小张每次都把油箱加满．现实生活中油价常有变动，现以两次加油为例来研究，设第一次油价为x元/升，第二次油价为y元/升（）． ①小王两次加油的平均单价为______元/升，小张两次加油的平均单价为______元/升（用含x，y的代数式表示，化简结果）； ②请通过计算判断，小王和小张的两种加油方式中，哪种平均单价更低？ 2．（22-23八年级上·北京东城·期中）对于两个不相等的非零实数m、n，分式的值为零，则或，又因为，所以关于x的方程有两个解，分别为，．应用上面的结论解答下列问题： (1)方程有两个解，分别为________，________； (2)关于x的方程的两个解分别为，，若与互为倒数且，则________，________； (3)关于x的方程的两个解分别为，（），求的值． 3．（23-24八年级下·江苏宿迁·期中）我们给出定义：若一个分式约分后是一个整式，则称这个分式为“巧分式”，约分后的整式称为这个分式的“巧整式”．例如：，则称分式是“巧分式”，4x为它的“巧整式”．根据上述定义，解决下列问题． (1)下列分式中是“巧分式”的有__________（填序号）； ①；②；③． (2)若分式（m、n为常数）是一个“巧分式”，它的“巧整式”为，求m、n的值； (3)若分式的“巧整式”为，请判断是否是“巧分式”，并说明理由． 分式方程无解情况 1．（23-24八年级上·山东烟台·期中）若关于x的分式方程无解，则k的取值是（    ） A． B．或 C． D．或 2．（23-24八年级上·河北石家庄·期中）若关于x的方程无解，则a＝ ． 3．（23-24八年级上·河北衡水·期中）已知． （1）若关于的方程有增根，则的值是 ； （2）若为整数，当时，的所有整数值的和为 ． 4．（23-24八年级上·湖南怀化·期中）已知关于x的分式方程 ． (1)若方程的增根为，求a的值； (2)若方程无解，求a的值． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 分式 分式的定义 1．（23-24八年级上·山东烟台·期中）下列各式，，，，，中，属于分式的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】本题考查分式的定义，判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．找到分母含有字母的式子的个数即可． 【详解】解：，，，的分母中不含有字母，都不是分式， ，的分母中含有字母，都是分式，共2个． 故选：C． 2．（23-24八年级上·湖南郴州·期中）在中，分式有（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查分式的定义，熟练掌握分式的定义是解答本题的关键．判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．注意π不是字母，是常数，所以分母中含π的代数式不是分式，是整式． 【详解】解：是整式， 是分式． 故选C． 3．（23-24九年级上·贵州贵阳·期中）已知时，分式无意义，则□所表示的代数式是（    ） A． B． C．x D．2x 【答案】A 【分析】本题考查了分式无意义的条件．熟练掌握分式的分母为0，则分式无意义是解题的关键． 分别计算各选项的值，然后根据分式无意义的条件判断作答即可． 【详解】解：由题意知，， ∴A符合要求，B、C、D不符合要求； 故选：A． 4．（23-24八年级上·河北唐山·期中）若分式的值为负数，则x的取值范围是（    ） A．x为任意数 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查分式的值，熟练掌握分式值的计算方法进行求解是解决本题的关键． 根据题意可得，要使分式的值为负数，即，解不等式即可得出． 【详解】解：的值为负数， ，． 故答案为：B 5．（23-24八年级上·湖南怀化·期中）当x 时，分式有意义． 【答案】/不等于2 【分析】此题主要考查了分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零．根据分式有意义的条件可得，再解即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故答案为：． 6．（23-24八年级下·河南周口·期末）若分式的值为0，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．分式的值为0即分子的值为0以及分母不为0，进行列式计算， 【详解】解：∵分式的值为0， ∴ ∴ 故答案为： 7．（23-24七年级上·上海青浦·期中）已知时，分式无意义，时，此分式值为，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式无意义的条件，分式值为的条件，根据分式无意义的条件、分式的值为的条件分别求出的值，代入代数式即可求解，掌握分式无意义的条件，分式值为的条件是解题的关键． 【详解】解：∵时，分式无意义， ∴， ∴， ∵时，此分式值为， ∴， ∴， ∴． 8．（23-24八年级上·湖南郴州·期中）当x 时，分式值为0． 【答案】 【分析】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：①分子的值为0，②分母的值不为0，这两个条件缺一不可． 【详解】解：∵分式值为0， ∴且， 解得． 故答案为：． 分式的基本性质的应用 1．（23-24八年级上·山东烟台·期中）如果把分式中的，都扩大到原来的10倍，那么分式的值（   ） A．扩大到原来的10倍 B．缩小到原来的 C．不变 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题主要考查分式的基本性质，掌握分式的基本性质是解题的关键． 把分式中的和都扩大为原来的10倍，求出比值，然后与之前分式的值对比，即可得出答案． 【详解】解：分式中的和都扩大为原来的10倍， 得到的新分式为：， 即分式的值缩小为原来的． 故选B． 2．（23-24八年级上·山东聊城·阶段练习）如果将分式中都扩大到原来的倍，则分式的值（    ） A．扩大到原来的倍 B．扩大到原来的倍 C．缩小到原来的 D．不变 【答案】C 【分析】本题考查了分式的基本性质，把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论，解题的关键是掌握分式的基本性质． 【详解】解：当都扩大到原来的倍后， 原式 ， 则分式缩小到原来的， 故选：C． 3．（23-24八年级上·山东烟台·期中）下列分式中，最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用最简分式的定义判断即可．此题考查了最简分式，最简分式为分式的分子分母没有公因式，即不能约分的分式． 【详解】A、 原式为最简分式，符合题意； B、，不合题意； C、，不合题意， D、原式=，不合题意． 故选A． 4．（23-24八年级上·湖南邵阳·期中）如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式是最简分式，那么我们称这个分式为“和谐分式”．下列分式中，是“和谐分式”的是（　　）（填序号即可）． ①；②；③；④． A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【分析】本题主要考查约分和最简分式．根据题意中“和谐分式”的的定义判断即可． 【详解】解：①，原式的分子与分母都不能因式分解，故①不是“和谐分式”； ②，故②为“和谐分式”； ③，故③不是“和谐分式”； ④，故④不是“和谐分式”； 故选：B． 5．（23-24八年级上·全国·课堂例题）不改变分式的值，把分式的分子与分母的各项系数化为整数为 ． 【答案】 【分析】，据此即可求解． 【详解】解： 将分子、分母同时扩大倍，不改变分式的值 故答案为： 【点睛】本题考查将分式的分子与分母的各项系数化为整数．合理利用分式的性质是解题关键． 6．（23-24九年级上·河南洛阳·期中）若，则 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查分式的化简，根据得到，把代入，即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：3． 7．（23-24八年级上·山东烟台·期中）化简：= ． 【答案】/ 【分析】本题考查了约分，对于分子分母是多项式的分式，先因式分解，再约分． 【详解】解：， 故答案为： 同底数幂的除法、零指数幂和负整数指数幂 1．（23-24八年级上·四川泸州·期中）下列运算正确的是（　　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据合并同类项法则；同底数幂相乘，底数不变，指数相加；同底数幂相除，底数不变指数相减；积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；对各选项分析判断后即可求解． 【详解】A、与不是同类项，故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，故此选项符合题意； D、，故此选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键． 2．（23-24八年级上·吉林·期中）若 ，则 的值是 （   ） A．2 B．4 C．8 D．32 【答案】C 【分析】此题考查了同底数幂除法和幂的乘方的逆用，利用法则把原式变形为，再利用整体代入求值即可. 【详解】解：∵， ∴ 故选：C 3．（23-24七年级上·江西九江·期中）已知：，则的值是（　　） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了同底数幂的除法及幂的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．根据同底数幂的除法法则可得，再根据幂的乘方运算法则计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ， 故选：C． 4．（2023·山西临汾·一模）原子是化学变化中的 最小微粒，按照国际单位制的规定，质量单位是“千克”．例如：1个氧原子的质量是．如果小数0.000…02657用科学记数法表示为，则这个小数中“”的个数为（    ） A．25个 B．26个 C．27个 D．28个 【答案】B 【分析】根据科学记数法的定义还原出原来的小数，即可得出答案． 【详解】∵小数0.000…02657用科学记数法表示为， ∴这个小数中“”的个数为26个． 故答案是B． 【点睛】本题主要考查了科学记数法，绝对值小于1的数可以表示为的形式，其中，为原数中第一个不是零的数字前面的零的个数（包括小数点前面的一个零），表示时关键是要正确确定和的值． 5．（23-24八年级上·重庆渝中·期中）我国一款手机的芯片采用了先进的制造工艺，已知，将用科学记数法表示为： ． 【答案】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．根据科学记数法的表示形式即可得． 【详解】解： 故答案为：． 6．（23-24八年级上·内蒙古兴安盟·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查整式的运算，实数的运算，解题的关键是掌握，绝对值，有理数的乘方，进行计算，即可． 【详解】 解： ． 7．（23-24七年级下·陕西咸阳·期中）计算：． 【答案】3 【分析】本题考查了有理数的混合运算，绝对值，零指数幂，负整数指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键． 先算乘方，零指数幂，负整数指数幂和绝对值，再算乘法，后算加减，即可解答． 【详解】解： ． 整数指数幂的运算 1．（23-24八年级上·云南昆明·期中）计算： ． 【答案】 【分析】根据整数指数幂的运算法则计算即可． 【详解】解： ； 故答案为： 【点睛】本题考查的负整数指数幂的含义，整数指数幂的运算，熟记运算法则是解本题的关键． 2．（23-24八年级上·福建福州·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据同底数相乘，指数相加进行计算即可； （2）根据完全平方公式、平方差公式化简，合并同类项即可． 【详解】（1）解： = = = = =； （2）解： = = =． 【点睛】本题考查了多项式乘多项式、完全平方公式、平方差公式、整数指数幂的运算，正确运用公式是解题的关键． 3．（22-23七年级下·江苏无锡·期中）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据单项式乘多项式法则即可求出答案． （2）根据负整数指数幂的意义、零指数幂的意义以及乘方运算法则即可求出答案． （3）根据积的乘方运算、同底数幂的乘除运算法则即可求出答案． 【详解】（1）原式 （2）原式 ． （3）原式 ． 【点睛】本题考查整式的混合运算以及幂的混合运算，解题的关键是熟练运用单项式乘多项式法则、负整数指数幂的意义、零指数幂的意义、乘方运算法则、积的乘方运算、同底数幂的乘除运算法则，本题属于基础题型． 分式的混合运算 1．（23-24八年级上·山东烟台·期中）计算 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查分式的运算，掌握分式的混合运算法则是解题的关键． （1）利用分式的乘除法法则计算即可； （2）利用分式的加减法法则计算即可； （3）利用分式的乘除法法则计算即可； （4）利用分式的混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式= ； （3）原式 ； （4）原式 ． 2．（23-24八年级上·湖南岳阳·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2)1 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方及分式的加减，熟练掌握运算法则是解题的关键； （1）先利用幂的乘方计算，然后利用同底数幂的乘法法则计算即可； （2）先化简为同分母的分式相加减，然后约分即可 【详解】（1） ； （2） 3．（23-24八年级上·山东聊城·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6) (7)； (8)． 【答案】(1)0 (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 【分析】本题考查分式的混合运算，掌握运算法则和运算顺序是解题的关键． （1）先化简然后运用同分母分式的运算法则解题即可； （2）先把除法转化为乘法，然后约分解题即可； （3）先运算括号，然后运算除法解题即可； （4）先利用记得乘方，然后运用同底数幂的乘法计算，最后利用负整数指数的运算解题即可； （5）先把看成整体通分解题即可； （6）先运算分式的除法和分式的约分，然后进行同分母的分式的加减解题即可； （7）先约分，然后通分，最后运算除法解题即可； （8）先把除法转化为乘法，利用乘法分配律解题即可． 【详解】（1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ； （6） ； （7） ； （8） ． 分式的化简求值 1．（23-24八年级上·湖南郴州·期中）化简求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的混合运算和求值，能正确根据分式的运算法则进行化简时解题的关键． 根据分式的混合运算法则把原式化简，把x的值代入计算即可． 【详解】解：原式 ； 把代入得，原式． 2．（23-24八年级上·广东中山·期中）已知，，求的值． 【答案】 【分析】根据幂的乘方运算、积的乘方以及同底数幂相乘分别求得的值，再将代数式根据分式的加法运算变形，进而求得代数式的值 【详解】解：∵ ∴； ∵ ∴； ∴， ． 【点睛】本题考查了幂的乘方运算以及同底数幂相乘，积的乘方，分式的求值，掌握幂的运算是解题的关键． 3．（23-24八年级上·山东烟台·期中）若a，b为实数，且 ，求的值． 【答案】 【详解】本题考查了求分式的值，先根据已知的等式关系求出与的值，再代入化简后的分式即可． 【解答】解：由题意可知，，且，解得， 原式． 4．（23-24八年级上·湖南岳阳·期中）有这样一道题：求的值，其中小明不小心把错抄成，但他的计算结果却是正确的，请说明原因． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则成为解题的关键． 先根据分式的混合运算顺序进行化简，化简得结果与a无关，即可说明理由． 【详解】解：， 原式的值与无关， 小明不小心把错抄成，但他的计算结果却是正确的． 5．（23-24八年级上·辽宁盘锦·期中）先化简，再求值：，请在，，0，1中选择一个适当的数作为的值． 【答案】，当时，原式 【分析】本题考查分式的化简求值，涉及因式分解、约分等知识，先对分式分子分母因式分解，再约分，最后化简，根据分式有意义的条件得到，代值求解即可得到答案，熟练掌握分式混合运算是解决问题的关键． 【详解】解： ， 由分式有意义的条件可知，，，且， 当时，原式． 分式方程的解法 1．（23-24八年级上·河北承德·期中）解分式方程时，去分母正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解分式方程的第一步——去分母，注意：当两个分式的分母互为相反数时，要先将两个分式改写成同分母的分式，再去分母，这是解题的关键．先把方程左右两边的分式改写成同分母的分式，再给两边同乘以即可． 【详解】解：原方程变为， 两边同乘以，得． 故选：C． 2．（23-24九年级上·湖南怀化·期中）若，则x的值为( ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解分式方程，一定要注意解分式方程必须检验．按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答． 【详解】解：， ， 解得：， 检验：当时，， ∴是原方程的根， 故选：A． 3．（23-24八年级上·山东济宁·期中）解方程： (1) (2)． 【答案】(1) (2)原方程无解 【分析】本题主要考查解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解；解分式方程一定注意要验根． （1）观察可得最简公分母是，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解,然后再检验即可； （2）观察可得最简公分母是，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解,然后再检验即可． 【详解】（1）解：， 方程两边同时乘以，得：，解得：． 检验：把代入． ∴原方程的解为：． （2）解： 方程两边同时乘以，得：，解得：． 检验：把代入． ∴原方程无解． 4．（23-24八年级上·贵州铜仁·期中）解分式方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解分式方程，解题的关键是熟练掌握解分式方程的一般步骤，准确计算． （1）方程两边同乘，变分式方程为整式方程，然后解整式方程，最后对方程的解进行检验即可； （2）方程两边同乘，变分式方程为整式方程，然后解整式方程，最后对方程的解进行检验即可． 【详解】（1）解：， 去分母得：， 移项合并同类项得：， 系数化为1得：， 检验：把代入得：， 是原方程的解； （2）解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项合并同类项得：， 系数化为1得：， 检验：把代入得：， 是原方程的解． 5．（23-24八年级下·江苏扬州·期中）解分式方程： (1)； (2)． 【答案】(1)原分式方程的解是 (2)原分式方程的解是 【分析】本题考查了解分式方程 （1）方程两边都乘以，把分式方程化为整式方程，求解即可； （2）方程两边都乘以，把分式方程化为整式方程，求解即可． 【详解】（1）解：， 方程两边都乘以，得 ， 解得， 当时，， 所以原分式方程的解是； （2）解：， 方程可化为， 方程两边都乘以，得 ， 解得， 当时，， 所以原分式方程的解是． 分式方程的实际应用 1．（23-24八年级上·辽宁盘锦·期中）甲、乙两名同学同时从家里出发，分别到距家和的实践基地参加劳动．若甲、乙的速度比是，结果甲比乙提前到达基地，求甲，乙的速度．设甲的速度为，则依题意可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是分式方程的应用，理解题意，确定相等关系是解本题的关键．设甲的速度为，则乙的速度为，由甲所花的时间加上小时等于乙所花的时间建立方程即可． 【详解】解：设甲的速度为，则乙的速度为，则 ， 故选：A． 2．（23-24八年级上·湖南岳阳·期中）某超市用6 000元购进一批“红富士”苹果进行试销，由于销售状况良好，超市又调拨13 000元资金购进该品种苹果，但这次的进价比试销时的进价每千克多了0.5元，购进苹果的质量是试销时的2倍． (1)试销时该品种苹果的进价是每千克多少元？ (2)如果超市将该品种苹果按每千克8元的定价出售，当大部分苹果售出后，余下的400千克按定价的7折（“7折”即定价的）售完，那么超市在这两次苹果销售中共盈利多少元？ 【答案】(1)试销时该品种苹果的进价是每千克6元 (2)超市在这两次苹果销售中共盈利4040元． 【分析】本题主要考查了分式方程的应用、有理数的混合运算的应用等知识点，正确列出分式方程和算式是解题的关键． （1）设试销时该品种苹果的进价是每千克元，根据等量关系“本次数量=试销时的数量”列出分方程求解即可． （2）先求出试销时和第二次进的苹果数量，再根据“”列出算式计算即可． 【详解】（1）解：设试销时该品种苹果的进价是每千克元， 依题意可得：，解得． 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：试销时该品种苹果的进价是每千克6元． （2）解：试销时购进苹果的质量为（千克）， 第二次购进苹果的质量为（千克）， 盈利为（元）． 答：超市在这两次苹果销售中共盈利4040元． 3．（23-24八年级上·湖南益阳·期中）小明家距离科技馆1900米，已知小明骑车到科技馆比他步行到科技馆少用20分钟，且骑车的速度是步行速度的5倍．一天小明步行去科技馆看表演，走到路程的一半时，他发现忘带门票，此时离表演开始还有23分钟，于是立刻步行回家取票，随后骑车赶往科技馆．小明进家取票时间共用4分钟． (1)小明步行的速度是每分钟多少米？ (2)请你判断小明能否在表演开始前赶到科技馆，并通过计算说明理由． 【答案】(1)明步行的速度为米分钟 (2)小明能在表演开始前赶到科技馆，理由见解析 【分析】本题考查了分式方程的应用，有理数的混合运算的实际应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． （1）设小明步行的速度是每分钟x米，则小明骑车的速度是每分钟米，根据时间＝路程÷速度结合小明骑车到科技馆比他步行到科技馆少用20分钟，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论； （2）利用时间路程速度结合小明进家取票时间共用4分钟，即可得出小明回家取票后到达科技馆所需时间，将其与23分钟比较后即可得出结论． 【详解】（1）设小明步行的速度为米分钟，则小明骑车的速度为米分钟．根据题意，得， 解得：． 经检验，是原分式方程的解． 答：小明步行的速度为米分钟； （2）， 所以小明能在表演开始前赶到科技馆． 4．（23-24八年级上·湖南永州·期中）为支援贫困山区，某学校爱心活动小组准备用筹集的资金购买A、B两种型号的学习用品．已知B型学习用品的单价比A型学习用品的单价多元，用元购买B型学习用品与用元购买A型学习用品的件数相同．求A，B两种学习用品的单价各是多少元？ 【答案】A、B两种学习用品的单价分别为元和元 【分析】本题考查了分式方程的应用．根据题意正确的列分式方程是解题的关键． 设A种学习用品的单价为元，则B种学习用品的单价为元，依题意得，，计算求解，然后作答即可． 【详解】解：设A种学习用品的单价为元，则B种学习用品的单价为元， 依题意得，， 去分母得，， 移项合并得，， 系数化为1得，， 经检验，是原分式方程的解，且合符题意， ∴（元）                                 答：A、B两种学习用品的单价分别为元和元． 5．（23-24八年级上·山东烟台·期中）科研机构试验采集的某样本须在4小时内（含采集时间）送达检测中心，使超过时问，样本就会失效．已知甲、乙两科研机构到检测中心的路程分别为30千米，36千米，两科研机构的送检车有如图所示的信息．根据信息，请解答下列问题： (1)求甲科研机构送检车的平均速度； (2)若乙科研机构从开始采集样本到送检车出发用了3.2小时，则它采集的样本会不会失效？ 【答案】(1)甲科研机构送检车的平均速度为30千米/小时 (2)采集的样本会失效 【分析】本题考查了分式方程的应用，有理数除法的应用， （1）设甲科研机构送检车的平均速度为千米/小时，则乙科研机构送检车的平均速度为千米/小时，根据题意列分式方程求解即可； （2）由（1）可得乙科研机构送检车的平均速度，进而求得乙科研机构送检车行驶的时间，再将科研机构总用时与4小时比较，即可得到答案． 【详解】（1）解：设甲科研机构送检车的平均速度为千米/小时，则乙科研机构送检车的平均速度为千米/小时， 根据题意，得． 解得， 经检验，是原方程的根， 答：甲科研机构送检车的平均速度为30千米/小时． （2）解：由（1）可知，乙科研机构送检车的平均速度为千米/小时， 则乙科研机构送检车行驶的时间为小时， ， 它采集的样本会失效． 6．（23-24八年级上·山东烟台·期中）（1）为保障夏秋季节果农需求，某生物科技公司开启“加速”模式，生产效率比原先提高了，现在生产240万剂农药所用的时间比原先生产220万剂农药所用的时间少0.5天，问原先每天生产多少万剂农药？ （2）周末，小明和父母外出游玩．他们从家出发去景点，在景点停留4h后回家．去时的路程是10，回来时的路程比去时多2，来回（包括停留时间在内）一共用了6．若去时的速度是回来时的1.25倍，求去时的速度． 【答案】（1）原先每天生产40万剂疫苗；（2）去时的速度12.5 【分析】本题主要考查分式方程的应用， 设原先每天生产x万剂疫苗，可得现在生产效率，根据题意列出方程即可； 设回来时的速度为x，则去时的速度为，根据题意列出方程即可； 【详解】解：（1）设原先每天生产x万剂疫苗， 由题意可得：， 解得：， 经检验：是原方程的解，符合题意． 答：原先每天生产40万剂疫苗； （2）设回来时的速度为x，则去时的速度为， 根据题意，得， 解得：， 经检验，是所列方程的根， ∴， 答：去时的速度12.5． 分式的阅读理解类问题 1．（23-24八年级上·湖南株洲·期中）【阅读理解】在比较两个数或代数式的大小时，解决策略一般是利用“作差法”，即要比较代数式M，N的大小，只要作出差，若，则；若，则；若，则．【解决问题】 (1)例如：若，要比较、大小，只需要用， 所以可得：______（填>，=，<）； (2)已知，，当时，比较A与的大小，利用做差法说明理由； (3)小王和小张的加油习惯不同，小王每次加300元的油（油箱未加满），而小张每次都把油箱加满．现实生活中油价常有变动，现以两次加油为例来研究，设第一次油价为x元/升，第二次油价为y元/升（）． ①小王两次加油的平均单价为______元/升，小张两次加油的平均单价为______元/升（用含x，y的代数式表示，化简结果）； ②请通过计算判断，小王和小张的两种加油方式中，哪种平均单价更低？ 【答案】(1)> (2) (3)小王的加油方式平均单价更低 【分析】本题考查了分式的减法及利用作差法比较两个分式的大小． （1）由可得． （2）先将化简，再求出，将结果化简成最简分式，再判断结果的符号，即可比较A与的大小； （3）先分别用代数式表示出小王和小张平均每次加油的单价，再利用作差法比较大小即可． 熟练掌握异分母分式的相加减，并且能正确的列出代数式是解题的关键． 【详解】（1）∵， ∴． 故答案为：> （2）， ， ， ， ， ， ． （3）小王的平均单价为： ， 设油箱的容积为V，则小张的平均单价为：， 则 ． ， ， ， ∴小王的加油方式平均单价更低． 2．（22-23八年级上·北京东城·期中）对于两个不相等的非零实数m、n，分式的值为零，则或，又因为，所以关于x的方程有两个解，分别为，．应用上面的结论解答下列问题： (1)方程有两个解，分别为________，________； (2)关于x的方程的两个解分别为，，若与互为倒数且，则________，________； (3)关于x的方程的两个解分别为，（），求的值． 【答案】(1)1，6 (2)，2 (3) 【分析】（1）方程变形后，利用题中的结论确定出方程的解即可； （2）方程变形后，根据利用题中的结论，以及与互为倒数，确定出与的值即可；（3）方程变形后，根据利用题中的结论表示出为、，代入原式计算即可得到结果． 【详解】（1）解：∵，， ∴方程有两个解，分别为， 故答案为：1，6； （2）解：， 方程变形得： 由题中的结论得：有两个解，分别为，2， ∵与互为倒数， ∴， 故答案为：，2； （3）解：， 方程整理得， 得或 可得，． ∴． 【点睛】此题考查了分式方程的解，掌握分式的性质，弄清题中的规律是解本题的关键． 3．（23-24八年级下·江苏宿迁·期中）我们给出定义：若一个分式约分后是一个整式，则称这个分式为“巧分式”，约分后的整式称为这个分式的“巧整式”．例如：，则称分式是“巧分式”，4x为它的“巧整式”．根据上述定义，解决下列问题． (1)下列分式中是“巧分式”的有__________（填序号）； ①；②；③． (2)若分式（m、n为常数）是一个“巧分式”，它的“巧整式”为，求m、n的值； (3)若分式的“巧整式”为，请判断是否是“巧分式”，并说明理由． 【答案】(1)①③； (2)，； (3)是，理由见解析． 【分析】题考查了分式的化简、因式分解．二元一次方程组的解法，解决本题的关键是弄清楚“巧分式”的定义． （1）根据“巧分式”的定义，逐个判断得结论； （2）根据“巧分式”的定义，得到关于的恒等式，求解即可； （3）根据给出的“巧分式”的定义可得；将A代入，约分后看是否是一个整式，即可得出结论． 【详解】（1）解：，是整式， ①是“巧分式”； ，不是整式， ②不是“巧分式”； ，是整式， ③是“巧分式”； （2）解：分式（m，为常数）是一个“巧分式”， 它的“巧整式”为， ， ， ∴， 解得：； （3）解：分式的“巧整式”为． ， ，即； ， 又是整式， 是“巧分式”． 分式方程无解情况 1．（23-24八年级上·山东烟台·期中）若关于x的分式方程无解，则k的取值是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】本题考查分式方程的增根问题，把分式方程的增根代入去分母后的整式方程求未知系数的值即可． 【详解】解： ∵关于x的分式方程无解， ∴当时，即时，分式方程无解； 当时，， 此时分式方程有增根， ∴，解得或 ∴当时，即，解得； ∴当时，即，无解； 综上所述，k的取值是或． 故选：B． 2．（23-24八年级上·河北石家庄·期中）若关于x的方程无解，则a＝ ． 【答案】或3/3或 【分析】本题考查了分式方程的解，分式方程无解的条件，最简公分母为0，或者得到的整式方程无解． 分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0．据此解答可得． 【详解】解：去分母，得：， 整理，得：， 当时，分式方程无解， 当时，若，则，即； 即当时，是增根，分式方程无解， 综上所述，或， 故答案为：3或． 3．（23-24八年级上·河北衡水·期中）已知． （1）若关于的方程有增根，则的值是 ； （2）若为整数，当时，的所有整数值的和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程增根问题，分式的值为整数，将分式方程化为整式方程是解题的关键． （1）方程两边都乘以最简公分母，把分式方程化为整式方程，再根据分式方程的增根就是使最简公分母等于0的未知数的值求出的x的值，然后代入进行计算即可求出的值； （2）先化简分式为，再根据为整数，为整数，从而可以确定的值，从而可得答案． 【详解】解：（1） 方程两边都乘以得， ， 分式方程有增根， ， 解得， ， 解得； 故答案为：3 （2）∵， ∴ ； ∵为整数，为整数， ∴，， 解得：或或或； 此时对应的为0或4或1或3， ∴的所有整数值的和为； 故答案为：8 4．（23-24八年级上·湖南怀化·期中）已知关于x的分式方程 ． (1)若方程的增根为，求a的值； (2)若方程无解，求a的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了分式方程的解，熟练掌握分式方程的增根和无解的情况是解题的关键． （1）先去分母，再将代入整式方程求解即可； （2）根据最简公分母为以及整式方程无解求出答案． 【详解】（1）解：， 去分母并整理得：， 由于方程的增根为， ， 解得； （2）解：去分母并整理得：， ①当时，该整式方程无解，此时； ②当时，要使该整式方程无解，则， 解得或， 把代入整式方程，的值不存在， 把代入整式方程，， 综上所述，或． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$