第21章 一元二次方程 总复习课件 2024-2025学年人教版九年级上册

小结与复习 第21章 一元二次方程 一元二次方程 一元二次方 程的定义 概念：①整式方程； ②一元； ③二次. 一般形式：ax2+bx+c=0 (a≠0) 一元二次方程的解法 直接开平方法 配方法 公式法 因式分解法 根的判别式及 根与系数的关系 根的判别式： Δ=b2-4ac 根与系数的关系 一元二次方程的应用 营销问题、平均变化率问题 几何问题、数字问题 知识网络 考点讲练 1.定义： 只含有一个未知数的整式方程，并且都可以化为 ax2＋bx＋c＝0 (a，b，c为常数，a≠0)的形式，这样的方程叫做一元二次方程． 2.一般形式： ax2 ＋ bx ＋c＝0 (a，b，c为常数，a≠0) 知识点1 一元二次方程的定义 3.项数和系数： ax2 ＋ bx ＋c＝0 (a，b，c为常数，a≠0) 一次项： ax2 一次项系数：a 二次项： bx 二次项系数：b 常数项：c 4.注意事项： (1)含有一个未知数； (2)未知数的最高次数为2； (3)二次项系数不为0； (4)整式方程． 考点讲练 知识点1 一元二次方程的定义 考点讲练 知识点1 一元二次方程的定义 1.下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. ax2+bx+c C. (x-1)(x+2)=1 D. 3x2-2xy=0 2.已知关于x的一元二次方程(a-1)x2+x+a2-1=0的常数项为0，则a的值为（ ） A. 1 B. -1 C. 1或-1 D. 0.5 C B 考点讲练 知识点1 一元二次方程的定义 4.若关于x的方程(m-1)x2+mx-1=0是一元二次方程，则m的取值范围是（ ） A. m≠1 B. m=1 C. m≥1 D. m≠0 A 3.方程5x2-x-3=x2-3+x的二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 . 4 -2 0 考点讲练 知识点1 一元二次方程的定义 5.一元二次方程x2=5x-6的一次项系数是__________. 6.已知关于x的方程x2+bx+a=0的一个根是-a（a≠0），则a-b=__________. 7.我市政府广场准备修建一个面积为200m2的长方形草坪，它的长比宽多10m，设草坪的宽为xm，则可列方程为____________. -1 x(x+10)=200 -5 一元二次方程的解法 适用的方程类型 直接开平方法 配方法 公式法 因式分解 x2 + px + q = 0 （p2 - 4q ≥0） (x+m)2＝n（n ≥ 0） ax2 + bx +c = 0(a≠0 , b2 - 4ac≥0) (x + m) （x + n）＝0 各种一元二次方程的解法及使用类型 考点讲练 知识点2 一元二次方程的解法 考点讲练 知识点2 一元二次方程的解法 1.若9x2-(k+2)x+4是完全平方式，则k=（ ） A.10 B.10或14 C.-10或14 D.10或-14 2.一元二次方程(x+6)2=16可转化为两个一元一次方程，其中一个是x+6=4，则另一个是（ ） A.x-6=-4 B.x-6=4 C.x+6=4 D.x+6=-4 D D 考点讲练 知识点2 一元二次方程的解法 3.方程4x2-x=-5化成一般形式后，b2-4ac的值是（ ） A. 81 B. 79 C.-79 D. -81 4.一球以15m/s的速度竖直向上弹出，它在空中的高度h（m）与时间t（s）近似地满足关系式：h=15t-5t2，则小球回到地面的时间为（ ） A. 0s B. 3s C. 0s或3s D. 5s C B 考点讲练 知识点2 一元二次方程的解法 5.将代数式x2+6x+2化成(x+p)2+q的形式是__________. 6.已知关于x的方程x2-(m+2)x+1=0中，b2-4ac=5，则m的值为_________. 7.已知三角形两边长为2和6，第三边长是方程x2-10x+21=0的解，则这个三角形的第三边长为_________. (x+3)2-7 7 1或-5 考点讲练 知识点2 一元二次方程的解法 8.解下列方程： （1）x2-6x+9=(5-2x)2（直接开平方法）； （2）2x2-3x-6=0（配方法）； 考点讲练 知识点2 一元二次方程的解法 8.解下列方程： （3）(x-3)(x-4)=5x（公式法）； （4）2(5x-1)2=3(1-5x)（因式分解法）. 一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式：△=b2-4ac △＞0 方程有两个不相等的实数根 △=0 方程有两个相等的实数根 △＜0 方程没有实数根 考点讲练 知识点3 根的判别式 考点讲练 知识点3 根的判别式 1.下列方程中，有两不等实根的是 （ ） A. x2-2x-1=0 B.x2-2x+3=0 C. D.x2-4x+4=0 2.方程x2-4mx=2-m(m为常数)根的情况是（ ） A.有两不等实根 B.有两等实根 C.没有实数根 D.无法判断 A A 考点讲练 知识点3 根的判别式 3.在一元二次方程ax2+bx+c=0中，若ac＜0，则它的根的情况是_____________. 4.关于x的方程(a-5)x2-4x-1=0有实数根，则a满足的条件是___________. 有两不等实根 a≥1 如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根为x1、x2，那么 注意：隐含条件△≥0 考点讲练 知识点4 根与系数的关系 例 设 x1,x2是方程x2－4X+1=0的两个根，则 x1+x2 = ,x1x2 = ， x12+x22 = ( x1+x2)2 - = ( x1-x2)2 = ( )2 –4x1x2 =_______ x1+x2 2x1x2 4 1 14 12 考点讲练 知识点4 根与系数的关系 考点讲练 知识点4 根与系数的关系 1.已知一元二次方程x2-3x-1=0的两个根分别为x1，x2则x12x2+x1x22的值为（ ） A.-3 B.3 C.-6 D.6 2.若方程x2-x+k=0的两根之比为2，则k的值为（ ） B C 考点讲练 知识点4 根与系数的关系 4.点P(a，b)是直线y=-x+5上的点，且a，b是方程x2+px+6=0的两个实根，则p=_____________. 5.已知x1，x2是方程x2+3x+1=0的两个根，则x12-3x2+20=_________. -5 28 列方程解应用题的一般步骤： 审 设 列 解 检 答 （1）审题：通过审题弄清已知量与未知量之间的数量关系． （2）设元：就是设未知数,分直接设与间接设,应根据实际需要恰当选取设元法． （3）列方程：就是建立已知量与未知量之间的等量关系．列方程这一环节最重要，决定着能否顺利解决实际问题． （4）解方程：正确求出方程的解并注意检验其合理性． （5）作答：即写出答语，遵循问什么答什么的原则写清答语． 考点讲练 知识点5 一元二次方程的应用 考点讲练 知识点5 一元二次方程的应用 6.利润问题 5.增长率问题 4.面积问题 2.握手问题 3.传播问题 1.一般二次函数模型 考点讲练 知识点5 一元二次方程的应用 1.若两个连续整数的积是20，则这两个数是（ ） A.4和5 B.-5和-4 C.4和5或-5和-4 D.±4和±5 C 2.一个两位数等于它个位数字的平方，且个位数字比十位数字大3，则这个两位数是_____________. 25或36 考点讲练 知识点5 一元二次方程的应用 3.在同一平面内有n条直线两两相交，共有28个交点，则n=_______. 8 4.参加一次足球联赛的每两队之间都进行两次比赛，共要比赛90场，共有多少个队参加比赛． 考点讲练 知识点5 一元二次方程的应用 5.某种植物的主干长出若干树木的支干,每个支干又长出同样树木的小分支,主干、支干、和小分支的总数是91，每个支干长出多少小分支？ 考点讲练 知识点5 一元二次方程的应用 例 某工厂计划前年生产产品100万件，今年翻了一番，如果每年比上年提高的百分数相同，求这个百分数（精确到1%） 考点讲练 知识点5 一元二次方程的应用 10% 7.某人在银行存了400元钱，两年后连本带息一共取款484元，则这种存款的年利率是_______（不计利息税）. 6.某药品经过两次降价，每瓶零售价由168元降为128元，已知两次降价的百分率相同，每次降价的百分率为x，由题意可列方程为（ ） A.168(1+x)2=128 B.168(1-x)2=128 C.168(1-2x)2=128 D.168(1-x2)=128 B 考点讲练 知识点5 一元二次方程的应用 5.新华商场销售某种水箱，每台进货价为2500元，市场调研表明：当销售价为2900元时，平均每天能售出8台；而当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台．商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，每台冰箱的定价应为多少元？ 考点讲练 知识点5 一元二次方程的应用 解:设每千克水果应涨价x元,依题得: (10+x)(500-20x) =6000 整理得: x²-15x+50=0 解这个方程得:x1=5，x2=10 要使顾客得到实惠应取x=5， x2=10应舍去 答:每千克水果应涨价 5元. 1.化归方法：将待解决的问题化归成先前已解决的问题的一种数学思想方法 2.配方法：将一元二次方程通过配方化归为可直接用开平方法来解方程的方法 3.换元法：通过整体设元、换元，把不可解或难解的分式方程化归为可解的方程的一种重要的数学思想方法. 考点讲练 知识点6 思想方法 考点讲练 知识点6 思想方法 综合训练 1.如果-1是方程2x2－x+m=0的一个根，则另一个根是 ，m = 。 2.判断正误： 以2和-3为根的方程是x2－x-6=0 （ ） 3.已知两个数的和是1，积是-2，则这两个数是 。 × 2和-1 -3 综合训练 4.已知一元二次方程x2－4x－3＝0的两根m，n， 则m2－mn＋n2＝ ． 25 5.已知方程2x2+4x-3=0的两根分别为x1和x2,则x12+x22的值等于（ ） A. 7 B. -2 C. D. A 综合训练 6.某机械公司经销一种零件，已知这种零件的成本为每件20元，调查发现当销售价为24元，平均每天能售出32件，而当销售价每上涨2元，平均每天就少售出4件. (1)若公司每天的销售价为x元，则每天的销售量为多少？ （2）如果物价部门规定这种零件的销售价不得高于每件28元，该公司想要每天获得150元的销售利润，销售价应当为多少元？ 综合训练 解析 本题为销售中的利润问题，其基本本数量关系用表析分如下： 设公司每天的销售价为x元. 单件利润 销售量（件） 每星期利润（元） 正常销售 涨价销售 解：（1）32-(x-24) ×2=80-2x; （2）由题意可得(x-20)(80-2x)=150. 解得 x1=25, x2=35. 由题意x≤28, ∴x=25,即售价应当为25元. 4 32 x-20 32-2(x-24) 150 128 综合训练 7.为了响应市委政府提出的建设绿色家园的号召，我市某单位准备将院内一个长为30m,宽为20m的长方形空地，建成一个矩形的花园，要求在花园中修两条纵向平行和一条弯折的小道，剩余的地方种植花草，如图所示，要是种植花草的面积为532m2,，那么小道的宽度应为多少米？（所有小道的进出口的宽度相等，且每段小道为平行四边形） 综合训练 解：设小道进出口的宽为xcm （30-2x)(20-x)=532 x2-35x+34=0 x1=1 x2=34（舍去） 答：小道进出口的宽度应为1米. 综合训练 解决有关面积问题时，除了对所学图形面积公式熟悉外，还要会将不规则图形分割或组合成规则图形，并找出各部分图形面积之间的关系，再列方程求解. （注意：这里的横坚斜小路的的宽度都相等） 平移转化 方法总结 $$