特训08 一元二次方程 压轴题（八大题型）-2024-2025学年九年级数学上学期期中期末挑战满分冲刺卷（苏科版，江苏专用）

特训08 一元二次方程 压轴题（八大题型） 目录： 题型1：公式法解一元二次方程 题型2：换元法解一元二次方程 题型3：一元二次方程根与系数的关系的综合应用 题型4：新定义题型、材料题 题型5：存在性问题 题型6：一元二次方程的几何应用 题型7：一元二次方程与平面直角坐标系 题型8：一元二次方程的实际应用 题型1：公式法解一元二次方程 1．将关于的一元二次方程变形为，就可以将表示为关于的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：，且，则的值为 ． 2．阅读下面的例题：分解因式：． 解：令得到一个关于的一元二次方程， ， ． 解得，； ． 这种因式分解的方法叫求根法，请你利用这种方法完成下面问题： (1)已知代数式对应的方程解为和7，则代数式分解后为 　 　； (2)将代数式分解因式． 题型2：换元法解一元二次方程 3．阅读下列材料：方程：是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设，那么，于是原方程可变为， 解这个方程得：，． 当时，，∴；当时，，∴ 所以原方程有四个根：，，，． 在这个过程中，我们利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想． (1)利用换元法解方程得到方程的解为______． (2)若，求的值． (3)利用换元法解方程：． 4．阅读下列材料：已知实数m，n满足，试求的值. 解：设，则原方程变为，整理得，， ∴，∵，∴. 上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化. 根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程. (1)已知实数x，y满足，求的值； (2)设a，b满足等式，求的值； (3)若四个连续正整数的积为24，求这四个连续正整数. 5．阅读材料，解答问题： 材料一：已知实数a，满足，，则可将a，b看作一元二次方程的两个不相等的实数根． 材料二：已知实数a，满足，，将两边同除以，得，即，则可将a，看作一元二次方程的两个不相等的实数根． 请根据上述材料，利用一元二次方程根与系数的关系解答下列问题： (1)已知实数a，满足，，求的值； (2)已知实数a，b满足，，且，求的值． 6．阅读材料，解答问题： 【材料1】 为了解方程，如果我们把看作一个整体，然后设，则原方程可化为，经过运算，原方程的解为，．我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法． 【材料2】 已知实数，满足，，且，显然，是方程的两个不相等的实数根，由韦达定理可知，． 根据上述材料，解决以下问题： (1)直接应用： 方程的解为 ； (2)间接应用： 已知实数，满足：，且，求的值． 题型3：一元二次方程根与系数的关系的综合应用 7．阅读材料．材料：若一元二次方程的两个根为，，则，． (1)材料理解：一元二次方程的两个根为，，则 ， ． (2)类比探究：已知实数，满足，，且，求的值． (3)思维拓展：已知实数，分别满足，，且，求的值． 8．对于一元二次方程，下列说法： ①若a＋b＋c＝0，则方程必有一根为x＝1；②若方程有两个不相等的实根，则方程无实根；③若方程两根为，且满足，则方程，必有实根，；④若是一元二次方程的根，则其中正确的（    ） A．①② B．①④ C．②③④ D．①③④ 9．阅读材料： 材料1：法国数学家弗朗索瓦·书达于1615年在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关系，提出一元二次方程（，）的两根x1，x2有如下的关系（韦达定理）：，； 材料2：如果实数m、n满足、，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，然后将m、n看作是此方程的两个不相等实数根去解决相关问题． 请根据上述材料解决下面问题： (1)若实数a，b满足：，则_______，_______； (2)若是方程两个不等实数根，且满足，求k的值； (3)已知实数m、n、t满足：，，且，求的取值范围． 10．阅读材料： 材料1：若关于的一元二次方程的两个根为，，则，． 材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，求的值． 解：∵一元二次方程的两个实数根分别为m，n， ∴，，则． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)材料理解：一元二次方程的两个根为，，则___________，___________． (2)类比应用：已知一元二次方程的两根分别为m、n，求的值． (3)思维拓展：已知实数s、t满足，，且，求的值． 题型4：新定义题型、材料题 11．定义：已知是关于x的一元二次方程的两个实数根，若，且，则称这个方程为“限根方程”．如：一元二次方程的两根为，且，所以一元二次方程为“限根方程”．关于x的一元二次方程，有下列两个结论：①当时，该方程是“限根方程”；②若该方程是“限根方程”，则m有且只有一个整数解．对于这两个结论判断正确的是（    ） A．①②都正确 B．①②都错误 C．①正确，②错误 D．①错误，②正确 12．综合与实践：阅读材料，并解决以下问题． (1)学习研究：北师大版教材九年级上册第39页介绍了我国数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中关于一元二次方程的几何解法：以为例，求解过程如下： ①变形：将方程变形为； ②构图：画四个长为，宽为的矩形，按如图（1）所示构造一个“空心”大正方形；    ③解答：则图中大正方形的面积从整体看可表示为，从局部看还可表示为四个矩形与中间小正方形面积之和，即，因此，可得新的一元二次方程，∵表示边长，∴，即． 这种数形结合方法虽然只能得到原方程的其中一个正根．但是从新方程可以得到原方程的另一个根是________． (2)类比迁移：根据赵爽几何解法的方法求解方程的一个正根（写出完整的求解过程，并在画图区画出示意图、标明各边长）．      (3)拓展应用：一般地对于形如：一元二次方程可以构造图（2）来解，已知图2是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4．那么________，________，方程的一个正根为________．    13．阅读下面材料： 小元遇到这样一个问题：如图1，在正方形中，点分别为边上的点，，连接，设，，，则把关于的一元二次方程叫做正方形的关联方程，正方形叫做方程的关联四边形． 探究方程是否存在常数根． 小元是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法把这些分散的线段集中到同一条线段上．他先后尝试了平移、翻折、旋转的方法，发现通过旋转可以解决此问题．他的方法是把绕点顺时针旋转得到（如图2），此时即是． 请回答：　 　．    参考小元得到的结论和思考问题的方法，解决下列问题： （1）如图1，若，，则正方形的关联方程为 　 　； （2）正方形的关联方程是，则正方形的面积=　 　． 题型5：存在性问题 14．如图，在矩形中，，点P从点A沿向点B以的速度移动，同时点Q从点B沿边向点C以的速度移动．当其中一点达到终点时，另一点也随之停止．设P，Q两点移动的时间为，求： (1)当x为何值时，为等腰三角形； (2)当x为何值时，的面积为； (3)当x为何值时，为等腰三角形． 15．如图，在中，，，，点P从点A出发，以每秒1cm的速度沿向点B匀速运动，同时点Q从点B出发以每秒2cm的速度沿向点C匀速运动，到达点C后返回点B，当有一点停止运动时，另一点也停止运动，设运动时间为秒． (1)当时，直接写出P，Q两点间的距离． (2)是否存在，使得是等腰三角形，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． (3)是否存在，使得的面积等于，若存在，请求出的值：若不存在，请说明理由． 16．如图，在中，，厘米，厘米，点D在上，且厘米．现有两个动点P，Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以4厘米/秒的速度沿向终点C运动；点Q以5厘米/秒的速度沿向终点C运动．过点P作交于点E，连接．设动点运动时间为t秒． (1) ；（用t的代数式表示） (2)连接，并运用割补的思想表示的面积（用t的代数式表示）； (3)是否存在某一时刻t，使四边形是平行四边形，如果存在，请求出t，如果不存在，请说明理由； (4)当t为何值时，为直角三角形． 题型6：一元二次方程的几何应用 17．在凸四边形中，，． (1)如图1，将绕点A旋转得到，画出图形，并写出的度数； (2)如图2，已知． ①求证：； ②若，求的面积． 18．已知正方形，，绕点A顺时针旋转，它的两边分别交、于点M、N，于点H． （1）如图①，当时，可以通过证明，得到与的数量关系，这个数量关系是___________； （2）如图②，当时，（1）中发现的与的数量关系还成立吗？说明理由； （3）如图③，已知中，，于点H，，，求的长． 题型7：一元二次方程与平面直角坐标系 19．如图，分别是轴上关于轴对称的点，点坐标，连接，，． (1)如图1，求点坐标． (2)如图2，点是线段上一点（点不与点、点重合），设点的横坐标为，的面积为，求与之间的函数关系式．（不要求写出自变量的取值范围） (3)如图3，在（2）的条件下，直线经过点，点在线段上，点在直线上，连接，过点作轴垂线，连接，当四边形和四边形均为矩形时，求的面积． 20．在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B在y轴正半轴上，，动点D从点A出发，沿着射线AB方向以每秒3个单位长度的速度运动．过点D作轴，交y轴于点E，同时，动点F从定点出发沿轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设运动时间为秒． (1)如图1，当点运动到线段的中点时，连接，请判断四边形的形状，并说明理由； (2)如图2，过定点作直线轴，交射线于点，与线段所在的直线相交于点． ①若D、M、C、F四点围成的四边形是平行四边形，求的值； ②若D、M、C、F四点围成的四边形的面积为，直接写出此时的值． 题型8：一元二次方程的实际应用 21．我市茶叶专卖店销售某品牌茶叶，其进价为每千克240元，按每千克400元出售，平均每周可售出200千克，后来经过市场调查发现，单价每降低10元，则平均每周的销售量可增加40千克． (1)若该专卖店销售这种品牌茶叶要想平均每周获利41600元，请回答： ①每千克茶叶应降价多少元？ ②在平均每周获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？ (2)在降价情况下，该专卖店销售这种品牌茶叶平均每周获利能达到50000元吗？请说明理由． 22．某科研单位准备将院内一块长30m，宽20m的矩形空地，建成一个矩形花园，要求在花园内修两条纵向平行和一条横向弯折的小道（小道进出口的宽度相等，且每段小道均为平行四边形），剩余的地方种植花草． (1)如图1，要使种植花草的面积为，求小道进出口的宽度为多少米； (2)现将矩形花园的四个角建成休闲活动区，如图2所示，均为全等的直角三角形，其中，设米，竖向道路出口和横向弯折道路出口的宽度都为2m，且竖向道路出口位于和之间，横向弯折道路出口位于和之间． ①求剩余的种植花草区域的面积（用含有a的代数式表示）； ②如果种植花草区域的建造成本是100元/米2、建造花草区域的总成本为42000元，求a的值． 23. 某运动品牌销售一款运动鞋，已知每双运动鞋的成本价为60元，当售价为100元时，平均每天能售出200双；经过一段时间销售发现，平均每天售出的运动鞋数量y（双）与降低价格x（元）之间存在如图所示的函数关系． (1)求出y与x的函数关系式； (2)公司希望平均每天获得的利润达到8910元，且优惠力度最大，则每双运动鞋的售价应该定为多少？ (3)为了保证每双运动鞋的利润不低于成本价的50%，公司每天能否获得9000元的利润？若能，求出定价；若不能，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 特训08 一元二次方程 压轴题（八大题型） 目录： 题型1：公式法解一元二次方程 题型2：换元法解一元二次方程 题型3：一元二次方程根与系数的关系的综合应用 题型4：新定义题型、材料题 题型5：存在性问题 题型6：一元二次方程的几何应用 题型7：一元二次方程与平面直角坐标系 题型8：一元二次方程的实际应用 题型1：公式法解一元二次方程 1．将关于的一元二次方程变形为，就可以将表示为关于的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：，且，则的值为 ． 【答案】 【分析】先利用得到，代入得到化为，然后解方程得，从而得到的值． 【解析】解：， , 解得， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了高次方程：通过适当的方法，把高次方程化为次数较低的方程求解，所以解高次方程一般要降次，即把它转化成二次方程或一次方程，也有的通过因式分解来解，通过把一元二次方程变形为用一次式表示二次式，从而达到“降次”的目的，这是解决本题的关键． 2．阅读下面的例题：分解因式：． 解：令得到一个关于的一元二次方程， ， ． 解得，； ． 这种因式分解的方法叫求根法，请你利用这种方法完成下面问题： (1)已知代数式对应的方程解为和7，则代数式分解后为 　 　； (2)将代数式分解因式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题中给出的求根法的定义即可得出答案； （2）先令，得到一个关于的一元二次方程，用求根公式求出它的两根，然后代入即可． 【解析】（1）解：代数式对应的方程解为和7， 代数式分解后为， 故答案为：； （2）解：令，得到一个关于的一元二次方程， ， ， ， 解得，， ． 【点睛】本题主要考查的是求根法因式分解，公式法解一元二次方程，对于二次三项式的因式分解有：，其中、是的两根，理解并掌握题目中的求根法因式分解是解题的关键． 题型2：换元法解一元二次方程 3．阅读下列材料：方程：是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设，那么，于是原方程可变为， 解这个方程得：，． 当时，，∴；当时，，∴ 所以原方程有四个根：，，，． 在这个过程中，我们利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想． (1)利用换元法解方程得到方程的解为______． (2)若，求的值． (3)利用换元法解方程：． 【答案】(1)， (2) (3)， 【分析】（1）设，代入得到，解得，，当时，，得到，此方程无解；当时，，得到，； （2）设，代入得到． 解得，，根据，得到； （3）设，则，代入得到，得到，解得，检验后得到，得到，得到，，检验后即得． 【解析】（1）设，则， 于是原方程可变为， 解这个方程得：，， 当时，， 移项得：， ∵， ∴此方程无解， 当时，， 解得，； 故答案为：，； （2）设，则该方程变为． 解得：，． ∵ ∴，即 （3）设，则， 原方程变形为：， 去分母，得， 即 解得，．    经检验，是分式方程的根． ∴ 即 解得：，． 经检验，是分式方程的根．   ∴原分式方程的解为：，． 【点睛】本题主要考查了解特殊形式的高次方程、分式方程．解决问题的关键是熟练掌握换元法的一般步骤设元、换元、解元、还原几步．解分式方程注意验根． 4．阅读下列材料：已知实数m，n满足，试求的值. 解：设，则原方程变为，整理得，， ∴，∵，∴. 上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化. 根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程. (1)已知实数x，y满足，求的值； (2)设a，b满足等式，求的值； (3)若四个连续正整数的积为24，求这四个连续正整数. 【答案】(1) (2) (3)这四个连续正整数为1，2，3，4 【分析】（1）设，则，解得：，由，得，即可求解， （2）设，则，或，由，得，即可求解， （3）设最小正整数为x，则，即：，设，则，解得：，，由x为正整数，得，解得，即可求解， 本题考查了换元法，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替(即换元)，则能使复杂的问题简单化． 【解析】（1）解：设，则， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∴， 故答案为：， （2）解：设，则， ∴， 解得：或， ∵， ∴， ∴， 故答案为：， （3）解：设最小正整数为x，则，即：， 设，则， 解得：，， ∵x为正整数， ∴， 解得，（舍去）， 故答案为：这四个连续正整数为1，2，3，4． 5．阅读材料，解答问题： 材料一：已知实数a，满足，，则可将a，b看作一元二次方程的两个不相等的实数根． 材料二：已知实数a，满足，，将两边同除以，得，即，则可将a，看作一元二次方程的两个不相等的实数根． 请根据上述材料，利用一元二次方程根与系数的关系解答下列问题： (1)已知实数a，满足，，求的值； (2)已知实数a，b满足，，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据一元二次方程根与系数的关系，即可求解； （2）根据材料二，采用换元法解一元二次方程，即可求解． 【解析】（1）解：∵实数，满足，， ∴可将，看作方程的两个不相等的实数根， ，， ； （2）解：在方程的两边同时除以得， 又∵实数满足，且， ∴可将，看作方程的两个不相等的实数根， ，， ． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，换元法解一元二次方程等知识，解题的关键是理解题意，学会模仿例题解决问题． 6．阅读材料，解答问题： 【材料1】 为了解方程，如果我们把看作一个整体，然后设，则原方程可化为，经过运算，原方程的解为，．我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法． 【材料2】 已知实数，满足，，且，显然，是方程的两个不相等的实数根，由韦达定理可知，． 根据上述材料，解决以下问题： (1)直接应用： 方程的解为 ； (2)间接应用： 已知实数，满足：，且，求的值． 【答案】(1)，，， (2)或或 【分析】（1）利用换元法解方程，设，则原方程可化为，解关于的方程得到，，则或，然后分别解两个元二次方程即可； （2）根据已知条件，当时，，解关于的一元二次方程得，则； 当时，把、看作方程的两不相等的实数根，则根据根与系数的关系得到，，再变形得到，然后利用整体代入的方法计算． 【解析】（1）解：， 设，则原方程可化为， 解得：，， 当时，，解得：，， 当时，，解得：，， ∴原方程的解为，，，， 故答案为：，，，； （2）解：∵实数，满足：，且， 当时，，解关于的一元二次方程， 得：， ∴； 当时，则、是方程的两不相等的实数根， ∴，， ∴； ∴的值为或或． 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，；也考查了换元法，解一元二次方程，求代数式的值，运用了恒等变换的思想．掌握查一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 题型3：一元二次方程根与系数的关系的综合应用 7．阅读材料．材料：若一元二次方程的两个根为，，则，． (1)材料理解：一元二次方程的两个根为，，则 ， ． (2)类比探究：已知实数，满足，，且，求的值． (3)思维拓展：已知实数，分别满足，，且，求的值． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）直接根据阅读材料可得答案； （2）由题意得出，可看作方程的两个根，据此知，，将其代入计算可得； （3）把变形为，据此可得实数和可看作方程的两根，继而知，，进一步代入计算可得． 【解析】（1）解：，， 故答案为：；； （2）∵，，且， ∴，可看作方程的两个根， ∴，， ∴， ∴的值为； （3）∵，分别满足，，且， ∴， ∴和可看作方程的两根， ∴，， ∴ ， ∴的值为． 【点睛】本题考查分式的化简求值，因式分解的应用，求代数式的值，解题的关键是根据题意建立合适的方程及分式的混合运算顺序和运算法则． 8．对于一元二次方程，下列说法： ①若a＋b＋c＝0，则方程必有一根为x＝1；②若方程有两个不相等的实根，则方程无实根；③若方程两根为，且满足，则方程，必有实根，；④若是一元二次方程的根，则其中正确的（    ） A．①② B．①④ C．②③④ D．①③④ 【答案】D 【分析】根据一元二次方程根的判别式及根的定义以及求根公式逐个判断排除． 【解析】解：①若，则是方程的解，故①正确； ②方程有两个不相等的实根， ， 则方程的判别式， 方程必有两个不相等的实根， 故②错误； ③∵方程两根为，且满足， ∴， 令，， ∴方程有两个实数根，令两根分别为， ∴， ， ∴方程，必有实根，， 故③正确； ④若是一元二次方程的根， 则由求根公式可得：， ， ， 故④正确． 故正确的有①③④， 故选：D． 【点睛】本题考查一元二次方程根的判断，根据方程形式，判断根的情况是求解本题的关键． 9．阅读材料： 材料1：法国数学家弗朗索瓦·书达于1615年在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关系，提出一元二次方程（，）的两根x1，x2有如下的关系（韦达定理）：，； 材料2：如果实数m、n满足、，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，然后将m、n看作是此方程的两个不相等实数根去解决相关问题． 请根据上述材料解决下面问题： (1)若实数a，b满足：，则_______，_______； (2)若是方程两个不等实数根，且满足，求k的值； (3)已知实数m、n、t满足：，，且，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题考查根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系，是解题的关键： （1）根据题意，得到实数a，b是方程的两个根，根据根与系数的关系进行求解即可； （2）根据根与系数的关系，得到，进而得到，代入，求出的值，再根据根与系数的关系，进行求解即可； （3）构造一元二次方程，得到是它的两个实数根，得到，将进行配方，求解即可． 【解析】（1）解：由题意，得a，b是方程的两个根， ∴； 故答案为：； （2）由题意，得：，， ∴， ∴， 当时，，解得：， ∴， ∴， ∴； 当时，，解得：， ∴， ∴， ∴； 综上：或； （3）∵， ∴， 又∵， ∴是一元二次方程的两个实数根，， ∴， ∴ ； ∵， ∴， ∴， ∴； ∴． 10．阅读材料： 材料1：若关于的一元二次方程的两个根为，，则，． 材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，求的值． 解：∵一元二次方程的两个实数根分别为m，n， ∴，，则． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)材料理解：一元二次方程的两个根为，，则___________，___________． (2)类比应用：已知一元二次方程的两根分别为m、n，求的值． (3)思维拓展：已知实数s、t满足，，且，求的值． 【答案】(1)3， (2) (3)或 【分析】（1）直接利用一元二次方程根与系数的关系求解即可； （2）利用一元二次方程根与系数的关系可求出，，再根据，最后代入求值即可； （3）由题意可将s、t可以看作方程的两个根，即得出，，从而可求出，即或，最后分类讨论分别代入求值即可． 【解析】（1）解：∵一元二次方程的两个根为，， ∴，． 故答案为：，； （2）∵一元二次方程的两根分别为m、n， ∴，， ∴ ； （3）∵实数s、t满足，， ∴s、t可以看作方程的两个根， ∴，， ∵ ∴或， 当时， ， 当时， ， 综上分析可知，的值为或． 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形计算，分式的混合运算．理解题意，掌握一元二次方程根与系数的关系：和是解题关键． 题型4：新定义题、材料题 11．定义：已知是关于x的一元二次方程的两个实数根，若，且，则称这个方程为“限根方程”．如：一元二次方程的两根为，且，所以一元二次方程为“限根方程”．关于x的一元二次方程，有下列两个结论：①当时，该方程是“限根方程”；②若该方程是“限根方程”，则m有且只有一个整数解．对于这两个结论判断正确的是（    ） A．①②都正确 B．①②都错误 C．①正确，②错误 D．①错误，②正确 【答案】C 【分析】本题主要考查了新定义——“限根方程”．熟练掌握新定义，解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，分类讨论，是解题关键． ①当时，该方程是；得到方程的根为 ，，得到，该方程是“限根方程”， ①正确；②解该一元二次方程，得出，，或，．再根据此方程为“限根方程”，即此方程有两个不相等的实数根，结合一元二次方程根的判别式即可得出，当，时，根据，得到，整数m不存在；当，时，得到，整数m不存在．②错误． 【解析】解：①当时，原方程为： ， 解得 ， ， ∴ ， ∵， ∴该方程是“限根方程”； ∴ ①正确； ②∵， ∴， ∴或， ∴，，或，． ∵此方程为“限根方程”， ∴此方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴． 当，时， ∵， ∴， 解得：， ∵m只是一个整数， ∴m值不存在； 当，时，， 解得：， ∴m值不存在． 综上所述，m的值不存在． ∴②错误． ∴①正确，②错误． 故选：C． 12．综合与实践：阅读材料，并解决以下问题． (1)学习研究：北师大版教材九年级上册第39页介绍了我国数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中关于一元二次方程的几何解法：以为例，求解过程如下： ①变形：将方程变形为； ②构图：画四个长为，宽为的矩形，按如图（1）所示构造一个“空心”大正方形；    ③解答：则图中大正方形的面积从整体看可表示为，从局部看还可表示为四个矩形与中间小正方形面积之和，即，因此，可得新的一元二次方程，∵表示边长，∴，即． 这种数形结合方法虽然只能得到原方程的其中一个正根．但是从新方程可以得到原方程的另一个根是________． (2)类比迁移：根据赵爽几何解法的方法求解方程的一个正根（写出完整的求解过程，并在画图区画出示意图、标明各边长）．      (3)拓展应用：一般地对于形如：一元二次方程可以构造图（2）来解，已知图2是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4．那么________，________，方程的一个正根为________．    【答案】(1)； (2)，图形见详解； (3)，． 【分析】（1）运用直接开平方法解方程，即可得到方程的另一个根． （2）将方程变形为，画四个长为，宽为的矩形，构造一个“空心”大正方形；仿照例题求解即可； （3）由中间围成的正方形面积为4，可得中间正方形的边长为2．设长方形的宽为x，则长为，由题意得，整理得，即可求得a和b的值．仿照例题构造大正方形，即可求出x的值． 本题主要考查学生的阅读理解能力，综合运用知识的能力．读懂例题，正确的构造出大正方形是解题的关键． 【解析】（1）由得 ∴ ∴原方程的另一个根是． 故答案为： （2）将方程变形为， 画四个长为，宽为的矩形，按如图所示构造一个“空心”大正方形，    则图中大正方形的面积从整体看可表示为，从局部看还可表示为四个矩形与中间小正方形面积之和，即，因此，可得新的一元二次方程， ∵表示边长， ∴， 即． （3）∵中间围成的正方形面积为4， ∴中间正方形的边长为2， 设长方形的宽为x，则长为， 由题意得， 整理得， ，． 如图中大正方形的面积从整体看可表示为，从局部看还可表示为四个矩形与中间小正方形面积之和，即，因此，可得新的一元二次方程， ∵表示边长， ∴， 即． ∴方程的一个正根为． 故答案为：，．．        13．阅读下面材料： 小元遇到这样一个问题：如图1，在正方形中，点分别为边上的点，，连接，设，，，则把关于的一元二次方程叫做正方形的关联方程，正方形叫做方程的关联四边形． 探究方程是否存在常数根． 小元是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法把这些分散的线段集中到同一条线段上．他先后尝试了平移、翻折、旋转的方法，发现通过旋转可以解决此问题．他的方法是把绕点顺时针旋转得到（如图2），此时即是． 请回答：　 　．    参考小元得到的结论和思考问题的方法，解决下列问题： （1）如图1，若，，则正方形的关联方程为 　 　； （2）正方形的关联方程是，则正方形的面积=　 　． 【答案】阅读下面材料：1（1）（2）36 【分析】由四边形是正方形，把绕点顺时针旋转得到，可证明，从而，即，有，即，故关于的一元二次方程有一个根是，即； （1）在中，，可得，从而可解得正方形的关联方程为； （2）由阅读材料知，正方形的关联方程存在常数根，可得，即得，，，设正方形的边长为，有，解得正方形的边长为6，正方形的面积为36． 【解析】解：阅读下面材料： 如图：    ∵四边形是正方形， ∴， ∵把绕点顺时针旋转得到， ∴，，，， ∴，， ∴共线，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即， ∵，，， ∴，即， ∴关于的一元二次方程有一个根是， ∴． 故答案为：1； （1）如图： ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， 由阅读材料知，， ∴，， 在中，， ∴， 解得， ∴， 而， ∴正方形的关联方程为， 化简整理，可得． 故答案为：； （2）如图：    由阅读材料知，正方形的关联方程存在常数根， ∴， 解得， ∴正方形的关联方程是， ∴，，， 设正方形的边长为， 在中，， ∴， 解得或（舍去）， ∴正方形的边长为6， ∴正方形的面积为36． 故答案为：36． 【点睛】本题主要考查几何变换综合应用，涉及内容包括旋转变换、正方形的性质、三角形全等的判定与性质、一元二次方程、新定义、勾股定理等知识，综合性较强，解题的关键是证明． 题型5：存在性问题 14．如图，在矩形中，，点P从点A沿向点B以的速度移动，同时点Q从点B沿边向点C以的速度移动．当其中一点达到终点时，另一点也随之停止．设P，Q两点移动的时间为，求： (1)当x为何值时，为等腰三角形； (2)当x为何值时，的面积为； (3)当x为何值时，为等腰三角形． 【答案】(1)当时，是等腰三角形 (2)x为1或5时，的面积为 (3)x为或时，是等腰三角形 【分析】（1）由题意得，得，当为等腰三角形时，，得出方程，解方程即可； （2）由三角形面积公式列出一元二次方程，解方程即可； （3）根据题意，分两种情况：①当时，在和中，由勾股定理得出方程，解方程即可； ②当时，在和中，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【解析】（1）解：∵四边形是矩形， ∴，，， 根据题意得：， ∴， 当为等腰三角形时，， ∴， 解得：， 即当时，是等腰三角形； （2）解：由题意得：， 整理得：， 解得：， 答：当x为1或5时，的面积为； （3）解：根据题意，分两种情况： ①当时，如图1所示： 在和中，由勾股定理得：，， ∴， 解得：或（不合题意舍去）， ∴； ②当时，如图2所示： 在和中，，， ∴， 解得：或（不合题意舍去）， ∴． 综上所述，当x为或时，是等腰三角形． 【点睛】本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、等腰三角形的性质、三角形面积公式、一元二次方程的解法、勾股定理、分类讨论等知识；本题综合性强，熟练掌握矩形的性质和勾股定理是解题的关键． 15．如图，在中，，，，点P从点A出发，以每秒1cm的速度沿向点B匀速运动，同时点Q从点B出发以每秒2cm的速度沿向点C匀速运动，到达点C后返回点B，当有一点停止运动时，另一点也停止运动，设运动时间为秒． (1)当时，直接写出P，Q两点间的距离． (2)是否存在，使得是等腰三角形，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． (3)是否存在，使得的面积等于，若存在，请求出的值：若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)或； (3)或． 【分析】（1）求出，，再利用勾股定理即可求出； （2）因为，所以当是等腰三角形时，只有，表示出，当时，；当时，；当时，；利用，即可求出t的值； （3）由（2）可知：，当时，；当时，；当时，；利用，解关于t的方程即可． 【解析】（1）解：当时，由题意可知：，， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴是等腰三角形时，只有， 由题意可知：， ∵Q从点B出发以每秒2cm的速度沿向点C匀速运动，到达点C后返回点B，当有一点停止运动时，另一点也停止运动， ∴当时，；当时，；当时，； ∵ ∴，解得：，故不符合题意； ，解得：，符合题意； ，解得：，符合题意； 综上所述：或； （3）解：假设存在t使得的面积等于， 由（2）可知：，当时，；当时，；当时，； ∴当时，；解得：或（舍去） 当时，，解得：或（舍去）； 当时，，因为，故无解， 综上所述，当或时的面积等于． 【点睛】本题考查动点问题，等腰三角形的定义，勾股定理，一元二次方程的几何应用，解题的关键是理解题意，结合图形表示出的值． 16．如图，在中，，厘米，厘米，点D在上，且厘米．现有两个动点P，Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以4厘米/秒的速度沿向终点C运动；点Q以5厘米/秒的速度沿向终点C运动．过点P作交于点E，连接．设动点运动时间为t秒． (1) ；（用t的代数式表示） (2)连接，并运用割补的思想表示的面积（用t的代数式表示）； (3)是否存在某一时刻t，使四边形是平行四边形，如果存在，请求出t，如果不存在，请说明理由； (4)当t为何值时，为直角三角形． 【答案】(1) (2) (3)存在， (4)或 【分析】（1）用减去的长即可； （2）连接，由平行线的性质可得，由，可求出，再利用三角形面积公式计算即可； （3）由平行四边形的性质可得，可得，可求的值； （4）分两种情况讨论，利用直角三角形的性质和面积和差关系可求解． 【解析】（1）解：由题意可得： ； （2）如图1，连接， ， ， cm， ， ， ， ， ∴； （3）四边形是平行四边形， ， ， ， ∴当时，使四边形是平行四边形； （4）如图2，当时， ， ， 又， 四边形是平行四边形， ， ， ； 当时， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ，（不合题意舍去）， 综上所述：或时，为直角三角形． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的判定和性质，勾股定理，三角形的面积公式，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键． 题型6：一元二次方程的几何应用 17．在凸四边形中，，． (1)如图1，将绕点A旋转得到，画出图形，并写出的度数； (2)如图2，已知． ①求证：； ②若，求的面积． 【答案】(1)图见解析，； (2)①见解析；②． 【分析】（1）根据题意，画出图形，设为延长线上的一点，利用三角形外角的性质以及旋转的性质，求解即可； （2）①作出，连接，利用旋转的性质得到为等边三角形，再利用勾股定理即可求证； ②利用旋转的性质可得分别求得对应三角形的面积，即可求解． 【解析】（1）解：图形如下，设为延长线上的一点， 由旋转的性质可得：， 由三角形外角的性质可得：，， ∴； （2）①证明：作出，连接，如下图： 由（1）可得，即， 由旋转的性质可得：，， ∴， ∴为等边三角形，即 ∴； ②由旋转的性质可得：， ∵ ∴，， ，， 过点作，如下图： 设，由①可得， 在中，，， ∴，， 在， ∵ ∴，解得或，负值舍去 即或， 则或， ， 【点睛】此题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，一元二次方程的求解，解题的关键是掌握并灵活运用相关性质进行求解． 18．已知正方形，，绕点A顺时针旋转，它的两边分别交、于点M、N，于点H． （1）如图①，当时，可以通过证明，得到与的数量关系，这个数量关系是___________； （2）如图②，当时，（1）中发现的与的数量关系还成立吗？说明理由； （3）如图③，已知中，，于点H，，，求的长． 【答案】（1）；（2）成立，理由见解析；（3） 【分析】（1）由“SAS”可证Rt△ABM≌Rt△ADN，从而可证∠BAM＝∠MAH＝22.5°，由AAS可证Rt△ABM≌Rt△AHM，即可得AB＝AH； （2）延长CB至E，使BE＝DN，由Rt△AEB≌Rt△AND得AE＝AN，∠EAB＝∠NAD，从而可证△AEM≌△ANM，根据全等三角形对应边上的高相等即可得AB＝AH； （3）分别沿AM，AN翻折△AMH和△ANH，得到△ABM和△AND，分别延长BM和DN交于点C，可证四边形ABCD是正方形，设AH＝x，在Rt△MCN中，由勾股定理列方程即可得答案． 【解析】解：（1）∵正方形ABCD， ∴AB＝AD，∠B＝∠D＝∠BAD＝90°， 在Rt△ABM和Rt△ADN中， ∴Rt△ABM≌Rt△ADN（SAS）， ∴∠BAM＝∠DAN，AM＝AN， ∵∠MAN＝45°， ∴∠BAM＋∠DAN＝45°， ∴∠BAM＝∠DAN＝22.5°， ∵∠MAN＝45°，AM＝AN，AH⊥MN， ∴∠MAH＝∠NAH＝22.5°， ∴∠BAM＝∠MAH， 在Rt△ABM和Rt△AHM中， ∴Rt△ABM≌Rt△AHM（AAS）， ∴AB＝AH， 故答案为：AB＝AH； （2）AB＝AH成立，理由如下： 延长CB至E，使BE＝DN，如图： ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD，∠D＝∠ABE＝90°， 在Rt△AEB和Rt△AND中， ∴Rt△AEB≌Rt△AND（SAS）， ∴AE＝AN，∠EAB＝∠NAD， ∵∠DAN＋∠BAM＝45°， ∴∠EAB＋∠BAM＝45°， ∴∠EAM＝45°， ∴∠EAM＝∠NAM＝45°， 在△AEM和△ANM中， ∴△AEM≌△ANM（SAS）， ∵AB，AH是△AEM和△ANM对应边上的高， ∴AB＝AH． （3）分别沿AM，AN翻折△AMH和△ANH，得到△ABM和△AND，分别延长BM和DN交于点C，如图： ∵沿AM，AN翻折△AMH和△ANH，得到△ABM和△AND， ∴AB＝AH＝AD，∠BAD＝2∠MAN＝90°，∠B＝∠AHM＝90°＝∠AHN＝∠D， ∴四边形ABCD是正方形， ∴AH＝AB＝BC＝CD＝AD． 由折叠可得BM＝MH＝3，NH＝DN＝7， 设AH＝AB＝BC＝CD＝x， 在Rt△MCN中，由勾股定理，得MN2＝MC2＋NC2， ∴， 解得或（舍去）， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，正方形性质及应用，勾股定理等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形． 题型7：一元二次方程与平面直角坐标系 19．如图，分别是轴上关于轴对称的点，点坐标，连接，，． (1)如图1，求点坐标． (2)如图2，点是线段上一点（点不与点、点重合），设点的横坐标为，的面积为，求与之间的函数关系式．（不要求写出自变量的取值范围） (3)如图3，在（2）的条件下，直线经过点，点在线段上，点在直线上，连接，过点作轴垂线，连接，当四边形和四边形均为矩形时，求的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据，求出，结合点在轴负半轴，即可得出答案； （2）由题意得出，从而得出，待定系数法求出直线直线的解析式为，从而得出，再根据计算即可得出答案； （3）由四边形为矩形，得出，，待定系数法求出直线的解析式为：，设，，由四边形是矩形，求出，，得到，再利用勾股定理求出的值即可得解． 【解析】（1）解：由题意得：， ∵点坐标， ∴， 解得：， ∵点在轴负半轴， ∴点坐标为； （2）解：∵分别是轴上关于轴对称的点， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入直线解析式为， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵点是线段上一点，设点的横坐标为， ∴， ∴； （3）解：∵四边形为矩形， ∴，， 设直线的解析式为：， 将代入解析式得：， 解得：， ∴直线的解析式为：， ∵过点作轴垂线， ∴点的纵坐标为， 设，， ∵四边形是矩形， ∴， 解得：，， ∴，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 解得：或， ∵点不与点、点重合， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了坐标与图形、一次函数的应用、矩形的性质、勾股定理、三角形面积公式等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 20．在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B在y轴正半轴上，，动点D从点A出发，沿着射线AB方向以每秒3个单位长度的速度运动．过点D作轴，交y轴于点E，同时，动点F从定点出发沿轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设运动时间为秒． (1)如图1，当点运动到线段的中点时，连接，请判断四边形的形状，并说明理由； (2)如图2，过定点作直线轴，交射线于点，与线段所在的直线相交于点． ①若D、M、C、F四点围成的四边形是平行四边形，求的值； ②若D、M、C、F四点围成的四边形的面积为，直接写出此时的值． 【答案】(1)平行四边形，见解析 (2)①；，② 【分析】（1）点D运动到线段AB的中点，，，当时，，在中，，得出，可得四边形DOFE是平行四边形； （2）根据的坐标求得，根据含30度角的直角三角形的性质，求得，根据题意求得当点D在运动到与点G重合时，用时为秒，分当点D在线段AG上运动，当点D在CG右侧的射线AB上运动，两种情形讨论得出点D到x轴的距离是． ①分当点D在线段AG上运动，当点D在CG右侧的射线AB上运动，两种情形，根据平行四边形的性质得，建立方程，解方程即可求解； ②分当点D在线段AG上运动，当点D在CG右侧的射线AB上运动，两种情形，根据四边形的面积为，建列方程，解方程即可求解． 【解析】（1）解：四边形是平行四边形．理由： ∵点的坐标为， ∴， 在中，， ∴， ∵点D运动到线段AB的中点， ∴，此时； ∵点， ∴，当时，， ∴， ∵轴， ∴，在中，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． （2）解：∵， ∴，当点D在运动到与点G重合时，用时为秒． 当点D在线段AG上运动，即时， ，，点D到x轴的距离是； 当点D在CG右侧的射线AB上运动，即时， ，，点D到x轴的距离是． ①当时，由题意得，得，解得； 当时，由题意得，得，解得． ② 当时，由题意得， 解得，（舍）． 当时，由题意得， 解得（舍），（舍）． 综上所述，所求的t为． 【点睛】本题考查了坐标与图形，含30度角的直角三角形的性质，平行四边形的性质与判定，动点问题，一元二次方程的应用，掌握以上知识是解题的关键． 题型8：一元二次方程的实际应用 21．我市茶叶专卖店销售某品牌茶叶，其进价为每千克240元，按每千克400元出售，平均每周可售出200千克，后来经过市场调查发现，单价每降低10元，则平均每周的销售量可增加40千克． (1)若该专卖店销售这种品牌茶叶要想平均每周获利41600元，请回答： ①每千克茶叶应降价多少元？ ②在平均每周获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？ (2)在降价情况下，该专卖店销售这种品牌茶叶平均每周获利能达到50000元吗？请说明理由． 【答案】(1)①30元或80元②八折 (2)该专卖店销售这种品牌茶叶平均每周获利不能达到50000元 【分析】（1）①设每千克茶叶应降价x元，利用销售量每件利润元列出方程求解即可；②为了让利于顾客因此应下降价80元，求出此时的销售单价即可确定几折． （2）设每千克茶叶应降价y元，列方程整理后为，代入根的判别式得，方程无解，故不能达到要求． 【解析】（1）解：①设每千克茶叶应降价x元．根据题意，得： ． 解得：． 答：每千克茶叶应降价30元或80元． ②由①可知每千克茶叶可降价30元或80元．因为要尽可能让利于顾客，所以每千克茶叶某应降价80元． 此时，售价为：元，． 答：该店应按原售价的八折出售． （2）解：该专卖店销售这种品牌茶叶平均每周获利不能达到50000元，理由如下： 设每千克茶叶应降价y元．根据题意，得： , 整理得：， ∵， ∴原方程没有实数根， 即该专卖店销售这种品牌茶叶平均每周获利不能达到50000元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题目中的等量关系列出方程． 22．某科研单位准备将院内一块长30m，宽20m的矩形空地，建成一个矩形花园，要求在花园内修两条纵向平行和一条横向弯折的小道（小道进出口的宽度相等，且每段小道均为平行四边形），剩余的地方种植花草． (1)如图1，要使种植花草的面积为，求小道进出口的宽度为多少米； (2)现将矩形花园的四个角建成休闲活动区，如图2所示，均为全等的直角三角形，其中，设米，竖向道路出口和横向弯折道路出口的宽度都为2m，且竖向道路出口位于和之间，横向弯折道路出口位于和之间． ①求剩余的种植花草区域的面积（用含有a的代数式表示）； ②如果种植花草区域的建造成本是100元/米2、建造花草区域的总成本为42000元，求a的值． 【答案】(1)1米； (2)①；②． 【分析】（1）设小道进出口的宽度为米，然后利用其种植花草的面积为532平方米列出方程求解即可； （2）①先用a表示出四个直角三角形的面积，从而表示出剩余花草区域的面积；②由①和题目意思列出方程求解即可． 【解析】（1）解：设小道进出口的宽度为米， 依题意得． 整理，得． 解得，，． （不合题意，舍去）， ； 答：小道进出口的宽度应为1米； （2）解：①剩余的种植花草区域的面积为： ②由，得： ， 解得：（舍去）． 故． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，面积的表示，解题的关键是找到正确的等量关系并列出方程，注意根据实际意义舍根． 23. 某运动品牌销售一款运动鞋，已知每双运动鞋的成本价为60元，当售价为100元时，平均每天能售出200双；经过一段时间销售发现，平均每天售出的运动鞋数量y（双）与降低价格x（元）之间存在如图所示的函数关系． (1)求出y与x的函数关系式； (2)公司希望平均每天获得的利润达到8910元，且优惠力度最大，则每双运动鞋的售价应该定为多少？ (3)为了保证每双运动鞋的利润不低于成本价的50%，公司每天能否获得9000元的利润？若能，求出定价；若不能，请说明理由． 【答案】(1)y与x的函数关系式为y=10x＋200； (2)当每双运动鞋的售价为87元时，企业每天获得的销售利润达到8910元并且优惠力度最大. (3)降价10元时，公司每天能获得9000元的利润，且每双运动鞋的利润不低于成本价的50%. 【分析】（1）由题意，设y与x的函数关系式为y＝kx＋b，然后由待定系数法求解析式，即可得到答案； （2）根据题意，列出一元二次方程，然后解方程，即可求出方程的解； （3）由题意，列出一元一次不等式，求出不等式的解集，然后列一元二次方程，即可求出答案． 【解析】（1）解：设y与x的函数关系式为y＝kx＋b (k≠0)， 由图可知其函数图象经过点（0 , 200）和（10 , 300）， 将其代入y=kx+b 得 解得 ∴ y与x的函数关系式为y=10x＋200； （2）解：由题意得 （10x＋200)(100－x－60)＝8910， 整理得 x2－20x＋91＝0， 解得：x1＝7, x2＝13； 当x＝7时，售价为100－7＝93（元）， 当x＝13时，售价为100－13＝87（元）， ∵优惠力度最大， ∴取x＝13， 答：当每双运动鞋的售价为87元时，企业每天获得的销售利润达到8910元并且优惠力度最大； （3）解：公司每天能获得9000元的利润，理由如下： ∵要保证每双运动鞋的利润率不低于成本价的50%， ∴100－60－x ≥ 60×50%, 解得：x≤10； 依题意，得 (100－60－x)(10x＋200)＝9000， 整理得 x2－20x＋100＝0， 解得：x1＝x2＝10； ∴降价10元时，公司每天能获得9000元的利润，且每双运动鞋的利润不低于成本价的50%. 【点睛】本题考查了一次函数的性质，一元二次方程的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是熟练掌握题意，正确的列出方程，从而进行解题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$