专题02 全等三角形（考点清单，知识导图+13个考点清单+5种题型解读）-2024-2025学年八年级数学上学期期中考点大串讲（人教版）

专题02 全等三角形（考点清单，知识导图+13个考点清单+5种题型解读） 【清单01】全等形的概念（重点） 形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合.能够完全重合的两个图形叫做全等形. 要点归纳：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等.两个全等形的周长相等，面积相等. 【清单02】全等三角形的概念和表示方法（重点） 1.全等三角形的定义 能够完全重合的两个三角形叫全等三角形. 2. 对应顶点，对应边，对应角定义 两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角. 要点归纳： 在写两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应位置上，这样容易找出对应边、对应角.如下图，△ABC与△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，其中点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点；AB和DE，BC和EF，AC和DF是对应边；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是对应角. 3. 找对应边、对应角的方法 （1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边； （2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角； （3）有公共边的，公共边是对应边； （4）有公共角的，公共角是对应角； （5）有对顶角的，对顶角一定是对应角； （6）两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（或角），一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角），等等. 【清单03】全等三角形的性质（重点） 　 全等三角形的对应边相等； 全等三角形的对应角相等. 要点归纳：全等三角形对应边上的高相等，对应边上的中线相等，周长相等，面积相等.全等三角形的性质是今后研究其它全等图形的重要工具. 【清单04】三角形全等的基本事实：边边边（重点） 三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS”）. 要点归纳：如图，如果＝AB，＝AC，＝BC，则△ABC≌△. 【清单05】三角形全等的基本事实：边角边（重点） 1. 全等三角形判定——“边角边” 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）. 要点归纳：如图，如果AB ＝ ，∠A＝∠，AC ＝ ，则△ABC≌△. 注意：这里的角，指的是两组对应边的夹角. 2. 有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等. 如图，△ABC与△ABD中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，但△ABC与△ABD不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等. 【清单06】三角形全等的基本事实：角边角（重点） 两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）. 要点归纳：如图，如果∠A＝∠，AB＝，∠B＝∠，则△ABC≌△. 【清单07】三角形全等的推论：角角边（重点） 1.全等三角形判定——“角角边” 两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”） 要点归纳：由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论. 2.三个角对应相等的两个三角形不一定全等. 如图，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC和△ADE不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等. 【清单08】直角三角形全等的判定方法：HL（重点） 在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简 称“斜边、直角边”或“HL”）.这个判定方法是直角三角形所独有的，一般三角形不具备. 要点归纳： （1）“HL”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角形的形状和大小就确定了. （2）判定两个直角三角形全等的方法共有5种：SAS、ASA、AAS、SSS、HL.证明两个直角三角形全等，首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法. （3）应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件，书写时必须在两个三角形前加上“Rt”. 【清单09】常见全等三角形的基本图形 1、截长补短 有一类几何题其命题主要证明三条线段长段的“和”或“差”及其比例关系，这一类题目一般可以采取“截长”或“补短”的方法来进行求解。所谓“截长”，就是将三者中最长的那条线段一分为二，使其中的一条线段与已经线段相等，然后证明其中的另一段与已知的另一段的大小关系。所谓“补短”，就是将一个已知的较短的线段延长至与另一个已知的较短的长度相等，然后求出延长后的线段与最长的已知线段关系。有的是采取截长补短后，使之构成某种特定的三角形进行求解。 2、倍长中线 图一 图二 图三 3、过端点向中线作垂线 4. 一线三等角 模型 三垂直全等模型 图一 如图一，∠D=∠BCA=∠E=90°，BC=AC。 结论：Rt△BDC≌Rt△CEA 图二 如图二，∠D=∠BCA=∠E，BC=AC。 结论：△BEC≌△CDA 5、手拉手 图一 图二 图三 图四 图五 图六 图七 手拉手模型的定义： 定义：有两个顶角相等而且有公共顶点的等腰三角形开成的图形。 特别说明：其中图一、图二为两个基本图形----等腰三角形，图二至图七为手拉手的基本模型，（左手拉左手，右手拉右手） 3、 如右图：手拉手模型的重要结论： 结论1：（SAS） BC=(左手拉左手等于右手拉右手) 结论2：（利用三角形全等及顶角相等 的等腰三角形底角相等） 结论3：AO平分O（利用三角形全等面积相等，再利用角平分线性质定理证明） 【清单10】作已知角的平分线（重点） 角平分线的尺规作图 （1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于E. 　　（2）分别以D、E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C. 　　（3）画射线OC. 射线OC即为所求. 【清单11】角的平分线的性质（重点） 角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等. 要点归纳： 用符号语言表示角的平分线的性质定理： 若CD平分∠ADB，点P是CD上一点，且PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，则PE＝PF. 【清单12】证明几何命题的一般步骤（难点） (1)按题意画出图形. (2)分清命题的条件和结论,结合图形,在“已知”中写出条件,在“求证”中写出结论 (3)在“证明”中写出推理过程 在解决几何问题时,有时需要添加辅助线.添辅助线的过程要写人证明中.辅助线通常画成虚线 【清单13】角的平分线的判定（重点） 角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. 要点归纳： 用符号语言表示角的平分线的判定： 若PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，PE＝PF，则PD平分∠ADB 【考点题型一】全等三角形的性质 【例1】（22-23八年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，，则对于结论①，②，③，④，其中正确结论的个数是（　　）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1-1】（23-24八年级上·新疆克孜勒苏·期中）如图，， 与，与是对应边，则下列结论错误的是（      ） A． B． C． D． 【变式1-2】（22-23八年级上·江西鹰潭·期中）如图，，且点A、B的坐标分别为，，则长是（　　）    A．2 B．5 C．4 D．3 【变式1-3】（23-24八年级上·江西宜春·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知，则点的坐标是 ．    【变式1-4】（23-24八年级上·河北承德·期中）在平面直角坐标系中，点，，以为一边作三角形与全等，则另一顶点的坐标为 ． 【考点题型二】三角形全等的判定 【例2】（23-24八年级上·新疆吐鲁番·期末）如图，要用“HL”证明Rt≌Rt，则需要添加的一个条件是（       ） A． B． C． D． 【变式2-1】（23-24八年级上·湖北武汉·期中）如图，线段与相交于点，，添加以下的一个条件仍不能判定的是（    ）    A． B． C． D． 【变式2-2】（23-24八年级上·江苏无锡·期中）如图，，添加一个条件： ，使得．（写出一种情况即可） 【变式2-3】（22-23八年级上·山东济宁·期中）如图，已知，请添加一个条件使与全等的是 ． 【变式2-4】（23-24八年级上·江苏无锡·期中）已知点A、F、E、D在同一条直线上，．求证：． 【考点题型三】角平分线的性质与判定 【例3】（22-23八年级上·浙江丽水·期中）如图，P是的平分线上一点，，，垂足分别为D，E，若，则的长是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【变式3-1】（22-23八年级上·河北沧州·期末）如图，在和中，，连接，交于点，连接．甲、乙、丙三人的说法如下，下列判断正确的是（    ） 甲：；乙：；丙：平分 A．乙错，丙对 B．甲和乙都对 C．甲对，丙错 D．甲错，丙对 【变式3-2】（23-24八年级上·湖南衡阳·期中）如图，，，，若，则 ． 【变式3-3】（22-23八年级上·江苏南通·期中）如图，是的角平分线，于的面积是，则 ． 【变式3-4】（21-22八年级上·福建龙岩·期中）已知：如图，DE平分∠AEB，∠B＝∠EAC，ED⊥AD于D． 求证：AD平分∠BAC． 【考点题型四】分类讨论思想 【例4】（23-24八年级上·广西桂林·期中）如图，，点P在线段上以的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上以的速度由点B向点D运动，它们运动的时间为，当与全等时，x的值是（   ） A．2 B．1或 C．2或 D．2或3 【变式4-1】（23-24八年级上·河北石家庄·期中）如图，点在线段上，于点，于点，，且，，点从点开始以速度沿向终点运动，同时点以的速度从点开始，在线段上往返运动（即沿运动），当点到达终点时，、同时停止运动．过、分别作的垂线，垂足分别为、．设运动的时间为，当以、、三点为顶点的三角形与全等时，t的值为（    ）s．    A．1 B．1或3 C．2或4 D．1或4 【变式4-2】（22-23八年级上·广东广州·期中）如图，垂足为C， 射线，垂足为B，动点P从C点出发以的速度沿射线运动，点N为射线上一动点，满足 ，随着 P点运动而运动，当点P运动时间t为 秒时，与点P、N、B为顶点的三角形全等（）． 【变式4-3】（23-24八年级上·山东临沂·期中）如图，已知中，，，，点为的中点，如果点在线段上以每秒2个单位长度的速度由点向点运动，同时，点在线段上以每秒个单位长度的速度由点向A点运动，设运动时间为（秒）． (1)用含的代数式表示的长度：__________． (2)若与全等，则点的运动速度为多少？请说明理由． 【变式4-4】（23-24八年级上·湖南永州·期中）如图，中，，，点D为的中点．如果点P在上以2cm/s的速度由运动，同时，点Q在上以相同的速度由运动，当点P到达点C或点Q到达点A时运动停止． (1)经过1s后，与以点C，P，Q为顶点的三角形是否全等？为什么？ (2)如果点Q的速度与点P（2cm/s）不等，（1）中的两个三角形是否全等？若能，求出此时点Q的速度和运动时间；若不能，请说明理由． 【考点题型五】建模思想 【例5】（20-21八年级上·重庆江北·期中）为了丰富中小学生的业余生活，某社区要在如图所示的直线上建一图书室，该社区有一小学在点C处，有一中学在点D处，已知于点A，于点B，且，当两所学校到图书室的距离相等，且点C、D与图书室视角为90°时，图书室应该建在距离点A（    ）处． A．12 B．11 C．10.5 D．10 【变式5-1】（21-22八年级上·北京·期中）如图，有一池塘，学校一个数学实践小组想要测池塘两端A、B的距离，经过研究，他们有了测量的方法，在平地上取一个点C，要保证从点C不经过池塘可以直接到达点A和点B，先连接AC并测量，然后延长AC到点D，使得CD=CA，再连接BC并测量，延长BC到点E，使得CE=CB，最后连接DE，测量DE的长就是A、B之间的距离了！请说出他们这样做的理由 ． 【变式5-2】（21-22八年级上·广东湛江·期中）学校美术社团为学生外出写生配备如图1所示的折叠凳，图2是折叠凳撑开后的侧面示意图（木条等材料宽度忽略不计），其中凳腿AB和CD的长度相等，O是它们的中点，为了使折叠凳坐得舒适，厂家将撑开后的折叠凳宽度AD设计为36cm，由以上信息能求出CB的长度吗？如果能，请求出CB的长度；如果不能，请说明理由． 【变式5-3】（22-23八年级上·贵州铜仁·期中）如图，某校八年级（3）班的学生为了测量学校一幢教学楼的高度，在旗杆与楼之间选定一点P．用测角仪测得旗杆顶C视线与地面夹角，测楼顶A视线与地面夹角，量得P到楼底的距离与旗杆高度相等，等于10米，量得旗杆与楼之间距离为米，这样就可以计算出楼高了，楼高是多少米？ 【变式5-4】（23-24八年级上·河南商丘·期中）柘城某中学打算举办校园文化艺术节，小文同学负责此次艺术节宣传板的制作任务，如图，将该宣传板垂直于地面放置时，点A， C， E到地面的距离分别是，，，过点A作，交的延长线于点F，过点C作于点G，已知且，且． (1)求证：； (2)请你帮小文同学计算出这块宣传板的面积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 全等三角形（考点清单，知识导图+13个考点清单+5种题型解读） 【清单01】全等形的概念（重点） 形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合.能够完全重合的两个图形叫做全等形. 要点归纳：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等.两个全等形的周长相等，面积相等. 【清单02】全等三角形的概念和表示方法（重点） 1.全等三角形的定义 能够完全重合的两个三角形叫全等三角形. 2. 对应顶点，对应边，对应角定义 两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角. 要点归纳： 在写两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应位置上，这样容易找出对应边、对应角.如下图，△ABC与△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，其中点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点；AB和DE，BC和EF，AC和DF是对应边；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是对应角. 3. 找对应边、对应角的方法 （1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边； （2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角； （3）有公共边的，公共边是对应边； （4）有公共角的，公共角是对应角； （5）有对顶角的，对顶角一定是对应角； （6）两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（或角），一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角），等等. 【清单03】全等三角形的性质（重点） 　 全等三角形的对应边相等； 全等三角形的对应角相等. 要点归纳：全等三角形对应边上的高相等，对应边上的中线相等，周长相等，面积相等.全等三角形的性质是今后研究其它全等图形的重要工具. 【清单04】三角形全等的基本事实：边边边（重点） 三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS”）. 要点归纳：如图，如果＝AB，＝AC，＝BC，则△ABC≌△. 【清单05】三角形全等的基本事实：边角边（重点） 1. 全等三角形判定——“边角边” 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）. 要点归纳：如图，如果AB ＝ ，∠A＝∠，AC ＝ ，则△ABC≌△. 注意：这里的角，指的是两组对应边的夹角. 2. 有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等. 如图，△ABC与△ABD中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，但△ABC与△ABD不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等. 【清单06】三角形全等的基本事实：角边角（重点） 两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）. 要点归纳：如图，如果∠A＝∠，AB＝，∠B＝∠，则△ABC≌△. 【清单07】三角形全等的推论：角角边（重点） 1.全等三角形判定——“角角边” 两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”） 要点归纳：由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论. 2.三个角对应相等的两个三角形不一定全等. 如图，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC和△ADE不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等. 【清单08】直角三角形全等的判定方法：HL（重点） 在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简 称“斜边、直角边”或“HL”）.这个判定方法是直角三角形所独有的，一般三角形不具备. 要点归纳： （1）“HL”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角形的形状和大小就确定了. （2）判定两个直角三角形全等的方法共有5种：SAS、ASA、AAS、SSS、HL.证明两个直角三角形全等，首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法. （3）应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件，书写时必须在两个三角形前加上“Rt”. 【清单09】常见全等三角形的基本图形 1、截长补短 有一类几何题其命题主要证明三条线段长段的“和”或“差”及其比例关系，这一类题目一般可以采取“截长”或“补短”的方法来进行求解。所谓“截长”，就是将三者中最长的那条线段一分为二，使其中的一条线段与已经线段相等，然后证明其中的另一段与已知的另一段的大小关系。所谓“补短”，就是将一个已知的较短的线段延长至与另一个已知的较短的长度相等，然后求出延长后的线段与最长的已知线段关系。有的是采取截长补短后，使之构成某种特定的三角形进行求解。 2、倍长中线 图一 图二 图三 3、过端点向中线作垂线 4. 一线三等角 模型 三垂直全等模型 图一 如图一，∠D=∠BCA=∠E=90°，BC=AC。 结论：Rt△BDC≌Rt△CEA 图二 如图二，∠D=∠BCA=∠E，BC=AC。 结论：△BEC≌△CDA 5、手拉手 图一 图二 图三 图四 图五 图六 图七 手拉手模型的定义： 定义：有两个顶角相等而且有公共顶点的等腰三角形开成的图形。 特别说明：其中图一、图二为两个基本图形----等腰三角形，图二至图七为手拉手的基本模型，（左手拉左手，右手拉右手） 3、 如右图：手拉手模型的重要结论： 结论1：（SAS） BC=(左手拉左手等于右手拉右手) 结论2：（利用三角形全等及顶角相等 的等腰三角形底角相等） 结论3：AO平分O（利用三角形全等面积相等，再利用角平分线性质定理证明） 【清单10】作已知角的平分线（重点） 角平分线的尺规作图 （1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于E. 　　（2）分别以D、E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C. 　　（3）画射线OC. 射线OC即为所求. 【清单11】角的平分线的性质（重点） 角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等. 要点归纳： 用符号语言表示角的平分线的性质定理： 若CD平分∠ADB，点P是CD上一点，且PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，则PE＝PF. 【清单12】证明几何命题的一般步骤（难点） (1)按题意画出图形. (2)分清命题的条件和结论,结合图形,在“已知”中写出条件,在“求证”中写出结论 (3)在“证明”中写出推理过程 在解决几何问题时,有时需要添加辅助线.添辅助线的过程要写人证明中.辅助线通常画成虚线 【清单13】角的平分线的判定（重点） 角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. 要点归纳： 用符号语言表示角的平分线的判定： 若PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，PE＝PF，则PD平分∠ADB 【考点题型一】全等三角形的性质 【例1】（22-23八年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，，则对于结论①，②，③，④，其中正确结论的个数是（　　）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的性质，熟记性质并准确识图，准确确定出对应边和对应角是解题的关键．根据全等三角形对应边相等，全等三角形对应角相等解答即可． 【详解】解：∵， ，，， 故①③正确； ∴ ∴ 故④正确， 无法证明，故②错误， 综上所述，结论正确的是①③④共3个． 故选：C． 【变式1-1】（23-24八年级上·新疆克孜勒苏·期中）如图，， 与，与是对应边，则下列结论错误的是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，平行线的判定，根据全等三角形对应角相等得到，进而得到，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 根据现有条件无法证明， 故选：C． 【变式1-2】（22-23八年级上·江西鹰潭·期中）如图，，且点A、B的坐标分别为，，则长是（　　）    A．2 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了坐标与图形性质，全等三角形的性质等知识点．根据A、B点的坐标求出，根据全等三角形的性质求出，再求出的长即可． 【详解】解：∵点A、B的坐标分别为，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 【变式1-3】（23-24八年级上·江西宜春·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知，则点的坐标是 ．    【答案】 【分析】此题考查了全等三角形的性质，根据点A的坐标推出，结合全等三角形对应边相等，即可解答 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式1-4】（23-24八年级上·河北承德·期中）在平面直角坐标系中，点，，以为一边作三角形与全等，则另一顶点的坐标为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了全等三角形的性质，分点在轴负半轴上时，点在第一象限时，点在第二象限时，三种情况讨论即可，掌握全等三角形的性质是解题的关键． 【详解】如图， 点在轴负半轴上时， ∵与全等， ∴， ∴点， 点在第一象限时， ∵与全等， ∴，， ∴点， 点在第二象限时， ∵与全等， ∴，， ∴点； 综上所述，点的坐标为或或， 故答案为：或或． 【考点题型二】三角形全等的判定 【例2】（23-24八年级上·新疆吐鲁番·期末）如图，要用“HL”证明Rt≌Rt，则需要添加的一个条件是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定的应用，能熟记定理是解此题的关键，注意：直角三角形全等的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，HL．利用HL定理进行分析判断． 【详解】解：在Rt≌Rt中，， A．添加，无法证明Rt≌Rt，故此选项不符合题意； B．添加，无法证明Rt≌Rt，故此选项不符合题意； C．添加，可以用“HL”证明Rt≌Rt，故此选项符合题意；     D．添加，无法证明Rt≌Rt，故此选项不符合题意； 故选：C． 【变式2-1】（23-24八年级上·湖北武汉·期中）如图，线段与相交于点，，添加以下的一个条件仍不能判定的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据全等三角形的判定逐个判断即可． 【详解】解：A、根据，，，由可判定，故此选项不符合题意； B、根据，，，由可判定，故此选项不符合题意； C、由可得，根据，由可判定，故此选项不符合题意； D、根据，，不能判定，故此选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理，全等三角形的判定定理有，，，，两直角三角形全等还有．注意：两个三角形只有两边及一边的对角相等不能判定两个三角形全等． 【变式2-2】（23-24八年级上·江苏无锡·期中）如图，，添加一个条件： ，使得．（写出一种情况即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键．选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件． 先证明，由于，则根据全等三角形的判定方法，当添加或或时，． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∵， ∴当添加时，； 当添加时，； 当添加时，； 故答案为：．（答案不唯一） 【变式2-3】（22-23八年级上·山东济宁·期中）如图，已知，请添加一个条件使与全等的是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定方法．要使，已知，，具备了两组边相等，还缺少边或角对应相等的条件，结合判定方法及图形进行选择即可，答案不唯一． 【详解】解：添加条件是， 在和中， ∵， ∴， 故答案为：（答案不唯一） 【变式2-4】（23-24八年级上·江苏无锡·期中）已知点A、F、E、D在同一条直线上，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、平行线的判定与性质等知识点，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 根据线段的和差及平行线的性质得出，由“”可证，根据全等三角形的性质得到，最后根据“内错角相等，两直线平行”即可证明结论． 【详解】证明：∵， ∴，即， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴ 【考点题型三】角平分线的性质与判定 【例3】（22-23八年级上·浙江丽水·期中）如图，P是的平分线上一点，，，垂足分别为D，E，若，则的长是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，角平分线的性质主要有角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 【详解】解：∵P是的平分线上一点，，， ∴， 故选C． 【变式3-1】（22-23八年级上·河北沧州·期末）如图，在和中，，连接，交于点，连接．甲、乙、丙三人的说法如下，下列判断正确的是（    ） 甲：；乙：；丙：平分 A．乙错，丙对 B．甲和乙都对 C．甲对，丙错 D．甲错，丙对 【答案】A 【分析】根据已知条件可知三角形的全等，根据全等三角形的性质可知边相等，对应的高相等，再根据三角形的内角和即可求出角的大小． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴在和中 ∴ ∴， ∴，故甲正确； ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴，故乙错误； 如图所示：过点作，， ∵ ∴， ∴平分，故丙正确； 故选 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，角平分线的判定等相关知识点，熟记对应性质和判定定理是解题的关键． 【变式3-2】（23-24八年级上·湖南衡阳·期中）如图，，，，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查角平分线的判定（角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上．），解题的关键是根据角平分线的判定得出是的平分线．据此可得出答案． 【详解】解：∵，，， ∴是的平分线， 又∵， ∴． 故答案为： 【变式3-3】（22-23八年级上·江苏南通·期中）如图，是的角平分线，于的面积是，则 ． 【答案】 【分析】本题考查角平分线的性质，过点作，如图所示，由角平分线的性质得到，由等面积法列方程求解即可得到答案，熟记角平分线的性质是解决问题的关键． 【详解】解：过点作，如图所示： 是的角平分线，于， ， 的面积是， ，即，解得， 故答案为： 【变式3-4】（21-22八年级上·福建龙岩·期中）已知：如图，DE平分∠AEB，∠B＝∠EAC，ED⊥AD于D． 求证：AD平分∠BAC． 【答案】见解析 【分析】延长AD交BE于F，由DE为∠E平分线且垂直AD得知∠FDE=∠EDA=90°，∠FAE=∠FAC+∠CAE=∠AFC=∠B+∠FAB，又∠B=∠CAE，所以∠FAB=∠FAC，所以AD平分∠BAC． 【详解】证明：延长交于， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∵，， ∴， ∴平分． 【点睛】本题考查角平分线的性质，三角形外角性质，掌握这些并正确添加辅助线是本题解题关键． 【考点题型四】分类讨论思想 【例4】（23-24八年级上·广西桂林·期中）如图，，点P在线段上以的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上以的速度由点B向点D运动，它们运动的时间为，当与全等时，x的值是（   ） A．2 B．1或 C．2或 D．2或3 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，根据题意分和两种情况，根据全等三角形的性质分别求出的长，进而求出运动时间，即可求出x的值，熟知全等三角形对应角相等是解题的关键． 【详解】解：当时， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； 当时， ∴， ∴， ∴； 综上所述，当与全等时，x的值是2或3， 故选D 【变式4-1】（23-24八年级上·河北石家庄·期中）如图，点在线段上，于点，于点，，且，，点从点开始以速度沿向终点运动，同时点以的速度从点开始，在线段上往返运动（即沿运动），当点到达终点时，、同时停止运动．过、分别作的垂线，垂足分别为、．设运动的时间为，当以、、三点为顶点的三角形与全等时，t的值为（    ）s．    A．1 B．1或3 C．2或4 D．1或4 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，分两种情况讨论，由全等三角形的判定和性质可求解． 【详解】当点在上，点在上时， 以，，为顶点的三角形与全等，      ， ， ， 当点在上，点第一次从点返回时， 以，，为顶点的三角形与全等， ， ， ， 综上所述：的值为1或3． 故选：B． 【变式4-2】（22-23八年级上·广东广州·期中）如图，垂足为C， 射线，垂足为B，动点P从C点出发以的速度沿射线运动，点N为射线上一动点，满足 ，随着 P点运动而运动，当点P运动时间t为 秒时，与点P、N、B为顶点的三角形全等（）． 【答案】6或12或18 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，此题要分两种情况：①当P在线段上时，②当P在上，再分别分两种情况或进行计算即可． 【详解】解：①当P在线段上，时，， ， ， ， 点P的运动时间为（秒）； ②当P在线段上，时，， 这时，因此时间为0秒， ，故不合题意舍去； ③当P在上，时，， ， 点P的运动时间为（秒）； ④当P在上，时，， ， 点P的运动时间为（秒）， ∴点P的运动时间为6或12或18， 故答案为：6或12或18． 【变式4-3】（23-24八年级上·山东临沂·期中）如图，已知中，，，，点为的中点，如果点在线段上以每秒2个单位长度的速度由点向点运动，同时，点在线段上以每秒个单位长度的速度由点向A点运动，设运动时间为（秒）． (1)用含的代数式表示的长度：__________． (2)若与全等，则点的运动速度为多少？请说明理由． 【答案】(1) (2)或2 【分析】本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会分类讨论的思想思考问题． （1）用的长度减去的长度即可； （2）根据全等三角形对应边相等，列方程即可得到结论． 【详解】（1）解：点在线段上以每秒2个单位长度的速度由点向点运动，， ； 故答案为：； （2）解： 中，，，点为的中点，， ， ， 当时，， ，， 解得：，； 当时，， ，， 解得：，； 综上所述，或2 【变式4-4】（23-24八年级上·湖南永州·期中）如图，中，，，点D为的中点．如果点P在上以2cm/s的速度由运动，同时，点Q在上以相同的速度由运动，当点P到达点C或点Q到达点A时运动停止． (1)经过1s后，与以点C，P，Q为顶点的三角形是否全等？为什么？ (2)如果点Q的速度与点P（2cm/s）不等，（1）中的两个三角形是否全等？若能，求出此时点Q的速度和运动时间；若不能，请说明理由． 【答案】(1)全等，见解析 (2)全等，当点Q的速度为3cm/s，运动时间为2s时符合题意 【分析】本题考查全等三角形的判断． （1）求出的长，利用证明即可； （2）设点Q的速度为x，则后CQ的长度为，分和，两种情况进行讨论求解即可． 熟练掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键． 【详解】（1）解：经过1s，与以点C，P，Q为顶点的三角形全等， 理由：由题意，当时，，，， ∵D是的中点， ∴． ∵， ∴． 在和中， ， ∴； （2）设点Q的速度为x，则后的长度为， ∵点P的速度为2cm/s， ∴t秒后的长度为，则． 当，，时，， 则，解得， 当时，不符合题意，舍去． 当，，时，， 则解得． 综上所述，当点Q的速度为3cm/s，运动时间为2s时符合题意． 【考点题型五】建模思想 【例5】（20-21八年级上·重庆江北·期中）为了丰富中小学生的业余生活，某社区要在如图所示的直线上建一图书室，该社区有一小学在点C处，有一中学在点D处，已知于点A，于点B，且，当两所学校到图书室的距离相等，且点C、D与图书室视角为90°时，图书室应该建在距离点A（    ）处． A．12 B．11 C．10.5 D．10 【答案】A 【分析】如图，证明△AEC≌△BDE，可得BE=AC，再根据AE=AB-BE即可得出结论． 【详解】解：如图， ∵于点A，于点B， ∴∠CAE=∠EBD=90°，∠BED+∠BDE=90° 若∠CED=90°，则有∠CEA+∠DEB=90° ∴∠CEA=∠BDE 若CE=DE，则△AEC≌△BDE， ∴BE=AC=10km ∵AB=22km ∴AE=AB-BE=22-10=12km 故选：A． 【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，证明BE=AC是解答此题的关键． 【变式5-1】（21-22八年级上·北京·期中）如图，有一池塘，学校一个数学实践小组想要测池塘两端A、B的距离，经过研究，他们有了测量的方法，在平地上取一个点C，要保证从点C不经过池塘可以直接到达点A和点B，先连接AC并测量，然后延长AC到点D，使得CD=CA，再连接BC并测量，延长BC到点E，使得CE=CB，最后连接DE，测量DE的长就是A、B之间的距离了！请说出他们这样做的理由 ． 【答案】全等三角形对应边相等 【分析】利用“边角边”证明△ABC和△DEC全等，再根据全等三角形对应边相等解答． 【详解】解：量出DE的长就等于AB的长，理由如下： 在△ABC和△DEC中， ， ∴△ABC≌△DEC（SAS）， ∴AB=DE． 故答案为：全等三角形对应边相等． 【点睛】本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握三角形全等的判定及性质是解题的关键 【变式5-2】（21-22八年级上·广东湛江·期中）学校美术社团为学生外出写生配备如图1所示的折叠凳，图2是折叠凳撑开后的侧面示意图（木条等材料宽度忽略不计），其中凳腿AB和CD的长度相等，O是它们的中点，为了使折叠凳坐得舒适，厂家将撑开后的折叠凳宽度AD设计为36cm，由以上信息能求出CB的长度吗？如果能，请求出CB的长度；如果不能，请说明理由． 【答案】能，CB= 36cm 【分析】根据中点定义求出OA=OB，OC=OD,然后利用“边角边”证明△AOD≌△BOC，根据全等三角形对应边相等即可证明 【详解】能，理由如下： ∵ AB=CD，O是它们的中点 ∴ AO=BO，DO=CO 在△ AOD与△ BOC中 ∴ △ AOD≌△ BOC (SAS) ∴ CB=AD=36cm 【点睛】本题考查了全等三角形的应用，证明得到三角形全等是解题关键 【变式5-3】（22-23八年级上·贵州铜仁·期中）如图，某校八年级（3）班的学生为了测量学校一幢教学楼的高度，在旗杆与楼之间选定一点P．用测角仪测得旗杆顶C视线与地面夹角，测楼顶A视线与地面夹角，量得P到楼底的距离与旗杆高度相等，等于10米，量得旗杆与楼之间距离为米，这样就可以计算出楼高了，楼高是多少米？ 【答案】楼高是26米 【分析】根据题意可得，进而求出再根据勾股定理求出即可． 【详解】解：∵， ， ， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ， ∴， 答：楼高是26米． 【点睛】此题主要考查了全等三角形的应用和利用勾股定理求三角形，根据题意得出是解题关键 【变式5-4】（23-24八年级上·河南商丘·期中）柘城某中学打算举办校园文化艺术节，小文同学负责此次艺术节宣传板的制作任务，如图，将该宣传板垂直于地面放置时，点A， C， E到地面的距离分别是，，，过点A作，交的延长线于点F，过点C作于点G，已知且，且． (1)求证：； (2)请你帮小文同学计算出这块宣传板的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形面积的计算，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形全等的判定． （1）根据证明即可； （2）过点E作于M，根据，得出，，根据，得出，，求出，，，最后求出结果即可． 【详解】（1）证明：∵， ，， ∴ ， ∴，    ∴， 又∵， ∴， （2）解：过点E作于M，如图所示： ∵， ∴，， 同理可得， ∴，， ∴， ∴， ∵， ， ∴这块宣传板的面积为： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$