特训04 二次函数 选填压轴题（浙江精选）-2024-2025学年九年级数学上学期期中期末挑战满分冲刺卷（浙教版，浙江专用）

特训04 二次函数 选填压轴题（浙江精选） 一、单选题 1．（23-24八年级下·浙江金华·期末）点是二次函数图像上的四个点，下列说法一定正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）已知二次函数的图象上有两点，，其中，则（    ） A．若，当，则 B．若，当，则 C．若，当，则 D．若，当，则 3．（2024·浙江·三模）已知点，在函数（，为常数）的图象上，则下列判断正确的是（     ） A．当时，若，则 B．当时，若，则 C．当时，若，则 D．当时，若，则 4．（2024·浙江宁波·一模）关于的方程有两个不相等的实数根，且较小的根为2，则下列结论： ①； ②； ③关于的方程有两个不相等的实数根； ④抛物线的顶点在第四象限． 其中正确的结论有（   ） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 5．（22-23九年级上·浙江台州·期末）已知，则下列说法正确的个数是（   ） ①若的解集是，则； ②若，则二次函数的图象与轴始终有2个交点； ③若，则的解集是； ④若二次函数的图象上有两个点分别为，则方程的一个解为． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（23-24九年级上·浙江杭州·开学考试）已知二次函数（a为非零常数，），当时，y随x的增大而增大，则下列结论正确的是（   ） ①若时，则y随x的增大而减小；②若图象经过点，则；③若，是函数图象上的两点，则；④若图象上两点，对一切正数n，总有，则． A．①② B．①③ C．①④ D．③④ 7．（2024·浙江金华·二模）已知二次函数，当时，或．若，是抛物线上的两点，且，则的取值范围为（    ） A． B．或 C． D．或 8．（23-24九年级下·浙江杭州·期中）已知函数，若则下列说法正确的是（    ） A．当时，有最小值 B．当时，无最大值 C．当时，有最小值 D．当时，有最大值 9．（23-24九年级上·浙江舟山·阶段练习）在平面直角坐标系中，若点的横坐标和纵坐标相等，则称点为完美点．已知二次函数（）的图象上有且只有一个完美点，且当时，函数（）的最小值为，最大值为1，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）如图，正的边长为1，点P从点B出发，沿方向运动，于点H，下面是的面积随着点P的运动形成的函数图像（拐点左右两段都是抛物线的一部分），以下判断正确的是（    ） A．函数图象的横轴表示的长 B．当点P为中点时，点H为线段的三等分点 C．两段抛物线的形状不同 D．图象上点的横坐标为时，纵坐标为 11．（23-24九年级上·浙江台州·期末）已知m，n为整数，抛物线（b为常数）经过点，．现有两个命题：①若，则与可能相等；②若，则与可能相等．则下列说法正确的是（    ） A．①，②都是真命题 B．①，②都是假命题 C．①是真命题，②是假命题 D．①是假命题，②是真命题 12．（23-24九年级上·浙江湖州·期末）在平面直角坐标系中，已知点的坐标分别为，若抛物线与线段只有一个公共点，则的取值范围是（    ） A．或 B．或或 C．或 D．或 13．（23-24九年级上·浙江嘉兴·期末）定义为函数的特征数，下面给出的特征数为时，关于函数的一些结论，其中不正确的是（   ） A．当时，函数的最大值为 B．当时，函数图像的顶点到直线的距离为 C．函数图像恒过两个定点和 D．当时，函数在时，随的增大而增大 14．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）已知点为抛物线（m为常数，m＞0）上的两点，当时，（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 15．（23-24九年级上·浙江·期中）对于代数式，下列说法正确的是　　 ①存在实数、，使得； ②若存在实数、有，则； ③若，则存在实数、，且，使； ④若，则一定存在实数、有，则． A．①③④ B．①②③ C．①③ D．②③ 16．（23-24九年级上·福建厦门·期中）已知抛物线与轴的交点为和，点，是抛物线上不同于的两个点，记的面积为，的面积为，则下列结论正确的是（　　） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 17．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）抛物线的顶点为，与轴的一个交点在点和之间，其部分图象如图，则以下结论：①；②若方程没有实数根，则；③；④图象上有两点和，若且，则一定有；正确的是（    ）    A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 二、填空题 18．（20-21九年级上·浙江·周测）已知函数，方程有三个不同的解，则的取值范围为 ． 19．（2024·浙江绍兴·模拟预测）已知点，为二次函数图象上两点，当时，二次函数随增大而减小，若，时，恒成立，则的取值范围是 ． 20．（2023·浙江金华·三模）某品牌水果冻的高为3cm，底面圆的直径为4cm，两个水果冻倒装在一个长方体盒子内，如图为横断示意图，水果冻的截面可以近似地看成两条抛物线．以左侧抛物线的顶点O为原点，建立如图所示的直角坐标系．    （1）以O为顶点的抛物线的函数表达式是 ． （2）制作该长方体盒子所需纸张面积最小值是 cm2．（不计重叠部分） 21．（2023·广东广州·一模）如图，抛物线与交于点，且分别与轴交于点，．过点作轴的平行线，交抛物线于点，．则以下结论： ①无论取何值，总是负数； ②抛物线可由抛物线向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到； ③当时，随着的增大，的值先增大后减小； ④四边形为正方形． 其中正确的是 ．（填写正确的序号） 22．（22-23九年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图抛物线与轴交于，与轴交于点，点为顶点，线段上有一动点，以为底边向下作等腰三角形，且，则的最小值为 ． 23．（22-23九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知二次函数，下列结论： ①当时，二次函数图象经过原点； ②当时，二次函数有最小值； ③当时，二次函数的对称轴在y轴右侧； ④当，时，y随x的增大而减小，则正确结论有 （填序号即可）． 24．（22-23九年级上·浙江杭州·期中）点A，B的坐标分别为和，抛物线的顶点在线段上运动时，形状保持不变，且与x轴交于C，D两点（点C在点D的左侧），给出下列结论：①；②当时，y随x的增大而增大；③若点D的横坐标最大值为5，则点C的横坐标最小值为；④当四边形为平行四边形时，．其中正确的是 ． 25．（22-23九年级上·浙江嘉兴·期中）在直角坐标系中，对于点和，给出如下定义：若称点Q为点P的“可控变点”，例如：点的“可控变点”为点，点的“可控变点”为点． （1）若点是一次函数图象上点M的“可控变点”，则点的坐标为 ； （2）若点P在函数的图象上，其“可控变点”Q的纵坐标的取值范围是，则实数a的取值范围是 ． 26．（22-23九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知抛物线与轴的交点为和，点，，，是抛物线上不同于，的两个点，记△的面积为，△的面积为.有下列结论：①当时，；②当时，；③当时，；④当时，.其中正确结论的是 . 27．（21-22九年级上·浙江湖州·期末）如图，在抛物线（a >0）上有两点P、Q，点P的坐标为（4m，y1），点Q的坐标为（m，y2）（m>0），点M在y轴上，M的坐标为（0，1）． （1）用含a、m的代数式表示= ． （2）连接PM，QM，小磊发现：当直线PM与直线QM关于直线y=对称时，为定值d，则d= ． 28．（21-22九年级上·浙江杭州·期中）对于二次函数y＝﹣x2+2（m+1）x+6m+4．下列说法正确的有： （填序号） ①函数图象开口向下； ②当x≥m时，y随x的增大而减小； ③函数图象过定点（﹣3，﹣11）； ④若不等式＜0的解集为全体实数，则﹣4﹣＜m＜﹣4+． 29．（2019·浙江湖州·二模）对于一个函数给出如下定义：对于函数，若当，函数值满足，且满足，则称此函数为“属和合函数”． 例如：正比例函数，当时，，则，求得：，所以函数为“3属和合函数”． （1）若一次函数为“1属和合函数”，则的值 ； （2）已知二次函数，当时，是“属和合函数”，则的取值范围 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 特训04 二次函数 选填压轴题（浙江精选） 一、单选题 1．（23-24八年级下·浙江金华·期末）点是二次函数图像上的四个点，下列说法一定正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质及不等式，根据二次函数的对称轴及开口方向、确定各点纵坐标值的大小关系是解题的关键． 先求出抛物线的对称轴，根据抛物线的开口方向和增减性，根据横坐标的值，可判断出各点纵坐标值的大小关系即可解答． 【解析】解：∵二次函数的对称轴为：，且开口向下， ∴距离对称轴越近，函数值越大， ， A.若，则不一定成立，故选项错误，不符合题意； B.若，则不一定成立，故选项错误，不符合题意； C.若，所以不一定成立，故选项错，不符合题意； D．若，则一定成立，故选项正确误，符合题意． 故选：D． 2．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）已知二次函数的图象上有两点，，其中，则（    ） A．若，当，则 B．若，当，则 C．若，当，则 D．若，当，则 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，由二次函数的解析式求得对称轴为直线，然后判断与的大小，即可判断每个选项正误，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【解析】解：由二次函数得， 当时，， 解得，， ∴二次函数经过点，， ∴对称轴为直线， 、若，当时， ∴， 则，故不符合题意； 、若，当时， ∴， 则，故不符合题意； 、若，当时， ∴， 则，故符合题意； 、若，当， ∴， 则，故不符合题意； 故选：． 3．（2024·浙江·三模）已知点，在函数（，为常数）的图象上，则下列判断正确的是（     ） A．当时，若，则 B．当时，若，则 C．当时，若，则 D．当时，若，则 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 依据题意，由点，在函数，为常数）的图象上，从而，，进而根据和分别进行分析即可得解． 【解析】解：由题意，点，在函数，为常数）的图象上， ，． 当时， A、若， ． ． ． ． ，故A错误，故本选项不符合题意； B、若， ． ． 或． 的符号不确定． 故B错误，故本选项不符合题意； 当时， C、若， ． ． 或． 的符号不确定． 故C错误，故本选项不符合题意； D、若， ． ． ． ． ，故D正确，故本选项符合题意． 故选：D． 4．（2024·浙江宁波·一模）关于的方程有两个不相等的实数根，且较小的根为2，则下列结论： ①； ②； ③关于的方程有两个不相等的实数根； ④抛物线的顶点在第四象限． 其中正确的结论有（   ） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，主要利用了一元二次方程的根的定义，根与系数的关系，二次函数图象与几何变换，把方程的根代入计算即可求出，判定①正确；利用根与系数的关系求出，从而判定②正确；根据二次函数与x轴有两个交点，且顶点坐标在第四象限，向上平移2个单位，与x轴不一定有交点，判定③错误，向下平移2个单位，顶点一定在第四象限，判定④正确③④两题考虑用二次函数的平移求解是解题的关键． 【解析】解：是方程的根， ， ，故①正确； 是方程的两个根中较小的根， ∴，， ， ，故②正确； ∵方程有两个不相等的实数根，且较小的根为2， ∴二次函数与x轴有两个交点，且对称轴在直线的右边， ∴二次函数顶点坐标在第四象限， 向上平移2个单位得到二次函数，与x轴不一定有交点， ∴关于x的方程有两个不相等的实数根错误，故③错误； 向下平移2个单位得到二次函数，顶点坐标一定在第四象限，故④正确； 综上所述，正确的结论有①②④共3个． 故选：C． 5．（22-23九年级上·浙江台州·期末）已知，则下列说法正确的个数是（   ） ①若的解集是，则； ②若，则二次函数的图象与轴始终有2个交点； ③若，则的解集是； ④若二次函数的图象上有两个点分别为，则方程的一个解为． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数的性质． ①根据的解集，找到函数图象与轴的交点，将两个交点代入函数表达式，求得的值；②判断函数图象与轴的交点个数应判断的正负性，根据，计算，因为，所以图象与轴始终有两个交点；③将代入函数表达式，整理表达式可得，当时，并不能确定函数的正负性，所以并不符合题意；④将已知点代入函数表达式，求得函数表达式，将代入，可以发现此时，所以并不符合题意． 【解析】解：①若的解集是，则抛物线的开口应向下，且与轴的交点为， ∴函数可写作：， ∴即， ∴解得：；故①符合题意； ②若，则， ， ∴二次函数的图象与轴始终有2个交点，故②符合题意； ③若，则函数表达式为：， 整理可得：， 当时，不能确定正负号，故③不符合题意； ④将代入函数表达式，即 ，解得：， 即函数表达式为：， 将代入，解得：，故④不符合题意； 综上所述：符合题意的是：①②； 故选：B． 6．（23-24九年级上·浙江杭州·开学考试）已知二次函数（a为非零常数，），当时，y随x的增大而增大，则下列结论正确的是（   ） ①若时，则y随x的增大而减小；②若图象经过点，则；③若，是函数图象上的两点，则；④若图象上两点，对一切正数n，总有，则． A．①② B．①③ C．①④ D．③④ 【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征．依据题意，由题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题． 【解析】解：二次函数为非零常数，， 当时，，，． 又当时，随的增大而增大， ，开口向下． 当时，随的增大而减小，故①正确； 又对称轴为直线，， ． 若，是函数图象上的两点，2023离对称轴近些， 又抛物线开口向下， 则，故③正确； 若图象上两点，对一切正数，总有，， 又该函数与轴的两个交点为，， ． 解得，故④错误； 二次函数为非零常数，，当时，随的增大而增大， ． 若图象经过点，则，得． ，， ，故②错误； ①③正确；②④错误， 故选：B． 7．（2024·浙江金华·二模）已知二次函数，当时，或．若，是抛物线上的两点，且，则的取值范围为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 依据题意，由时，或，从而可得抛物线开口向上，且对称轴是直线，故当抛物线上的点离对称轴越近函数值就越小，再结合，是抛物线上的两点，且，可得，最后计算可以得解． 【解析】解：由题意，当时，或， 抛物线开口向上，且对称轴是直线． 当抛物线上的点离对称轴越近函数值就越小． ， 又，是抛物线上的两点，且， ． ． ． ． 故选：A． 8．（23-24九年级下·浙江杭州·期中）已知函数，若则下列说法正确的是（    ） A．当时，有最小值 B．当时，无最大值 C．当时，有最小值 D．当时，有最大值 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，画出函数图象，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解即可． 【解析】解：画出函数图象如图：    由图可知：当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大， 当时，， 当时，即：， ∴， ∴，当的值越小，越小，无限接近0，但不等于0，即没有最小值， 当时，， 当时，， 当时，， 时，，当，时，的值最大，为， 综上：当时，有最大值，无最小值， 故选项A，B错误； 当时，， 当时，即：， ∴当越小时，的值越大，即没有最大值， 当时，， 当时，； 当时，， 当时，和的函数值相同时，的值最小， 综上：当，有最小值，无最大值； 故选项C正确，D错误． 故选C． 9．（23-24九年级上·浙江舟山·阶段练习）在平面直角坐标系中，若点的横坐标和纵坐标相等，则称点为完美点．已知二次函数（）的图象上有且只有一个完美点，且当时，函数（）的最小值为，最大值为1，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象上的点的坐标特征，二次函数的性质及根的判别式，利用数形结合的思想是解题的关键． 根据完美点的概念，可得，即，根据只有一个完美点，可得，从而解出，所以函数，由此得出函数的顶点坐标和对称轴及性质，即可求解． 【解析】解：令，即， 由题意可得，图象上有且只有一个完美点， ∴，即， 又∵方程的根为， ∴， ∴函数， ∴该函数图象的顶点为， 如图，在对称轴直线右侧，y随x的增大而减小，在左侧，y随x的增大而增大， 当时，函数的最小值为，最大值为1， 当时，解得或4， ∴．    故选：C． 10．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）如图，正的边长为1，点P从点B出发，沿方向运动，于点H，下面是的面积随着点P的运动形成的函数图像（拐点左右两段都是抛物线的一部分），以下判断正确的是（    ） A．函数图象的横轴表示的长 B．当点P为中点时，点H为线段的三等分点 C．两段抛物线的形状不同 D．图象上点的横坐标为时，纵坐标为 【答案】D 【分析】本题主要考查了动点问题的函数图像．理解拐点在图形中表示的意义是解题的关键． 第二个图形中点再结合第一个图形，可得此时点P移动到点C，H在的中点，那么的面积为．所以横轴表示的长，故A错误；当P为的中点时，作于点D，可得，根据平行线分线段成比例定理可得，那么，H为的四等分点，那么B错误；根据P在和上，分别计算出的面积，得到相应函数解析式，看二次项的比例系数的绝对值是否相等，若相等，则形状相同；把代入点P在上的函数解析式中可求得面积的值，判断出D是否正确． 【解析】解：∵在两段函数中， ∴点P点C重合． ∵等边的边长为1，， ∴． ∴， ∴． ∵符合所给点． ∴横轴表示的长，故A错误； 如图：作于点D． 又∵是等边三角形， ∴． ∵， ∴． ∵P为中点， ∴． ∴． ∴． ∴点H为的四等分点，故B错误； 当P在上时，为x，则， ∴． 当P在上时，为x，则， ∴， ∴． ∵两个二次函数的比例系数的绝对值相等， ∴形状相同，故C错误； 当时，点P在上， ∴，故D正确． 故选D． 11．（23-24九年级上·浙江台州·期末）已知m，n为整数，抛物线（b为常数）经过点，．现有两个命题：①若，则与可能相等；②若，则与可能相等．则下列说法正确的是（    ） A．①，②都是真命题 B．①，②都是假命题 C．①是真命题，②是假命题 D．①是假命题，②是真命题 【答案】D 【分析】本题考查二次函数图像上点的坐标特征、解二元一次方程组、判断命题的真假，将点的坐标代入抛物线的解析式中，利用因式分解和m、n为整数，进行分类讨论，进而可作出判断． 【解析】解：由题意，①当时，，， 若，则， ∴，即， ∵时，等式不成立， ∴， ∵m，n为整数， ∴若，则，不合题意，舍去； 若，则，不合题意，舍去， 综上，若，则与不可能相等，故①是假命题； ②当时，，， 若，则， ∴，即， ∵时，等式不成立， ∴， ∵m，n为整数， ∴若，则，符合题意； 若，则，符合题意， 综上，若，则与可能相等，故②是真命题； 故选：D． 12．（23-24九年级上·浙江湖州·期末）在平面直角坐标系中，已知点的坐标分别为，若抛物线与线段只有一个公共点，则的取值范围是（    ） A．或 B．或或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的综合应用，通过函数解析式求出抛物线顶点坐标，可得抛物线运动轨迹，然后通过数形结合求解，解题的关键是掌握二次函数的性质，掌握求二次函数顶点运动轨迹的方法，通过数形结合方法求解． 【解析】解：∵， ∴抛物线的顶点为， ∴抛物线顶点所在图象解析式为， 当抛物线经过点时，如图， ∴，整理得 解得：； 当抛物线经过点时， ∴， 解得：或， ∴当或时，与线段只有一个公共点， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为， 当直线的解析式与抛物线只有一个交点时， 即， 整理得：， 即有，解得：， 综上可知：的取值范围是或或， 故选：． 13．（23-24九年级上·浙江嘉兴·期末）定义为函数的特征数，下面给出的特征数为时，关于函数的一些结论，其中不正确的是（   ） A．当时，函数的最大值为 B．当时，函数图像的顶点到直线的距离为 C．函数图像恒过两个定点和 D．当时，函数在时，随的增大而增大 【答案】C 【分析】A、把代入，求得，求得解析式，利用顶点坐标公式解答即可； B、利用平行线的性质求得直线与过顶点平行直线的直线与轴的交点，求得交点的长度，进一步即可解决问题； C、代入的值，验证即可解答； D、根据特征数的特点，直接得出的值，进一步验证即可解答． 【解析】解：∵函数的特征数为 ∴， A、当时，，顶点坐标是，故当时，函数的最大值为，此结论正确； B、过顶点平行直线的直线为， 所以直线与轴的交点为，而直线与轴的交点为， 所以两交点的长度为， 所以顶点到直线的距离为，此结论正确； C、当时，， 当时，， 即函数图象恒过两个定点和，此结论不正确． D、当时，是一个开口向下的抛物线， 其对称轴是：直线，在对称轴的右边随的增大而减小． 因为当时，，即函数在时，随的增大而增大，此结论正确； 故选C． 【点睛】此题考查二次函数的性质，一次函数的性质，平行线间距离相等，顶点坐标以及二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性质是解题的关键． 14．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）已知点为抛物线（m为常数，m＞0）上的两点，当时，（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】当时，，则点A、B均为对称轴的右侧，再根据二次函数的增减性即可判定A；若，则点A、B在对称轴异侧或左侧，再分类求解即可判定B；当时，此时，即可判定C；若，则点A、B在对称轴异侧或左侧，即可判定D．灵活运用二次函数的性质成为解题的关键． 【解析】解：由（m为常数，）知，其开口向上，对称轴为， 当时，，且， A．当时，，则点A、B均为对称轴的右侧，故， 故A错误，不符合题意； B．若，则点A、B在对称轴异侧或左侧， 当A、B在对称轴异侧时，则，解得：； 当A、B在对称轴左侧时，则，解得：， 综上，，故B错误，不符合题意； C．当时，则，此时，， ∴， 故C错误，不符合题意； D．当时，，则点A、B均为对称轴的右侧，故，故D正确，符合题意； 故选：D． 15．（23-24九年级上·浙江·期中）对于代数式，下列说法正确的是　　 ①存在实数、，使得； ②若存在实数、有，则； ③若，则存在实数、，且，使； ④若，则一定存在实数、有，则． A．①③④ B．①②③ C．①③ D．②③ 【答案】A 【分析】本题考查因式分解的应用，二次函数与一元二次方程的关系，正确作差后因式分解是求解本题的关键．根据条件，因式分解后逐个判断． 【解析】解： ， ， ， 当时，， 存在实数、，使得， 故①正确； 如果，则或时，，， 存在实数、有，，的值不一定等于0， ②错误； 令， ， △， 抛物线与 轴有两个不同的交点， 存在实数、，且，使， ③正确． ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故④正确． 故选：． 16．（23-24九年级上·福建厦门·期中）已知抛物线与轴的交点为和，点，是抛物线上不同于的两个点，记的面积为，的面积为，则下列结论正确的是（　　） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】C 【分析】判断一个命题正确与否，只要举出一个反例便可确定，因此，不妨假设，结合二次函数的图象与性质逐项判断即可得出答案． 【解析】解：不妨假设， 如图，、满足 ，   ， ，故A错误； 当，时，满足，则，故B错误； ， 、在轴的上方，且离轴的距离比离轴的距离大， ，故C正确； 如图，、满足，但，故D错误，不符合题意；    故选：C． 【点睛】本题考查了抛物线与轴的交点，二次函数图象上的点的特征等知识，解题的关键是学会利用图象法解决问题，难度较大． 17．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）抛物线的顶点为，与轴的一个交点在点和之间，其部分图象如图，则以下结论：①；②若方程没有实数根，则；③；④图象上有两点和，若且，则一定有；正确的是（    ）    A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】①根据抛物线的性质判断、、的正负性，据此解答即可；②根的最大值是，可得抛物线与直线没有交点，则，据此判断即可；③由抛物线与轴的另一个交点在点（，和，之间，得，根据抛物线的对称轴可得，据此判断即可；④分两种情况讨论求解即可；． 【解析】解：∵抛物线的顶点为，与轴的一个交点在点和之间，抛物线开口向下， ∴，， ∴根据左同右异，， ∵抛物线与轴的交点在轴的正半轴， ∴， ∴，故①错误； ∵方程没有实数根，抛物线的顶点为， ∴抛物线与直线没有交点， ∴，故②正确； ∵抛物线的对称轴， ∴， ∵抛物线的顶点为，与轴的一个交点在点和之间，抛物线的对称轴， ∴抛物线与轴的另一个交点在点（，）和（，）之间， ∴， ∴， ∴，故③正确； ∵抛物线开口向下，图象上有两点和，对称轴为， ∴在的右侧， 当时， 在抛物线的右侧，随的增大而减小， ∵， ∴， 当时，∵， ∴关于对称轴的对称点为， ∵， ∴， ∴，故④错误． 综上，可得正确结论的序号是：②③． 故选∶C． 【点睛】此题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是熟练掌握二次函数的图象及性质以及二次函数与一元二次方程的关系． 二、填空题 18．（20-21九年级上·浙江·周测）已知函数，方程有三个不同的解，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】画出函数和的图象，根据交点的个数以及函数的性质，数形结合即可得到答案． 【解析】解：画出函数和的图象，如图所示， ∵函数和有三个不同的解，不妨设， 由题意可得，，， 联立得，整理得， 由根与系数的关系得， ∴， 当时，， 当时，， ∴的取值范围为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查二次函数与一次函数图象性质，熟练掌握二次函数与一次函数图象性质是解题的关键． 19．（2024·浙江绍兴·模拟预测）已知点，为二次函数图象上两点，当时，二次函数随增大而减小，若，时，恒成立，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象及性质，先求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的性质得到，即得，又根据二次函数的性质可得当时，有最大值，最大值为，当时，有最小值，最小值为，得到，由即可得到，画出函数图象即可求解，利用数形结合思想解答是解题的关键． 【解析】解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴抛物线开口向上，当时，随增大而减小， 又∵当时，二次函数随增大而减小， ∴， ∴， 当时，， ∵， ∴在中， 当时，有最大值，最大值为， 当时，有最小值，最小值为， ∴当，时， ， ∵恒成立， ∴， 画出函数和的图象如图所示， 由图象可得，当时，， ∵， ∴， 故答案为：． 20．（2023·浙江金华·三模）某品牌水果冻的高为3cm，底面圆的直径为4cm，两个水果冻倒装在一个长方体盒子内，如图为横断示意图，水果冻的截面可以近似地看成两条抛物线．以左侧抛物线的顶点O为原点，建立如图所示的直角坐标系．    （1）以O为顶点的抛物线的函数表达式是 ． （2）制作该长方体盒子所需纸张面积最小值是 cm2．（不计重叠部分） 【答案】 【分析】（1）设抛物线的函数表达式是，求出，代入求出函数表达式是． （2）过点k作于点H，根据题意可知，，求出，求出长方形纸盒各侧面的面积相加即可． 【解析】（1）解：设抛物线的函数表达式是， ∵高为， 底面圆的直径为， ∴， 把代入， 解得， ∴函数表达式是， 故答案为：． （2）过点k作于点H， 根据题意可知， 又∵点k在， 解得， (舍去)， ∴， ∴， ∴（平方厘米）， 如图2，（平方厘米）， （平方厘米）， ∴长方体盒子所需纸张面积最小值是平方厘米．    【点睛】此题考查了二次函数解析式，矩形面积，解题的关键是画出平面图． 21．（2023·广东广州·一模）如图，抛物线与交于点，且分别与轴交于点，．过点作轴的平行线，交抛物线于点，．则以下结论： ①无论取何值，总是负数； ②抛物线可由抛物线向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到； ③当时，随着的增大，的值先增大后减小； ④四边形为正方形． 其中正确的是 ．（填写正确的序号） 【答案】①②④ 【分析】①根据非负数的相反数或者直接由图像判断即可；②先求抛物线的解析式，再根据抛物线的顶点坐标，判断平移方向和平移距离即可判断②；③先根据题意得出时，观察图像可知，然后计算，进而根据一次函数的性质即可判断；④分别计算出的坐标，根据正方形的判定定理进行判断即可． 【解析】①， ， ， 无论取何值，总是负数， 故①正确； ②抛物线与抛物线交于点， ， 即， 解得， 抛物线， 抛物线的顶点，抛物线的顶点为， 将向右平移3个单位，再向下平移3个单位即为， 即将抛物线向右平移3个单位，再向下平移3个单位可得到抛物线， 故②正确； ③， 将代入抛物线， 解得， ， 将代入抛物线， 解得， ， ，从图像可知抛物线的图像在抛物线图像的上方， 当，随着的增大，的值减小， 故③不正确； ④设与轴交于点， ， ， 由③可知 ，， ，， 当时，， 即， ，， 四边形是平行四边形， ， 四边形是正方形， 故④正确， 综上所述，正确的有①②④， 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查了二次函数图像与性质，一次函数的性质，平移，正方形的判定定理，解题的关键是综合运用以上知识． 22．（22-23九年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图抛物线与轴交于，与轴交于点，点为顶点，线段上有一动点，以为底边向下作等腰三角形，且，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】作辅助线如图，证明，求出点，则，再利用二次函数的性质即可求解． 【解析】解：抛物线与轴交于，与轴交于点， 当时，， 点的坐标为， 当时，即， 解得：， 点坐标为，点的坐标为， ， 点的坐标为，函数对称轴为， 设直线的解析式为：， 则， 解得， 直线的解析式为：， 如图所示，过点作轴的平行线交轴于点，交过点与轴的平行线于点， 设点，点， 则， ， ， ， ， ， 即， 解得：， 点， 则， 当时，取得最小值， 的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，等腰直角三角形的性质、三角形全等的判定与性质，熟练的掌握二次函数的性质，等腰直角三角形的性质、三角形全等的判定与性质，作出恰当的辅助线是解题的关键． 23．（22-23九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知二次函数，下列结论： ①当时，二次函数图象经过原点； ②当时，二次函数有最小值； ③当时，二次函数的对称轴在y轴右侧； ④当，时，y随x的增大而减小，则正确结论有 （填序号即可）． 【答案】①②④ 【分析】①把代入即可判断；②根据开口方向即可判断；③写出对称轴方程后即可判断；④根据对称轴，开口方向，增减性即可判断． 【解析】解：当时，此二次函数表达式为，令，则， ∴函数图象过原点，故①正确；， 当时，开口向上，二次函数有最小值，故②正确； ∵此抛物线的对称轴为直线， ∴当时，，二次函数的对称轴在y轴右侧， 当时，，二次函数的对称轴在y轴左侧，故③错误； 当，此时，二次函数的对称轴在y轴左侧，开口向下， ∴当时，y随x的增大而减小，故④正确； 综上，①②④正确， 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是牢记二次函数的对称轴、增减性规律，这是进一步研究二次函数的性质的基础． 24．（22-23九年级上·浙江杭州·期中）点A，B的坐标分别为和，抛物线的顶点在线段上运动时，形状保持不变，且与x轴交于C，D两点（点C在点D的左侧），给出下列结论：①；②当时，y随x的增大而增大；③若点D的横坐标最大值为5，则点C的横坐标最小值为；④当四边形为平行四边形时，．其中正确的是 ． 【答案】②④/④② 【分析】根据顶点在线段上抛物线与y轴的交点坐标为可以判断出c的取值范围，得到①错误；根据二次函数的增减性判断出②正确；先确定x=1时，点D的横坐标取得最大值，然后根据二次函数的对称性求出此时点C的横坐标，即可判断③错误；令y=0，利用根与系数的关系与顶点的纵坐标求出CD的长度的表达式，然后根据平行四边形的对边平行且相等可得AB=CD，然后列出方程求出a的值，判断出④正确． 【解析】解：∵点A，B的坐标分别为和， ∴线段与y轴的交点坐标为， 又∵抛物线的顶点在线段上运动，抛物线与y轴的交点坐标为， ∴，（顶点在y轴上时取“=”），故①错误； ∵抛物线的顶点在线段上运动， ∴当时，y随x的增大而增大， 因此，当时，y随x的增大而增大，故②正确； 若点D的横坐标最大值为5，则此时对称轴为直线， 根据二次函数的对称性，点C的横坐标最小值时，对称轴为直线，点C的横坐标为，故③错误； 令，则， ∴， 根据顶点坐标公式可知：， ∴， ∴， ∵四边形ACDB为平行四边形， ∴， ∴， 解得，故④正确； 综上所述，正确的结论有②④． 故答案为②④． 【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质及平行四边形的性质，对于二次函数（a，b，c为常数，a≠0），其对称轴是直线：；．当时，在对称轴的左侧y随x的增大而减小，在对称轴的右侧y随x的增大而增大；当时，在对称轴的左侧y随x的增大而增大，在对称轴的右侧y随x的增大而减小． 25．（22-23九年级上·浙江嘉兴·期中）在直角坐标系中，对于点和，给出如下定义：若称点Q为点P的“可控变点”，例如：点的“可控变点”为点，点的“可控变点”为点． （1）若点是一次函数图象上点M的“可控变点”，则点的坐标为 ； （2）若点P在函数的图象上，其“可控变点”Q的纵坐标的取值范围是，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】（1）根据“可控变点”的定义求解即可； （2）由题意可得，点的“可控变点”一定在函数的图象上，结合图象和定义，即可求解． 【解析】解：（1）， ∴点的“可控变点”的坐标为； （2）由题意可得图象上的点的“可控变点”必在函数的图象上， 如图 ∵ ∴解得， 当时， 当时，，解得 的取值范围为 故答案为：， 【点睛】此题考查的是新定义题型，根据可控变点的定义，可得函数解析式，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案． 26．（22-23九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知抛物线与轴的交点为和，点，，，是抛物线上不同于，的两个点，记△的面积为，△的面积为.有下列结论：①当时，；②当时，；③当时，；④当时，.其中正确结论的是 . 【答案】③ 【分析】不妨假设，利用图象法一一判断即可. 【解析】解：不妨假设. ①如图1中，，满足， ， ，故①错误. ②当，，满足， 则，故②错误. ③， ，在轴的上方，且离轴的距离比离轴的距离大， ，故③正确. ④如图2中，，满足，但是，故④错误. 故结论正确的是：③. 同理，时，结论正确的是：③. 故答案为：③. 【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点，二次函数图象上的点的特征等知识，解题的关键是学会利用图象法解决问题，属于中考选择题中的压轴题． 27．（21-22九年级上·浙江湖州·期末）如图，在抛物线（a >0）上有两点P、Q，点P的坐标为（4m，y1），点Q的坐标为（m，y2）（m>0），点M在y轴上，M的坐标为（0，1）． （1）用含a、m的代数式表示= ． （2）连接PM，QM，小磊发现：当直线PM与直线QM关于直线y=对称时，为定值d，则d= ． 【答案】 15am2 【分析】（1）把P、Q的坐标分别代入y＝ax2﹣4，求得y1＝16am2﹣4，y2＝am2﹣4，即可得到|y1﹣y2|＝15m2a． （2）根据待定系数法求得直线PM的解析式，然后半轴x＝m代入求得对应的函数值，直线PM与直线QM关于直线y＝﹣1对称，即可得出 +（am2﹣4）＝2×（﹣1），解得am2＝ ，由（1）可知，|y1﹣y2|＝15m2a，即可得出d＝ ． 【解析】解：（1）∵抛物线y＝ax2﹣4（a＞0）上有两点P、Q，点P的坐标为（4m，y1），点Q的坐标为（m，y2）（m＞0）， ∴y1＝16am2﹣4，y2＝am2﹣4， ∴|y1﹣y2|＝|15m2a|， ∵a＞0，m＞0， ∴|y1﹣y2|＝15m2a． 故答案为：15m2a． （2）设直线PM的解析式为y＝kx+b， ∵点P的坐标为（4m，16am2﹣4），M（0，﹣1）， ∴ ， 解得 ， ∴直线PM为y＝x﹣1， 当x＝m时，y＝•m﹣1＝， ∵直线PM与直线QM关于直线y＝﹣1对称， ∴+（am2﹣4）＝2×（﹣1）， ∴am2＝， ∵|y1﹣y2|为定值d，|y1﹣y2|＝15m2a， ∴d＝ ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数图像上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，轴对称的性质，根据题意得到关于am2的方程是解题的关键． 28．（21-22九年级上·浙江杭州·期中）对于二次函数y＝﹣x2+2（m+1）x+6m+4．下列说法正确的有： （填序号） ①函数图象开口向下； ②当x≥m时，y随x的增大而减小； ③函数图象过定点（﹣3，﹣11）； ④若不等式＜0的解集为全体实数，则﹣4﹣＜m＜﹣4+． 【答案】①③④/①④③/③④①/③①④/④①③/④③① 【分析】根据二次函数的图象与性质逐项进行分析判断即可得到结论． 【解析】解：①∵ ∴二次函数y＝﹣x2+2（m+1）x+6m+4的图象开口向下，故①正确； ② ∵抛物线的对称轴为直线 又函数图象开口向下 ∴当x≥m+1时，y随x的增大而减小，故②错误； ③把x=-3代入 所以，函数图象过定点（﹣3，﹣11），故③正确； ④对于函数的， 所以，的值恒为正值 ∵＜0 ∴ ∴的图象在x轴的下方， ∴ 令 解得，， ∵函数的图象开口向上 ∴的解集为﹣4﹣＜m＜﹣4+ 所以，不等式＜0的解集为全体实数，则﹣4﹣＜m＜﹣4+，故④正确． 故答案为①③④． 【点睛】本题考查二次函数的性质和二次函数图象上点的坐标特征，掌握分析图象并结合函数性质解题的能力是解决本题的关键． 29．（2019·浙江湖州·二模）对于一个函数给出如下定义：对于函数，若当，函数值满足，且满足，则称此函数为“属和合函数”． 例如：正比例函数，当时，，则，求得：，所以函数为“3属和合函数”． （1）若一次函数为“1属和合函数”，则的值 ； （2）已知二次函数，当时，是“属和合函数”，则的取值范围 ． 【答案】 a＝1或a＝﹣1 【分析】（1）分两种情况：利用“k属和合函数”的定义即可得出结论； （2）分四种情况，各自确定出最大值和最小值，最后利用“k属和合函数”的定义即可得出结论； 【解析】解：（1）当a＞0时， ∵1≤x≤5， ∴a-1≤y≤5a-1， ∵函数y=ax-1（1≤x≤5）为“1属和合函数”， ∴（5a-1）-（a-1）=5-1， ∴a=1； 当a＜0时，（a-1）-（5a-1）=5-1， ∴a=-1， ∴a＝1或a＝-1； （2）∵二次函数y=-3x2+6ax+a2+2a的对称轴为直线x=a， ∵当-1≤x≤1时，y是“k属和合函数”， ∴当x=-1时，y=a2-4a-3， 当x=1时，y=a2+8a-3， 当x=a时，y=4a2+2a， ①如图1，当a≤-1时， 当x=-1时，有ymax=a2-4a-3， 当x=1时，有ymin=a2+8a-3 ∴（a2-4a-3）-（a2+8a-3）=2k， ∴k=-6a， ∴k≥6； ②如图2，当-1＜a≤0时， 当x=a时，有ymax=4a2+2a， 当x=1时，有ymin=a2+8a-3 ∴（4a2+2a）-（a2+8a-3）=2k， ∴k=（a-1）2， ∴≤k＜6； ③如图3，当0＜a≤1时， 当x=a时，有ymax=4a2+2a， 当x=-1时，有ymin=a2-4a-3 ∴（4a2+2a）-（a2-4a-3）=2k， ∴k=＜k≤6； ④如图4，当a＞1时， 当x=1时，有ymax=a2+8a-3， 当x=-1时，有ymin=a2-4a-3 ∴（a2+8a-3）-（a2-4a-3）=2k， ∴k=-6a， ∴k＞6； 即：k的取值范围为k≥. 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了的新定义的理解和应用，反比例函数的性质，二次函数的性质，一次函数的性质，分类讨论的思想解决问题是解本题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$