专题02 全等三角形（考题猜想，8种常考题型）-2024-2025学年八年级数学上学期期中考点大串讲（人教版）

专题02 全等三角形（8种常考题型） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 平移模型 · 对称模型 · 旋转模型 · 倍长中线模型 · 一线三等角模型 · 作垂线 · 截取法 · 延长法 1． 平移模型（共5小题） 1．（23-24八年级上·河南信阳·期中）如图，是的中点，，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23八年级上·浙江杭州·期中）如图，已知，，下列条件不能判定的是（    ） A． B． C． D． 3.（22-23八年级上·贵州遵义·期中）如图，点、、、在同一条直线上，，，请补充一个条件，使，可以补充的条件是 ．（补充一个即可） 4.（22-23八年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，点，，，在同一直线上，，，．求证： (1)； (2)． 5．（22-23八年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，点B，E，C，F在一条直线上，，求证：． 2． 对称模型（共5小题） 6.（22-23八年级上·浙江丽水·期中）如图，已知，那么添加下列条件后，仍无法判定的是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24八年级上·吉林·期中）如图，，则 （   ） A． B． C． D． 8.（23-24八年级上·全国·期中）如图，，垂足为，则图中全等的三角形共有 对． 9．（22-23八年级上·贵州安顺·期中）如图，已知平分，．求证：．（要求：写出证明过程中每一步的依据）    10．（22-23八年级上·浙江温州·期中）如图，，，，在同一直线上，，，，，若，求的度数． 3． 旋转模型（共5小题） 11.（21-22八年级上·福建龙岩·期中）如图，在中，，，D、E是斜边上两点，且，若，，，则与的面积之和为（    ） A．36 B．21 C．30 D．22 12.（21-22八年级上·江苏盐城·期中）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，将斜边AB绕点A顺时针旋转90°至AB′，连接B'C，则△AB′C的面积为 ． 13.（22-23八年级上·湖北孝感·期中）已知：，，． (1)如图1当点在上，______． (2)如图2猜想与的面积有何关系？请说明理由．（温馨提示：两三角形可以看成是等底的） 14．（21-22八年级上·江苏宿迁·期中）（1）如图①，在正方形中，、分别是、上的点，且，连接，探究、、之间的数量关系，并说明理由； （2）如图②，在四边形中，，，、分别是、上的点，且，此时（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由． 15.（21-22八年级上·天津和平·期中）在中，，，是过A的一条直线，于点D，于E， （1）如图（1）所示，若B，C在的异侧，易得与，的关系是____________； （2）若直线绕点A旋转到图（2）位置时，（），其余条件不变，问与，的关系如何？请予以证明； （3）若直绕点A旋转到图（3）的位置，（），问与，的关系如何？请直接写出结果，不需证明． 4． 倍长中线模型（共5小题） 16.（23-24八年级上·四川眉山·期中）已知是的边上的中线，，，则边及中线的取值范围分别是(　　) A．， B．， C．， D．， 17．（23-24八年级上·河北石家庄·期中）如图，是的边上的中线，，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 18．（23-24八年级上·湖北荆州·期中）如图，在中，，中线，则边的取值范围是 ． 19．（23-24八年级上·山西长治·期中）如图，，分别是的中线和高，是的角平分线    (1)若，求的度数． (2)若，求中线长的取值范围． 20（22-23八年级上·河南安阳·期中）如图，在中，是边上的中线，，，求的取值范围． 五．一线三等角模型（共4小题） 21．（22-23八年级上·北京西城·期中）如图，在中，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 22．（22-23八年级上·内蒙古兴安盟·期中）如图，在中，厘米，，厘米，点D为AB的中点，点P在线段BC上以4厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．当点Q的运动速度为______厘米/秒时，能够在某一时刻使与全等 A．1 B．2或4 C．3 D．4或6 23．（23-24八年级上·福建泉州·期中）如图，在中，分别在上的点，且，，则的度数是 度．（用含的代数式表示） 24．（20-21八年级上·广东韶关·期中）如图，已知中，厘米，厘米，点D为的中点．如果点P在线段上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时点Q在线段上由C点向A点运动．点P运动时间为ts (1)用含有t的代数式表示． (2)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，与是否全等； (3)若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使与全等？ 六．作垂线（共5小题） 25．（22-23八年级上·山东临沂·期中）如图，在直角坐标系中，是的角平分线，点D的坐标是，，那么的面积为（    ） A．48 B．24 C．16 D．12 26．（23-24八年级上·辽宁抚顺·期中）如图，在中，是的角平分线，若，则的面积是（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 27．（22-23八年级上·福建莆田·期中）如图，是中的平分线，，垂足为点E，，，，则的长是 ． 28．（22-23八年级上·云南昆明·期中）如图，D是平分线上的一点，若，求证： 29．（23-24八年级上·辽宁抚顺·期中）如图，D为的中点，连接，平分．求证：． 7． 截取法（共6小题） 30.（23-24八年级上·山东滨州·期中）如图，已知点是边上的动点（不与重合），在的同侧作等边和等边，连接，下列结论正确的是 （填序号） ①；②；③；④是等边三角形；⑤平分；⑥；⑦；⑧；⑨；⑩图中共有2对全等三角形． 31．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）如图，四边形中，，，，则是 三角形；若，，，则的长为 ． 32．（21-22八年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，．点为外一点，于．，，，则的长为 ． 33．（23-24八年级上·陕西商洛·期中）如图，在中，，平分，P为线段上一动点，Q为边上一动点，当的值最小时，的度数为 ． 34．（23-24八年级上·福建福州·期中）如图，在中，．平分且交于点D，点E和F分别是线段和上的动点，则的最小值为 ．    35．（22-23八年级上·福建莆田·期中）如图，锐角三角形与等腰直角三角形是共边三角形，，,过点D作于F,E为的中点. (1)求证：; (2)求证： (3)若,求的长 八．延长法（共5小题） 36．（23-24八年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，在中，，，平分，交的延长线于，若，则（    ） A．4 B．3 C． D． 37．（23-24八年级上·江苏苏州·期中）如图，已知是的平分线，，若，则的面积等于（） A． B． C． D．不能确定 38.（22-23八年级上·广东广州·期中）如图的面积为，平分，且于P，则的面积为 ． 39.（23-24八年级上·重庆沙坪坝·期中）如图，中，，，，平分，且，则与的面积和是 ． 40.（23-24八年级上·广东珠海·期中）如图，中，的角平分线相交于点，过作交的延长线于点，交于点． (1)求度数； (2)求证：； (3)猜想线段的数量关系，并证明． $$专题02 全等三角形（8种常考题型） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 平移模型 · 对称模型 · 旋转模型 · 倍长中线模型 · 一线三等角模型 · 作垂线 · 截取法 · 延长法 1． 平移模型（共5小题） 1．（23-24八年级上·河南信阳·期中）如图，是的中点，，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，利用证明，根据全等三角形的性质逐一判断即可得答案．正确找出对应边和对应角是解题关键． 【详解】解：∵是的中点， ∴， 在和中，， ∴， ∴，，，故选项、、正确，不符合题意， ∵、不是对应边， ∴与不一定相等，故D选项错误，符合题意， 故选：D． 2．（22-23八年级上·浙江杭州·期中）如图，已知，，下列条件不能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．根据全等三角形的判定方法依次进行判断即可． 【详解】解：∵，， 添加，不能判定， 故A选项符合题意； 添加，根据可证， 故B选项不符合题意； 添加，根据可证， 故C选项不符合题意； 添加，可得， 根据可证， 故D选项不符合题意， 故选：A． 3.（22-23八年级上·贵州遵义·期中）如图，点、、、在同一条直线上，，，请补充一个条件，使，可以补充的条件是 ．（补充一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查全等三角形的判定，根据全等三角形的判定方法添加条件即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴可添加或，可得， 故答案为：（答案不唯一）． 4.（22-23八年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，点，，，在同一直线上，，，．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． （1）由题意易得，然后根据“”可判定全等； （2）根据全等三角形的性质可进行求证． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即， ∵， ， 在和中， ， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴． 5．（22-23八年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，点B，E，C，F在一条直线上，，求证：． 【答案】见解析 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，由平行线的性质得到，又由已知得到，即可得到结论． 【详解】证明：∵ ∴， ∵， ∴ ∴． ∴． ∴． 2． 对称模型（共5小题） 6.（22-23八年级上·浙江丽水·期中）如图，已知，那么添加下列条件后，仍无法判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定定理，熟练掌握全等三角形的判定定理，并会灵活选用合适的方法解答是解题的关键． 【详解】解：由题可知，， A. ，利用可以得到，不符合题意； B. ，不能证明，符合题意； C. ，利用可以得到，不符合题意； D. ，利用可以得到，不符合题意； 故选B． 7．（23-24八年级上·吉林·期中）如图，，则 （   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直角三角形两锐角互余求出，再利用“”证明和全等，根据全等三角形对应角相等可得．本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形两锐角互余的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键． 【详解】解：如图： ，， ， 在和中， ， ， ． 故选：C． 8.（23-24八年级上·全国·期中）如图，，垂足为，则图中全等的三角形共有 对． 【答案】3/三 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是要找准对应边和对应角； 由于于，根据垂直定义可得，结合已知条件和公共边可证出；用同样的方法可证得，根据全等三角形的性质，可得到，再结合公共边，同样可得和的关系，至此可得答案． 【详解】解：∵于， ∴， ∴在和中，， ∴， ∴． 又∵， ∴， 同理可证：， 所以图中的全等三角形有3对． 故答案为：3． 9．（22-23八年级上·贵州安顺·期中）如图，已知平分，．求证：．（要求：写出证明过程中每一步的依据）    【答案】详见解析 【分析】此题考查的是全等三角形的判定与性质，熟知全等三角形的，，，及定理是解答此题的关键．根据证明与全等，即可得出． 【详解】证明：平分（已知）   （角平分线的定义） 在和中， ． （全等三角形对应边相等）． 10．（22-23八年级上·浙江温州·期中）如图，，，，在同一直线上，，，，，若，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，先证明，得出，再根据直角三角形两锐角互余得出答案即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 即， 在与中 ， ∴， ∴， ∴． 3． 旋转模型（共5小题） 11.（21-22八年级上·福建龙岩·期中）如图，在中，，，D、E是斜边上两点，且，若，，，则与的面积之和为（    ） A．36 B．21 C．30 D．22 【答案】B 【分析】将关于对称得到，从而可得的面积为15，再根据对称的性质可得，然后根据三角形全等的判定定理证出，从而可得，最后根据与的面积之和等于与的面积之和即可得． 【详解】解：如图，将关于AE对称得到， 则，， ， ， ， 在和中，， ， ， ，即是直角三角形， ， ， 即与的面积之和为21， 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称的性质、三角形全等的判定定理与性质等知识点，通过作辅助线，构造全等三角形和直角三角形是解题关键 12.（21-22八年级上·江苏盐城·期中）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，将斜边AB绕点A顺时针旋转90°至AB′，连接B'C，则△AB′C的面积为 ． 【答案】 【分析】根据题意过点B'作B'H⊥AC于H，由全等三角形的判定得出△ACB≌△B'HA（AAS），得AC＝B'H＝4，则有S△AB'C＝AC•B′H即可求得答案． 【详解】解：过点B'作B'H⊥AC于H， ∴∠AHB'＝90°，∠BAB'=90°， ∴∠HAB'+∠HB'A＝90°，∠BAC+∠CAB'＝90°， ∴∠HB'A＝∠CAB， 在△ACB和△B'HA中， ， ∴△ACB≌△B'HA（AAS）， ∴AC＝B'H， ∵∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3， ∴AC＝＝＝4， ∴AC＝B'H＝4， ∴S△AB'C＝AC•B′H＝×4×4＝8． 故答案为：8． 【点睛】本题主要考查三角形全等的判定与性质和旋转的性质以及勾股定理，根据题意利用全等三角形的判定证明△ACB≌△B'HA是解决问题的关键． 13.（22-23八年级上·湖北孝感·期中）已知：，，． (1)如图1当点在上，______． (2)如图2猜想与的面积有何关系？请说明理由．（温馨提示：两三角形可以看成是等底的） 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】（1）由全等可知，所以当点在上时，为等腰三角形，依据已知计算即可． （2）因为两个三角形中有一边相等，只要找到这两个底对应高之间的关系即可． 【详解】（1）解：， ， 又，， ， 在中，， 故答案为：． （2）解：如下图所示：过点作的边上的高，过点作的边上的高，由作图及知： ，，， （同角的余角相等），   在与中有： （）， ， ，， ，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形性质和判定，关键是使用分析法找到:两个三角形面积相等时，底相等则高相等，从而构造全等证明对应高相等． 14．（21-22八年级上·江苏宿迁·期中）（1）如图①，在正方形中，、分别是、上的点，且，连接，探究、、之间的数量关系，并说明理由； （2）如图②，在四边形中，，，、分别是、上的点，且，此时（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由． 【答案】（1），理由见解析；（2）成立，理由见解析 【分析】（1）典型的“夹半角模型”，延长到使得，先证，再证，最后根据边的关系即可证明； （2）图形变式题可以参考第一问的思路，延长到使得，先证 ，再证，最后根据边的关系即可证明； 【详解】解：（1） 证明：延长到，使得      连接      ∵四边形是正方形      ∴，      又∵      ∴      ∴，      ∵      ∴     ∴     又∵     ∴     ∴     又∵     ∴ （2） 证明：延长到，使得      连接      ∵，      ∴      又∵，      ∴      ∴，      ∵      ∴     ∴     又∵     ∴     ∴     又∵     ∴ 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，正确的根据“夹半角模型”作出辅助线是解题的关键． 15.（21-22八年级上·天津和平·期中）在中，，，是过A的一条直线，于点D，于E， （1）如图（1）所示，若B，C在的异侧，易得与，的关系是____________； （2）若直线绕点A旋转到图（2）位置时，（），其余条件不变，问与，的关系如何？请予以证明； （3）若直绕点A旋转到图（3）的位置，（），问与，的关系如何？请直接写出结果，不需证明． 【答案】（1）；（2），证明过程见解析；（3） 【分析】（1）根据已知条件证明即可得解； （2）根据已知条件证明即可得解； （3）根据已知条件证明即可得解； 【详解】（1）在和中， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， 又， ∴， 即； 故答案是：； （2）答：； 证明：∵于D，于E， ∴． ∴， ∵， ∴． 在和中， ， ∴（）， ∴，， ∴； （3）∵于D，于E， ∴． ∴， ∵， ∴． 在和中， ， ∴（）， ∴，， ∴； 【点睛】本题主要考查了全等三角形的综合应用，准确分析证明是解题的关键． 4． 倍长中线模型（共5小题） 16.（23-24八年级上·四川眉山·期中）已知是的边上的中线，，，则边及中线的取值范围分别是(　　) A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及三角形的三边关系问题，边的取值范围可在中利用三角形的三边关系进行求解，而对于中线的取值范围可延长至点，使，得出，进而在中利用三角形三边关系求解． 【详解】如图所示， 在中，则， 即，， 延长至点，使，连接， 是的边上的中线， ， 又， ， ， 在中，，即， ，即， ． 故选：D． 17．（23-24八年级上·河北石家庄·期中）如图，是的边上的中线，，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题综合运用了全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系．注意：倍长中线是常见的辅助线之一．延长至，使，连接．根据证明，得，再根据三角形的三边关系即可求解． 【详解】解：延长至，使，连接． 在与中， ， ， ． 在中，， 即， ． 故选：A． 18．（23-24八年级上·湖北荆州·期中）如图，在中，，中线，则边的取值范围是 ． 【答案】 【分析】延长到点E，使，连接，可证明，可求得，在中可利用三角形三边关系可求得的取值范围，则可求得的取值范围． 【详解】解：延长到点E，使，连接， ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中， ，且， ∵， ∴， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，构造全等三角形，把、和转化到一个三角形中是解题的关键． 19．（23-24八年级上·山西长治·期中）如图，，分别是的中线和高，是的角平分线    (1)若，求的度数． (2)若，求中线长的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用三角形的外角先求解，可得，再结合高与三角形的内角和定理可得答案； （2）延长至，使，再证明，可得，而，则，再结合中线的含义可得答案． 【详解】（1）解：，， ， 平分， ， 为高， ， ； （2）延长至，使，    ∵是的中线， ∴， ∵， ∴， ∴，而， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是三角形的中线，高，角平分线的含义，三角形的外角的性质，内角和定理的应用，全等三角形的判定与性质，三角形三边关系的应用，熟记基础概念是解本题的关键． 20（22-23八年级上·河南安阳·期中）如图，在中，是边上的中线，，，求的取值范围． 【答案】 【分析】倍长中线至点N，构造，易得，再利用三角形的三边关系找到的取值范围，进而得到的取值范围． 【详解】解：如图，延长到点，使，连接， 在和中， ， （SAS）， ， 在中，， ，即， ，即． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定以及三角形的三边关系，解决本题的关键是倍长中线构造全等三角形． 五．一线三等角模型（共4小题） 21．（22-23八年级上·北京西城·期中）如图，在中，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】证明得到，利用三角形的外角性质得到，再利用三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：在和中， ∴， ∴， ∵，又， ∴， ∴ 故选：D． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、三角形的内角和定理，证明是关键． 22．（22-23八年级上·内蒙古兴安盟·期中）如图，在中，厘米，，厘米，点D为AB的中点，点P在线段BC上以4厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．当点Q的运动速度为______厘米/秒时，能够在某一时刻使与全等 A．1 B．2或4 C．3 D．4或6 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的对应边相等的性质，等边对等角的性质，根据对应角分情况讨论是本题的难点．根据等边对等角可得，然后表示出、、、，再根据全等三角形对应边相等，分①、是对应边，②与是对应边两种情况讨论求解即可． 【详解】解：，，点为的中点， ， 设点、的运动时间为， ， 若与全等．则有： ①当时，， 解得：， 则， 故点的运动速度为：； ②当时， ， ， ． 故点的运动速度为． 故选：D 23．（23-24八年级上·福建泉州·期中）如图，在中，分别在上的点，且，，则的度数是 度．（用含的代数式表示） 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质及三角形内角和定理；根据已知条件可推出，从而可知，则，能够发现全等三角形，再根据平角的定义和三角形的内角和定理发现是解题关键． 【详解】∵在和中， ， ∴ ∴ ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 24．（20-21八年级上·广东韶关·期中）如图，已知中，厘米，厘米，点D为的中点．如果点P在线段上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时点Q在线段上由C点向A点运动．点P运动时间为ts (1)用含有t的代数式表示． (2)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，与是否全等； (3)若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使与全等？ 【答案】(1)厘米 (2)全等 (3)厘米/秒 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质的应用，注意：全等三角形的判定定理有，用了分类讨论思想． （1）求出，即可求出答案； （2）求出、、，根据全等三角形的判定推出即可； （3）设当点Q的运动速度为x厘米/时，时间是t小时，能够使与全等，求出厘米，厘米，厘米，厘米，，根据全等三角形的性质得出方程，求出方程的解即可． 【详解】（1）解：∵点P在线段上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动， ∴厘米， ∵厘米， ∴厘米； （2）解∶ 全等，理由如下∶ ∵厘米，点D为的中点， ∴，厘米， ∵厘米， ∴厘米， ∴， 在和中， ， ∴； （3）解∶ 设当点Q的运动速度为x厘米/秒，时间是t秒， ∵厘米，厘米，厘米， ∴当，或，，与全等， 即①，， 解得：（不合题意，舍去）， ②，， 解得： ， 即当点Q的运动速度为厘米/秒． 六．作垂线（共5小题） 25．（22-23八年级上·山东临沂·期中）如图，在直角坐标系中，是的角平分线，点D的坐标是，，那么的面积为（    ） A．48 B．24 C．16 D．12 【答案】B 【分析】本题考查了坐标与图形以及角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 作于，如图，利用角平分线的性质得，然后根据三角形面积公式计算． 【详解】解：作于，如图， ∵点的坐标是， ， ∵是的角平分线， ， ， 故选：B． 26．（23-24八年级上·辽宁抚顺·期中）如图，在中，是的角平分线，若，则的面积是（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，三角形的面积等知识点，过点D作于E，先求出的长，再根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，然后根据三角形的面积公式列式计算即可得解，熟记性质并作辅助线得到边上的高是解题的关键． 【详解】如图，过点D作于E， ∵是的角平分线，， ∴， ∵， ∴的面积， 故选：B． 27．（22-23八年级上·福建莆田·期中）如图，是中的平分线，，垂足为点E，，，，则的长是 ． 【答案】5 【分析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 作于，如图，先根据角平分线的性质得到，然后利用面积法求的长． 【详解】解：作于，如图， 为的平分线，，， ， ， ， ． 故答案为：5． 28．（22-23八年级上·云南昆明·期中）如图，D是平分线上的一点，若，求证： 【答案】见解析 【分析】本题考查交角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，过点D分别作的垂线，交于，交于，证明，即可． 【详解】证明：过点D分别作的垂线，交于，交于， 则， ∵是的平分线， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 29．（23-24八年级上·辽宁抚顺·期中）如图，D为的中点，连接，平分．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，根据证明即可得出答案． 【详解】证明：作，，E，F为垂足， ∵平分，，， ∴， ∵D为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 7． 截取法（共6小题） 30.（23-24八年级上·山东滨州·期中）如图，已知点是边上的动点（不与重合），在的同侧作等边和等边，连接，下列结论正确的是 （填序号） ①；②；③；④是等边三角形；⑤平分；⑥；⑦；⑧；⑨；⑩图中共有2对全等三角形． 【答案】①②③④⑤⑥⑦⑧⑨ 【分析】本题以常见的全等模型-“手拉手”模型为几何背景，考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的综合问题、角平分线的性质定理等知识点，还涉及了“截长补短”的辅助线作法，掌握相关结论和方法，进行严密的几何推理是解题关键． 【详解】解：∵、是等边三角形， ∴， ∴ 即： ∴，故①正确； ∵， ∴， ∵ ∴，故②正确； ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴是等边三角形 ∴ ∴，故③、④正确； ∵， ∴ ∴边上的高相等， 即点到的距离相等， ∴平分，故⑤正确； 在上截取，连接，如图所示： ∵，， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴是等边三角形， ∴ ∴，故⑥正确； 在上截取，连接，如图所示： 由②得：， ∴ 由⑤得：平分， ∴ ∴ ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴是等边三角形， ∴ ∴，故⑦正确； ∵ ∴ ∴，故⑧正确； ∴ ∴，故⑨正确； 由以上推理可知：、， ∵ ∴ ∴图中不只有2对全等三角形，故⑩错误； 故答案为：①②③④⑤⑥⑦⑧⑨ 31．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）如图，四边形中，，，，则是 三角形；若，，，则的长为 ． 【答案】 等边 【分析】设交于点，则，证明是等边三角形，则有，在上截取，连接，所以是等边三角形，根据性质得，，则，然后证明，再根据全等三角形的性质和线段和差即可求解． 【详解】解：设交于点， ∵，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 在上截取，连接， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：等边，． 【点评】此题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，正确地作出所需要的辅助线，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 32．（21-22八年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，．点为外一点，于．，，，则的长为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线构建全等三角形是解题的关键． 方法一：过作，交的延长线于，证，得，，再证，得，则，即可求解． 方法二：在上截取，连接，设交于，先证明，再证明，得出，由等腰三角形三线合一的性质得，即可得出答案． 【详解】解：方法一：过作，交的延长线于，如图所示： 则， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 在和中， ， ， ， ， ， 故答案为：5． 方法二：在上截取，连接，设交于，如图2所示： ，，，， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 故答案为：5． 33．（23-24八年级上·陕西商洛·期中）如图，在中，，平分，P为线段上一动点，Q为边上一动点，当的值最小时，的度数为 ． 【答案】/66度 【分析】在上截取，连接，证明得出，从而证明当点A、P、E在同一直线上，且时， 的值最小，再根据三角形的内角和即可求出结果 【详解】解：在上截取，连接，如图所示： 平分， ， 在和中， ， ， ，， ， ∴当点A、P、E在同一直线上，且，的值最小，即的值最小， ∴当点A、P、E在同一直线上，且时，， ， ， ∴ ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了角平分线的定义、全等三角形的性质和判定、垂线段最短及三角形的内角和定理，确定使最小时点P的位置是解题的关键． 34．（23-24八年级上·福建福州·期中）如图，在中，．平分且交于点D，点E和F分别是线段和上的动点，则的最小值为 ．    【答案】 【分析】在上截取，连接，可证明，则有，当B、F、G三点共线且时，取得最小值，利用面积相等即可求得最小值． 【详解】解：如图，在上截取，连接， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 当B、F、G三点共线且时，取得最小值． ∵， ∴， 故答案为：．    【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，垂线段最短，利用角的对称性作，从而得到全等三角形是解题的关键． 35．（22-23八年级上·福建莆田·期中）如图，锐角三角形与等腰直角三角形是共边三角形，，,过点D作于F,E为的中点. (1)求证：; (2)求证： (3)若,求的长 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握相关定理内容，寻找全等条件是解题关键． （1）根据即可求证； （2）在上截取，证得，进一步可得；再证即可求解； （3）由（2）可得：；设，则 根据解出即可求解； 【详解】（1）证明：， ∴ ∴ （2）证明：在上截取，如图所示： ∵， ∴ ∴ ∴ 即： ∵ ∴ ∴ ∴ （3）解：由（2）可得： 设，则 ∴ 解得： ∴ 八．延长法（共5小题） 36．（23-24八年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，在中，，，平分，交的延长线于，若，则（    ） A．4 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，延长相交于点F，利用“角边角”证明，根据全等三角形对应边相等可得，根据等角的余角相等求出，然后利用“角边角”证明，根据全等三角形对应边相等可得，然后求解即可．解题的关键是作辅助线构造出全等三角形． 【详解】解：如图，延长相交于点F， ∵平分， ∴， 在和中， ，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选A． 37．（23-24八年级上·江苏苏州·期中）如图，已知是的平分线，，若，则的面积等于（） A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质和角平分线，解题关键是熟练掌握全等三角形的判定定理和三角形等底同高面积相等的性质； 先延长交于点，根据已知条件证明，从而证出，根据等底同高面积相等，得到的面积的面积，最后根据的面积是，求出答案即可． 【详解】解：如图所示：延长交于点， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的面积的面积， ∵的面积， ∴的面积的面积， ∴的面积的面积， ∴的面积的面积的面积的面积的面积， 故选：A． 38.（22-23八年级上·广东广州·期中）如图的面积为，平分，且于P，则的面积为 ． 【答案】8 【分析】延长交于，证明得到，再利用三角形的中线性质求解即可．本题考查角平分线的性质及全等三角形的判定与性质、三角形的中线性质，熟知三角形的中线将该三角形分为两个面积相等的三角形是解答的关键． 【详解】解：延长交于， 平分， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 的面积为， ． 故答案为：8 39.（23-24八年级上·重庆沙坪坝·期中）如图，中，，，，平分，且，则与的面积和是 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形中线的性质等知识，正确作出辅助线构造全等三角形是解题关键．延长交于点，证明，由全等三角形的性质可得，，进而可知，即可获得答案． 【详解】解：如下图，延长交于点， ∵，，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：3． 40.（23-24八年级上·广东珠海·期中）如图，中，的角平分线相交于点，过作交的延长线于点，交于点． (1)求度数； (2)求证：； (3)猜想线段的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2)见解析 (3)，见解析 【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质、角平分线的定义、三角形内角和定理； （1）根据直角三角形的性质得到，根据角平分线的定义、三角形内角和定理计算，得到答案； （2）根据（1）中结论得到，利用定理证明≌； （3）延长交于，分别证明、，根据全等三角形的性质证明结论． 【详解】（1）解：， ， 是的角平分线， ， ， （2）证明：由（1）可知：， ， ， ， ， 平分， ， 在和中， ， ， ∴； （3）解：， 证明如下：延长交于， 平分， ， 在和中， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． $$