辽宁省七校2024-2025学年高二上学期期初考试数学试卷

高二数学 共 4页 第 1页 数学试题 考试时间:120 分钟 满分:150 分 一、单项选择题(本题共 8小题,每小题 5分,共 40 分,在题目给出的四个选 项中,只有一项符合题目要求) 1.已知复数 z=(1+i)+ (1﹣i)是纯虚数,则实数 =( ) A.﹣2 B.﹣1 C.0 D.1 2.已知某圆锥的底面半径为 3,其侧面展开图为一个半圆,则该圆锥的侧面积 为( ) A.2 3 B.3 C.4 3 D.6 3.设�,�为空间中两条不同直线,�、�为空间中两个不同平面,下列命题中正 确的为( ) A.若�上有两个点到平面�的距离相等,则�//� B.若 m、n是异面直线,m⊂ ,m∥ ,n⊂ ,n∥ ,则 ∥ C.若 m不垂直于 ,n⊂ ,则 m必不垂直于 n D.若� ⊥ �,� ⊂ �,则“�//�”是“� ⊥ �”的既不充分也不必要条件 4.已知函数 f(x)=Asin( x+ )( >0,A>0,0≤ ≤ )的部分图象如图 所示,且 f(0)=1,则( ) A. B. C. D. 5.如图,在正四面体 ABCD中,点 E是线段 AD上靠近点 D的四等分点,则异 面直线 EC与 BD所成角的余弦值为( ) A. 26 133 B. 13 13 C. 26 133 D. 13 13 高二数学 共 4页 第 2页 6.下列命题正确的是( ) A.若 2( 1,2), ,1a b m ,且a b 则 2m B.若 R,a b ,则 ,a b 不共线 C.若 ,OB OC 是平面内不共线的向量,且存在实数 y使得OA yOC yOB OC , 则 A,B,C三点共线 D. 若 ( 1,1), (1,2)a b ,则b 在a 上的投影向量为 1 1, 2 2 7.已知2 5cos2 cos , 4cos 2 5 , 0 , 2 , 3 ,2 2 , 则 cos 的值为( ) A. 45 B. 44125 C. 44 125 D. 45 8.在 ABC中,P0是边 AB上一定点,满足 ,且对于边 AB上任一点 P,恒有 ,则 ABC为( ) A.等腰三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.锐角三角形 二.多项选择题(本题共 3 小题,每小题 6 分,共 18 分.在每小题给出的选项 中,有多项符合题目要求.全部选对的得 6分,部分选对的得部分分,有选错 的得 0 分) 9.已知复数 1 2,z z ,下列结论正确的有( ) A.若 1 2z z ,则 2 21 2z z B.若 1 2 0z z ,则 1 2z z ),在复平面对应的点是(,则满足若复数 715 2 5.C 222 Zi i iZZ D.若 1 4 3iz 是关于 x的方程 2 0( , )x px q p q R 的一个根,则 8p 10.设函数 sin 0g x x 向左平移 5 个单位长度得到函数 f x ,已知 f x 在 0,2 上有且只有 5个零点,则下列结论正确的是( ) A. f x 的图象关于直线 2x 对称 B. 的取值范围是 12 29, 5 10 C. f x 在 0,10 上单调递增 D.在 0,2 上,方程 1f x 的根有 3个,方程 1f x 的根有 3个 高二数学 共 4页 第 3页 11.化学中经常碰到正八面体结构(正八面体是每个面都是正三角形的八面体), 如六氟化硫(化学式 6SF )､金刚石等的分子结构.将正方体六个面的中心连线可得 到一个正八面体(如图 1),已知正八面体E ABCD F 的(如图 2)棱长为 4, 则( ) A.正八面体E ABCD F 的外接球体积为64� 3 B.正八面体E ABCD F 的内切球表面积为32� 3 C.若点 P为棱 EB上的动点,则 AP CP 的最小值为 4 3 D.若点Q为棱 AF上的动点,则三棱锥 E QBC 的体积为定值16 2 3 三.填空题(本题共 3 小题,每小题 5分,共 15 分) 12.tan( + )=2,则 = . 13.在 ABC中, 3 A ,O为 ABC的外心,若 2AO AB AO AC , 则 ACAB 的值为 . 14.在 ABC中,角A, B,C的对边分别为 a,b,c,若 cos cos sin( )3 sin B C B C b c C , 3 B ,则 2a c 的取值范围为 . 四.解答题(本题共 5 小题,共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤) 15.如图,在底面是矩形的四棱锥P ABCD 中,PA⊥平面 ABCD,E是PD的中点. (1)求证: / /PB 平面 EAC; (2)求证:平面 PDC⊥平面 PAD . 高二数学 共 4页 第 4页 16.已知向量 a , b , baxf )( (1)求函数 f(x)的单调递增区间和最小正周期; (2)若当 时,关于 x的不等式 2f(x)﹣1≤m有解,求实数 m的 取值范围. 17.已知 ABC的内角 A,B,C的对边分别为 a,b,c,满足 . (1)求角 A; (2)若 ABC的外接圆的面积为 , ,求 ABC的 面积. 18.如图,在四棱锥 P﹣ABCD中,PC⊥平面 ABCD,AB∥DC,DC⊥AC. ( )求证:DC⊥平面 PAC; ( )若 PC=AB=AC=1,求 PB与平面 PAC成角的正弦值; ( )设点 E为 AB的中点,过点 C,E的平面与棱 PB交于点 F,且 PA∥平 面 CEF,求 的值. 19.若函数 f x 满足:对任意 3 3 , 2 2x f x f x f x R ,则称 f x 为“M 函 数”. (1)判断 1 2 4 2sin , tan 3 2 3 f x x f x x 是不是M 函数(直接写出结论); (2)已在函数 f x 是M 函数,且当 3 0, 4x 时, sinf x x .求 f x 在 3 ,3 2 的 解析式; (3)在(2)的条件下, 0,6 x 时,关于 x的方程 f x a ( a为常数)有解, 求该方程所有解的和S. 1 高二联考数学试卷参考答案及评分标准 一、单选题 1-8.BDBC ACBB 二、多选题 9.CD 10.BC 11.BCD 三、填空题 12.3 13.2 14. 3,2 7 四、解答题 15.(13分) 解:(1)连接BD交 AC于点G ,连接 EG. 四边形 ABCD是矩形, G 是BD的中点. 又 E为 PD的中点, PB EG .……………………………………..4分 EG 平面 EAC, PB 平面 EAC, PB 平面 EAC…………….6分 (2) PA 面 ABCD,CD 面 ABCD, PA CD . ABCD 是矩形, AD CD . 而 PA AD A ,PA, AD 平面 PAD,∴CD⊥平面 PAD…………..11分 又∵CD 平面 PDC . 平面 PDC 平面 PAD.…………………13分 16.(15分) (1)因为 1 3sin sin sin cos sin 3 2 2 3 f x a b x x x x x 所以函数 f x 的最小正周期 2T ;…………………………..4分 因为函数 siny x 的单调增区间为 2 , 2 2 2 k k , k Z, 所以 2 2 2 3 2 k x k , k Z, 解得 5 2 2 6 6 k x k , k Z, 所以函数 f x 的单调增区间为 5 2 , 2 6 6 k k , k Z;………..….8分 (2)不等式 2 1f x m 有解,即 min 1 2 m f x ; 因为 0, 4 x ,所以 7 3 3 12 x ,又 7 5sin sin sin 12 12 3 , 2 故当 3 3 x ,即 0x 时, f x 取得最小值,且最小值为 30 2 f , 所以 3 1m ………………………………………15分 17、(15分) (1)解:(1)因为 , 所以 b(b﹣a)+c(c﹣a)=(c﹣a)(b﹣a), 所以 b2﹣ab+c2﹣ac=bc﹣ac﹣ab+a2,即 b2+c2﹣a2=bc,………………..4分 由余弦定理可得:b2+c2﹣a2=2bccosA, 所以 cosA= , 因为 A∈(0, ), 所以 ;……………………………………………..7分 (2)因为 ABC的外接圆的面积为 , 设 ABC的外接圆半径为 r, 即 r2= , 解得 , 由正弦定理得 , ,………………10分 因为 ,由正弦定理得 , 由(1)知 b2+c2﹣a2=bc, 所以(b+c)2﹣7=3bc,得 3bc=25﹣7=18,则 bc=6, 所以 ABC的面积为 S ABC= .……………..15分 18、(17分) (1)因为PC 平面 ABCD,CD 平面 ABCD,所以PC CD , 又DC AC , AC PC C , ,AC PC 平面 PAC, 所以DC 平面 PAC………………………………5分 (2)∵CD//AB,DC⊥平面 PAC ∴AB⊥平面 PAC,∴∠APB 为所求 ∵Rt PAC 中,PC=AC=1,∴PA= 2 ∴Rt PAB 中,PB= 3 ∴sin∠APB= 3 3 ……………………………….11分 3 (3)因为 //PA 平面CEF,平面 PAB 平面CEF EF , PA 平面 PAB,所以 //PA EF,因为点 E为 AB的中点, 所以点 F为 PB的中点,所以 1 2 PF PB ……………………………17分 19、(17分) (1) 1 4 sin 3 2 f x x 是M 函数,证明如下: 因为 1 4 4sin cos 3 2 3 f x x x ,又 1 3 4 3 4 4cos ( ) cos(2 ) cos 2 3 2 3 3 f x x x x , 1 3 4 3 4 4cos ( ) cos(2 ) cos 2 3 2 3 3 f x x x x ,所以 1 1 1 3 3 2 2 f x f x f x , 故 1 4 sin 3 2 f x x 是M 函数, 2 2tan 3 f x x 是M 函数,证明如下: 因为 2 3 2 3 2 2 2tan ( ) tan( ) -tan tan 2 3 2 3 3 3 f x x x x x , 2 3 2 3 2 2tan ( ) tan( ) tan 2 3 2 3 3 f x x x x ,所以 2 2 2 3 3 2 2 f x f x f x ,故 2 2tan 3 f x x 是M 函数…………….4分 (2)因为 3 2 f x f x ,所以函数 f x 的周期为 3 2T ,又 3 2 f x f x , 所以函数 f x 关于直线 3 4 x 对称, 因为 3 ,3 2 x 时,所以 3 3 0, 2 2 x , 当 3 3 0, 2 4 x ,即 3 9 , 2 4 x 时, 3 3 ( ) ( ) sin( ) cos 2 2 f x f x x x ,…….7分 当 3 3 3 , 2 4 2 x ,即 9 ,3 4 x 时, 3 3 3 ( ) ( ) [ ( )] (3 ) 2 2 2 f x f x f x f x , 又 9 ,3 4 x 时, 3 3 0, 4 x ,所以 3 3 3 ( ) ( ) [ ( )] (3 ) sin(3 ) sin 2 2 2 f x f x f x f x x x , 综上, f x 在 3 ,3 2 上的解析式为 3 9 cos , , 2 4 9 sin , ,3 4 x x f x x x ;…………..10分 (3)由(2)知,当 3 3 , 4 2 x 时, 3 3 0, 2 4 x ,所以 3 3 ( ) ( ) sin( ) cos 2 2 f x f x x x ,得到 f(x) = sin x, x [0, 3 4 ] − cos x, x [ 3 4 , 3 2 ] 4 又函数的周期为 3 2 T ,所 0,6 x 时, f x 的图像如图, 由图知,当 0a 时, f x a 有 5个解,其和为 3 9 3 6 15 2 2 S , 当 20 2 a 时, f x a 有 8个解,由对称知,其和为 3 9 15 21 24 2 2 2 2 S , 当 2 2 a 时, f x a 有 12个解,由对称知,其和为 3 3 9 9 15 15 21 21 36 4 2 4 2 4 2 4 2 S , 当 2 1 2 a 时, f x a 有 16个解,由对称知,其和为 2 4 5 7 8 10 11 48 S , 当 1a 时, f x a 有 8个解,由对称知,其和为 5 7 11 2 4 5 24 2 2 2 2 S , 综上,方程所有解的和 15 , =0 224 ,0< < 2 236 , = 2 248 , 1 2 24 , =1 a a S a a a …………………………..17分