特训02 集合与常用逻辑用语 解答压轴题（四大模块）-2024-2025学年高一数学期中期末挑战满分冲刺卷（人教A版2019必修第一册，浙江专用）

特训02 集合与常用逻辑用语 解答压轴题（四大模块） 目录： 模块1：元素与集合 模块2：集合间的基本关系 模块3：集合的基本运算 模块4：充分条件与必要条件 模块1：元素与集合 1．设数集由实数构成，且满足：若（且），则. (1)若，试证明中还有另外两个元素； (2)集合是否为双元素集合，并说明理由； (3)若中元素个数不超过8个，所有元素的和为，且中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合. 2．已知非空实数集，满足：任意，均有；任意，均有． (1)直接写出中所有元素之积的所有可能值； (2)若由四个元素组成，且所有元素之和为3，求； (3)若非空，且由5个元素组成，求的元素个数的最小值． 模块2：集合间的基本关系 3．设，若，则称A为集合M的元“好集”． (1)写出实数集的一个二元“好集”； (2)请问正整数集上是否存在二元“好集”？说明理由； (3)求出正整数集上的所有三元“好集”． 4．含有有限个元素的数集，定义“元素和”如下：把集合中的各数相加；定义“交替和”如下：把集合中的数按从大到小的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数.例如{4，6，9}的元素和是4+6+9=19；交替和是9-6+4=7；而{5}的元素和与交替和都是5. （1）写出集合{1，2，3}的所有非空子集的交替和的总和； （2）已知集合，根据提示解决问题. ①求集合所有非空子集的元素和的总和； 提示：方法1：，先求出在集合的非空子集中一共出现多少次，进而可求出集合所有非空子集的元素和的总和；方法2：如果我们知道了集合{1，2，3，4，5}的所有非空子集的元素和的总和为，可以用表示出的非空子集的元素和的总和，递推可求出集合所有非空子集的元素和的总和. ②求集合所有非空子集的交替和的总和. 5．已知集合，其中且，非空集合，记为集合B中所有元素之和，并规定当中只有一个元素时，． (1)若，写出所有可能的集合B； (2)若，且是12的倍数，求集合B的个数； (3)若，证明：存在非空集合，使得是的倍数． 6．已知集合.对于A的一个子集S，若存在不大于n的正整数m，使得对于S中的任意一对元素，都有，则称S具有性质P. (1)当时，试判断集合和是否具有性质P?并说明理由； (2)当时，若集合S具有性质P，那么集合是否一定具有性质P?并说明理由； (3)当时，若集合S具有性质P，求集合S中元素个数的最大值. 7．对于一个所有元素均为整数的非空集合，和一个给定的整数，定义集合. (1)若，直接写出集合和； (2)若，其中，求的值，使得集合中元素的个数最少（直接写出答案，不需要说明理由）； (3)若和都是自然数，集合时，求出使得成立的所有和的值，并说明理由. 模块3：集合的基本运算 8．已知，，，记，用表示有限集合的元素个数. (1)若，，分别指出和时，集合的情况（直接写出结论）； (2)若，，求的最大值； (3)若，，则对于任意的A，是否都存在，使得？说明理由. 9．已知集合（，且）．若集合，同时满足下列两个条件，则称集合，具有性质． 条件（1）：，，且，都至少含有两个元素； 条件（2）：对任意不相等的，，都有，对任意不相等的，，都有． (1)当时，若集合，具有性质，且集合中恰有三个元素，试写出所有的集合； (2)若集合，具有性质，且，，求证：； (3)若存在集合，具有性质，求的最大值． 10．设，若非空集合同时满足以下4个条件，则称是“无和划分”： ①； ②； ③，且中的最小元素大于中的最小元素； ④，必有. (1)若，判断是否是“无和划分”，并说明理由. (2)已知是“无和划分”（）. ①证明：对于任意，都有； ②若存在，使得，记，证明：中的所有奇数都属于. 11．已知集合，其中都是的子集且互不相同，记的元素个数，的元素个数. (1)若，直接写出所有满足条件的集合； (2)若，且对任意，都有，求的最大值； (3)若且对任意，都有，求的最大值. 12．已知集合为非空数集，定义. (1)若集合，请证明，并直接写出集合； (2)若且，集合，求的最小值； (3)若集合，且，求证：. 模块4：充分条件与必要条件 13．已知集合，对于集合的非空子集，若中存在三个互不相同的元素，使得均属于，则称集合是集合的“期待子集”. (1)试判断集合是否为集合的“期待子集”；（直接写出答案，不必说明理由） (2)如果一个集合中含有三个元素，同时满足①，②，③为偶数.那么称该集合具有性质.对于集合的非空子集，证明：集合是集合的“期待子集”的充要条件是集合具有性质. 14．已知集合 (1)判断8，9，10是否属于集合A； (2)已知集合，证明：“”的充分条件是“”；但“”不是“”的必要条件； (3)写出所有满足集合A的偶数. 15．对于有限个自然数组成的集合，定义集合，记集合的元素个数为.定义变换，变换将集合变换为集合. （1）若，求； （2）若集合，证明：的充要条件是. 16．将全体自然数填入如下表所示的3行无穷列的表格中，每格只填一个数字，不同格内的数字不同. 第一行 … 第二行 … 第三行 … 对于正整数，，如果存在满足上述条件的一种填法，使得对任意，都有，，分别在表格的不同行，则称数对为自然数集的“友好数对”. （Ⅰ）试判断数对是否是的“友好数对”，并说明理由； （Ⅱ）试判断数对是否是的“友好数对”，并说明理由； （Ⅲ）若，请选择一个数，使得数对是的“友好数对”，写出相应的表格填法；并归纳给出使得数对是的“友好数对”的一个充分条件（结论不要求证明）. 17．设集合. （1）证明：属于的两个整数，其积也属于； （2）判断32、33、34是否属于，并说明理由； （3）写出“偶数属于”的一个充要条件并证明. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 特训02 集合与常用逻辑用语 解答压轴题（四大模块） 目录： 模块1：元素与集合 模块2：集合间的基本关系 模块3：集合的基本运算 模块4：充分条件与必要条件 模块1：元素与集合 1．设数集由实数构成，且满足：若（且），则. (1)若，试证明中还有另外两个元素； (2)集合是否为双元素集合，并说明理由； (3)若中元素个数不超过8个，所有元素的和为，且中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合. 【答案】(1)证明见解析； (2)不是，理由见解析； (3). 【分析】（1）利用集合与元素之间的关系证明即可； （2）根据条件求出元素间的规律即可； （3）先利用求出集合中元素个数，再根据所有元素和求解即可. 【解析】（1）由题意得若，则； 又因为，所以； 即集合中还有另外两个元素和. （2）由题意，若（且），则，则，若则； 所以集合中应包含，故集合不是双元素集合. （3）由（2）得集合中的元素个数应为3或6， 因为且中有一个元素的平方等于所有元素的积， 所以中应有6个元素，且其中一个元素为， 由结合条件可得， 又因为，所以剩余三个元素和为，即， 解得， 故. 2．已知非空实数集，满足：任意，均有；任意，均有． (1)直接写出中所有元素之积的所有可能值； (2)若由四个元素组成，且所有元素之和为3，求； (3)若非空，且由5个元素组成，求的元素个数的最小值． 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】（1）根据集合中的元素构成可得集合中的元素是以的形式，三个数为一组出现，从而可得结论； （2）根据集合中的元素构成可得集合中的元素是以的形式，四个数为一组出现，从而可得结论； （3）由（1）（2）可得集合的元素个数分别是以和为最小正周期循环，从而根据得元素个数，可确定的元素个数的最小值． 【解析】（1）已知非空实数集满足：任意，均有，且在实数范围内无解，所以， 所以，又 则集合中的元素是以的形式，三个数为一组出现，组和组不相交，且， 又，则S中所有元素之积的所有可能值为或； （2）已知非空实数集满足：任意，均有，且 所以，且，又 则集合中的元素是以的形式，四个数为一组出现，组和组不相交，且， 若由四个元素组成，则，且所有元素之和为3 所以，整理得 解得或 当或或或时， 综上，； （3）由（1）（2）集合的元素个数分别是以和为最小正周期循环， 且当时，同一周期内其余元素不相等， 因而和互素，所以和中的各组最多只能有一个公共元素， 因为有五个元素，若要使的元素个数最小，要使相同的元素尽量在同一个周期内， 若，此时从中选出5个元素属于，此时T包含20个元素，中包含， 若，此时从中选出5个元素属于，此时S包含15个元素，中包含， 所以的元素个数最小值为. 【点睛】关键点点睛：本题考查集合中元素的性质，综合性强.解题关键是确定集合中元素的构成以及元素个数关系，例如本题中集合中的元素是以的形式，三个数为一组出现，集合中的元素是以的形式，四个数为一组出现，组和组不相交. 模块2：集合间的基本关系 3．设，若，则称A为集合M的元“好集”． (1)写出实数集的一个二元“好集”； (2)请问正整数集上是否存在二元“好集”？说明理由； (3)求出正整数集上的所有三元“好集”． 【答案】(1)； (2)不存在，理由见解析； (3). 【分析】（1）通过对元“好集”的理解写出实数集的一个二元“好集”； （2）假设存在，利用作差法与整数的概念推出矛盾即可得证； （3）记正整数集上的一个三元“好集”为，利用条件可推得的值，进而求得，从而得到正整数集上的所有三元“好集”. 【解析】（1）因为， 所以是实数集的一个二元“好集”. （2）假设是正整数集上的一个二元“好集”，则，不妨设， 则有，故，得， 因为，所以，而，显然不成立，矛盾， 所以假设不成立，故正整数集上不存在二元“好集”. （3）设正整数集上的一个三元“好集”为，则，不妨设， 则有，故， 又因为且，所以， 将其代入得，故， 所以正整数集上的所有三元“好集”为. 4．含有有限个元素的数集，定义“元素和”如下：把集合中的各数相加；定义“交替和”如下：把集合中的数按从大到小的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数.例如{4，6，9}的元素和是4+6+9=19；交替和是9-6+4=7；而{5}的元素和与交替和都是5. （1）写出集合{1，2，3}的所有非空子集的交替和的总和； （2）已知集合，根据提示解决问题. ①求集合所有非空子集的元素和的总和； 提示：方法1：，先求出在集合的非空子集中一共出现多少次，进而可求出集合所有非空子集的元素和的总和；方法2：如果我们知道了集合{1，2，3，4，5}的所有非空子集的元素和的总和为，可以用表示出的非空子集的元素和的总和，递推可求出集合所有非空子集的元素和的总和. ②求集合所有非空子集的交替和的总和. 【答案】（1）12；（2）①672，②192 【分析】（1）写出集合{1，2，3}的非空子集，根据交替和的概念，求得各个交替和，综合即可得答案. （2）①求得集合{1，2，3}所有非空子集中，数字1、2、3各出现的次数，集合{1，2，3，4}所有非空子集中，数字1、2、3、4各出现的次数，根据规律，推测出集合M中各数字出现的次数，即可得答案. ②分别求得集合的交替和总和，根据规律，总结出n个元素的交替和总和公式，代入数据，即可得答案. 【解析】（1）集合{1，2，3}的非空子集为{1}，{2}，{3}，{2，1}，{3，1}，{3，2}，{3，2，1}， 集合{1}，{2}，{3}的交替和分别为1，2，3， 集合{2，1}的交替和为2-1=1， 集合{3，1}的交替和为3-1=2， 集合{3，2}的交替和为3-2=1， 集合{3，2，1}的交替和为3-2+1=2， 所以集合{1，2，3}的所有非空子集的交替和的总和为1+2+3+1+2+1+2=12. （2）①集合{1，2，3}所有非空子集中，数字1、2、3各出现次， 集合{1，2，3，4}所有非空子集为：{1}，{2}，{3}，{4}，{2，1}，{3，1}，{4，1}，{3，2}，{2，4}，{3，4}，{3，2，1}，{4，2，1}，{4，3，1}，{4，3，2}，{4，3，2，1}， 其中数字1、2、3、4各出现次， 在集合{1，2，3，4，5}所有非空子集中，含1的子集的个数为， 故数字1在个子集中出现即数字1在所有的非空子集中出现了16次， 同理数字2、3、4、5各出现次， 同理在集合{1，2，3，4，5，6}所有非空子集中，数字1、2、3、4、5、6各出现次， 所以集合所有非空子集的元素和的总和为. ②设集合的交替和分别为， 集合{1}的所有非空子集的交替和为 集合{1，2}的所有非空子集的交替和， 集合{1，2，3}的非空子集的交替和， 集合{1，2，3，4}的非空子集的交替和 所以根据前4项猜测集合的所有非空子集的交替和总和为， 所以集合所有非空子集的交替和的总和 【点睛】解题的关键是根据题意，列出非空子集，求得元素和、交替和，总结规律，进行猜想，再代数求解，分析理解难度大，属难题. 5．已知集合，其中且，非空集合，记为集合B中所有元素之和，并规定当中只有一个元素时，． (1)若，写出所有可能的集合B； (2)若，且是12的倍数，求集合B的个数； (3)若，证明：存在非空集合，使得是的倍数． 【答案】(1)，，， (2)4 (3)证明见详解 【分析】根据条件，可列出（1）（2）中所有满足条件的；对（3），分情况讨论，寻找使是倍数的集合. 【解析】（1）所有可能的集合为：，，，. （2）不妨设：，由于，且， 所以. 由题意，是12的倍数时，或. 当时，因为， 所以当且仅当时，成立，故符合题意. 当时， 若，则，故或符合题意； 若，则，故符合题意； 若，则，无解. 综上，所有可能的集合为，，，. 故满足条件的集合的个数为. （3）（1）当时，设，则 ， 这个数取个值，故其中有两个数相等. 又因为，于是， 从而互不相等，互不相等， 所以存在，使得. 又因，故. 则，则，结论成立. （2）当时，不妨设， 则（），在这个数中任取3个数，. 若与都是的倍数，， 这与矛盾. 则至少有2个数，它们之差不是的倍数，不妨设不是的倍数. 考虑这个数：，，，，，. ①若这个数除以的余数两两不同，则其中必有一个是的倍数，又，且均不为， 故存在，使得. 若为偶数，取，则，结论成立； 若为奇数，取，则，结论成立. ②若这个数除以的余数中有两个相同，则它们之差是的倍数，又，均不是的倍数， 故存在，使得. 若为偶数，取，则，结论成立； 若为奇数，取，则，结论成立. 综上，存在非空集合，使得是的倍数. 【点睛】关键点点睛：如何找到非空集合，使得是的倍数是问题的关键. 6．已知集合.对于A的一个子集S，若存在不大于n的正整数m，使得对于S中的任意一对元素，都有，则称S具有性质P. (1)当时，试判断集合和是否具有性质P?并说明理由； (2)当时，若集合S具有性质P，那么集合是否一定具有性质P?并说明理由； (3)当时，若集合S具有性质P，求集合S中元素个数的最大值. 【答案】(1)集合B不具有性质P，集合具有性质P，理由见解析 (2)具有，理由见解析 (3)1333 【分析】（1）根据集合S具有性质P的定义去判断已知集合是否满足定义，即可判断； （2）根据集合，任取，因为，说明，可得，即可说明，继而结合定义即可得结论； （3）设集合S有k个元素，可推出集合S与T中必有一个集合中至少存在一半元素不超过1000，不妨设S中有t（）个元素不超过1000，从而可得不等式，结合k为正整数，可得，再结合定义，即可确定答案. 【解析】（1）当时，集合，， 则集合B不具有性质P，理由如下： 因为对于任意不大于n的正整数m，都可以找到该集合中的两个元素， 使得成立； 集合具有性质P，理由如下： 因为可取，对于该集合中的任意一对元素， 都有； （2）当时，集合， 若集合S具有性质P，那么集合一定具有性质P，理由如下： 首先因为集合，任取，其中， 因为，所以， 从而，即，故, 由于S具有性质P，可知存在不大于1000的正整数m， 使得对于S中的任意一对元素，都有， 对于上述正整数m，从集合中任取一对元素， 其中，则有， 故集合具有性质P. （3）设集合S有k个元素，由第（2）问可知，若集合S具有性质P，那么集合一定具有性质P， 任给，则x与中必有一个不超过1000， 所以集合S与T中必有一个集合中至少存在一半元素不超过1000， 不妨设S中有t（）个元素不超过1000， 由集合S具有性质P可知存在正整数， 使得对于S中的任意一对元素，都有， 所以一定有， 又，故， 因此集合A中至少有t个元素不在子集S中， 故，即，结合k为正整数，可得， 当时，取， 则可知集合S中任意两个元素，都有， 即集合S具有性质P，而此时集合S中有1333个元素， 因此集合S中元素个数的最大值为1333. 【点睛】难点点睛：本题是关于集合新定义类题目，解答的难点在于要理解新定义，明确其内涵，并能根据其含义去解决问题. 模块3：集合的基本运算 7．对于一个所有元素均为整数的非空集合，和一个给定的整数，定义集合. (1)若，直接写出集合和； (2)若，其中，求的值，使得集合中元素的个数最少（直接写出答案，不需要说明理由）； (3)若和都是自然数，集合时，求出使得成立的所有和的值，并说明理由. 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)，或，，理由见解析 【分析】（1）根据题意，集合，利用列举法，即可求得； （2）由，得到，得到时，此时中的元素个数最少，分类讨论，即可求解； （3）根据题意，分、和三种情况分类讨论，结合题设条件，即可求解. 【解析】（1）由题意，集合，且， 当时，可得； 当时，可得； 当时，可得. （2）由题意，集合， 对于，其中， 当时，此时中的元素个数最少， 若为奇数，则时，中的元素个数最少； 若为偶数，则或时，中的元素个数最少. （3）若时，可得，此时，且，所以； 若时，可得，要使得且， 则，即. 若时，此时，显然中有很多自然数空缺，所以不成立. 综上可得：，或，. 【点睛】关键点点睛：对于集合新定义问题，关键在于理解所给新定义，根据所给新定义，创新性解决问题. 8．已知，，，记，用表示有限集合的元素个数. (1)若，，分别指出和时，集合的情况（直接写出结论）； (2)若，，求的最大值； (3)若，，则对于任意的A，是否都存在，使得？说明理由. 【答案】(1) (2)10 (3)不一定存在，理由见解析 【分析】（1）由已知得，其中，当时，相差3；由此可求得，当时，同理可得； （2）若，，，当时，则相差5，所以，A中至多有5个元素，所以也至多有5个元素，求出得出结果； （3）举反例和，根据题意检验即可说明. 【解析】（1）若，则，其中， 否则，， 若，当时，，， 所以，则，相差3， 因为，， 所以； 当时，，，， 所以， 因为，， 所以不存在； （2）若，，， 当时，，，，，，， 所以，，所以不存在； 所以A中至多有5个元素； 当时，，，，， 所以，则，相差5，所以； ， 所以，，. 因为中至多有5个元素，所以，也至多有5个元素， 所以的最大值为10. （3）不一定存在，理由如下： 例如， 则，，，，， 则，相差不可能1，2，3，4，5，6， 这与矛盾，故不都存在； 例如，不妨令， 则，满足. 【点睛】关键点点睛：对于新定义问题，要充分理解定义，并把定义进行转化为已知的知识点或结论，方便解题. 9．已知集合（，且）．若集合，同时满足下列两个条件，则称集合，具有性质． 条件（1）：，，且，都至少含有两个元素； 条件（2）：对任意不相等的，，都有，对任意不相等的，，都有． (1)当时，若集合，具有性质，且集合中恰有三个元素，试写出所有的集合； (2)若集合，具有性质，且，，求证：； (3)若存在集合，具有性质，求的最大值． 【答案】(1)，，； (2)证明见解析； (3)32. 【分析】（1）根据性质可得答案； （2）记“对任意不相等的，，都有”为条件①，记“对任意不相等的，，都有”为条件②，分析条件①②中的元素可得答案； （3）一方面求出时，可构造集合、使其具有性质；一方面，当时，可证明不存在具有性质的集合，可得答案. 【解析】（1）所有的集合为，，； （2）记“对任意不相等的，，都有”为条件①， 记“对任意不相等的，，都有”为条件②． 由条件②得． 由，和条件②得，即． 由条件①得，即． 由条件②得，即． 由条件①得，即． 由条件②得，即． 由条件①得，即． 由条件①得，即． 由条件②得，与矛盾， 所以，即 （3）的最大值为32．证明如下： 一方面，当时，可构造集合， 具有性质； 另一方面，当时，可证明不存在具有性质的集合，． 证明如下： 由（2）知，，且当，时，， 此时不存在具有性质的集合，． 由条件①得2，3不能同时属于集合． 下面讨论2和3一个属于集合，一个属于集合的情况： （1）当，时，由条件①得，即． 由条件②得，即． 由条件①得，即，． 因为，，，， 由条件②得，， 即，． 由条件①得，，即，． 由条件②得，与矛盾， 此时不存在具有性质的集合，． （2）当，时，由条件②得4，5不能同时属于集合， 下面分三种情形： 情形一：若，，由条件①得，即． 由条件②得，，即，． 由条件①得，即． 由条件①得，即． 由条件②得，与矛盾， 此时不存在具有性质的集合，． 情形二：若，，由条件①得，， 即，． 由条件②得，即． 由条件①得，即． 由条件②得，即． 由条件①得，即． 由条件②得，与矛盾， 此时不存在具有性质的集合，． 情形三：若，，由条件②得，即． 由条件①得，即． 由条件②得，即． 由条件①得，即． 由条件②得，即． 由条件②得，即． 由条件①得，与矛盾， 此时不存在具有性质的集合， 综上，的最大值为32． 【点睛】思路点睛：此题考查数列与集合结合的新定义问题，属于难题，关于新定义题的思路有：（1）找出新定义有几个要素,找出要素分别代表什么意思；（2）由已知条件,看所求的是什么问题,进行分析，转换成数学语言；（3）将已知条件代入新定义的要素中；（4）结合数学知识进行解答. 10．设，若非空集合同时满足以下4个条件，则称是“无和划分”： ①； ②； ③，且中的最小元素大于中的最小元素； ④，必有. (1)若，判断是否是“无和划分”，并说明理由. (2)已知是“无和划分”（）. ①证明：对于任意，都有； ②若存在，使得，记，证明：中的所有奇数都属于. 【答案】(1)不是，理由见解析 (2)①证明见解析；②证明见解析 【分析】（1）取，则，即可得到结论； （2）①假设存在，使得，记的最小值为，得到，设B中最小的元素为，求得 不同属于，列出方程组，即可得到结论； ②由①知 ，设中最小的元素为, 得出 矛盾， 求得，进而得到，，得到对于任意奇数 都有 ，进而得到结论. 【解析】（1）解：不是. 理由如下：取，则，说明不是“无和划分”. （2）解：①假设存在，使得, 记的最小值为，则； 设B中最小的元素为，则，所以， 所以，（否则与矛盾）， (否则与 矛盾)，所以 ， 因为 ，所以 不同属于， 所以 这与矛盾，所以假设不成立. ②因为是“无和划分”, 且存在, 使得 记i的最小值为， 所以 ， 由①知 ， 因为, 所以 ，所以， 设中最小的元素为, 若，则，所以 ， 所以 (否则与 矛盾)， 所以 (否则 与 矛盾)， 所以 ，又因为 和 不同属于C，所以 ， 这与 矛盾， 所以，即， 所以，所以，所以， 所以(否则与 矛盾)，所以 ， 若，则与 和 矛盾， 所以所以, (否则与 矛盾)， (否则与 矛盾)，所以 ， 以此类推，对于任意奇数 都有 ， 所以为偶数(否则， 与2∈B和 矛盾), 所以 均为奇数. 因为 ，所以 (否则与 矛盾)，所以 ， 所以 ，所以 (否则与 矛盾)，所以 ， 以此类推，对于任意大于，小于或等于的奇数都属于集合， 综上所述，中的所有奇数都属于集合. 【点睛】知识方法点拨：与新定义有关的问题的求解策略： 1、通过给出一个新的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解题的目的； 2、遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决. 方法点拨：与数列有关的问题的求解策略： 3、若新定义与数列有关，可得利用数列的递推关系式，结合数列的相关知识进行求解，多通过构造的分法转化为等差、等比数列问题求解，求解过程灵活运用数列的性质，准确应用相关的数列知识. 4、若新定义与集合的运算有关，要熟记集合的性质以及集合的运算法则，必要时可利用集合的韦恩图，更加直观的求解. 11．已知集合，其中都是的子集且互不相同，记的元素个数，的元素个数. (1)若，直接写出所有满足条件的集合； (2)若，且对任意，都有，求的最大值； (3)若且对任意，都有，求的最大值. 【答案】(1)或或或 (2) (3) 【分析】（1）根据新定义对交集情况分类讨论即可； （2）将集合的子集进行两两配对得到16组，写出选择的16个含有元素1的子集即可得到； （3）分中有一元集合和没有一元集合但有二元集合，以及均为三元集合讨论即可. 【解析】（1）因为，则和的元素个数均为1， 又因为，则， 若，，则或； 若，，则或； 综上或或或. （2）集合共有32个不同的子集， 将其两两配对成16组， 使得，则不能同时被选中为子集，故. 选择的16个含有元素1的子集:，符合题意. 综上，. （3）结论:，令，集合符合题意. 证明如下： ①若中有一元集合，不妨设，则其它子集中都有元素1，且元素都至多属于1个子集， 所以除外的子集至多有个，故. ②若中没有一元集合，但有二元集合，不妨设.其它子集分两类: 或，和或， 其中互不相同，互不相同且均不为1，2. 若，则，有 若，则由得每个集合中都恰包含中的1个元素（不是2)，且互不相同， 因为中除2外至多还有2个元素，所以. 所以. ③若均为三元集合，不妨设.将其它子集分为三类： ，其中. 若，则(除1，2，3外，其它元素两个一组与1构成集合)， 所以. 若，不妨设，则由得每个集合中都或者有4、或者有5， 又中除1外无其它公共元素，所以. 所以. 综上，. 【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是充分理解集合新定义，然后对中集合元素个数进行分类讨论；当均为三元集合时，不妨设，再将其它子集分为三类讨论. 12．已知集合为非空数集，定义. (1)若集合，请证明，并直接写出集合； (2)若且，集合，求的最小值； (3)若集合，且，求证：. 【答案】(1)见解析；； (2) (3)见解析 【分析】（1）根据题目的定义，即可证明，再直接计算集合即可; （2）通过假设集合，求出对应的集合，通过，建立不等式关系，即可得出答案. （3）根据集合相等的概念，证明即可； 【解析】（1）由， 集合，所以，所以， 因为， 所以. （2）设满足题意，其中， 则， ∴，，∴， ∵，由容斥原理， 中最小的元素为0，最大的元素为，， ∴，即，∴． 实际上当时满足题意， 证明如下：设，， 则，， 依题意有，即， 故n的最小值为675. （3）由于集合，， 则集合的元素在0，，，，，，中， 且，， 而，故中最大元素必在中，而为7个元素中的最大者， 故即，故， 故中的4个元素为0，，，， 且，，与，，重复， 而，故即， 而，故，故或， 若，则，，与题设矛盾； 故即. 【点睛】方法点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝. 模块4：充分条件与必要条件 13．已知集合，对于集合的非空子集，若中存在三个互不相同的元素，使得均属于，则称集合是集合的“期待子集”. (1)试判断集合是否为集合的“期待子集”；（直接写出答案，不必说明理由） (2)如果一个集合中含有三个元素，同时满足①，②，③为偶数.那么称该集合具有性质.对于集合的非空子集，证明：集合是集合的“期待子集”的充要条件是集合具有性质. 【答案】(1)是集合的“期待子集”，不是集合的“期待子集” (2)证明见解析 【分析】（1）根据所给定义判断即可. （2）先证明必要性，再证明充分性，结合所给“期待子集”的定义及性质的定义证明即可； 【解析】（1）因为， 对于集合，令，解得，显然，， 所以是集合的“期待子集”； 对于集合，令，则， 因为，即，故矛盾，所以不是集合的“期待子集” （2）先证明必要性： 当集合是集合的“期待子集”时，由题意，存在互不相同的，使得， 不妨设，令，，，则，即条件中的①成立； 又，所以，即条件中的②成立； 因为， 所以为偶数，即条件中的③成立； 所以集合满足条件. 再证明充分性： 当集合满足条件时，有存在，满足①，②，③为偶数， 记，，， 由③得，由①得，由②得， 所以， 因为，，，所以，，均属于， 即集合是集合的“期待子集” 【点睛】关键点睛：涉及集合新定义问题，关键是正确理解给出的定义，然后合理利用定义，结合相关的其它知识，分类讨论，进行推理判断解决. 14．已知集合 (1)判断8，9，10是否属于集合A； (2)已知集合，证明：“”的充分条件是“”；但“”不是“”的必要条件； (3)写出所有满足集合A的偶数. 【答案】(1)，， (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由，即可证，若，而，列方程组判断是否存在整数解，即可判断10是否属于A. （2）由，结合集合A的描述知，由（1），而，即可证结论； （3）由集合A的描述：，讨论m，n同奇或同偶、一奇一偶，即可确定的奇偶性，进而写出所有满足集合A的偶数. 【解析】（1），，故，， 假设，，则，且， 由，得或，显然均无整数解， ∴， 综上，有：，，； （2）集合，则恒有， ∴，即一切奇数都属于A，即，则必有； 又，而，即，推不出， ∴“”的充分条件是“”；但“”不是“”的必要条件； （3）集合，， ①当m，n同奇或同偶时，均为偶数，为4的倍数； ②当m，n一奇一偶时，均为奇数，为奇数， 综上，所有满足集合A的偶数为． 【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于根据集合的性质，应用因式分解、恒等转化、代数式的奇偶性讨论，判断元素与集合的关系，证明条件间的充分、必要关系，确定满足条件的数集. 15．对于有限个自然数组成的集合，定义集合，记集合的元素个数为.定义变换，变换将集合变换为集合. （1）若，求； （2）若集合，证明：的充要条件是. 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【分析】（1）根据题干中对集合和的定义，可以求出两个集合 （2）证明充要条件要从两方面证明，一是证明充分性，而是证明必要性，都成立则说明是充要条件 【解析】解：（1）若集合, 则根据定义可得：. （2）由. 充分性：设是公差为的等差数列, 则 且, 所以共有个不同的值, 即. 必要性：若, 因为, 所以中有个不同的元素：, 任意的值都与上述某一项相等. 又, 且. 所以, 所以是等差数列，且公差不为. 16．将全体自然数填入如下表所示的3行无穷列的表格中，每格只填一个数字，不同格内的数字不同. 第一行 … 第二行 … 第三行 … 对于正整数，，如果存在满足上述条件的一种填法，使得对任意，都有，，分别在表格的不同行，则称数对为自然数集的“友好数对”. （Ⅰ）试判断数对是否是的“友好数对”，并说明理由； （Ⅱ）试判断数对是否是的“友好数对”，并说明理由； （Ⅲ）若，请选择一个数，使得数对是的“友好数对”，写出相应的表格填法；并归纳给出使得数对是的“友好数对”的一个充分条件（结论不要求证明）. 【答案】（Ⅰ）数对是的“友好数对”；（Ⅱ） 数对不是的“友好数对”；（Ⅲ） ；. 【分析】（Ⅰ）由整除的知识易证数对是的 “友好数对”； （Ⅱ）通过举例可证明数对不是的“友好数对”； （Ⅲ）由（Ⅰ）中的结论可猜测时，数对是“友好数对”，此时当证明时，存在满足题意的表格填法即可.；由（Ⅰ）与（Ⅱ）中的结论可推测时，数对是的“友好数对”. 【解析】（Ⅰ）对于数对， 将表中第一行填入能被整除的自然数， 第二行填入被整除余的自然数， 第三行填入被整除余的自然数， 对于任意，，，必分别在表格的不同行， 故数对是的“友好数对”. （Ⅱ）对于数对， 假设数对是的“友好数对”， 令，则，， 此时互不同行， 令，则，， 此时互不同行， 因为与互不同行，则必与或同行， 令，则，， 此时互不同行， 令，则，， 此时互不同行， 即不与、同行，故假设不成立， 则数对不是的“友好数对”. （Ⅲ）存在满足题意的， 令，则，， 此时将数表中的第一行填入被整除余的数， 第二行依次填入被整除余的数， 第三行依次填入被整除余的数， 在此表中，差为或的两个数不可能在同一行， 此时对于任意， 在以及除以的余数中， 较大数与任意较小数之差必为或， 若按表中方法填入式， 任意两数均不可能在同一行， 则以及比不同行， 故满足题意， 此时表格的填法如下： 第一行                          … 第二行                          … 第三行                          … 由上可知使得数对是的“友好数对”的一个充分条件为， 当时，， 在该条件下，数表的填法为： 第一行填入被整除余的数， 第二行依次填入被整除余的数， 第三行依次填入被整除余的数， 在此表中，差为或的两个数不可能在同一行， 此时对于任意， 在以及除以的余数中， 较大数与任意较小数之差必为或， 若按表中方法填入式， 任意两数均不可能在同一行， 则以及比不同行， 故满足题意， 则“”为使得数对是的“友好数对”的一个充分条件. 【点睛】本题主要考查集合的运算和充分条件与必要条件，考查了考生的分析能力，属于难题. 17．设集合. （1）证明：属于的两个整数，其积也属于； （2）判断32、33、34是否属于，并说明理由； （3）写出“偶数属于”的一个充要条件并证明. 【答案】（1）见解析；（2），，理由见解析；（3）为偶数，证明见解析. 【分析】（1）设，，则对进行化简，观察其是否满足集合M的条件，进行判断即可；（2）用反证法进行判断即可；（3）证明充要条件时既要证充分性，又要证必要性. 【解析】（1）设集合中的元素，，所以 ， 因为，所以，，所以有，，则，所以属于的两个整数，其积也属于. （2）因为，所以； ，所以； 假设，同上可得，因为，所以与有相同奇偶性，因为34为偶数，所以与均为偶数，所以应为4的倍数，而34不是4的倍数，所以假设不成立，所以. （3）“偶数属于”的一个充要条件是为偶数. 充分性：因为为偶数，设，所以，而，所以满足集合，所以偶数属于； 必要性：因为偶数属于，所以，因为，所以与有相同奇偶性，因为为偶数，所以与均为偶数，所以应为4的倍数，必为4的倍数，即必为2的倍数，所以为偶数. 【点睛】本题主要考查集合与元素之间的关系以及充要条件，解题的关键是会用反证法证明，以及会证明充要条件. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$