精品解析：天津市建华中学2023-2024学年高一上学期期中考试数学试题

2023-2024高一（上）期中数学试卷 一、单选题 1. 设全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合运算定义先求并集，再求补集即得． 【详解】因为全集，集合， 所以， 所以． 故选：C． 2. 如果，则正确的是（ ） A. 若a>b，则 B. 若a>b，则 C. 若a>b，c>d，则a+c>b+d D. 若a>b，c>d，则ac>bd 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的性质即可逐一求解. 【详解】对于A:取则，故A错， 对于B:若，则，故B错误， 对于C:由同号可加性可知：a>b，c>d，则a+c>b+d，故C正确， 对于D:若，则，，故D错误. 故选：C 3. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】直接根据充分性和必要性的定义判断即可． 【详解】若，得， 若，则，解得或， 所以“”是“”的充分非必要条件． 故选：A． 4. 已知，，，则的最小值是 A. B. 4 C. 9 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】利用题设中的等式，把的表达式转化成展开后，利用基本不等式求得的最小值． 【详解】∵，，，∴＝， 当且仅当，即时等号成立． 故选C． 【点睛】本题主要考查了基本不等式求最值，注意一定，二正，三相等的原则，属于基础题． 5. 已知偶函数在区间单调递增，则满足的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用为偶函数关于轴对称，故越靠近轴，函数值越小，从而解出不等式. 【详解】因为偶函数在区间上单调递增， 所以在区间上单调递减，故越靠近轴，函数值越小， 因为， 所以，解得：． 故选：A. 6. 设，则a，b，c的大小顺序为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数单调性及中间值比较大小. 【详解】因为单调递增，所以， 因为单调递减，所以，， 即， 因为，所以，即， 综上：. 故选：A 7. 已知函数是幂函数，且在上是减函数，则实数（ ） A. 2 B. C. 4 D. 2或 【答案】A 【解析】 【分析】根据幂函数的定义求出的值，再讨论函数是否在上是减函数． 【详解】解：幂函数中， 令，得， 解得或； 当时，，函数，在上是减函数，满足题意； 当时，，函数，在上是增函数，不满足题意； 所以实数． 故选：A． 8. 函数的单调递减区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求得函数的定义域，再由复合函数的单调性代入计算，即可得到结果. 【详解】由，可得，解得或， 即函数的定义域为. 令，则的图像开口向上，且对称轴为直线，在上单调递减，在上单调递增， 又是增函数， 的单调递减区间是. 故选：B 9. 若函数是R上的增函数，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件，要使函数是R上的增函数，每一段函数在其定义域内必须为增函数且左端的最大值小于等于右端的最小值，列出不等式组求解即可. 【详解】因为函数是R上的增函数， 所以，解得：， 故选：. 二、填空题 10. 函数的定义域为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式，零次幂的性质列出不等式求解函数的定义域即可. 【详解】因为 所以， 解得且， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 11. 若，且，则函数的图象过定点_. 【答案】 【解析】 【分析】先根据指数部分为零求解出的值，再根据的值即可计算出对应的的值，则图象恒过的定点为. 【详解】令，得，， 函数的图象恒过定点. 故答案为：. 12. 求值：__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用分式指数幂的运算公式，即可化简求值. 【详解】原式， . 故答案为： 13. 若命题“使”是假命题，则实数的取值范围为_____， 【答案】 【解析】 【分析】原命题等价于命题“，”是真命题 【详解】由题意得若命题“”是假命题， 则命题“，”是真命题， 则需,故本题正确答案为． 【点睛】本题主要考查全称量词与存在量词以及二次函数恒成立的问题．属于基础题． 14. 已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则函数在R上的解析式为___________． 【答案】 【解析】 【分析】由奇函数的性质即可求解. 【详解】因为函数是定义在R上的奇函数，则有， 设，有， 则， 又由函数为奇函数，则， 则． 故答案为： 15. 对任意的实数x，记，则的最大值是________． 【答案】1 【解析】 【分析】分与两种情况进行求解，得到的最大值. 【详解】若，即或，则， 因为或，所以，，即， 若，即，则， 综上：的最大值为1. 故答案为：1 三、解答题 16. 已知全集，或，． （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1），或， （2） 【解析】 【分析】（1）代入数据计算得到集合和，再根据的交并补运算计算得到答案. （2）确定，再根据集合的包含关系计算得到答案. 【小问1详解】 时，或，， ，或， ，故. 【小问2详解】 ，则，或，， 则或，解得或，即. 17. 设函数是定义在上的奇函数，且． （1）求a，b的值； （2）试判断的单调性，并用定义法证明． 【答案】（1）； （2） 在上单调递增，理由如下： 设， 则 ∵， ∴，即， 所以在上单调递增． 【解析】 【分析】（1）根据函数为上的奇函数，得到，结合，求出a，b的值； （2）取点，作差，判号，下结论，利用定义法证明函数的单调性. 【小问1详解】 ∵函数是定义在上的奇函数， ∴由，得． 又∵， ∴，解之得； 所以函数的解析式为：，a=2，b=0； 【小问2详解】 略 18. 已知函数． （1）画出的大致图象； （2）若，求的最大值和最小值； （3）当时，求实数x的取值范围． 【答案】（1） （2）最大值为4，最小值为-2 （3） 【解析】 【分析】（1）利用列表，描点，连线，画出函数的图象； （2）数形结合求出函数的最值； （3）分与时，解不等式，得到不等式的解集. 【小问1详解】 当时，，图象为抛物线的一部分， 当时，，图象为直线的一部分， 列出表格，如下： 描点，连线： 【小问2详解】 ，由图象可知： 当时，取得最大值，最大值为4，当时，取得最小值，最小值为-2. 【小问3详解】 当时，，令，解得：， 当时，，令，解得：， 综上：实数x的取值范围是. 19. 已知函数. （1）若关于的不等式的解集为，求的值； （2）当时， （i）若函数在上为单调递增函数，求实数的取值范围； （ii）解关于的不等式. 【答案】（1） （2）（i）； （ii）当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. 【解析】 【分析】(1)根据一元二次不等式解集与一元二次方程根的关系，借助韦达定理列式计算即得. (2)把代入，利用二次函数的单调性列出不等式即可得解；分类讨论解一元二次不等式即可作答. 【小问1详解】 依题意，关于的方程的两个根为1和2， 于是得，解得， 所以. 【小问2详解】 当时，， （i）函数的对称轴为， 因函数在上为单调递增函数，则，解得， 所以实数的取值范围是； （ii）不等式为，即， 当时，解得或， 当时，解得， 当时，解得或， 综上可知，当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. 20. 二次函数满足，且. （1）求的解析式； （2）求在上的最值； （3）求在上的最小值. 【答案】（1）； （2）最小值为1，最大值为26； （3）当时，，当时，，当时，. 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解析式即可； （2）根据函数的单调性求最值即可； （3）分、和三种情况讨论最小值即可. 【小问1详解】 设二次函数解析式为，因为，所以， 因为，所以， 整理得，所以，解得， 所以. 【小问2详解】 由（1）得的对称轴为，所以在上单调递减，上单调递增，所以 又，，所以， 所以在上的最小值为1，最大值为26. 【小问3详解】 当时，在上单调递增，所以； 当，即时，在上单调递减，所以； 当，即时，在上单调递减，上单调递增，所以， 综上所述，当时，， 当时，， 当时，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024高一（上）期中数学试卷 一、单选题 1. 设全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 如果，则正确的是（ ） A. 若a>b，则 B. 若a>b，则 C. 若a>b，c>d，则a+c>b+d D. 若a>b，c>d，则ac>bd 3. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 4. 已知，，，则的最小值是 A. B. 4 C. 9 D. 5 5. 已知偶函数在区间单调递增，则满足的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 设，则a，b，c的大小顺序为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数是幂函数，且在上是减函数，则实数（ ） A. 2 B. C. 4 D. 2或 8. 函数的单调递减区间是（ ） A. B. C. D. 9. 若函数是R上的增函数，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、填空题 10. 函数的定义域为________． 11. 若，且，则函数的图象过定点_. 12. 求值：__________． 13. 若命题“使”是假命题，则实数的取值范围为_____， 14. 已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则函数在R上的解析式为___________． 15. 对任意的实数x，记，则的最大值是________． 三、解答题 16. 已知全集，或，． （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围． 17. 设函数是定义在上的奇函数，且． （1）求a，b的值； （2）试判断的单调性，并用定义法证明． 18. 已知函数． （1）画出的大致图象； （2）若，求的最大值和最小值； （3）当时，求实数x的取值范围． 19. 已知函数. （1）若关于的不等式的解集为，求的值； （2）当时， （i）若函数在上为单调递增函数，求实数的取值范围； （ii）解关于的不等式. 20. 二次函数满足，且. （1）求的解析式； （2）求在上的最值； （3）求在上的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $