第06讲 整式的乘法（2024）（1个知识点+4种题型+分层练习）-2024-2025学年七年级上学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（沪教版）

第06讲 整式的乘法（2024）（1个知识点+4种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点．幂的乘方与积的乘方 （1）幂的乘方法则：底数不变，指数相乘． （am）n＝amn（m，n是正整数） 注意：①幂的乘方的底数指的是幂的底数；②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别． （2）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． （ab）n＝anbn（n是正整数） 注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计算出最后的结果． 题型强化 题型一．幂的乘方与积的乘方 1．（2023秋•闵行区校级月考）已知，则的值是　　 A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2023秋•杨浦区期末）计算：　　 3．（2022秋•长宁区校级期中）（1）简便方法计算：； （2）简便方法计算：． 题型二、同底数幂相乘 4．（22-23七年级上·上海浦东新·期末）下列等式成立的是（   ） A． B． C． D． 5．（23-24七年级上·上海·阶段练习）计算 ．（结果用幂的形式表示） 6．（2024七年级上·上海·专题练习）已知求的值． 题型三、幂的乘方运算 7．（23-24七年级上·上海·期中）在下列运算中，计算正确的是（     ） A． B． C． D． 8．（23-24七年级上·上海闵行·期中）已知：，则 ． 9．（23-24七年级上·上海浦东新·期中）计算： 题型四、整式乘法混合运算 10．（21-22七年级上·上海普陀·期中）下列计算中，正确的是（　　） A．a3•a3＝2a3 B．（2a3）2＝2a6 C．a3+2a3＝3a6 D．a3•2a3＝2a6 11．（22-23七年级上·上海长宁·期中）若，，，则 ． 12．（21-22七年级上·上海徐汇·期中）计算：﹣3xy（x﹣y）（﹣xy）2． 分层练习 一、单选题 1．下列运算中，正确的是（    ）． A． B． C． D． 2．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 3．下列计算结果正确的是（   ） A．； B．； C．； D．． 4．的计算结果正确的是（  ） A． B．1 C． D．2 5．已知，，则的值为（    ） A．24 B．36 C．72 D．6 6．已知，，那么（    ） A． B． C． D． 二、填空题 7．已知，，则 ． 8．用科学记数法表示： ． 9． ． 10．计算： ． 11．已知，则 ． 12．已知，则 ． 13．计算： ． 14．若，则 ． 15．已知，则单项式 ． 16．如果，那么 ． 17．已知展开式中不含项，且的系数为2．则的值为 ． 18．如图，现有边长为a的正方形A、边长为b的正方形B和长为2b宽为a的长方形C的三类纸片（其中）．用这三类纸片拼一个长为、宽为的长方形（不重叠且不留缝隙），那么需要C类纸片 张． 三、解答题 19．计算： 20．计算：． 21．计算： 22．计算： 23．已知，求的值． 24．已知，求的值． 25．先化简，再求值：，其中． 26．生产某种产品吨，所需费用为万元，当出售这种商品吨时，每吨价格是万元，其中．如果生产出来的这种商品全部卖完， （1）用的代数式来表示生产这种商品的利润； （2）当时，求此时这种商品的利润． 27．知识再现：我们知道幂的运算法则有4条，分别是：①，②，③，④，反过来，这4条运算法则可以写成：①，②，③，④． 问题解决：已知，且满足等式， (1)求代数式、的值； (2)化简代数式，并求当，时该代数式的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲 整式的乘法（2024）（1个知识点+4种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点．幂的乘方与积的乘方 （1）幂的乘方法则：底数不变，指数相乘． （am）n＝amn（m，n是正整数） 注意：①幂的乘方的底数指的是幂的底数；②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别． （2）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． （ab）n＝anbn（n是正整数） 注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计算出最后的结果． 题型强化 题型一．幂的乘方与积的乘方 1．（2023秋•闵行区校级月考）已知，则的值是　　 A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】先把变形为，得到，然后求出的值即可． 【解答】解：， ， ， 解得：． 故选：． 【点评】本题主要考查了幂的乘方和同底数幂的乘法，熟练掌握幂的运算法则是解此题的关键，同底数幂的乘法，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘． 2．（2023秋•杨浦区期末）计算：　　 【分析】直接利用幂的乘方运算法则将原式变形，再利用积的乘方运算法则计算，进而得出答案． 【解答】解：原式 ． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了幂的乘方运算以及积的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 3．（2022秋•长宁区校级期中）（1）简便方法计算：； （2）简便方法计算：． 【分析】（1）根据因式分解法简化运算即可； （2）根据积的乘方运算的逆应用进行简化运算即可． 【解答】解：（1） ； （2） ． 【点评】本题考查了积的乘方，因式分解，熟练掌握这些方法是解题的关键． 题型二、同底数幂相乘 4．（22-23七年级上·上海浦东新·期末）下列等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】同底数幂相乘 【分析】运用同底数幂的乘法运算法则即可求解． 【详解】A．，A选项错误，所以A选项不符合题意； B．，B选项错误，所以B选项不符合题意； C．，C选项正确，所以C选项符合题意； D．，D选项错误，所以D选项不符合题意． 故选C 【点睛】本题考查同底数幂的乘法，解题的关键是掌握同底数幂的乘法运算法则． 5．（23-24七年级上·上海·阶段练习）计算 ．（结果用幂的形式表示） 【答案】 【知识点】同底数幂相乘 【分析】本题考查了积的乘方、同底数幂的乘法法则．根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，进行运算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 6．（2024七年级上·上海·专题练习）已知求的值． 【答案】64 【知识点】同底数幂相乘、幂的乘方的逆用 【分析】本题考查了幂的乘方以及同底数幂的乘法，整体思想，熟练掌握幂的乘方以及同底数幂的乘法是解题的关键．根据幂的乘方以及整体思想，将转化成同底数幂的乘法和乘方公式进行计算． 【详解】解：∵ ∴， 又∵ ∴原式 题型三、幂的乘方运算 7．（23-24七年级上·上海·期中）在下列运算中，计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】同底数幂相乘、积的乘方运算、幂的乘方运算 【分析】本题主要考查同底数幂，合并同类项，积的乘方，幂的乘方，利用法则对各项进行运算即可． 【详解】解：A、，故A不符合题意； B、，故B不符合题意； C、与不属于同类项，不能合并，故C不符合题意； D、，故D符合题意； 故选：D． 8．（23-24七年级上·上海闵行·期中）已知：，则 ． 【答案】 【知识点】同底数幂相乘、幂的乘方运算 【分析】本题考查了同底数幂的乘法以及幂的乘方运算；先根据同底数幂的乘法求得，再根据幂的乘方进行计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴ ∴， 故答案为：． 9．（23-24七年级上·上海浦东新·期中）计算： 【答案】 【知识点】含乘方的有理数混合运算、幂的乘方运算、积的乘方运算、计算单项式乘单项式 【分析】原式先计算乘方运算，再计算乘法和加法运算即可得到结果． 【详解】解：原式 【点睛】此题考查了整式的加法，幂的乘方与积的乘方，以及单项式乘单项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 题型四、整式乘法混合运算 10．（21-22七年级上·上海普陀·期中）下列计算中，正确的是（　　） A．a3•a3＝2a3 B．（2a3）2＝2a6 C．a3+2a3＝3a6 D．a3•2a3＝2a6 【答案】D 【知识点】整式乘法混合运算 【分析】根据同底数幂的乘法、积的乘方与幂的乘方、合并同类项法则、单项式乘单项式乘法法则解决此题． 【详解】解：A．根据同底数幂的乘法，，故A错误，不符合题意． B．根据积的乘方与幂的乘方，，故B错误，不符合题意． C．根据合并同类项法则，，故C错误，不符合题意． D．根据单项式乘单项式的乘法法则，，故D正确，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 11．（22-23七年级上·上海长宁·期中）若，，，则 ． 【答案】 【知识点】整式乘法混合运算 【分析】先将和表达出来，最后代入求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴ ， ， ∴ ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了代数式求值和整式的混合运算，准确的计算是解决本题的关键． 12．（21-22七年级上·上海徐汇·期中）计算：﹣3xy（x﹣y）（﹣xy）2． 【答案】 【知识点】整式乘法混合运算、积的乘方运算、计算单项式乘单项式、计算单项式乘多项式及求值 【分析】直接利用积的乘方法则、单项式乘单项式法则以及单项式乘多项式法则计算即可求得答案． 【详解】解：原式＝﹣3xy·（x﹣y） ＝（x﹣y） ＝． 【点睛】本题考查了整式乘法的混合运算，熟练掌握积的乘方法则、单项式乘单项式法则以及单项式乘多项式法则是解决本题的关键． 分层练习 一、单选题 1．下列运算中，正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据积的乘方、幂的乘方、单项式乘单项式分别计算，即可做出判断． 【详解】解：A．，故选项错误，不符合题意； B．，故选项正确，符合题意； C．，故选项错误，不符合题意； D．，故选项错误，不符合题意． 故选：B． 【点睛】此题考查了积的乘方、幂的乘方、单项式乘单项式，熟练掌握运算法则是解题的关键． 2．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用幂的乘方与积的乘方的性质求解即可求得答案． 【详解】解：， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了幂的乘方与积的乘方的性质，此题比较简单，注意掌握指数的变化时解此题的关键． 3．下列计算结果正确的是（   ） A．； B．； C．； D．． 【答案】C 【分析】根据幂的乘方，同底数幂的乘法法则分别判断． 【详解】解：A、，故错误，不合题意； B、，故错误，不合题意； C、，故正确，符合题意； D、，故错误，不合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了幂的乘方，同底数幂的乘法，解题的关键是灵活运用运算法则． 4．的计算结果正确的是（  ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】根据同底数幂乘法的逆运算和积的乘方的逆运算法则把原式变形为，据此计算求解即可． 【详解】解： ， 故选C． 【点睛】本题主要考查了同底数幂乘法的逆运算和积的乘方的逆运算，熟知相关计算法则是解题的关键． 5．已知，，则的值为（    ） A．24 B．36 C．72 D．6 【答案】C 【分析】根据指数幂运算法则即可求出答案． 【详解】∵， ∴ 故选：C 【点睛】本题考查同底数幂的乘法和幂的乘方，解题的关键是熟练运用指数幂的运算法则，本题属于基础题型． 6．已知，，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】逆用幂的乘方、同底数幂的乘法公式，将变形为，整体代入求解即可． 【详解】解：， 故选C． 【点睛】本题考查幂的乘方的逆用、同底数幂的乘法的逆用，熟练掌握运算法则是解题的关键． 二、填空题 7．已知，，则 ． 【答案】1 【分析】根据多项式乘以多项式的法则将原式展开，然后条件即可求出原式的值． 【详解】解：当m+n=2，mn=-2， (3−m)(3−n)=9+mn-3（m+n） =9-2-6 =1． 故答案为：1． 【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型． 8．用科学记数法表示： ． 【答案】 【分析】根据同底数幂的乘法法则求解，然后用科学记数法表示即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【点睛】此题考查了同底数幂的乘法，科学记数法，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 9． ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘以单项式的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 按照多项式乘以单项式的运算，即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 10．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查积的乘方运算法则，熟练掌握并逆用积的乘方运算法则是解题的关键． 由题意逆用积的乘方运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 11．已知，则 ． 【答案】9 【分析】根据同底数幂乘法的逆运算，求出，再根据幂的乘方运算法则，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故答案为：9． 【点睛】本题主要考查了同底数幂的运算，解题的关键是掌握：同底数幂的乘法（除法），底数不变，指数相加（相减）；幂的乘方，底数不变，指数相乘． 12．已知，则 ． 【答案】 【详解】本题考查同底数幂乘法的逆用，根据求解即可． 【分析】解： 故答案为：6． 13．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了单项式乘单项式．根据单项式乘单项式法则计算即可得． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 14．若，则 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法，熟记幂的运算法则是解答本题的关键． 根据同底数幂的乘法法则计算即可，同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加． 【详解】解：， ， 解得． 故答案为：6． 15．已知，则单项式 ． 【答案】 【分析】本题考查了单项式与多项式的乘法运算，由即可求解，掌握单项式与多项式的乘法运算是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴单项式， 故答案为：． 16．如果，那么 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式，根据多项式乘以多项式的计算法则求出的结果即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 17．已知展开式中不含项，且的系数为2．则的值为 ． 【答案】 【分析】根据展开式中不含项，且的系数为2，求得的值，然后代入计算即可求解． 【详解】解：∵ ， ∵展开式中不含项，且的系数为2， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，代数式求值，正确的求得的值是解题的关键． 18．如图，现有边长为a的正方形A、边长为b的正方形B和长为2b宽为a的长方形C的三类纸片（其中）．用这三类纸片拼一个长为、宽为的长方形（不重叠且不留缝隙），那么需要C类纸片 张． 【答案】10 【分析】本题主要考查多项式乘以多项式的应用，熟练掌握多项式乘以多项式是解题的关键；根据大长方形的面积及A、B、C三类纸片的面积可进行求解． 【详解】解：长为、宽为的长方形的面积为， 正方形A的面积为，正方形B的面积为，长方形C的面积为， ∴需要A、B类纸片各6张，C类纸片10张； 故答案为10． 三、解答题 19．计算： 【答案】 【分析】本题考查了单项式乘以单项式，先计算乘方，再计算乘法，最后再合并同类项即可求解． 【详解】解： 20．计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查单项式乘以单项式及积的乘方，熟练掌握各个运算是解题的关键；因此此题可根据单项式乘以单项式及积的乘方可进行求解． 【详解】解：原式 ． 21．计算： 【答案】 【分析】先运算积的乘方、幂的乘方，同底数幂相乘，再合并同类项，即可作答． 【详解】解：． 【点睛】本题考查了积的乘方、幂的乘方，同底数幂相乘等运算法则，难度较小，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 22．计算： 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法以及幂的乘方运算；先定符号再计算． 【详解】解： 23．已知，求的值． 【答案】或 【分析】利用幂的乘方运算法则，进行计算即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴或． 【点睛】本题考查了幂的乘方，准确熟练地进行计算是解题的关键． 24．已知，求的值． 【答案】 【详解】本题考查同底数幂乘法的逆用，根据求解即可． 【分析】解：∵ 又∵， ∴ ∴ 解得 故答案为： 25．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 1 【分析】先计算积的乘方，再根据单项式乘以单项式的计算法则求解即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 【点睛】本题主要考查了单项式乘以单项式，积的乘方和代数式求值，正确计算是解题的关键． 26．生产某种产品吨，所需费用为万元，当出售这种商品吨时，每吨价格是万元，其中．如果生产出来的这种商品全部卖完， （1）用的代数式来表示生产这种商品的利润； （2）当时，求此时这种商品的利润． 【答案】（1）；（2）当时，这种商品的利润2000万元． 【分析】（1）根据计算利润的公式，用销售单价乘以数量减去相应费用，即可得出相应代数式； （2）在（1）条件下，将代入即可得出商品的利润． 【详解】解：（1）由题意得这种商品的利润： ； （2）当产量是时， 利润（万元） 答：当时，这种商品的利润2000万元． 【点睛】题目主要考查代数式的应用及求代数式的值，理解题意列出相应代数式是解题关键． 27．知识再现：我们知道幂的运算法则有4条，分别是：①，②，③，④，反过来，这4条运算法则可以写成：①，②，③，④． 问题解决：已知，且满足等式， (1)求代数式、的值； (2)化简代数式，并求当，时该代数式的值． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）逆用积的乘方法则即可求得的值，逆用幂的乘方法则可求得的值； （2）利用多项式乘多项式的法则化简，并把值代入即可求得代数式的值． 【详解】（1）解：， 由得：，即， 所以，故得，解得； 所以，； （2）解： ， 当，时，原式． 【点睛】本题考查了幂的运算法则的逆用，多项式的化简求值，熟练运用幂的运算法则，能正确进行多项式的乘法运算是关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$