专题02 全等三角形（考点串讲，3个常考点+10种重难题型+5个易错+押题预测）-2024-2025学年八年级数学上学期期中考点大串讲（人教版）

八年级人教版数学上册期中考点大串讲 专题02 全等三角形 01 02 04 03 目 录 易错易混 题型剖析 考点透视 押题预测 三大常考点：知识梳理+针对训练 十大题型典例剖析+技巧点拨+举一反三 五大易错易混经典例题+针对训练 精选7道期中真题对应考点练 考点透视 考点透视 考点透视 考点透视 考点透视 考点 一： 全等三角形的性质 例1 【新考法·概念辨析法】下列说法中，正确的有(　A　) ①形状相同的两个图形是全等形； ②面积相等的两个图形是全等形； ③全等三角形的周长相等，面积相等； ④若△ ABC ≌△ DEF ，则∠ A ＝∠ D ， AB ＝ EF . A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 A 【变式1-1】如图，若△ ABC ≌△ ADE ，则下列结论中不．成．立．的是(　D) A. ∠ BAD ＝∠ CAE B. ∠ BAD ＝∠ CDE C. DA 平分∠ BDE D. AC ＝ DE D 点拨：A. ∵△ ABC ≌△ ADE ，∴∠ BAC ＝∠ DAE ， ∴∠ BAC －∠ DAC ＝∠ DAE －∠ DAC ， 即∠ BAD ＝∠ CAE ，故本选项不符合题意； B. 设 AC 与 DE 相交于点 O ， ∵△ ABC ≌△ ADE ， ∴∠ C ＝∠ E . ∵∠ AOE ＝∠ DOC ，∠ E ＋∠ CAE ＋∠ AOE ＝180°， ∠ C ＋∠ COD ＋∠ CDE ＝180°，∴∠ CAE ＝∠ CDE . ∵∠ BAD ＝∠ CAE ， ∴∠ BAD ＝∠ CDE ，故本选项不符合题意； C. ∵△ ABC ≌△ ADE ，∴∠ B ＝∠ ADE ， AB ＝ AD ， ∴∠ B ＝∠ BDA ，∴∠ BDA ＝∠ ADE ， ∴ DA 平分∠ BDE ，故本选项不符合题意； D. ∵△ ABC ≌△ ADE ，∴ BC ＝ DE ， 故本选项符合题意； 故选D. 【变式1-2】 【新趋势·学科内综合】如图，在△ ABC 中，∠ ACB ＝ 90°， AC ＝ BC ，点 A 的坐标为(－7，3)，点 C 的坐标为(－2，0)，则点 B 的坐标为(　C　) A. (1，4) B. (2，4) C. (1，5) D. (2，5) C 考点二：三角形全等的判定 例2【新视角·结论开放题】写出满足题目中要求的条件(只需写出一个)： (1)如图①， AC ＝ BD ， AC 与 BD 相交于点 O ，要使△ ABC ≌△ BAD ，还需再添加一个条件为 ⁠⁠. BC ＝ AD (2)如图②，已知点 B ， C ， F ， E 在同一直线上，∠1＝∠2， ∠ A ＝∠ D ，要使△ ABC ≌ △ DEF ，还需再添加一个条件为 ⁠. AB ＝ DE 　 【新视角·结论开放题】写出满足题目中要求的条件(只需写出一个)： (3)[教材P55复习题T3变式] 如图③，已知 CD ＝ CA ，∠1＝∠2，要使△ ECD ≌△ BCA ，还需再添加一个条件为 ⁠. CE ＝ CB 　 【新视角·结论开放题】写出满足题目中要求的条件(只需写出一个)： (4)如图④， AC 与 BD 相交于点 O ，且 AB ＝ CD ，要使得 △ ABO ≌△ CDO ，还需再添加一个条件为 ⁠ ⁠. ∠ A ＝ ∠C 　 【新视角·结论开放题】写出满足题目中要求的条件(只需写出一个)： 【变式2-1】 如图，已知线段 BE 与线段 CD 相交于点 A ，连接 BD ， CE 和 BC ， M 为 BC 的中点，∠1＝∠2， AB ＝ AC . 求证： ∠ DBM ＝∠ ECM . 证明：如图，连接 AM . ∵ M 为 BC 的中点， ∴ BM ＝ CM . 又∵ AB ＝ AC ， AM ＝ AM ， ∴△ ABM ≌△ ACM (SSS). ∴∠3＝∠4，∠ AMB ＝∠ AMC . 又∵∠1＝∠2，∴∠ DMA ＝∠ EMA . ∵∠ DAB ＝∠ EAC ，∠3＝∠4， ∴∠ DAM ＝∠ EAM . 又∵ AM ＝ AM ，∴△ DAM ≌△ EAM (ASA). ∴ DM ＝ EM . 又∵∠1＝∠2， BM ＝ CM ， ∴△ DBM ≌△ ECM (SAS).∴∠ DBM ＝∠ ECM . 【变式2-2】 【新趋势·过程性学习】[2024·北京海淀区模拟]【问题提出】学习了三角形全等的判定方法“SSS” “SAS” “ASA” “AAS”和“HL”后，某小组同学探究了如下问题：当两个三角形满足两边和其中一边的对角分别相等时，这两个三角形是否全等. 【初步思考】他们先用符号语言表示了这个问题：在△ ABC 和△ DEF 中， AB ＝ DE ， AC ＝ DF ，∠ B ＝∠ E . 然后， 对∠ B 进行分类，可分为“∠ B 是直角、钝角、锐角”三 种情况进行探究. 【深入探究】 过程如下，请你将这个小组同学的探究过程补充完整. (1)如图①，在△ ABC 和△ DEF 中， AB ＝ DE ， AC ＝ DF ， ∠ B ＝∠ E ＝90°，根据 ，可以知道Rt△ ABC ≌Rt△ DEF . HL　 第一种情况：当∠ B 是直角时，△ ABC ≌△ DEF . 第二种情况：当∠ B 是钝角时，△ ABC ≌△ DEF . (2)如图②，在△ ABC 和△ DEF 中， AB ＝ DE ， AC ＝ DF ， ∠ B ＝∠ E ，且∠ B ，∠ E 都是钝角，求证：△ ABC ≌△ DEF . (2)证明：如图，过点 A 作 AG ⊥ CB 交 CB 的延长线于点 G ，过点 D 作 DH ⊥ FE 交 FE 的延长线于点 H . 则∠ AGB ＝∠ DHE ＝90°， ∵∠ ABC ＝∠ DEF ，∴∠ ABG ＝∠ DEH ， 又∵ AB ＝ DE ，∴△ AGB ≌△ DHE (AAS)， ∴ AG ＝ DH . 又∵ AC ＝ DF ，∴Rt△ ACG ≌Rt△ DFH (HL)， ∴∠ C ＝∠ F . 又∵∠ ABC ＝∠ DEF ， AB ＝ DE ， ∴△ ABC ≌△ DEF (AAS). 第三种情况：当∠ B 是锐角时，△ ABC 和△ DEF 不一定全等. (3)在△ ABC 和△ DEF 中， AB ＝ DE ， AC ＝ DF ，∠ B ＝∠ E ，且∠ B ，∠ E 都是锐角，请你用尺规在图③中作出△ DEF ，使△ DEF 和△ ABC 不全等.(不写作法，保留作图痕迹) (3)解：如图，△ DEF 即为所求. (4)在(3)中，∠ B 与∠ C 的大小关系还要满足什么条件，就可以使△ ABC ≌ △ DEF ？请根据以上作图过程直接写出结论. (4)解：∠ B ≥∠ C . 考点三：角平分线的性质与判定 例3 [2024无锡月考] 如图， AD 是△ ABC 的角平分线， DF ⊥ AB ，垂足为 F ， DE ＝ DG ，△ ADG 和△ AED 的面积分别为50和39，则△ DFE 的面积为(　B　) B A. 11 B. 5.5 C. 7 D. 3.5 点拨：如图，过点 D 作 DM ＝ DG 交 AC 于点 M ，作 DN ⊥ AC 于点N . ∵ DE ＝ DG ，∴ DE ＝ DM . ∵ AD 是△ ABC 的角平分线， DF ⊥ AB ， DN ⊥ AC ， ∴ DF ＝ DN ，∠ DFE ＝∠ DNM ＝∠ DNG ＝90°. 在Rt△ DEF 和Rt△ DMN 中， ∴Rt△ DEF ≌Rt△ DMN (HL).∴ S△ DEF ＝ S△ DMN . 在Rt△ ADF 和Rt△ ADN 中， ∴Rt△ ADF ≌Rt△ ADN (HL). ∴ S△ ADF ＝ S△ ADN . ∴ S△ ADF － S△ DEF ＝ S△ ADN － S△ DMN . 即 S△ ADE ＝ S△ ADM . 在Rt△ DEF 和Rt△ DGN 中， ∴Rt△ DEF ≌Rt△ DGN (HL). ∴ S△ DEF ＝ S△ DMN ＝ S△ DGN . ∵ S△ ADG ＝50， S△ ADE ＝39， ∴ S△ MDG ＝ S△ ADG － S△ ADM ＝S△ ADG － S△ ADE ＝50－39＝11， ∴ S△ DEF ＝ S△ DNM ＝ S△ MDG ＝ ×11＝5.5.故选B. 【变式3-1】 如图， AD 是∠ BAC 的平分线， DE 垂直 AB 于点 E ， DF 垂直 AC 于点 F ，且 BD ＝ DC . 求证：(1) BE ＝ CF ； 证明：(1)∵ AD 是∠ BAC 的平分线， DE ⊥ AB ， DF ⊥ AC ，∴ DE ＝ DF ，∠ E ＝∠ DFC ＝∠ DFA ＝90°， 在Rt△ DBE 和Rt△ CDF 中， ∵ BD ＝ DC ， DE ＝ DF ， ∴Rt△ DBE ≌Rt△ DCF (HL)， ∴ BE ＝ CF . AC － AB ＝2 BE . 证明：(2)由(1)知 DE ＝ DF ，∠ E ＝∠ DFA ＝90°， 又∵ AD ＝ AD ， ∴Rt△ DAE ≌Rt△ DAF (HL)， ∴ AE ＝ AF . （2） 如图， AD 是∠ BAC 的平分线， DE 垂直 AB 于点 E ， DF 垂直 AC 于点 F ，且 BD ＝ DC . 求证： ∵ BE ＝ CF ，∴ AC － AB ＝ AF ＋ CF －( AE － BE )＝ AF ＋ BE － AF ＋ BE ＝2 BE . 【变式3-2】 如图， BE ＝ CF ， DE ⊥ AB 交 AB 的延长线于点 E ， DF ⊥ AC 于点 F ，若 DB ＝ DC . (1)求证： AD 是∠ BAC 的平分线； (1)证明：∵ DE ⊥ AB ， DF ⊥ AC ， ∴∠ E ＝∠ DFC ＝∠ DFA ＝90°. 在Rt△ BED 和Rt△ CFD 中， ∴Rt△ BED ≌Rt△ CFD (HL).∴ DE ＝ DF . 又∵ DE ⊥ AB ， DF ⊥ AC ，∴ AD 是∠ BAC 的平分线. (2)猜想 AB ， AC ， AE 三条线段之间的数量关系，并证明你的猜想. 如图， BE ＝ CF ， DE ⊥ AB 交 AB 的延长线于点 E ， DF ⊥ AC 于点 F ， 若 DB ＝ DC . (2)解：2 AE ＝ AC ＋ AB . 证明如下： 在Rt△ AED 和Rt△ AFD 中， ∴Rt△ AED ≌Rt△ AFD . ∴ AE ＝ AF ， ∴ AC ＝ AF ＋ CF ＝ AE ＋ CF . ∵ BE ＝ CF ，∴ AC ＝ AE ＋ BE ＝ AE ＋ AE － AB ＝2 AE － AB . ∴2 AE ＝ AC ＋ AB . 【变式3-3】 如图，已知∠ C ＝60°， AE ， BD 是△ ABC 的角平分线，且交于点 P . (1)求∠ APB 的度数. (1)解：∵ AE ， BD 是△ ABC 的角平分线， ∴∠ BAP ＝ ∠ BAC ，∠ ABP ＝ ∠ ABC ， ∴∠ BAP ＋∠ ABP ＝ (∠ BAC ＋ ∠ ABC )＝ (180°－∠ C )＝60°， ∴∠ APB ＝120°. (2)求证：点 P 在∠ C 的平分线上. (2)证明：过点 P 作 PF ⊥ AB ， PG ⊥ AC ， PH ⊥ BC ，垂足分别为 F ， G ， H . ∵ AE ， BD 分别平分∠ BAC ，∠ ABC ， 如图，已知∠ C ＝60°， AE ， BD 是△ ABC 的角平分线，且交于点 P . ∴ PF ＝ PG ， PF ＝ PH . ∴ PH ＝ PG . 又∵ PG ⊥ AC ， PH ⊥ BC ，∴点 P 在∠ C 的平分线上. 题型剖析 题型一：平移模型 例4 如图，点 B ， E ， C ， F 在同一条直线上，已知 AB ＝ DE ，∠ A ＝∠ D ，添加下列条件中的一个：① AC ＝ DF ；② BC ＝ EF ；③∠ ABC ＝∠ DEF ；④∠ ACB ＝∠ F . 其中不能确定△ ABC ≌△ DEF 的是(　B　) A. ① B. ② C. ③ D. ④ B 【变式4-1】 如图，点 A ， D ， B ， E 在一条直线上， AD ＝ BE ， AC ＝ DF ， AC ∥ DF . 求证： BC ＝ EF . 证明：∵ AD ＝ BE ， ∴ AD ＋ DB ＝ BE ＋ DB ，即 AB ＝ DE . ∵ AC ∥ DF ， ∴∠ A ＝∠ EDF . ∵ AC ＝ DF ， ∴△ ABC ≌△ DEF (SAS).∴ BC ＝ EF . 题型二：对称模型 例5如图，点 D ， E 分别是 AB ， AC 的中点， BE ， CD 相交于点 O ，∠ B ＝∠ C ， BD ＝ CE . 求证：(1) OD ＝ OE ； 证明：(1)∵∠ B ＝∠ C ， ∠ DOB ＝∠ EOC ， BD ＝ CE ， ∴△ DOB ≌△ EOC (AAS). ∴ OD ＝ OE . (2)△ ABE ≌△ ACD . 证明：(2)∵ D ， E 分别是 AB ， AC的中点， ∴ AB ＝2 BD ， AC ＝2 CE ， AD ＝ BD ， AE ＝ EC . 又∵ BD ＝ CE ， ∴ AB ＝ AC ， AD ＝ AE . 如图，点 D ， E 分别是 AB ， AC 的中点， BE ， CD 相交 于点 O ，∠ B ＝∠ C ， BD ＝ CE . 求证： ∵∠ A ＝∠ A ，∴△ ABE ≌△ ACD (SAS). 【变式5-1】 如图，在四边形 ACBD 中，点 P 在对角线 AB 上，连接 PC ， PD . 已知∠1＝∠2，∠3＝∠4.(1)求证：△ BDP ≌△ BCP ； 证明：(1)∵∠1＝∠2，∠1＋∠ DPB ＝∠2＋∠ CPB ＝180°， ∴∠ DPB ＝∠ CPB . 又∵ PB ＝ PB ，∠3＝∠4， ∴△ BDP ≌△ BCP (ASA). (2)求证： AD ＝ AC . 证明：(2)∵△ BDP ≌△ BCP ，∴ DP ＝ CP . 又∵ AP ＝ AP ，∠1＝∠2， ∴△ ADP ≌△ ACP (SAS). ∴ AD ＝ AC . 如图，在四边形 ACBD 中，点 P 在对角线 AB 上，连接 PC ， PD . 已知∠1＝∠2，∠3＝∠4. 题型三：旋转模型 例6 [2024临沂期中] 【基本模型】(1)如图①，四边形 ABCD 是正方形，∠ EAF ＝45°，当 E 在 BC 边上， F 在 CD 边上时，请你探究 BE ， DF 与 EF 之间的数量关系，并证明你的结论. 解：(1) EF ＝ BE ＋ DF . 证明：如图①，将△ ADF 绕点 A 顺时针旋转，使 AD 与 AB 重合，得到△ABF'， ∴ AF ＝ AF '，∠ DAF ＝∠ BAF '， BF '＝ DF . ∵四边形 ABCD 是正方形，∴∠ BAD ＝90°. ∵∠ EAF ＝45°，∴∠ DAF ＋∠ BAE ＝45°. ∴∠BAF'＋∠ BAE ＝45°. ∴∠EAF'＝∠ EAF ＝45°. 又∵ AE ＝ AE ，∴△ AEF ≌△AEF'(SAS). ∴ EF ＝EF'. ∵EF'＝ BE ＋BF'＝ BE ＋ DF ， ∴ EF ＝ BE ＋ DF . 【模型运用】(2)如图②，四边形 ABCD 是正方形，∠ EAF ＝45°，当 E 在 BC 的延长线上， F 在 CD 的延长线上时，请你探究 BE ， DF 与 EF 之间的数量关系，并证明你的结论. 解：(2) EF ＝ BE － DF . 证明：如图②，将△ ADF 绕点 A 顺时针旋转，使 AD 与 AB 重合， 得到△ABF'， ∴ AF ＝ AF '，∠ DAF ＝∠ BAF '， BF '＝ DF . ∵四边形 ABCD 是正方形，∴∠ BAD ＝90°. ∵∠ EAF ＝45°，∴∠ DAF ＋∠ DAE ＝45°. ∴∠BAF'＋∠ DAE ＝45°. ∴∠EAF'＝∠ EAF ＝45°. 又∵ AE ＝ AE ，∴△ AEF ≌△AEF'(SAS). ∴ EF ＝EF'. ∵EF'＝ BE －BF'＝ BE － DF ， ∴ EF ＝ BE － DF . 题型四：倍长中线模型 例7[2024邯郸育华中学模拟] 如图，在△ ABC 中， AB ＞ AC ， AD 是 BC 边上的中线. 求证： ( AB － AC )＜ AD ＜ ( AB ＋ AC ). 证明：如图，延长 AD 至点 E ，使 DE ＝ AD ， 连接 BE ，则 AE ＝2 AD . ∵ AD 是 BC 边上的中线， ∴ CD ＝ BD . 又∵∠ ADC ＝∠ EDB ， ∴△ ACD ≌△ EBD (SAS). ∴ AC ＝ EB . 在△ ABE 中， AB － BE ＜ AE ＜ AB ＋ BE ， 即 AB － AC ＜2 AD ＜ AB ＋ AC . ∴ ( AB － AC )＜ AD ＜ ( AB ＋ AC ). 【变式7-1】 如图所示，∠ BAC ＝∠ BCA ， AD 为△ ABC 中 BC 边上的中线，延长 BC 至点 E ，使 CE ＝ AB ，连接 AE . 求证： ∠ CAD ＝∠ CAE . 证明：如图，延长 AD 到点 F ，使得 DF ＝ AD ，连接 CF . ∵ AD 为△ ABC 中 BC 边上的中线，∴ BD ＝ CD . 又∵∠ ADB ＝∠ FDC ， ∴△ ADB ≌△ FDC (SAS). ∴ AB ＝ CF ，∠ B ＝∠ DCF . ∵ CE ＝ AB ，∴ CE ＝ CF . ∵∠ ACE ＝∠ B ＋∠ BAC ，∠ ACF ＝∠ DCF ＋ ∠ BCA ，∠ BAC ＝ ∠ BCA ，∴∠ ACE ＝∠ ACF . 又∵ AC ＝ AC ，∴△ ACF ≌△ ACE (SAS). ∴∠ CAD ＝∠ CAE . 【变式7-2】 如图， AB ＝ AE ， AB ⊥ AE ， AD ＝ AC ， AD ⊥ AC ， M 为 BC 的中点.求证： DE ＝2 AM . 证明：延长 AM 至 N ，使 MN ＝ AM ，连接 BN . ∵点 M 为 BC 的中点， ∴ CM ＝ BM . 又∵∠ AMC ＝∠ NMB ， ∴△ AMC ≌△ NMB (SAS). ∴ AC ＝ BN ，∠ C ＝∠ NBM . ∵ AD ＝ AC ，∴ AD ＝ BN . ∵ AB ⊥ AE ， AD ⊥ AC ， ∴∠ EAB ＝∠ DAC ＝90°. ∴∠ EAD ＋∠ BAC ＝180°. ∴∠ ABN ＝∠ ABC ＋∠ C ＝ 180°－∠ BAC ＝∠ EAD . 又∵ AE ＝ AB ， ∴△ ABN ≌△ EAD (SAS).∴ DE ＝ AN ＝2 AM . 题型五：一线三等角模型 例8如图，在△ ABC 中，∠ B ＝∠ C ， BF ＝ CD ， BD ＝ CE ， 若∠ A ＝40°，则∠ FDE ＝ ⁠. 70° 【变式8-1】【新视角·探究题】探究：如图①，点 B ， C 分别在 ∠ MAN 的边 AM ， AN 上，点 E ， F 在∠ MAN 内部 的射线 AD 上，∠1，∠2分别是△ ABE ，△ CAF 的外 角.已知 AB ＝ AC ，∠1＝∠2＝∠ BAC . 求证：△ ABE ≌△ CAF . 证明：探究：∵∠1＝∠2＝∠ BAC ， ∠1＝∠ BAE ＋∠ ABE ， ∠2＝∠ CAF ＋∠ ACF ， ∠ BAC ＝∠ BAE ＋∠ CAF ， ∴∠ BAE ＝∠ ACF ，∠ ABE ＝∠ CAF . 又∵ AB ＝ CA ，∴△ ABE ≌△ CAF (ASA). 拓展：如图②，在△ ABC 中， AB ＝ AC ， AB ＞ BC ，点 D 在边 BC 上，且 CD ＝2 BD ，点 E ， F 在线段 AD 上，∠1＝ ∠2＝∠ BAC . 若△ ABC 的面积为15，求△ ABE 与△ CDF 的 面积之和. 解：拓展：∵∠1＝∠2＝∠ BAC ， ∠1＝∠ BAE ＋∠ ABE ， ∠2＝∠ CAF ＋∠ ACF ， ∠ BAC ＝ ∠ BAE ＋∠ CAF ， ∴∠ BAE ＝∠ ACF ，∠ ABE ＝∠ CAF . 又∵ AB ＝ CA ，∴△ ABE ≌△ CAF (ASA). ∴ S△ ABE ＝ S△ CAF . ∴ S△ ABE ＋ S△ CDF ＝ S△ CAF ＋ S△ CDF ＝ S△ ACD ， ∵ CD ＝2 BD ，△ ABC 的面积为15， ∴ S△ ACD ＝10.∴ S△ ABE ＋ S△ CDF ＝10. 题型六：作垂线 例9[2024北京东城区月考]如图，在△ ABC 中，∠ C ＝90°， AC ＝6， DC ＝ AD ， BD 平分∠ ABC ，则点 D 到 AB 的 距离为 ⁠. 2　 【变式9-1】 如图，已知 OP 平分∠ AOB ，过点 P 作 OP 的垂线分别交 OA ， OB 于点 C ， D ，则 PC 与 PD 相等吗？为什么？ 解： PC ＝ PD . 理由：∵ OP 平分∠ AOB ，∴∠ COP ＝∠ DOP . ∵过点 P 作 OP 的垂线分别交 OA ， OB 于点 C ， D ， ∴∠ CPO ＝∠ DPO ＝90°.又∵ OP ＝ OP ， ∴△ CPO ≌△ DPO (ASA).∴ PC ＝ PD . 【变式9-2】如图，∠ AOB ＝90°， OM 是∠ AOB 的平分线，将三角 尺的直角顶点 P 在射线 OM 上滑动，两直角边分别与 OA ， OB 交于点 C 和 D . 求证： PC ＝ PD . 证明：过点 P 作 PE ⊥ OA 于点 E ， PF ⊥ OB 于点 F ， 则∠ PEC ＝∠ PFD ＝90°. ∵ OM 是∠ AOB 的平分线， ∴ PE ＝ PF . ∵∠ AOB ＝90°，∠ CPD ＝90°， ∴∠ PCE ＋∠ PDO ＝360°－90°－90°＝180°. 又∵∠ PDO ＋∠ PDF ＝180°，∴∠ PCE ＝∠ PDF . ∴△ PCE ≌△ PDF (AAS)，∴ PC ＝ PD . 【变式9-3】 [教材P52习题T7变式] 如图，在四边形 ABCD 中，∠ B ＝90°， AB ∥ CD ， M 为 BC 边上的一点，且 AM 平分∠ BAD ， DM 平分∠ ADC . 求证： (1) AM ⊥ DM ； 证明：(1)∵ AB ∥ CD ， ∴∠ BAD ＋∠ ADC ＝180°. ∵ AM 平分∠ BAD ， DM 平分∠ ADC ， ∴∠ BAM ＝∠ MAD ，∠ CDM ＝∠ ADM . ∴2∠ MAD ＋2∠ ADM ＝180°. ∴∠ MAD ＋∠ ADM ＝90°. ∴∠ AMD ＝90°，即 AM ⊥ DM . (2) M 为 BC 的中点. 【变式9-4】[教材P52习题T7变式] 如图，在四边形 ABCD 中，∠ B ＝ 90°， AB ∥ CD ， M 为 BC 边上的一点，且 AM 平分 ∠ BAD ， DM 平分∠ ADC . 求证： ∴ BM ＝ MN ， MN ＝ CM . ∴ BM ＝ CM ，即 M 为 BC 的中点. 证明：(2)如图，过点 M 作 MN ⊥ AD 于点 N . ∵∠ B ＝90°， AB ∥ CD ， ∴ BM ⊥ AB ， CM ⊥ CD . 又∵ AM 平分∠ BAD ， DM 平分∠ ADC ， 题型七：截取法 例10如图，在梯形 ABCD 中， AD ∥ BC ， AE 平分∠ BAD ， BE 平分∠ ABC ，且 AE ， BE 交 CD 于点 E . 试说明 AD ＝ AB － BC 的理由. 解：在 AB 上截取 AF ＝ AD ，连接 EF . ∵ AE 平分∠ BAD ，∴∠ EAD ＝∠ EAF . 又∵ AE ＝ AE ，∴△ AEF ≌△ AED (SAS). ∴∠ AFE ＝∠ D . ∵ AD ∥ BC ，∴∠ D ＋∠ C ＝180°. 又∵∠ AFE ＋∠ BFE ＝180°，∴∠ C ＝∠ BFE . ∵ BE 平分∠ ABC . ∴∠ FBE ＝∠ CBE . 又∵ BE ＝ BE ，∴△ BEF ≌△ BEC (AAS). ∴ BF ＝ BC . ∴ AB ＝ AF ＋ BF ＝ AD ＋ BC ，即 AD ＝ AB － BC . 【变式10-1】 [2024太原师范附属中学月考] 如图，在△ ABC 中， AD 平 分∠ BAC ，∠ C ＝2∠ B . 求证： AC ＋ CD ＝ AB . 证明：如图，在 AB 上截取 AE ＝ AC ，连接 DE ， 过点 E 作 EF ⊥ BD 于点 F . ∵ AD 平分∠ BAC ，∴∠ CAD ＝∠ EAD . 又∵ AD ＝ AD ，∴△ AED ≌△ ACD . ∴ ED ＝ CD ，∠ AED ＝∠ C . ∵∠ AED ＝∠ B ＋∠ EDB ， ∴∠ C ＝∠ B ＋∠ EDB . 又∵∠ C ＝2∠ B ，∴∠ B ＝∠ EDB . 又∵∠ EFB ＝∠ EFD ＝90°， EF ＝ EF ， ∴△ EFB ≌△ EFD (AAS).∴ BE ＝ DE . ∴ BE ＝ CD . ∴ AB ＝ AE ＋ BE ＝ AC ＋ CD ，即 AC ＋ CD ＝ AB . 【变式10-2】如图，在△ ABC 中， AD 是△ ABC 外角的平分线， P 是 AD 上异于点 A 的任意一点.试比较 PB ＋ PC 与 AB ＋ AC 的大小，并说明理由. 解： PB ＋ PC ＞ AB ＋ AC . 理由如下： 在 BA 的延长线上取点 E ，使得 AE ＝ AC ， 连接 PE ，如图. ∵ AD 平分∠ CAE ，∴∠ CAD ＝∠ EAD . 又∵ AP ＝ AP ， AE ＝ AC ， ∴△ AEP ≌△ ACP (SAS)，∴ PE ＝ PC . 在△ PBE 中， PB ＋ PE ＞ BE ， BE ＝ AB ＋ AE ＝ AB ＋ AC ，∴ PB ＋ PC ＞ AB ＋ AC . 题型八：延长法 例11如图，在△ ABC 中， AD 平分∠ BAC 交 BC 于点 D ， BE ⊥ AD 于点 E . 探究∠ ABE ，∠ DBE ，∠ C 之间的数量关系. 解：如图，延长 BE 交 AC 于点 F ， ∵ AD 平分∠ BAC ， ∴∠ BAE ＝∠ FAE . 又∵ AE ＝ AE ，∠ AEB ＝∠ AEF ＝90°， ∴△ ABE ≌△ AFE (ASA)， ∴∠ ABE ＝∠ AFE ， ∵∠ AFE ＝∠ DBE ＋∠ C ， ∴∠ ABE ＝∠ DBE ＋∠ C . 【变式11-1】 [2024北京海淀区月考] 如图，在△ ABC 中，∠ BAC ＝ 90°， AB ＝ AC ， BD 平分∠ ABC ，交 AC 于点 D ， CE ⊥ BD 交 BD 的延长线于点 E . 求证： CE ＝ BD . 证明：如图，延长 CE ， BA 交于点 F . ∵ CE ⊥ BD ，∠ BAC ＝90°， ∴∠ CAF ＝∠ BEC ＝∠ BEF ＝90°＝∠ BAD . 又∵∠ ADB ＝∠ EDC ，∴∠ ABD ＝∠ ACF . 又∵ AB ＝ AC ，∴△ ABD ≌△ ACF (ASA). ∴ BD ＝ CF . ∵ BD 平分∠ ABC ，∴∠ CBE ＝∠ FBE . 又∵ BE ＝ BE ，∠ BEC ＝∠ BEF ， ∴△ BCE ≌△ BFE (ASA). ∴ CE ＝ FE ，即 CE ＝ CF . ∴ CE ＝ BD . 题型九：分类讨论思想 例12【新视角·动点探究题】如图，△ ABC 中，∠ ACB ＝90°， AC ＝6 cm， BC ＝8 cm.点 P 从 A 点出发沿 A → C → B 路径向终点运动，终点为 B 点；点 Q 从 B 点出发沿 B → C → A 路径向终点运动，终点为 A 点.点 P 和 Q 分别以每秒1 cm和3 cm的运动速度同时开始运动，当一个点到达终点时另一个点也停止运动，在某时刻，分别过 P 和 Q 作 PE ⊥ l 于 E ， QF ⊥ l 于 F . 设运动时间为 t s，则当 t ＝ 时，△ PEC 与△ QFC 全等. 1或 　 点拨：分以下情况：①如图①， P 在 AC 上， Q 在 BC 上， ∵ PE ⊥ l ， QF ⊥ l ，∴∠ PEC ＝∠ QFC ＝90°. 又∵∠ ACB ＝90°， ∴∠ EPC ＋∠ PCE ＝∠ PCE ＋∠ QCF ＝90°， ∴∠ EPC ＝∠ QCF . ∴当 PC ＝ CQ 时，△ PEC 与△ QFC 全等， 此时6－ t ＝8－3 t ，解得 t ＝1. ②如图②， P 在 BC 上， Q 在 AC 上， 易知当 PC ＝ CQ 时，△ PEC 与△ QFC 全等. 此时 t －6＝3 t －8，∴ t ＝1. ∵ t －6＜0，∴此种情况不符合题意. ③当 P ， Q 都在 AC 上时，如图③， 易知当 PC ＝ CQ 时，△ PEC 与△ QFC 全等. 此时6－ t ＝3 t －8，∴ t ＝ . ④当 Q 到达 A 点停止时， P 在 AC 上，此时△ PEC 与 △ QFC 不可能全等，故答案为1或 . 【变式12-1】 [2024德州一模] 如图，在四边形 ABCD 中，∠ DAB ＝ ∠ ABC ， AB ＝5 cm， AD ＝ BC ＝3 cm，点 E 在线段 AB 上以1 cm/s的速度由点 A 向点 B 运动，同时，点 F 在线 段 BC 上由点 B 向点 C 运动，设运动时间为 t (s)，当 △ ADE 与以 B ， E ， F 为顶点的三角形全等时，求点 F 的运动速度. 解：设点 F 的运动速度为 x cm/s， 由题意可得 AE ＝ t cm， BE ＝(5－ t ) cm， BF ＝ xt cm，∵∠ DAB ＝∠ ABC ， ∴△ ADE 与以 B ， E ， F 为顶点的三角 形全等时可分为两种情况：①当△ ADE ≌△ BEF 时， AE ＝ BF ，∴ t ＝ xt ，∴ x ＝1，∴此时点 F 的运动速度为 1 cm/s.②当△ ADE ≌△ BFE 时， AE ＝ BE ， AD ＝ BF ＝3 cm，∴ t ＝5－ t ， xt ＝3，∴ t ＝ ， x ＝ ，∴此时 点 F 的运动速度为 cm/s.综上所述，点 F 的运动速度为 1 cm/s或 cm/s. 题型十： 建模思想 例13 [2024商丘期中] 某中学打算举办校园文化艺术节，小文 同学负责此次艺术节宣传板的制作，如图，将该宣传板 ABCDE 垂直于地面放置时，点 A ， C ， E 到地面的距离 分别是60 cm，20 cm，80 cm，过点 A 作 AF ⊥ BD ，交 DB 的延长线于点 F ，过点 C 作 CG ⊥ BD 于点 G ，已知 AB ＝ BC 且 AB ⊥ BC ， CD ＝ DE 且 CD ⊥ DE . (1)求证：△ ABF ≌△ BCG ； (1)证明：∵ AF ⊥ BD ， CG ⊥ BD ， AB ⊥ BC ， ∴∠ AFB ＝∠ ABC ＝∠ BGC ＝90°， ∴∠ FAB ＋∠ ABF ＝∠ ABF ＋∠ CBG ＝90°， ∴∠ FAB ＝∠ CBG . 又∵ AB ＝ BC ，∴△ ABF ≌△ BCG (AAS). (2)请你帮小文同学计算出这块宣传板的面积. [2024商丘期中] 某中学打算举办校园文化艺术节，小文同学负责此次艺术节宣传板的制作，如图，将该宣传板 ABCDE 垂直于地面放置时，点 A ， C ， E 到地面的距离分别是60 cm，20 cm，80 cm，过点 A 作 AF ⊥ BD ，交 DB 的延长线于点 F ，过点 C 作 CG ⊥ BD 于点 G ，已知 AB ＝ BC 且 AB ⊥ BC ， CD ＝ DE 且 CD ⊥ DE . (2)解：过点 E 作 EM ⊥ DG 于 M ，如图. 由题意知 AF ＝60 cm， CG ＝20 cm， EM ＝80 cm. 由(1)知△ ABF ≌△ BCG ， ∴ AF ＝ BG ＝60 cm， BF ＝ CG ＝20 cm， 同理可得△ EMD ≌△ DGC ， ∴ EM ＝ DG ＝80 cm， DM ＝ CG ＝20 cm， ∴ MF ＝ BF ＋ BG ＋ DG ＋ DM ＝20＋60＋80＋ 20＝180(cm)， ∵ S△ ABF ＝ AF · BF ＝ ×60×20 ＝600(cm2)， S△ DEM ＝ DM · ME ＝ ×20×80＝800(cm2)， ∴这块宣传板的面积为 S梯形 AFME －2 S△ ABF － 2 S△ DEM ＝12 600－2×600－2×800＝9 800(cm2). ∴ S梯形 AFME ＝ ( AF ＋ EM )· FM ＝ ×(60＋80)×180＝12600(cm2). 【变式13-1】 阅读并完成相应的任务.小明站在堤岸凉亭 A 点处，正对 他的 B 点( AB 与堤岸垂直)停有一艘游艇，他想知道凉亭 与这艘游艇之间的距离，于是制定了如下方案： (1)任务一：根据题意将测量方案示意图补充完整； 课题 测凉亭与游艇之间的距离 测量工具 皮尺等 测量方案 示意图 (不完整) 解： (1)根据题意将测量方案示意图补充完整如图所示. 课题 测凉亭与游艇之间的距离 测量步骤 ①小明沿堤岸走到电线杆 C 旁(直线 AC 与堤 岸平行)； ②再往前走相同的距离，到达 D 点； ③他到达 D 点后向左转90度直行，当自己， 电线杆与游艇在一条直线上时停下来，此时 小明位于点 E 处. 测量数据 AC ＝10.5米， CD ＝10.5米， DE ＝9米 (2)任务二： ①凉亭与游艇之间的距离是 米； ②请你说明小明方案正确的理由. 解：由题意可得 AC ＝ CD ＝10.5米， DE ＝9米，∠ A ＝∠ D ＝90°. 又∵ AC ＝ DC ，∠ ACB ＝∠ DCE ， ∴△ ABC ≌△ DEC (ASA)，∴ DE ＝ AB ＝9米， ∴小明的方案是正确的. 9　 易错易混 易错点一：全等的对应关系考虑不全面导致出错 1.已知点A(2,0),B(0,4),C(2,4),D 在平面直角坐标系内，且△ABC与△ACD全等,则点D的坐标为 。 正解:如图,点D(4,4),D,(0,0),D(4,0)满足题意 故答案为(4,4)或(0,0)或(4,0) 易错点二:错用“SSA”判定三角形全等 2.如图，在三角形ABC中，AB=AC，D、E分别为 AB,AC 的中点,且CD=BE，△ADC 与△AEB 全等吗?请说明理由 正解:△ADC≌△AEB.理由: AB=AC,D,E分别为 AB,AC 的中点∴AD=AE 在△ADC和△AEB中 △ADC≌ △AEB(SSS) 易错点三：错用“HL”判定直角三角形全等 3.如图,AB ⊥AD,ED ⊥ AD,AB =CD,AD=DE.求证:BD ⊥ CE. 正解:在△ABD和△DCE中， ∴△ABD≌△DCE(SAS) ∴∠B=∠DCE. ∵∠ B+ ∠ ADB=90° ∴∠ DCE+ ∠ ADB=90° ∴BD ⊥CE. 易错点四：错用角的平分线的性质 4.如图,点P在∠A0B的平分线0C上过点P的直线与 0A,0B 分别相交于 D,E两点,则PD与PE相等吗?为什么? 正解:不一定相等.因为点P虽然在∠AOB的平分线上,但是 PD,PE 不是点P到∠AOB两边的垂线段，且DE不一定垂直于 0G 易错点五：对图形观察不细致,数全等三角形的对数时遗漏 5.如图,CD⊥AB 于点 D,BE ⊥AC 于点E， BE 、CD 交于点 0,且 A0 平分∠BAC, (1)求证:0B=0C(2)图中有哪几对全等三角形? (1)证明: CD⊥AB,BE⊥AC, AO 平分∠BAC,∴OD=OE,∠BDO=∠CEO=90° 在△BOD和△COE中， ∴△BOD≌△COE(ASA) ∴0B=0C 正解:(2)全等三角形有4对,分别是:△AOD≌△AOE.△BOD≌ △COE,△AOB≌ △AOC,△ABE≌ △ACD. 如图,不妨给各小三角形标上号,先看单个的全等的三角形:和②,③和④;再看两个小三角形的组合:①③组合和②4组合;然后看三个小三角形的组合:②③组合和➁④组合 5.如图,CD⊥AB 于点 D,BE ⊥AC 于点E， BE 、CD 交于点 0,且 A0 平分∠BAC, (1)求证:0B=0C(2)图中有哪几对全等三角形? 易错点五：对图形观察不细致,数全等三角形的对数时遗漏 1.（2023秋•英吉沙县期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠CAB，若CD=10，则点D到AB的距离是( ____ ) A.8 B.9 C.10 D.11 【解析】解：如图，作DH⊥AB于H． _____ C 押题预测 ∵∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D， ∴CD=DH(角的平分线上的点到角的两边的距离相等)， ∵CD=10，∴DH=10，即点D到AB的距离是10． 故选：C． 93 2.（2023秋•增城区期中）如图，△ABC≌△AED，点E在线段BC上，∠1=40°，则∠AED的度数是( ____ ) A.70° B.68° C.65° D.60° 【解析】解：∵△ABC≌△AED， ∴∠AED=∠B，AE=AB，∠BAC=∠EAD， ∴∠1=∠BAE=40°， ∴△ABE中，∠B= =70°， A ∴∠AED=70°， 故选：A． 94 3.（2023秋•裕华区校级期中）如图，AD是△ABC的边BC上的中线，AB=7，AD=5，则AC的取值范围为( ____ ) A.3＜AC＜17 B.3＜AC＜15 C.1＜AC＜6 D.2＜AC＜12 【解析】解：延长AD至E，使DE=AD，连接CE． A 在△ABD与△ECD中， ， ∴△ABD≌△ECD(SAS)， ∴CE=AB．在△ACE中，AE-EC＜AC＜AE+CE， 即5+5-7＜AC＜5+5+7，3＜AC＜17． 故选：A． 95 4.（2024春•宝安区校级期中）小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，OA与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到OA的水平距离BD、CE分别为1.4m和1.8m,∠BOC=90°．爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是( ____ ) _____ D A.1m B.1.6m C.1.8m D.1.4m 96 【解析】解：由题意可知∠CEO=∠BDO=90°，OB=OC， ∵∠BOC=90°， ∴∠COE+∠BOD=∠BOD+∠OBD=90°． ∴∠COE=∠OBD， 在△COE和△OBD中， ， ∴△COE≌△OBD(AAS)，∴CE=OD，OE=BD， ∵BD、CE分别为1.4m和1.8m, ∴DE=OD-OE=CE-BD=1.8-1.4=0.4(m)， ∵AD=1m,∴AE=AD+DE=1.4(m)， 答：爸爸是在距离地面1.4m的地方接住小丽的．故选：D． 97 5.（2023春•武威期中）如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB∥DE，且AB=DE，请添加一个条件 ________ ，使△ABC≌△DEF． 【解析】解：可添加条件为∠A=∠D或BC=EF或BE=CF或∠ACB=∠F理由如下：∵AB∥DE，∴∠B=∠DEF． ∵在△ABC和△DEF中， ， ∠A=∠D ∴△ABC≌△DEF(ASA)． 故答案为：BE=CF或∠A=∠D或BC=EF(填一个即可)． 98 6.（2024春•金台区校级期中）如图所示，在△ABC中，CB⊥AB，∠BAC=45°，F是AB延长线上一点，点E在BC上，且AE=CF．求证：Rt△ABE≌Rt△CBF． 【解析】证明：∵CB⊥AB， ∴∠ABC=∠FBC=90°， ∵∠BAC=45°， ∴△ABC为等腰直角三角形， ∴AB=CB， 在Rt△ABE和Rt△CBF中， ， ∴Rt△ABE≌Rt△CBF(HL)． 99 7.（2023秋•海门市期中）(1)如图①，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EAF= ∠BAD．请直接写出线段EF，BE，FD之间的数量关系： ____________ ； (2)如图②，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EAF= ∠BAD，(1)中的结论是否仍然成立？请写出证明过程； (3)在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E，F分别是边BC，CD所在直线上的点，且∠EAF= ∠BAD．请直接写出线段EF，BE，FD之间的数量关系： _________________________________________ ． EF=BE+FD EF=BE+FD或EF=BE-FD或EF=FD-BE 100 ________ 【解析】解：(1)如图1，延长EB到G，使BG=DF，连接AG． ∵在△ABG与△ADF中， ， 101 ∴△ABG≌△ADF(SAS)． ∴AG=AF，∠1=∠2， ∴∠1+∠3=∠2+∠3= ∠BAD=∠EAF． ∴∠GAE=∠EAF． 又AE=AE， 易证△AEG≌△AEF． ∴EG=EF． ∵EG=BE+BG． ∴EF=BE+FD (2)(1)中的结论EF=BE+FD仍然成立． 102 理由是：如图2，延长EB到G，使BG=DF，连接AG． ∵∠ABC+∠D=180°，∠ABG+∠ABC=180°， ∴∠ABG=∠D， ∵在△ABG与△ADF中， ， ∴△ABG≌△ADF(SAS)． ∴AG=AF，∠1=∠2， ∴∠1+∠3=∠2+∠3= ∠BAD=∠EAF． 103 ∴∠GAE=∠EAF． 又AE=AE， ∴△AEG≌△AEF． ∴EG=EF． ∵EG=BE+BG． ∴EF=BE+FD (3)当(1)结论EF=BE+FD成立， 当图三中，EF=BE-FD或EF=FD-BE． 证明：在BE上截取BG，使BG=DF，连接AG． ∵∠B+∠ADC=180°，∠ADF+∠ADC=180°， ∴∠B=∠ADF． 104 ∵在△ABG与△ADF中， ， ∴△ABG≌△ADF(SAS)． ∴∠BAG=∠DAF，AG=AF． ∴∠BAG+∠EAD=∠DAF+∠EAD=∠EAF= ∠BAD． ∴∠GAE=∠EAF． ∵AE=AE， ∴△AEG≌△AEF(SAS)． 105 ∴EG=EF ∵EG=BE-BG ∴EF=BE-FD． 同理可得：∴EG=EF ∵EG=BG-BE ∴EF=FD-BE． 故答案为：(1)EF=BE+FD；(2)成立；(3)EF=BE+FD或EF=BE-FD或EF=FD-BE． 106 $$