专题02 三角形（7大基础题+2大提升题）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学上学期期中真题分类汇编（湖南专用）

专题02 三角形 三角形的有关概念 1．（23-24八年级上·甘肃武威·期中）一个三角形的两边长分别为和，则此三角形周长可能是（  　） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·江苏盐城·期中）在中，若，，则该三角形是（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 3．（23-24八年级上·云南昭通·期中）一个三角形的三个内角的度数之比为，则这个三角形一定是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 4．（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期中）下列图形中有稳定性的是（   ） A．直角三角形 B．平行四边形 C．长方形 D．正方形 5．（23-24八年级上·四川泸州·期中）下列长度的三根小木棒能拼成三角形的是（　　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 6．（23-24八年级上·福建厦门·期中）如果三角形的两边长分别为2和5，则第三边的取值可以是（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 7．（23-24八年级上·四川泸州·期中）如图，在中，是的高，是的角平分线，，，则的度数是（　　　）    A． B． C． D． 8．（23-24七年级上·山东烟台·期中）如图，于B，于E，垂直于的延长线于D，以下说法：①在中，边上的高是；②在中，边上的高是； ③在中，边上的高是； ④若，，则．其中正确的有（     ） A．①② B．①④ C．②③ D．②④ 9．（23-24七年级上·山东东营·期中）下列叙述不正确的是（    ） A．三角形的内角和是 B．三角形中最多有一个钝角 C．直角三角形的两个锐角互余 D．三角形的重心是三条角平分线的交点 10．（23-24八年级上·山西朔州·期中）如图，在中，，将沿直线l折叠，使点落在点的位置，则的度数是（   ） A． B． C． D． 11．（23-24八年级上·河南许昌·期中）点P是内一点，连结并延长交于D，连结，则图中、、的大小关系是（    ） A． B． C． D． 12．（23-24八年级上·安徽阜阳·期中）如图，以为边的三角形的个数是 ． 13．（23-24八年级上·山东德州·期中）如图，在中，已知点D，E，F分别为边，，的中点，且，则 ． 14．（23-24七年级上·江苏盐城·期中）如图，直线，若，，则∠B的度数为 ． 15．（23-24八年级上·甘肃庆阳·期中）如图，在中，点D，E分别在上，除外，图中还有几个三角形？并说出是哪些三角形的边． 16．（23-24八年级上·陕西安康·期中）两根木棒分别长、，第三根木棒与这两根木棒首尾依次相接构成三角形，如果第三根木棒的长为偶数（单位：），那么一共可以构成多少个不同的三角形？这些三角形的周长分别是多少？ 17．（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图所示，在中，是高，、是角平分线，它们相交于点O，，． (1)求的度数； (2)求的度数． 18．（23-24八年级上·重庆江津·期中）如图，在中，是的中线，是的中线． (1)若，求的长； (2)若的周长为37，，且与的周长差为3，求AC的长． 19．（23-24八年级上·河北唐山·期中）夕夕同学要证明“任意一个三角形的内角和一定等于”是正确的，她的想法是利用平行线的性质与平角的定义来证明．下面夕夕已经写出了已知和求证，请你按夕夕的想法完成证明． 如图，已知：． 求证：．    20．（23-24八年级上·河南许昌·期中）（1）如图1，有一块直角三角板放置在上，恰好三角板的两条直角边，分别经过点B、C．若， 度； （2）如图2，改变（1）中直角三角板的位置，使三角尺的两条直角边，仍然分别经过点B．C．，那么的大小是否变化？若变化，请举例说明；若不变化，请求出的大小； （3）如果（1）中的其它条件不变，把“”改成“”，则＝ . 命题与证明 1．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）下列说法正确的是（    ） A．每个命题都有逆命题 B．每个定理都有逆定理 C．所有的命题都是定理 D．假命题的逆命题是假命题 2．（23-24八年级上·山东菏泽·期中）下列语句：①周长相等的两个三角形全等；②同位角相等；③作的平分线；④垂线段最短，其中命题有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（23-24八年级上·湖南怀化·期中）下列语句是命题的是（   ） （1）三角形任意两边的和大于第三边； （2）分式的值是零，等于吗? （3）经过三角形外一点分别作三角形三边的垂线； （4）线段的垂直平分线上的点到该线段两端点的距离相等． A．（1）（2） B．（3）（4） C．（2）（3） D．（1）（4） 4．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）下列选项中，可以用来证明命题“若，则．”是假命题的反例的是（　　　） A． B． C． D． 5．（23-24八年级上·河北邢台·阶段练习）“等角的余角相等”的逆命题是（    ） A．等角的补角相等 B．如果两个角相等，那么它们的余角也相等 C．如果两个角的余角相等，那么这两个角相等 D．同角的余角相等 6．（23-24八年级上·山东菏泽·期中）已知命题“如果，那么．” (1)写出此命题的条件和结论； (2)写出此命题的逆命题； (3)判断此命题的逆命题是真命题还是假命题．如果是真命题，请给以证明；如果是假命题，请举出一个反例． 等腰三角形的性质与判定 1．（23-24八年级上·北京·期中）如图，在中，与的平分线交于点O，过点O作，分别交于点D、E．若，，则的周 长为 2．（23-24八年级上·河南许昌·期中）如图，，，延长至D，使，连接，则 ． 3．（23-24八年级上·广东湛江·期中）如图，在中，，，平分的外角，则 ． 4．（23-24八年级上·湖北武汉·期中）如图，为等腰直角三角形，是上一点．于点，连接． (1)求的度数； (2)若，求的面积． 5.（23-24八年级上·吉林·期中）如图，直线，的平分线交于点F，的平分线交的延长线于点G． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，求的大小． 等边三角形的性质与判定 1．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）如图，是等边三角形，是边上的高，点E是边的中点，点P是上的一个动点，当最小时，的度数是（    ）． A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·江苏常州·期中）在中，，添加下列一个条件后，仍不能判定为等边三角形的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·河南许昌·期中）如图摆放一个正方形和两个等边三角形，若，则 ． 4．（23-24八年级上·广东湛江·期中）如图，在是等边三角形，是中线，过作，交延长线于点． (1)求的度数； (2)求证：是的中线． 5．（23-24八年级上·甘肃庆阳·期中）如图，在中，，点在边上，连接．若，求证：是等边三角形． 线段垂直平分线的性质与判定 1．（23-24八年级上·广西玉林·期中）如图，在中，的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点．已知的周长为，则的长为（　　） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）校园内有一块三角形的花坛，现要在花坛内建一景观喷泉，要使喷泉到花坛三个顶点的距离相等，喷泉的位置应选在（　　） A．花坛三条中线的交点 B．花坛三边的中垂线的交点 C．花坛三条高所在直线的交点 D．花坛三条角平分线的交点 3．（23-24八年级下·四川眉山·期中）到三角形各顶点距离相等的点是（　　） A．三条边垂直平分线交点 B．三个内角平分线交点 C．三条中线交点 D．三条高交点 4．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）在中，，点D为的中点，，所在的直线与所在的直线交于点E． (1)若点E在上，，的周长为16，求的长； (2)若（且），求的度数． 5．（23-24八年级上·河南许昌·期中）如图，在中，． (1)用直尺和圆规作的中垂线，交于点D；（要求保留作图痕迹） (2)连接，若，，求的周长． 6．（23-24八年级上·湖北宜昌·期中）已知：，． (1)若，求证：是的垂直平分线； (2)若，求的大小． 7．（23-24八年级上·云南曲靖·期中）如图，在中，于点于点相交于F．试判断所在直线与的位置关系并说明理由．    8．（23-24八年级上·吉林·期中）如图，在中，边的垂直平分线分别交于点D、E，直线交于点O． (1)试判断点O是否在的垂直平分线上，并说明理由； (2)若，求的度数． 全等三角形的性质与判定 1．（23-24八年级上·重庆沙坪坝·期中）如图，中，，，，平分，且，则与的面积和是 ． 2．（23-24八年级上·江西南昌·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，，一动点C从点B出发以2厘米/秒的速度沿射线运动，点D在y轴上，D点随着C点运动而运动，且始终保持．当点C经过 秒时，△OAB与△OCD全等． 3．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）如图，四边形中，，，，则是 三角形；若，，，则的长为 ． 4．（23-24八年级上·江苏南京·期中）（1）【旧题重现】《学习与评价》有这样一道习题： 如图①，、分别是和的、边上的中线，，，．求证：． 证明的途径可以用下面的框图表示，请填写其中的空格． （2）【深入研究】 如图②，、分别是和的、边上的中线，，，．判断与是否仍然全等． 5．（23-24八年级上·湖北武汉·期中）如图，，求证：． 6．（23-24八年级上·河北廊坊·期中）如图，在中，，，点在线段上运动（点D不与点B，C重合），连接，作，交线段于点E． (1)当时， °， °． (2)若，试说明． (3)在点D的运动过程中，的形状可以是等腰三角形吗？若可以，求的度数；若不可以，请说明理由． 7．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）已知点A、F、E、D在同一条直线上，．求证：． 8．（23-24八年级上·广东汕头·期中）如图，中，，是的中点，、分别是、上的点，且，求证：．    尺规作图 1．（23-24八年级上·广东湛江·期中）如图，用尺规作图作一个角等于已知角，其根据是构造两个三角形全等，它所用到的判别方法是（　　） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·福建泉州·阶段练习）如图，用尺规作出，作图痕迹是（    ） A．以点B为圆心，为半径的圆 B．以点B为圆心，为半径的圆 C．以点E为圆心，为半径的圆 D．以点E为圆心，为半径的圆 3．（23-24八年级上·贵州黔东南·期中）用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如右图，则要说明，需要证明和全等，则这两个三角形全等的依据是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级上·广东东莞·期中）如图，在中，，， 按以下步骤作图：（1）以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交线段，于点M，N；（2）以点C为圆心，的长为半径画弧，交线段于点D；（3）以点D为圆心，的长为半径画弧，与（2）中所画的弧相交于点E；（4）过点E作射线CE，与相交于点F，则 ． 5．（23-24八年级上·广东广州·期中）作三角形：已知：线段a、c和（如图），利用直尺和圆规作，使，，．（不写作法，保留作图痕迹）． 6．（23-24七年级上·山东烟台·期中）已知：如图，在中，． 用圆规，直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹． (1)求作：点D，使点D在边上，且． (2)求作：，使．，． 全等三角形的辅助线问题 1．（23-24八年级上·四川眉山·期中）已知是的边上的中线，，，则边及中线的取值范围分别是(　　) A．， B．， C．， D．， 2．（23-24八年级上·福建南平·期中）如图，等腰直角三角形中，，D、E分别为、边上点，，交于点F，过点F作交的延长线于点G，交于点M；以下五个结论：①；②；③是等腰三角形；④；恒成立的结论有（ ） A．①②③④ B．①③ C．②③④ D．①②④ 3．（23-24八年级上·河南信阳·期中）如图所示，在中，，则边上的中线的长取值范围是 ．    4．（23-24八年级上·山东滨州·期中）如图，已知点是边上的动点（不与重合），在的同侧作等边和等边，连接，下列结论正确的是 （填序号） ①；②；③；④是等边三角形；⑤平分；⑥；⑦；⑧；⑨；⑩图中共有2对全等三角形． 5．（23-24八年级上·湖北省直辖县级单位·期中）我们规定：有两组边相等，且它们所夹的角互补的两个三角形叫兄弟三角形．如图，，，．回答下列问题： (1)求证：和是兄弟三角形． (2)取的中点，连接，试说明．小王同学根据要求的结论，想起了老师上课讲的“中线（点）倍延”的辅助线构造方法，解决了这个问题． ①请在图中通过作辅助线构造，并证明． ②求证：． 6．（23-24八年级上·江苏南通·期中）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到E，使，连接．请根据小明的方法思考： (1)由已知和作图能得到，得到，在中求得的取值范围，从而求得的取值范围是 ． 方法总结：上述方法我们称为“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系． (2)如图2，是的中线，，，，试判断线段与的数量关系，并加以证明； (3)如图3，在中，D，E在边上，且．求证：． 7．（23-24八年级上·山东临沂·期中）【基本模型】 （1）如图1，是正方形，，当在边上，在边上时，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论． 【模型运用】 （2）如图2，是正方形，，当在的延长线上，在的延长线上时，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论． 8．（23-24八年级上·重庆江北·期中）已知为等边三角形． (1)如图1，点D为边上一点，以为边作等边三角形，连接，求证：． (2)如图2，以为腰作等腰直角三角形，取斜边的中点E，连接，交于点F．求证：． (3)如图3，若，点P是边上一定点且，若点D为射线上一动点，以为边向右侧作等边，连接、，直接写出的最小值． 9．（23-24八年级上·辽宁大连·期中）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： (1)如图1，点A在直线l上，，过点B作于点C，过点D作交于点E．得．又，可以推理得到．进而得到结论：_____，_____．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三直角”模型； (2)如图2，∠于点C，于点E，与直线交于点，求证：． 10．（23-24八年级上·湖南岳阳·期中）如图①，在△中，，90°，直线是过点的任意一条直线，于点，于点．    (1)求证：△△． (2)猜想，，三条线段之间的数量关系．（不写证明） (3)在图②中，将图①中的直线绕点逆时针旋转一任意角度，经过三角形的内部（不与，重合）时，上述三条线段之间又有怎样的数量关系？请写出结论，并画出图形． 全等三角形的综合问题 1．（23-24八年级上·云南昆明·期中）在中，，，，点为的中点．如果点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．若点的运动速度为，则当与全等时，的值为 2．（23-24八年级上·四川泸州·期中）如图，，垂足为点A，射线，垂足为点B，，．动点E从A点出发以的速度沿射线运动，动点D在射线上，随着E点运动而运动，始终保持．若点E的运动时间为t秒，则当 秒时，与全等． 3．（23-24八年级上·四川泸州·期中）（1）如图1，已知：在中，，，直线经过点，直线，直线，垂足分别为点，．求证：． （2）如图2，将（1）中的条件改为：在中，，，，三点都在直线上，并且有，其中为任意锐角或钝角．试探索的数量关系，并说明理由． （3）拓展与应用：如图3，，是，，三点所在直线上的两动点，，三点互不重合），点为平分线上的一点，且和均为等边三角形，连接，，若，试判断的形状．    4．（23-24八年级上·湖北武汉·期中）【观察探索】 （1）如图1，中，，．连接延长线与交于点． ①________________（用含的式子表示）； ②猜想和的数量关系，并给出证明． 【应用拓展】（2）如图2，在和中，，连接的延长线交于点，当于点时，求证：． 5．（23-24八年级上·重庆巴南·阶段练习）如图1，在中，，，，，现有一动点从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为．    (1)如图1，当 时，； (2)如图2，在中，，，，．在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好与全等，求点的运动速度． 6．（23-24八年级上·甘肃庆阳·期中）已知在等边三角形中，点在上，点在的延长线上，． (1)如图（1），当点为的中点时，探究线段与的大小关系并证明． (2)如图（2），当点为边上任意一点时，确定线段与的大小关系，并说明理由（提示：过点作，交于点）． (3)在等边三角形中，点在线段的延长线上，点在线段的延长线上，且，若的边长为，，求的长． 7．（23-24八年级上·吉林长春·期中）教材呈现：如图是华师版八年级上册数学教材第94页的部分内容． 2．线段垂直平分线 我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴，如图，直线是线段的垂直平分线，是上任一点，连接、，将线段沿直线对折，我们发现与完全重合，由此即有：线段垂直平分线的性质定理线段垂直平分线上的点到线段两端钓距离相等． 已知：如图，，垂足点为，，点是直线的任意一点． 求证：． 分析：图中有两个直角三角形和，只要证明这两个三角形全等，便可证明． 请写出完整的证明过程 定理证明：请根据教材中的分析，结合图①，写出“线段垂直平分线的性质定理”完整的证明过程． 定理应用： （1）如图②，在中，直线、分别是边、的垂直平分线，直线、交于点，过点作于点．求证：． （2）如图③，在中，，边的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点．若，，则的长为______． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 三角形 三角形的有关概念 1．（23-24八年级上·甘肃武威·期中）一个三角形的两边长分别为和，则此三角形周长可能是（  　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形三条边的关系，熟练掌握三角形三条边的关系是解答本题的关键．三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 根据三角形三条边的关系判断即可． 【详解】解：由三角形三条边的关系可得第三边长， 即第三边长， ∵， ∴周长， 只有C符合， 故选C． 2．（23-24七年级上·江苏盐城·期中）在中，若，，则该三角形是（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】A 【分析】本题考查三角形内角和定理，三角形分类．熟记三角形的内角和是解题的关键． 根据三角形内角和定理求出各角度数，再判定三角形的形状即可． 【详解】解：， ，， ， 是直角三角形， 故选：A． 3．（23-24八年级上·云南昭通·期中）一个三角形的三个内角的度数之比为，则这个三角形一定是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 【答案】C 【分析】此题考查了三角形内角和定理．由题意知：把这个三角形的内角和平均分了12份，最大角占总和的，根据分数乘法的意义求出三角形最大内角即可． 【详解】解：因为， ， ， 所以这个三角形里最大的角是锐角， 所以另两个角也是锐角， 三个角都是锐角的三角形是锐角三角形， 所以这个三角形是锐角三角形． 故选：C． 4．（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期中）下列图形中有稳定性的是（   ） A．直角三角形 B．平行四边形 C．长方形 D．正方形 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的稳定性，直接由三角形具有稳定性进行作答即可． 【详解】解：∵三角形具有稳定性， ∴下列图形中有稳定性的是直角三角形 故选：A 5．（23-24八年级上·四川泸州·期中）下列长度的三根小木棒能拼成三角形的是（　　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】本题考查的是三角形的三边关系，在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形，由此即可判断． 【详解】A、，不能构成三角形，故A不符合题意； B、，能构成三角形，故B符合题意； C、，不能构成三角形，故C不符合题意； D、，不能构成三角形，故D不符合题意． 故选：B． 6．（23-24八年级上·福建厦门·期中）如果三角形的两边长分别为2和5，则第三边的取值可以是（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的三边关系，掌握三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题关键．由三角形的三边关系得出第三边大于3，小于7，即可得到答案． 【详解】解：三角形的两边长分别为2和5， 第三边大于3，小于7， 即只有B选项满足， 故选：B． 7．（23-24八年级上·四川泸州·期中）如图，在中，是的高，是的角平分线，，，则的度数是（　　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形有关的线段，根据三角形的高和角平分线的定义求解即可． 【详解】解：∵是的角平分线，， ∴， ∵， ∴， ∵是的高， ∴， ∴， 故选：B． 8．（23-24七年级上·山东烟台·期中）如图，于B，于E，垂直于的延长线于D，以下说法：①在中，边上的高是；②在中，边上的高是； ③在中，边上的高是； ④若，，则．其中正确的有（     ） A．①② B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】D 【分析】本题考查三角形的高、三角形的面积，根据三角形的高的定义可判断①②③，根据面积公式可判断④． 【详解】解：在中，边上的高是，故①错误； 在中，边上的高是，故②正确，③错误； 若，，则，故④正确， 综上可知，正确的有②④， 故选D． 9．（23-24七年级上·山东东营·期中）下列叙述不正确的是（    ） A．三角形的内角和是 B．三角形中最多有一个钝角 C．直角三角形的两个锐角互余 D．三角形的重心是三条角平分线的交点 【答案】D 【分析】本题考查三角形的有关知识，关键是掌握三角形内角和定理，直角三角形的性质，三角形的分类，重心的定义．由三角形内角和定理，直角三角形的性质，三角形按角的分类，重心的定义，即可判断． 【详解】解：A、三角形内角和是，正确，故A不符合题意； B、三角形中最多有一个钝角，正确，故B不符合题意； C、直角三角形两锐角和是，所以直角三角形的两个锐角互余，正确，故C不符合题意； D、三角形的重心是三条角形三条中线的交点，错误，故D符合题意． 故选：D． 10．（23-24八年级上·山西朔州·期中）如图，在中，，将沿直线l折叠，使点落在点的位置，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用三角形外角的性质得知，，则，即可得出答案．此题考查了折叠的性质，三角形外角定理，解答关键在于熟练掌握相关知识点． 【详解】解：如图 将沿直线l折叠，使点落在点的位置 ， 故选：D． 11．（23-24八年级上·河南许昌·期中）点P是内一点，连结并延长交于D，连结，则图中、、的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查三角形外角的性质，熟练掌握三角形外角的性质是解题的关键． 直接根据三角形外角的性质可排除选项． 【详解】解：由题意得： ，， ∴． 故选：D． 12．（23-24八年级上·安徽阜阳·期中）如图，以为边的三角形的个数是 ． 【答案】4 【分析】本题考查的是三角形的认识．根据三角形的概念、结合图形写出以为边的三角形． 【详解】解：以为边的三角形的有，一共有4个． 故答案为：4． 13．（23-24八年级上·山东德州·期中）如图，在中，已知点D，E，F分别为边，，的中点，且，则 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了三角形边中点，三角形面积，解决问题的关键是熟练掌握三角形中线的定义，等高（或底）的两个三角形面积之比等于底边（高之比． 因为点是的中点，所以的底是的底的一半，高等于的高，可得的面积等于的面积的一半；同理，、、分别是、的中点，可得的面积是面积的一半；利用三角形的等积变换可解答． 【详解】解：如图，点是的中点， 的底是，的底是，即，而高相等， ， 是的中点， ， ， ， ， ， 即阴影部分的面积为． 故答案为：1． 14．（23-24七年级上·江苏盐城·期中）如图，直线，若，，则∠B的度数为 ． 【答案】/45度 【分析】本题考查了平行线和三角形内角和；解题的关键是熟练掌握平行线和对顶角的性质，从而完成求解． 根据平行线的性质得，再根据三角形内角和即可得出答案． 【详解】， ， ，， ， 故答案为：． 15．（23-24八年级上·甘肃庆阳·期中）如图，在中，点D，E分别在上，除外，图中还有几个三角形？并说出是哪些三角形的边． 【答案】除外，图中还有4个三角形；是和的边． 【分析】本题考查了三角形的识别与有关概念，由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形叫做三角形．据此即可求解． 【详解】解：除外，还有、、、， ∴除外，图中还有4个三角形 其中，是和的边． 16．（23-24八年级上·陕西安康·期中）两根木棒分别长、，第三根木棒与这两根木棒首尾依次相接构成三角形，如果第三根木棒的长为偶数（单位：），那么一共可以构成多少个不同的三角形？这些三角形的周长分别是多少？ 【答案】共可以构成个不同的三角形，他们的周长分别为：，，， 【分析】本题考查三角形的三边关系的应用，先求得第三根木棒长的取值范围，进而求得满足已知的第三根木棒长以及周长． 【详解】解：两根木棒分别长、， 根据三角形的三边关系，得：第三根木棒的长大于而小于． 又第三根木棒的长是偶数，则应为，，，． 共可以构成个不同的三角形， 他们的周长分别为：，， ，． 17．（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图所示，在中，是高，、是角平分线，它们相交于点O，，． (1)求的度数； (2)求的度数． 【答案】(1)10° (2)125° 【分析】本题考查了角平分线的定义、三角形的内角和性质，直角三角形的两个锐角互余，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先由角平分线的定义得，结合直角三角形的两个锐角互余，得，即可作答． （2）先由角平分线的定义得，再运用三角形的内角和性质进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵是的平分线， ∴ ∵是高， ∴在中， ∴ （2）解：∵是角平分线 ∴ ∴ 18．（23-24八年级上·重庆江津·期中）如图，在中，是的中线，是的中线． (1)若，求的长； (2)若的周长为37，，且与的周长差为3，求AC的长． 【答案】(1)16 (2)11 【分析】（1）根据三角形的中线的概念计算； （2）根据三角形的周长公式得到，，进而求出． 本题主要考查了三角形中线的定义和性质，熟练掌握三角形中线的定义和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：是 的中线，， ， 是的中线， ； （2）解：是 的中线， ， 与的周长差为3， ， ， 的周长为37，， ， ， ． 19．（23-24八年级上·河北唐山·期中）夕夕同学要证明“任意一个三角形的内角和一定等于”是正确的，她的想法是利用平行线的性质与平角的定义来证明．下面夕夕已经写出了已知和求证，请你按夕夕的想法完成证明． 如图，已知：． 求证：．    【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的性质以及平角的定义：先由平行线的性质得到内错角相等，再结合平角是，即可作答，作出的辅助线是解题的关键 【详解】证明：如图1，过点作． ∵， ∴，， ∵， ∴ 20．（23-24八年级上·河南许昌·期中）（1）如图1，有一块直角三角板放置在上，恰好三角板的两条直角边，分别经过点B、C．若， 度； （2）如图2，改变（1）中直角三角板的位置，使三角尺的两条直角边，仍然分别经过点B．C．，那么的大小是否变化？若变化，请举例说明；若不变化，请求出的大小； （3）如果（1）中的其它条件不变，把“”改成“”，则＝ . 【答案】（1）50；（2）不变化，；（3） 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理： （1）根据三角形内角和为先求出，再求出，则，问题得解． （2）利用（1）的方法即可作答 （3）利用（1）的方法即可作答． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵在直角三角板中，， ∴， ∴， 即． （2）不发生变化，理由如下： ∵， ∴， ∵在直角三角板中，， ∴， ∴， 即． （3）∵， ∴， ∵在直角三角板中，， ∴， ∴， 即． 命题与证明 1．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）下列说法正确的是（    ） A．每个命题都有逆命题 B．每个定理都有逆定理 C．所有的命题都是定理 D．假命题的逆命题是假命题 【答案】A 【分析】根据命题的定义解答本题．熟练掌握命题与定理的知识是解决此类问题的关键． 【详解】解：A. 每个命题都有逆命题，说法正确； B. 每个定理不一定有逆定理，说法错误； C. 假命题不是定理，说法错误； D. 假命题的逆命题可能是真命题，说法错误； 故选A． 2．（23-24八年级上·山东菏泽·期中）下列语句：①周长相等的两个三角形全等；②同位角相等；③作的平分线；④垂线段最短，其中命题有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题，根据题意逐项分析判断，即可求解． 【详解】①周长相等的两个三角形全等，是命题； ②同位角相等，是命题； ③作∠ABC的平分线，未作出判断，不是命题； ④垂线段最短，是命题， 故选：C． 3．（23-24八年级上·湖南怀化·期中）下列语句是命题的是（   ） （1）三角形任意两边的和大于第三边； （2）分式的值是零，等于吗? （3）经过三角形外一点分别作三角形三边的垂线； （4）线段的垂直平分线上的点到该线段两端点的距离相等． A．（1）（2） B．（3）（4） C．（2）（3） D．（1）（4） 【答案】D 【分析】本题考查了命题与定理的知识，“判断事物的语句叫命题，命题有题设与结论两部分组成；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理”，解题的关键是了解有关的性质及定义．根据线段垂直平分线的性质、三角形的三边关系分式的性质等知识逐一分析即可求解． 【详解】（1）三角形的任意两边之和大于第三边，是命题，符合题意； （2）分式的值是零，等于吗? 不是命题，不符合题意； （3）经过三角形外一点分别作三角形三边的垂线，不是命题，不符合题意； （4）线段的垂直平分线上的点到该线段两端点的距离相等，是命题，符合题意． 故选：D． 4．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）下列选项中，可以用来证明命题“若，则．”是假命题的反例的是（　　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是假命题的证明，任何一个命题非真即假，要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证；判断一个命题是假问题，只需举出一个反例即可．反例要满足命题的条件，不符合命题的结论． 【详解】解： A．，这个例子与命题的条件，结论一致，故该选项错误； B．，这个例子既不符合命题的条件，也不符合命题的结论，故该选项错误； C．，这个命题符合反例的要求，故该选项正确； D．，这个例子与命题的条件，结论一致，故该选项错误； 故选C． 5．（23-24八年级上·河北邢台·阶段练习）“等角的余角相等”的逆命题是（    ） A．等角的补角相等 B．如果两个角相等，那么它们的余角也相等 C．如果两个角的余角相等，那么这两个角相等 D．同角的余角相等 【答案】C 【分析】根据逆命题的概念解答即可． 【详解】“等角的余角相等”的逆命题是: 如果两个角的余角相等，那么这两个角相等， 故选：C． 【点睛】本题考查了互逆命题，解题的关键是掌握互逆命题的定义：两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆题． 6．（23-24八年级上·山东菏泽·期中）已知命题“如果，那么．” (1)写出此命题的条件和结论； (2)写出此命题的逆命题； (3)判断此命题的逆命题是真命题还是假命题．如果是真命题，请给以证明；如果是假命题，请举出一个反例． 【答案】(1)条件为：，结论为： (2)如果，那么 (3)假命题，反例不唯一，见解析 【分析】本题考查的是命题与定理、逆命题、命题真假的判断； （1）“如果”后面的部分为条件，“那么”后面的部分为结论； （2）交换题目中命题的结论和题设的位置即可； （3）举出反例即可． 【详解】（1）解：此命题的条件为：，结论为：； （2）此命题的逆命题为：如果，那么； （3）此命题的逆命题是假命题， 当，为相反数时，它们的平方相等，但本身不相等， 如，时，，而． 等腰三角形的性质与判定 1．（23-24八年级上·北京·期中）如图，在中，与的平分线交于点O，过点O作，分别交于点D、E．若，，则的周 长为 【答案】9 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、角平分线的定义以及平行线的性质．此题难度适中，解题的关键是注意证得与是等腰三角形，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用． 由在中，与的平分线交于点，过点作，证得与是等腰三角形，即，继而可得的周长等于，即可求得答案． 【详解】解：∵在中，与的平分线交于点， ， ， ， ， ， ， 的周长为 ， 故答案为：9． 2．（23-24八年级上·河南许昌·期中）如图，，，延长至D，使，连接，则 ． 【答案】105 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，三角形内角和定理和三角形外角的性质，过点D作于E，连接，则，根据等边对等角得到，再证明是等边三角形，得到，接着证明，推出是等腰直角三角形， 得到，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，过点D作于E，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 故答案为：105． 3．（23-24八年级上·广东湛江·期中）如图，在中，，，平分的外角，则 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，熟记等腰三角形的性质是解题的关键．根据等腰三角形的性质推出，根据三角形外角性质得到，根据角平分线定义求解即可． 【详解】解：，， ， ， 平分的外角， ， 故答案为：． 4．（23-24八年级上·湖北武汉·期中）如图，为等腰直角三角形，是上一点．于点，连接． (1)求的度数； (2)若，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）在上截取，连接，证明，即可得到，然后解题即可； （2）过点A作于点G，可以得到，然后根据计算即可． 【详解】（1）解：在上截取，连接， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； （2）过点A作于点G， ∵，， ∴ 又∵， ∴， ∴． 5.（23-24八年级上·吉林·期中）如图，直线，的平分线交于点F，的平分线交的延长线于点G． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，求的大小． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理等，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键； （1）根据角平分线的定义和平行线的性质推导出，根据等角对等边即可得； （2）根据角平分线的定义求出，继而根据平行线的性质求得，，由平角定义求出，继而求出，再利用三角形内角和定理即可求得答案． 【详解】（1）证明：的平分线交于点F， ， ， ， ， ， 是等腰三角形 （2）， ， ， 平分， ， 平分， ， ， ． 等边三角形的性质与判定 1．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）如图，是等边三角形，是边上的高，点E是边的中点，点P是上的一个动点，当最小时，的度数是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，垂直平分线的性质，最短路径问题，掌握等边三角形三线合一的性质是解题关键．连接，由等边三角形的性质，得出，进而得到，即当、、三点共线时，有最小值，再利用三线合一性质，得到，即可得到的度数． 【详解】解：如图，连接， 是等边三角形，是边上的高， 是中点，即垂直平分， ， ， 即当、、三点共线时，有最小值， 点是边的中点， ， ， ∵等边中，， ∴， ∵， ∴此时， ∴． 故选：C． 2．（23-24八年级上·江苏常州·期中）在中，，添加下列一个条件后，仍不能判定为等边三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了等边三角形的判定．根据等边三角形的判定定理，对题目中的四个选项逐一进行判断即可得出答案． 【详解】解：在中，， 如果添加条件，可判定为等边三角形．故A选项不符合题意； 如果添加条件，可判定为等边三角形．故B选项不符合题意； 如果添加条件，不能判定为等边三角形． 例如：，时，仍然可以作出，此时就不是等边三角形． 故C选项不符合题意； 如果添加条件，可判定为等边三角形．故D选项不符合题意； 故选：C． 3．（23-24八年级上·河南许昌·期中）如图摆放一个正方形和两个等边三角形，若，则 ． 【答案】100 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，三角形内角和定理，先由平角的定义和等边三角形的性质得到，，，进而得到，再由三角形内角和定理得到，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：100． 4．（23-24八年级上·广东湛江·期中）如图，在是等边三角形，是中线，过作，交延长线于点． (1)求的度数； (2)求证：是的中线． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了等边三角形的性质，平行线的性质，三角形的中线； （1）根据等边三角形的性质求出的度数，再根据平行线的性质可得的度数； （2）求出，可得，再根据等边三角形的性质得出即可． 【详解】（1）解：∵是等边三角形，是中线， ∴平分， ∴， ∵， ∴； （2）证明：由（1）可知，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵在等边三角形中，， ∴， ∴是的中线． 5．（23-24八年级上·甘肃庆阳·期中）如图，在中，，点在边上，连接．若，求证：是等边三角形． 【答案】详见解析 【分析】本题考查了等边三角形的判定，根据有一角是的等腰三角形是等边三角形即可求证． 【详解】证明：， 为等腰三角形， 又， ， 是等边三角形． 线段垂直平分线的性质与判定 1．（23-24八年级上·广西玉林·期中）如图，在中，的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点．已知的周长为，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，由线段垂直平分线的性质可得，，结合的周长，得出，即可得解，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∵的周长， ∴， ∴， ∴， ∴的长为； 故选：D． 2．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）校园内有一块三角形的花坛，现要在花坛内建一景观喷泉，要使喷泉到花坛三个顶点的距离相等，喷泉的位置应选在（　　） A．花坛三条中线的交点 B．花坛三边的中垂线的交点 C．花坛三条高所在直线的交点 D．花坛三条角平分线的交点 【答案】B 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 根据线段垂直平分线的性质进行判断． 【详解】解：∵喷泉到花坛三个顶点的距离相等， ∴喷泉为三角形的花坛三边的垂直平分线的交点． 故选：B． 3．（23-24八年级下·四川眉山·期中）到三角形各顶点距离相等的点是（　　） A．三条边垂直平分线交点 B．三个内角平分线交点 C．三条中线交点 D．三条高交点 【答案】A 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上点到线段两个端点的距离相等．利用线段垂直平分线的性质可确定三角形中到各顶点距离相等的点满足的条件． 【详解】解：三角形三条边垂直平分线交点到各顶点距离相等． 故选：A． 4．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）在中，，点D为的中点，，所在的直线与所在的直线交于点E． (1)若点E在上，，的周长为16，求的长； (2)若（且），求的度数． 【答案】(1)的长为6 (2)的度数为或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，分两种情况讨论是解题的关键． （1）根据已知可得是的垂直平分线，从而利用线段垂直平分线的性质可得，进而可得，然后利用三角形的周长公式进行计算，即可解答； （2）分两种情况：当点E在上时；当点E在的延长线上时；然后利用等腰三角形的性质，以及线段垂直平分线的性质进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：如图： ∵点D为的中点，， 是的垂直平分线， ， ， ， ， 的周长为16， ， 的长为6； （2）解：分两种情况： 当点E在上时，如图： ，， ； ∵点D为的中点，， 是的垂直平分线， ， ， ； 当点E在的延长线上时，如图：连接， ，， ； ∵点D为的中点，， 是的垂直平分线， ， ， ； 综上所述：的度数为或． 5．（23-24八年级上·河南许昌·期中）如图，在中，． (1)用直尺和圆规作的中垂线，交于点D；（要求保留作图痕迹） (2)连接，若，，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)15 【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质及尺规作图是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线的尺规作图可进行求解； （2）由（1）可知，然后问题可求解． 【详解】（1）解：如图所示，直线即为所求． （2）解：由（1）可知，直线是线段的垂直平分线， ， 的周长为： ． ∵，， ∴的周长为． 6．（23-24八年级上·湖北宜昌·期中）已知：，． (1)若，求证：是的垂直平分线； (2)若，求的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查的是等边三角形的判定与性质，线段的垂直平分线的判定，等边对等角； （1）先证明是等边三角形，可得，结合，可得结论； （2）证明可得，再证明，可得；从而可得结论； 【详解】（1）证明：∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴是的垂直平分线； （2）解：∵是等边三角形，是的垂直平分线； ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴； ∴； 7．（23-24八年级上·云南曲靖·期中）如图，在中，于点于点相交于F．试判断所在直线与的位置关系并说明理由．    【答案】直线 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定等知识，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的判定与性质，属于中考常考题型．由等腰三角形的性质和垂线定义证，再由等腰三角形的判定即可得出；证直线是的垂直平分线，即可得出结论． 【详解】解：直线是的垂直平分线，理由如下： ∵， ∴ ∵于点于点 ∴ ∴ ∴ ∵ ∴直线是的垂直平分线 ∴直线 8．（23-24八年级上·吉林·期中）如图，在中，边的垂直平分线分别交于点D、E，直线交于点O． (1)试判断点O是否在的垂直平分线上，并说明理由； (2)若，求的度数． 【答案】(1)点O在的垂直平分线上，理由见解析 (2) 【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质与判定，熟练掌握线段垂直平分线的性质与判定是解题的关键． （1）连接，根据垂直平分线的性质可得，则，根据垂直平分线的判定可证明结论 （2）证明，又由及四边形内角为即可得到的度数． 【详解】（1）点O在的垂直平分线上，理由如下： 连接， ∵边的垂直平分线分别交于点D、E，直线交于点O． ∴， ∴， ∴点O在的垂直平分线上； （2）∵， ∴， ∵， ∴ 全等三角形的性质与判定 1．（23-24八年级上·重庆沙坪坝·期中）如图，中，，，，平分，且，则与的面积和是 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形中线的性质等知识，正确作出辅助线构造全等三角形是解题关键．延长交于点，证明，由全等三角形的性质可得，，进而可知，即可获得答案． 【详解】解：如下图，延长交于点， ∵，，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：3． 2．（23-24八年级上·江西南昌·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，，一动点C从点B出发以2厘米/秒的速度沿射线运动，点D在y轴上，D点随着C点运动而运动，且始终保持．当点C经过 秒时，△OAB与△OCD全等． 【答案】0秒或3秒或12秒或9秒 【分析】本题考查全等三角形，能够对题干中的全等三角形进行分类讨论是解题关键．根据已知条件得到当时，时，时进行计算即可． 【详解】解：点，， ， ， 如图1，当时，与全等， ， 秒； 当时，与全等， ， 秒； 如图2，当时，与全等， ， 秒． 时，也符合题意， 综上所述，当点C经过0秒或3秒或12秒或9秒时，与全等． 故答案为：0秒或3秒或12秒或9秒． 3．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）如图，四边形中，，，，则是 三角形；若，，，则的长为 ． 【答案】 等边 【分析】设交于点，则，证明是等边三角形，则有，在上截取，连接，所以是等边三角形，根据性质得，，则，然后证明，再根据全等三角形的性质和线段和差即可求解． 【详解】解：设交于点， ∵，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 在上截取，连接， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：等边，． 【点评】此题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，正确地作出所需要的辅助线，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 4．（23-24八年级上·江苏南京·期中）（1）【旧题重现】《学习与评价》有这样一道习题： 如图①，、分别是和的、边上的中线，，，．求证：． 证明的途径可以用下面的框图表示，请填写其中的空格． （2）【深入研究】 如图②，、分别是和的、边上的中线，，，．判断与是否仍然全等． 【答案】（1）见解析（2）和仍然全等，理由见解析 【分析】（1）根据中点可得，运用“边边边”可证，可得，在运用“边角边”可证； （2）延长至，使，连接，延长至，使，连接， 可得，，可证，同理可证，由此即可求证． 本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握中点的运用，倍长中线的运用，全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：（1）证明：是的中线， ， 分别是的中线， ， ， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， 故答案为：①；②；③；④； （2）解：和仍然全等，理由如下： 延长至，使，连接，延长至，使，连接， 和分别是和的和边上的中线， ，． 在和中， ， ， ，， 同理，， ， ， ，，， ， ， ， ，， ， ， 又，， ∴． 5．（23-24八年级上·湖北武汉·期中）如图，，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查三角形全等的判定，先证明，在用证明即可，掌握判定三角形全等是解题的关键． 【详解】证明， ， 在和中， ， ． 6．（23-24八年级上·河北廊坊·期中）如图，在中，，，点在线段上运动（点D不与点B，C重合），连接，作，交线段于点E． (1)当时， °， °． (2)若，试说明． (3)在点D的运动过程中，的形状可以是等腰三角形吗？若可以，求的度数；若不可以，请说明理由． 【答案】(1)25；65 (2)详见解析 (3)可以，当的度数为或时，的形状是等腰三角形 【分析】（1）根据三角形内角和定理得到，根据等腰三角形的性质得到，根据三角形内角和定理计算，得到答案； （2）当时，利用，，得到，根据，证明； （3）分、、三种情况，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算． 【详解】（1）解： ， ， ，， ， ， 故答案为：25；65； （2）解：，， ． ∴ ， ∵． ， ． 在和中， ， ； （3）解： 的形状可以是等腰三角形． ①当时，， ， ②当时，， ． ， 此时，点与点重合，不符合题意． ③当时，， ． 综上所述，当的度数为或时，的形状是等腰三角形． 【点睛】本题考查的是等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理，三角形外角的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． 7．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）已知点A、F、E、D在同一条直线上，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、平行线的判定与性质等知识点，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 根据线段的和差及平行线的性质得出，由“”可证，根据全等三角形的性质得到，最后根据“内错角相等，两直线平行”即可证明结论． 【详解】证明：∵， ∴，即， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 8．（23-24八年级上·广东汕头·期中）如图，中，，是的中点，、分别是、上的点，且，求证：．    【答案】见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和全等三角形的判定和性质，属于基础题目，熟练掌握上述知识是解题的关键． 连接，根据等腰三角形的性质可得，然后即可证明，进而可得结论． 【详解】证明：连接， ，是的中点， ∴， 在和中， ， ， ．    尺规作图 1．（23-24八年级上·广东湛江·期中）如图，用尺规作图作一个角等于已知角，其根据是构造两个三角形全等，它所用到的判别方法是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了作图−作角．利用作图痕迹得到，，则根据“”可判断，从而得到． 【详解】解：由作法得，， 所以根据“”可判断， ∴． 故选：A． 2．（23-24八年级上·福建泉州·阶段练习）如图，用尺规作出，作图痕迹是（    ） A．以点B为圆心，为半径的圆 B．以点B为圆心，为半径的圆 C．以点E为圆心，为半径的圆 D．以点E为圆心，为半径的圆 【答案】D 【分析】本题考查的是基本作图：作一个角等于已知角，根据作一个角等于已知角的作法进行解答即可． 【详解】解：作的作法，由图可知， ①以点O为圆心，以任意长为半径画圆，分别交射线于点C，D； ②以点B为圆心，以为半径画圆，分别交射线于点E； ③以点E为圆心，以为半径画弧，交前弧于点F，作射线即可得出，则． 故选：D． 3．（23-24八年级上·贵州黔东南·期中）用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如右图，则要说明，需要证明和全等，则这两个三角形全等的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的判定．根据作图，利用证明三角形全等，即可． 【详解】解：由作图可知：，， ∴； 故选D． 4．（23-24八年级上·广东东莞·期中）如图，在中，，， 按以下步骤作图：（1）以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交线段，于点M，N；（2）以点C为圆心，的长为半径画弧，交线段于点D；（3）以点D为圆心，的长为半径画弧，与（2）中所画的弧相交于点E；（4）过点E作射线CE，与相交于点F，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了尺规作图，三角形外角的性质，直角三角形的性质，关键是由基本作图得到． 由作图可知：，由直角三角形的性质得到，由三角形外角的性质求出． 【详解】解：由作图知：， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 5．（23-24八年级上·广东广州·期中）作三角形：已知：线段a、c和（如图），利用直尺和圆规作，使，，．（不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】见解析 【分析】本题考查了尺规作图，先作已知角，再作已知边，即可求得结果，掌握尺规作图的方法是解题的关键． 【详解】解：如图：①作， ②在上截取，在上截取，连接， ， 则即为所求． 6．（23-24七年级上·山东烟台·期中）已知：如图，在中，． 用圆规，直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹． (1)求作：点D，使点D在边上，且． (2)求作：，使．，． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图复杂作图、线段垂直平分线的性质． （1）作线段的垂直平分线，交于点，则点即为所求． （2）先根据作一个角等于已知角的方法作，再以点为圆心，的长为半径画弧，交射线于点，以点为圆心，的长为半径画弧，交射线于点，连接即可． 【详解】（1）解：如图，点即为所求． ； （2）解：如图，即为所求． ． 全等三角形的辅助线问题 1．（23-24八年级上·四川眉山·期中）已知是的边上的中线，，，则边及中线的取值范围分别是(　　) A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及三角形的三边关系问题，边的取值范围可在中利用三角形的三边关系进行求解，而对于中线的取值范围可延长至点，使，得出，进而在中利用三角形三边关系求解． 【详解】如图所示， 在中，则， 即，， 延长至点，使，连接， 是的边上的中线， ， 又， ， ， 在中，，即， ，即， ． 故选：D． 2．（23-24八年级上·福建南平·期中）如图，等腰直角三角形中，，D、E分别为、边上点，，交于点F，过点F作交的延长线于点G，交于点M；以下五个结论：①；②；③是等腰三角形；④；恒成立的结论有（ ） A．①②③④ B．①③ C．②③④ D．①②④ 【答案】A 【分析】①首先得出，再利用，得出即可；②③利用，得出，再由，可得，结合可得出，，继而可得出结论；④先大致观察三者的关系，过点B作的垂线，交的延长线于点N，利用（1）的结论可将转化为，转化为，从而在一条直线上得出三者的关系． 【详解】解：因为等腰直角三角形中，， ∴，， 在和中， ， ∴，故①正确； ∵， ∴，故②正确； ∵， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，为等腰三角形，故③正确； 过点B作的垂线，交的延长线于点N，如图： ∵，， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴，， 由①可得， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴，故④正确； 故选：A 【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质，涉及和这两种判定三角形全等，垂直的性质，等角对等边，三角形的辅助线等知识内容，难度较大，尤其是第3问的证明，要学会要判断三条线段之间的关系，一般都需要转化到同一条直线上进行． 3．（23-24八年级上·河南信阳·期中）如图所示，在中，，则边上的中线的长取值范围是 ．    【答案】 【分析】本题考查三角形的中线定义，全等三角形，三角形三边关系；倍长中线，构造全等三角形，在新的三角形中运用三边关系定理求解．延长到E，使，连接，证，推出，根据三角形的三边关系求出即可． 【详解】解：如图所示，延长到，且，并连接，   是中点， ， 又， ， ， 在中， 有， ，即， ． 4．（23-24八年级上·山东滨州·期中）如图，已知点是边上的动点（不与重合），在的同侧作等边和等边，连接，下列结论正确的是 （填序号） ①；②；③；④是等边三角形；⑤平分；⑥；⑦；⑧；⑨；⑩图中共有2对全等三角形． 【答案】①②③④⑤⑥⑦⑧⑨ 【分析】本题以常见的全等模型-“手拉手”模型为几何背景，考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的综合问题、角平分线的性质定理等知识点，还涉及了“截长补短”的辅助线作法，掌握相关结论和方法，进行严密的几何推理是解题关键． 【详解】解：∵、是等边三角形， ∴， ∴ 即： ∴，故①正确； ∵， ∴， ∵ ∴，故②正确； ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴是等边三角形 ∴ ∴，故③、④正确； ∵， ∴ ∴边上的高相等， 即点到的距离相等， ∴平分，故⑤正确； 在上截取，连接，如图所示： ∵，， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴是等边三角形， ∴ ∴，故⑥正确； 在上截取，连接，如图所示： 由②得：， ∴ 由⑤得：平分， ∴ ∴ ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴是等边三角形， ∴ ∴，故⑦正确； ∵ ∴ ∴，故⑧正确； ∴ ∴，故⑨正确； 由以上推理可知：、， ∵ ∴ ∴图中不只有2对全等三角形，故⑩错误； 故答案为：①②③④⑤⑥⑦⑧⑨ 5．（23-24八年级上·湖北省直辖县级单位·期中）我们规定：有两组边相等，且它们所夹的角互补的两个三角形叫兄弟三角形．如图，，，．回答下列问题： (1)求证：和是兄弟三角形． (2)取的中点，连接，试说明．小王同学根据要求的结论，想起了老师上课讲的“中线（点）倍延”的辅助线构造方法，解决了这个问题． ①请在图中通过作辅助线构造，并证明． ②求证：． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②见解析 【分析】本题是三角形综合题，考查了新定义兄弟三角形，全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键． （1）证出，由兄弟三角形的定义可得出结论； （2）①延长至，使，证明，由全等三角形的性质得出； ②证明，由全等三角形的性质得出，则可得出结论． 【详解】（1）证明：， ， 又，， 和是兄弟三角形； （2）证明：①延长至，使， 为的中点， ， 在和中， ， ， ； ②， ， ∴， ， 又， ， ，， ， 在和中， ， ， ， 又， ． 6．（23-24八年级上·江苏南通·期中）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到E，使，连接．请根据小明的方法思考： (1)由已知和作图能得到，得到，在中求得的取值范围，从而求得的取值范围是 ． 方法总结：上述方法我们称为“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系． (2)如图2，是的中线，，，，试判断线段与的数量关系，并加以证明； (3)如图3，在中，D，E在边上，且．求证：． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3)见解析 【分析】本题考查三角形全等的判定及性质，三角形的三边关系． （1）由作图可得，根据“”证得，得到，在中，根据三角形的三边关系有，代入即可求解； （2）延长到M，使得，连接，则，由（1）同理可证，得到，，从而，又，因此，进而得证，故； （3）取的中点为M，连接并延长至N，使，连接、，证得得到，证得得到． 延长交于F，由三角形的三边关系得到，即． 【详解】（1）∵， ∴ ∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵在中，， 即， ∴． 故答案为： （2）， 理由：如图，延长到M，使得，连接， ∴， ∵是的中线， ∴， 在和中 ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）取的中点为M，连接并延长至N，使，连接、， ∵点M是的中点， ∴， 在和中， ∴， ∴ ∵， ∴，即， 在和中， ∴， ∴， 延长交于F， 则，且， ∴， ∴， 即． 7．（23-24八年级上·山东临沂·期中）【基本模型】 （1）如图1，是正方形，，当在边上，在边上时，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论． 【模型运用】 （2）如图2，是正方形，，当在的延长线上，在的延长线上时，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1），证明见解析（2），证明见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质．本题蕴含半角模型，遇到半角经常要通过旋转构造全等三角形． （1）结论：．将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，然后求出，利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，从而得解； （2）结论：，证明方法同法（1）． 【详解】解：（1）结论：． 理由：如图1，将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，    则：，，， ∴，即：三点共线， ， ∴， ∴， ， 在和中， ， ， ， 又， ． （2）结论：． 理由：如图2，将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，    则：， 同法（1）可得：， ， 又， ． 8．（23-24八年级上·重庆江北·期中）已知为等边三角形． (1)如图1，点D为边上一点，以为边作等边三角形，连接，求证：． (2)如图2，以为腰作等腰直角三角形，取斜边的中点E，连接，交于点F．求证：． (3)如图3，若，点P是边上一定点且，若点D为射线上一动点，以为边向右侧作等边，连接、，直接写出的最小值． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 (3) 【分析】（1）本题主要考查全以等边三角形为背景的全等三角形的判定（手拉手模型），直接利用，两个等腰三角形的对应边相等即可证明全等． （2）本题通过，，就可以确定的形状，可以推出，进而得到，然后再线段上取一点H构造等边三角形就可证明结论了． （3）第三小问，先确定性分析，，，即对角互补，所以要把，绕着点E逆时针旋转，得到等边三角形，再根据全等的性质可以推出，最后确定点E的轨迹是在射线上运动，之后就是做对称，将军饮马问题，直接可以求出最小值． 【详解】（1）证明：∵等边和等边； ∴，； ∵； ∴； ∴ （2）∵； ∴； ∵，； ∴； ∴； 即； ∵三角形是等腰直角三角形，E为中点 ∴平分； ∴； ∴； 上取一点H，使； ∴是等边三角形； ∴； 即； ∵， ， ； ∴； ∴； 即． （3）如下图所示，∵，； 把绕点E逆时针旋转，得到； ∵； ∴； ∴C，D，M三点共线； 由旋转的性质可知，是等边三角形； ∴; ∴点E的轨迹是射线； 作点B关于直线的对称点N； ∴； ∵； ∴； 即的最小值为． 【点睛】本题主要考等边为背景下的全等三角形的判定，旋转变换下以等腰直角三角形旋转下的全等构造，进而判定线段相等，考查全等的判定和性质，考查对角互补性的全等构造，确定动点E的轨迹，将军饮马求两条线段的最值，遇到两个共顶点等边三角形，就一定能通过公共角和差，证明全等三角形，确定性分析，构造等边三角形是解决线段和证明的有效路径，求最值，利用旋转寻找动点轨迹是解题关键，将军饮马问题巧转化，求最值也是解题关键． 9．（23-24八年级上·辽宁大连·期中）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： (1)如图1，点A在直线l上，，过点B作于点C，过点D作交于点E．得．又，可以推理得到．进而得到结论：_____，_____．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三直角”模型； (2)如图2，∠于点C，于点E，与直线交于点，求证：． 【答案】(1)， (2)见解析 【分析】本题考查一线三直角全等问题， （1）由，得，则，而，即可证明，得，，于是得到问题的答案； （2）作于点，因为于点，于点，所以，由（1）得，因为，所以，则，而，即可证明，得，所以，再证明，则． 【详解】（1））解：于点，于点， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 故答案为：，． （2）证明：如图2，作于点， ∵于点，于点E， ∴， 由， 同理（1）得， ∴， 在和中， ∴， ∴． 10．（23-24八年级上·湖南岳阳·期中）如图①，在△中，，90°，直线是过点的任意一条直线，于点，于点．    (1)求证：△△． (2)猜想，，三条线段之间的数量关系．（不写证明） (3)在图②中，将图①中的直线绕点逆时针旋转一任意角度，经过三角形的内部（不与，重合）时，上述三条线段之间又有怎样的数量关系？请写出结论，并画出图形． 【答案】(1)见解析 (2) (3)图见解析，或，理由见解析 【分析】本题考查几何变换综合题，需要学生掌握三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：．注意：不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． （1）利用判定； （2）根据全等三角形的对应边相等可以求得，进而即可得到结论； （3）与（1）证明过程同理，并结合图形，进行线段的等量代换以及线段的和差运算，则或，即可作答． 【详解】（1）证明：于点，于点，， ，，， ． 在和中 ， ． （2）解：．理由如下： 由（1）知，，则 ∴ ∴ （3）解：结论：或． 理由：设与的交点为， 当离点近时，结论为； 当离点近时，结论为（注：当为中点时，，两点重合，线段不存在）． 当离点近时，如图：    同（1）可证明， ，． ， ． 当离点近时，如图：        同理，得． 全等三角形的综合问题 1．（23-24八年级上·云南昆明·期中）在中，，，，点为的中点．如果点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．若点的运动速度为，则当与全等时，的值为 【答案】或 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，分两种情况：当时，与全等；当时，，分别利用全等三角形的性质求解即可． 【详解】解：当时，与全等， ∵点为的中点， ∴， ∵， ∴， ∵点在线段上以的速度由点向点运动， ∴运动时间为秒， ∵， ∴， ∴； 当时，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴运动时间为秒， ∴， 故的值为或， 故答案为：或． 2．（23-24八年级上·四川泸州·期中）如图，，垂足为点A，射线，垂足为点B，，．动点E从A点出发以的速度沿射线运动，动点D在射线上，随着E点运动而运动，始终保持．若点E的运动时间为t秒，则当 秒时，与全等． 【答案】3或7或10 【分析】本题考查全等三角形的性质，关键是要分情况讨论．分情况，当E在线段上，或当E在线段延长线上，由即可求解． 【详解】解：，，， ，当E在线段上时，若， ， ， ， ， ； 若， ， ， （舍去）， 当E在线段AB延长线上时，若， ， ， ， 若， ， ， ， 当或7或10秒时，与全等． 故答案为：3或7或10． 3．（23-24八年级上·四川泸州·期中）（1）如图1，已知：在中，，，直线经过点，直线，直线，垂足分别为点，．求证：． （2）如图2，将（1）中的条件改为：在中，，，，三点都在直线上，并且有，其中为任意锐角或钝角．试探索的数量关系，并说明理由． （3）拓展与应用：如图3，，是，，三点所在直线上的两动点，，三点互不重合），点为平分线上的一点，且和均为等边三角形，连接，，若，试判断的形状．    【答案】（1）见解析；（2），理由见解析；（3）等边三角形 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质以及等边三角形的判定与性质； （1）根据垂直的定义得到，根据等角的余角相等得到，根据“”证明，根据全等三角形的性质即可得到； （2）根据，得到，由定理证明，根据全等三角形的性质得到，，得出结论； （3）根据等边三角形的性质得到，证明，得到，证明，得到，，求出，根据等边三角形的判定定理得到答案． 【详解】（1）证明：直线，直线， ， ， ， ， 在和中， ， ， ； （2），理由如下： 如图2，， ， ， 在和中， ， ， ，， ； （3）由（2）可知，， ，， 和均为等边三角形， ，， ，即， 在和中， ， ， ，， ， 为等边三角形． 4．（23-24八年级上·湖北武汉·期中）【观察探索】 （1）如图1，中，，．连接延长线与交于点． ①________________（用含的式子表示）； ②猜想和的数量关系，并给出证明． 【应用拓展】（2）如图2，在和中，，连接的延长线交于点，当于点时，求证：． 【答案】（1）①；②，证明见解析；（2）证明见解析 【分析】（1）①根据全等三角形的性质得出，，根据等腰三角形的性质得出，最后求出结果即可； ②过点作交延长线于点，先证明，得出，证明，得出即可； （2）连接，过A作，交延长线于点，证明，得出，根据等腰三角形的性质得出，证明，得出即可． 【详解】解：（1）①∵中，， ∴，， ∴， ∴； ②，理由如下： 过点作交延长线于点，如图所示： ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ． 【应用拓展】（2）连接，过A作，交延长线于点，如图所示： ， 为等腰直角三角形，， ， 在和中， ， ， ， ， ∵， ， ， ， 又于点， ， 在和中， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质，平行线的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形全等的判定方法． 5．（23-24八年级上·重庆巴南·阶段练习）如图1，在中，，，，，现有一动点从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为．    (1)如图1，当 时，； (2)如图2，在中，，，，．在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好与全等，求点的运动速度． 【答案】(1)或 (2)两点运动过程中的某一时刻，恰好与全等，点的运动速度为或或cm/s或 【分析】本题考查全等三角形与动点的综合，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质，利用数形结合和分类讨论的思想进行解答． （1）点运动的速度为，则，；根据，分类讨论：点在上时；点在上时，进行解答，即可； （2）根据全等三角形的性质，分类讨论：当点在上，，，；当点在上，点在上，，，；当点在上，，，；当点在上，点在上，，，，求出对应的点的运动速度，即可． 【详解】（1）∵点运动的速度为， 点在上时， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得：；   点在上时，过点作于点， ∴点的运动路程为， ∴，， ∵， ∴， ∵是直角三角形， ∴当点在的中点时，，， ∴， 解得：； 故答案为：或； （2）∵在中，，，，， ∴当点在上，，，； ∴点的速度为：；   当点在上，点在上，，，， ∴点的速度为：；   当点在上，，，， ∴点运动的距离为：， 点运动的距离为：， ∴点的速度为：；   当点在上，点在上，，， ∴点的速度为：；    综上所述，两点运动过程中的某一时刻，恰好与全等，点的运动速度为或或cm/s或． 6．（23-24八年级上·甘肃庆阳·期中）已知在等边三角形中，点在上，点在的延长线上，． (1)如图（1），当点为的中点时，探究线段与的大小关系并证明． (2)如图（2），当点为边上任意一点时，确定线段与的大小关系，并说明理由（提示：过点作，交于点）． (3)在等边三角形中，点在线段的延长线上，点在线段的延长线上，且，若的边长为，，求的长． 【答案】(1) ，理由见解析 (2) ，理由见解析 (3) 【分析】（1）由等腰三角形的性质得，再由等边三角形的性质得，然后证，得，即可得出结论； （2）过点作，交于点，证为等边三角形，得，再证（），得，即可得出结论； （3）过点作，交的延长线于点，可证得是等边三角形，，由，，即可得出答案． 【详解】（1）解：如图， ∵是等边三角形，点是的中点， ∴平分，，，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， （2）解：当点为上任意一点时，如图，．理由如下： 如图，过作交于， ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴，，即， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即， （3）解：过点作，交的延长线于点，如图所示： ∵是等边三角形， ∴，， ∴，∘， 即， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行线的性质等知识，本题综合性强，熟练掌握等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键． 7．（23-24八年级上·吉林长春·期中）教材呈现：如图是华师版八年级上册数学教材第94页的部分内容． 2．线段垂直平分线 我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴，如图，直线是线段的垂直平分线，是上任一点，连接、，将线段沿直线对折，我们发现与完全重合，由此即有：线段垂直平分线的性质定理线段垂直平分线上的点到线段两端钓距离相等． 已知：如图，，垂足点为，，点是直线的任意一点． 求证：． 分析：图中有两个直角三角形和，只要证明这两个三角形全等，便可证明． 请写出完整的证明过程 定理证明：请根据教材中的分析，结合图①，写出“线段垂直平分线的性质定理”完整的证明过程． 定理应用： （1）如图②，在中，直线、分别是边、的垂直平分线，直线、交于点，过点作于点．求证：． （2）如图③，在中，，边的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点．若，，则的长为______． 【答案】定理证明：见解析；定理应用：（1）证明见解析；（2）9 【分析】本题考查了线段的垂直平分线的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等知识； 定理证明：根据垂直的定义可得，利用可证明，根据全等三角形的性质即可得出； （1）如图，连结，根据垂直平分线的性质可得，，即可得出，根据等腰三角形“三线合一”的性质可得； （2）如图，连接、，根据等腰三角形的性质可得出，根据垂直平分线的性质可得，，根据等腰三角形的性质及外角的性质可证明三角形是等边三角形，可得，即可得答案． 【详解】定理证明： ， ， ， ． ． （1）如图，连结． 直线、分别是边的垂直平分线， ． ． ， ． （2）如图，连接、， ，， ， 边的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点， ，， ，， ，， ， 是等边三角形， ， ， ， 故答案为： ． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$