精品解析：湖南省长沙一中芙蓉中学2024-2025学年九年级上学期数学开学考试试卷

湖南省长沙一中芙蓉中学2024-2025学年九年级上学期数学开学考试试卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 下列函数中是的二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（　　） A. AB∥DC，AD∥BC B. AD∥BC，AB＝DC C. AB∥DC，∠DAB＝∠DCB D. AO＝CO，BO＝DO 3. 在2014年5月崇左市教育局举行的“经典诗朗诵”演讲比赛中，有11名学生参加决赛，他们决赛的成绩各不相同，其中的一名学生想知道自己能否进入前6名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这11名学生成绩的（ ） A. 众数 B. 中位数 C. 平均数 D. 方差 4. 对于二次函数的图象与性质，下列说法正确的是（ ） A. 对称轴是直线，最大值是2 B. 对称轴是直线，最小值是2 C. 对称轴是直线，最大值是2 D. 对称轴是直线，最小值是2 5. 已知直线不经过第一象限，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在菱形中，、分别是、的中点，如果，那么菱形的周长是（ ） A. B. C. D. 7. 将抛物线向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，则得到的抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 8. 设方程x2+x﹣2=0的两个根为α，β，那么（α﹣2）（β﹣2）的值等于（　 　） A. ﹣4 B. 0 C. 4 D. 2 9. 已知二次函数（m为常数）的图象与x轴的一个交点为，则关于x的一元二次方程的两实数根是（ ） A. B. C. D. 10. 二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（ ） A. ①④ B. ②④ C. ①②③ D. ①②③④ 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11. 已知关于的方程的一个根为，则 _____． 12. 已知A（x1，y1），B（x2，y2）在二次函数y＝x2﹣6x+4的图象上，若x1＜x2＜3，则y1_____y2（填“＞”、“＝”或“＜”）． 13. 经过两次连续降价，某药品销售单价由原来的50元降到32元，设该药品平均每次降价的百分率为x，根据题意可列方程是__________________________． 14. 函数,则当函数值y=8时,自变量x的值是_____. 15. 如图，直线的解析式为，点的坐标为，于点，则的面积为____． 16. 如图，点是等边三角形内一点，且，，，若将绕着点逆时针旋转60度后得到，则的度数是________． 三．解答题（共9小题，满分72分） 17. 计算：． 18. 选择适当的方法求解下列一元二次方程． （1）； （2）． 19. 学校为了让同学们走向操场、积极参加体育锻炼，启动了“学生阳光体育运动”，张明和李亮在体育运动中报名参加了百米训练小组．在近几次百米训练中，教练对他们两人的测试成绩进行了统计和分析，请根据图表中的信息解答以下问题： 平均数 中位数 方差 张明 13.3 13.3 0.004 李亮 13.3 3 （1）李亮成绩的中位数为： 秒； （2）计算李亮成绩的方差； （3）现在从张明和李亮中选择一名成绩比较稳定的去参加比赛，若你是他们的教练，应该选择谁？请说明理由． 20. 如图，直线与轴交于点，直线分别与轴交于点，与轴交于点．两条直线相交于点，连接． （1）求的值和两直线交点的坐标； （2）求的面积； （3）根据图象直接写出时自变量的取值范围． 21. 已知关于的一元二次方程．（m为实数） （1）求证：无论m取何值，该方程总有两个实数根； （2）该方程的两个实数根为、（），若，求正数m的值． 22. 如图，在 中，． 分别是边 的中点，连接 并延长到点 ，使 ，连接 ． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接，若 ，，求四边形的周长． 23. 某商店经销一种双肩包，已知这种双肩包的成本价为每个30元．市场调查发现，这种双肩包每天的销售量y（单位：个）与销售单价x（单位：元）有如下关系：y=－x+60（30≤x≤60）． 设这种双肩包每天的销售利润为w元． （1）求w与x之间的函数解析式； （2）这种双肩包销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ （3）如果物价部门规定这种双肩包的销售单价不高于48元，该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为多少元？ 24. 在平面直角坐标系中，如果点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为和谐点．例如点，，，…，都是和谐点． （1）判断函数的图象上是否存在和谐点，若存在，求出其和谐点的坐标； （2）若二次函数的图象上有且只有一个和谐点， ①求a，c的值． ②当时，函数的最小值为，最大值为1，直接写出的取值范围． 25. 如图，抛物线与轴交于点和点(点在原点的左侧，点在原点的右侧)，与轴交于点，． （1）求该抛物线的函数解析式． （2）如图1，连接，点是直线上方抛物线上的点，连接，．交于点，当时，求点的坐标． （3）如图2，点的坐标为，点是抛物线上的点，连接，是否存在点，使或等于？若存在，请直接写出符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省长沙一中芙蓉中学2024-2025学年九年级上学期数学开学考试试卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 下列函数中是的二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据形如y＝ax2＋bx＋c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数进行分析即可． 【详解】解：A、原式化简得，不是二次函数，故此选项错误； B、不是二次函数，故此选项错误； C、是二次函数，故此选项正确； D、当a＝0时，不是二次函数，故此选项错误； 故选：C． 【点睛】此题主要考查了二次函数定义，关键是掌握判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件． 2. 在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（　　） A. AB∥DC，AD∥BC B. AD∥BC，AB＝DC C. AB∥DC，∠DAB＝∠DCB D. AO＝CO，BO＝DO 【答案】B 【解析】 【分析】依据平行四边形的定义和判定方法逐一判断即可得解； 【详解】A、∵AB∥DC，AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形，故选项A不符合题意； B、由AD∥BC，AB＝DC，即一组对边平行，一组对边相等，无法判断四边形ABCD是平行四边形，举反例如等腰梯形，故选项B符合题意； C、∵AB∥DC， ∴∠ABC+∠DCB＝180°，∠DAB+∠ADC＝180°， ∵∠DAB＝∠DCB， ∴∠ABC＝∠ADC， ∴四边形ABCD是平行四边形，故选项C不符合题意； D、∵AO＝CO，BO＝DO， ∴四边形ABCD是平行四边形，故选项D不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题主要考查平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键，同时注意一组对边平行，一组对边相等得四边形不一定是平行四边形． 3. 在2014年5月崇左市教育局举行的“经典诗朗诵”演讲比赛中，有11名学生参加决赛，他们决赛的成绩各不相同，其中的一名学生想知道自己能否进入前6名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这11名学生成绩的（ ） A. 众数 B. 中位数 C. 平均数 D. 方差 【答案】B 【解析】 【详解】解：11人成绩的中位数是第6名的成绩．参赛选手要想知道自己是否能进入前6名，只需要了解自己的成绩以及全部成绩的中位数，比较即可． 故选B． 【点睛】本题考查统计量的选择，掌握中位数的意义是本题的解题关键． 4. 对于二次函数的图象与性质，下列说法正确的是（ ） A. 对称轴是直线，最大值是2 B. 对称轴是直线，最小值是2 C. 对称轴是直线，最大值是2 D. 对称轴是直线，最小值是2 【答案】A 【解析】 【分析】根据抛物线的图象与性质即可判断． 【详解】解：由抛物线的解析式：y=-（x-1）2+2，可知：对称轴x=1，开口方向向下， 所以有最大值y=2， 故选：A． 【点睛】本题考查二次函数的性质，解题的关键是正确理解抛物线的图象与性质，本题属于基础题型． 5. 已知直线不经过第一象限，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一次函数y=（m-3）x-3m+1，图象在坐标平面内的位置关系先确定m的取值范围，从而求解． 【详解】解：由直线y=（m-3）x-3m+1不经过第一象限， 则经过第二、四象限或第二、三、四象限或三、四象限， 则有 解得： 故选D． 【点睛】此题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与k、b的关系．掌握直线y=kx+b所在的位置与k、b的符号间直接的关系是解题的关键．k＞0时，直线必经过一、三象限；k＜0时，直线必经过二、四象限；b＞0时，直线与y轴正半轴相交；b=0时，直线过原点；b＜0时，直线与y轴负半轴相交． 6. 如图，在菱形中，、分别是、的中点，如果，那么菱形的周长是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形的中位线定理，即可求得的长，进而求得菱形的周长． 【详解】解：、分别是、的中点， ， 菱形的周长是． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质以及三角形的中位线定理，正确求得的长是解题的关键． 7. 将抛物线向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，则得到的抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数图象平移的规律“左加右减，上加下减”来求解平移后的抛物线解析式．本题主要考查了二次函数图象的平移变换，熟练掌握“左加右减，上加下减”的平移规律是解题的关键． 【详解】解： 原抛物线的解析式为 将其向左平移 个单位长度，根据“左加右减”的原则，得到 再向下平移 个单位长度，根据“上加下减”的原则 得到 故选： 8. 设方程x2+x﹣2=0的两个根为α，β，那么（α﹣2）（β﹣2）的值等于（　 　） A. ﹣4 B. 0 C. 4 D. 2 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：根据方程的系数利用根与系数的关系找出α+β=﹣1，α•β=﹣2，将（α﹣2）（β﹣2）展开后代入数据即可得出结论．∵方程+x﹣2=0的两个根为α，β，∴α+β=﹣1，α•β=﹣2，∴（α﹣2）（β﹣2）=α•β﹣2（α+β）+4=﹣2﹣2×（﹣1）+4=4． 故选C． 考点：根与系数的关系． 9. 已知二次函数（m为常数）的图象与x轴的一个交点为，则关于x的一元二次方程的两实数根是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程．熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系，二次函数图象与x轴交点性质，是解决问题的关键． 根据二次函数（m为常数）的图象与x轴的一个交点为，求出，方程为，解得（方法不唯一）． 【详解】解：∵二次函数（m为常数）的图象与x轴的一个交点为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 10. 二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（ ） A. ①④ B. ②④ C. ①②③ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数的性质，二次函数与坐标轴的交点问题；根据二次函数的图象开口向上，可得，再由二次函数的图象的对称轴为直线，可得，可判断①；根据二次函数的图象与x轴有2个交点，可得，可判断②；根据当时，，可判断③；根据当时，以及，可判断④． 【详解】解：二次函数的图象开口向上， ∴， ∵二次函数的图象的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵二次函数的图象与x轴有2个交点， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴，故②正确； ∵当时，， ∴，故③正确； ∵当时，， ∴， ∵， ∴，故④正确； 故选：D 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11. 已知关于的方程的一个根为，则 _____． 【答案】2 【解析】 【分析】直接把代入方程中，求解关于k的方程即可. 【详解】把代入方程中，得1+k-3=0，k=2，故答案为：2 【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解. 12. 已知A（x1，y1），B（x2，y2）在二次函数y＝x2﹣6x+4的图象上，若x1＜x2＜3，则y1_____y2（填“＞”、“＝”或“＜”）． 【答案】＞ 【解析】 【分析】先求出二次函数的对称轴为直线x＝3，再根据二次函数的增减性解答． 【详解】解：二次函数的对称轴为直线， ∵a＝1＞0， ∴当x＜3时，y随x的增大而减小， ∵x1＜x2＜3， ∴y1＞y2． 故答案为＞． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的增减性，熟记性质并求出二次函数的对称轴是解题的关键． 13. 经过两次连续降价，某药品销售单价由原来的50元降到32元，设该药品平均每次降价的百分率为x，根据题意可列方程是__________________________． 【答案】50（1﹣x）2=32． 【解析】 【详解】由题意可得， 50(1−x)²=32， 故答案为50(1−x)²=32. 14. 函数,则当函数值y=8时,自变量x的值是_____. 【答案】或4 【解析】 【分析】把y=8直接代入函数即可求出自变量的值． 【详解】把y=8直接代入函数，得：， ∵， ∴ 代入，得：x=4，所以自变量x的值为或4 【点睛】本题比较容易，考查求函数值． （1）当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值； （2）函数值是唯一的，而对应的自变量可以是多个． 15. 如图，直线的解析式为，点的坐标为，于点，则的面积为____． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理以及三角形面积的求法，解题的关键是综合运用相关知识进行推理． 过点B作轴于C，先得出为等腰直角三角形，再推出为等腰直角三角形，结合勾股定理可求出，的长，继而可得出结果． 【详解】解：过点作轴于， ∵点在直线上，设点的坐标为， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴． 又， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形． 又点的坐标为， ∴， 由勾股定理得，， ∴， ∴的面积=． 故答案为：1 16. 如图，点是等边三角形内一点，且，，，若将绕着点逆时针旋转60度后得到，则的度数是________． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质、等边三角形的判定和性质、勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是勾股定理逆定理的应用，属于中考常考题型． 首先证明为等边三角形，得，由可得，在中，已知三边，用勾股定理逆定理证出得出，可求的度数，由此即可解决问题． 【详解】解：连接，由题意可知 则，，， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， 又∵，，， ∴， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴ ∴， 故答案为． 【点睛】本题考查旋转的性质、等边三角形的判定和性质、勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是勾股定理逆定理的应用，属于中考常考题型． 三．解答题（共9小题，满分72分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键． 直接利用有理数的乘方运算法则、二次根式的性质、立方根的性质分别化简，进而得出答案． 【详解】解： 原式 ． 18. 选择适当的方法求解下列一元二次方程． （1）； （2）． 【答案】（1），； （2），． 【解析】 【分析】（1）用因式分解法求解即可； （2）用配方法求解即可． 【小问1详解】 解：， ∴， 即， ∴或， ∴，； 【小问2详解】 解：， 整理得， 配方得，即， ∴， ∴，． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法和步骤． 19. 学校为了让同学们走向操场、积极参加体育锻炼，启动了“学生阳光体育运动”，张明和李亮在体育运动中报名参加了百米训练小组．在近几次百米训练中，教练对他们两人的测试成绩进行了统计和分析，请根据图表中的信息解答以下问题： 平均数 中位数 方差 张明 13.3 13.3 0.004 李亮 13.3 3 （1）李亮成绩的中位数为： 秒； （2）计算李亮成绩的方差； （3）现在从张明和李亮中选择一名成绩比较稳定的去参加比赛，若你是他们的教练，应该选择谁？请说明理由． 【答案】（1）13.3 （2）0.02 （3） 解：选择张明．理由如下： 因为张明成绩的方差小于李亮成绩的方差，所以张明成绩比李亮成绩稳定，因此选择张明． 【解析】 【分析】本题考查了方差，算术平均数和中位数、统计图． （1）利用折线统计图确定李亮成绩的中位数； （2）利用平均数、中位数和方差的定义求解； （3）根据方差的意义进行判断． 【小问1详解】 解：把李亮5次成绩成绩从小到大排列，排在中间的数是13.3，故中位数是13.3； 故答案为：13.3； 【小问2详解】 解：李亮成绩的方差为： ； 【小问3详解】 略 20. 如图，直线与轴交于点，直线分别与轴交于点，与轴交于点．两条直线相交于点，连接． （1）求的值和两直线交点的坐标； （2）求的面积； （3）根据图象直接写出时自变量的取值范围． 【答案】（1），，点的坐标为； （2）； （3）． 【解析】 【分析】（）利用待定系数法求出的值，进而可得一次函数解析式，再联立函数解析式可得方程组，解方程组即可得到点的坐标； （）求出点坐标，可得，再根据即可求解； （）根据图象解答即可求解； 本题考查了一次函数的交点问题，用待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积，一次函数与不等式，利用待定系数法求出一次函数解析式是解题的关键． 【小问1详解】 解：把代入得，， ∴， ∴直线的函数解析式为， 把代入得，， ∴， ∴直线的函数解析式为， 由，解得， ∴点的坐标为； 【小问2详解】 解：把代入得，， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：由图象可得，当时，， ∴时自变量的取值范围为． 21. 已知关于的一元二次方程．（m为实数） （1）求证：无论m取何值，该方程总有两个实数根； （2）该方程的两个实数根为、（），若，求正数m的值． 【答案】（1） 证明：∵ ∴ ∴无论m取何值，该方程总有两个实数根； （2） 【解析】 【分析】（1）直接根据根的判别式证明即可； （2）先根据根与系数的关系求出，的值，再根据完全平方公式的变形求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵方程的两个实数根为、 ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴解得或（舍去）． 【点睛】本题考查了根的判别式，熟练掌握判别式与根的关系是解题的关键．当判别式时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当判别式时，一元二次方程有两个相等的实数根；当判别式时，一元二次方程没有实数根．一元二次方程根与系数的关系：，． 22. 如图，在 中，． 分别是边 的中点，连接 并延长到点 ，使 ，连接 ． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接，若 ，，求四边形的周长． 【答案】（1） 证明：∵分别是边、的中点，即，， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴，即， 又∵， ∴四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质与判定，三角形中位线定理、勾股定理： （1）先证明是的中位线，进而可证明，再由对角线互相垂直平分的四边形是菱形即可得到结论； （2）利用勾股定理求出，继而可得菱形的边长，再由菱形周长定义求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，，， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴四边形的周长． 23. 某商店经销一种双肩包，已知这种双肩包的成本价为每个30元．市场调查发现，这种双肩包每天的销售量y（单位：个）与销售单价x（单位：元）有如下关系：y=－x+60（30≤x≤60）． 设这种双肩包每天的销售利润为w元． （1）求w与x之间的函数解析式； （2）这种双肩包销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ （3）如果物价部门规定这种双肩包的销售单价不高于48元，该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为多少元？ 【答案】（1）w=－x2+90x－1800； （2）当x=45时，w有最大值，最大值是225； （3）该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为40元． 【解析】 【分析】（1）根据销售利润=单个利润×销售量，列出式子整理后即可得； （2）由（1）中的函数解析式，利用二次函数的性质即可得； （3）将w=200代入（1）中的函数解析式，解方程后进行讨论即可得． 【详解】（1）w=（x﹣30）y=（﹣x+60）（x﹣30）=﹣x2+30x+60x﹣1800=﹣x2+90x﹣1800， w与x之间的函数解析式w=﹣x2+90x﹣1800； （2）根据题意得：w=﹣x2+90x﹣1800=﹣（x﹣45）2+225， ∵﹣1＜0， ∴当x=45时，w有最大值，最大值是225； 即这种双肩包销售单价定为45元时，每天的销售利润最大，最大利润是225元．　 （3）当w=200时，﹣x2+90x﹣1800=200， 解得x1=40，x2=50， ∵50＞48，x2=50不符合题意，舍去， 即x=40． 答：该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为40元． 【点睛】本题是一元二次方程与二次函数的综合，考查了二次函数的性质，解一元二次方程等知识，由利润关系得出二次函数解析式是本题的关键． 24. 在平面直角坐标系中，如果点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为和谐点．例如点，，，…，都是和谐点． （1）判断函数的图象上是否存在和谐点，若存在，求出其和谐点的坐标； （2）若二次函数的图象上有且只有一个和谐点， ①求a，c的值． ②当时，函数的最小值为，最大值为1，直接写出的取值范围． 【答案】（1）， （2）①，；② 【解析】 【分析】（1）假设存在和谐点，设其坐标为，则可得，解方程即可； （2）①令，即，由二次函数的图象上有且只有一个和谐点，则方程只有一个实数解，再由和谐点坐标为，即可得到方程的解为，由根与系数的关系得到，由此求解即可； ②画出的函数图像，然后利用函数图像进行求解即可． 本题主要考查了求一次函数的图像上点的坐标特征，二次函数与一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系，二次函数图像的性质，解题的关键在于能够熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系． 【小问1详解】 解：（1）假设存在和谐点，设其坐标为， ∴， 解得， ∴函数的图象上有一个和谐点； 【小问2详解】 ①令，即， ∵二次函数的图象上有且只有一个和谐点， ∴方程只有一个实数解， ∴，即， 又∵和谐点坐标为， ∴方程的解为， ∴ 解得， ∴． ∴函数，即， ②如图，该函数图象顶点为，与y轴交点为， 由对称性，该函数图象也经过点． 由于函数图象在对称轴左侧y随x的增大而增大，在对称轴右侧y随x的增大而减小，且当时，函数的最小值为，最大值为1， ∴． 25. 如图，抛物线与轴交于点和点(点在原点的左侧，点在原点的右侧)，与轴交于点，． （1）求该抛物线的函数解析式． （2）如图1，连接，点是直线上方抛物线上的点，连接，．交于点，当时，求点的坐标． （3）如图2，点的坐标为，点是抛物线上的点，连接，是否存在点，使或等于？若存在，请直接写出符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）或 （3）存在，的坐标或或或 【解析】 【分析】（1）由及图像可得B、C两点坐标，然后利用待定系数法直接进行求解即可； （2）由题意得出，进而得到点D、F横坐标之间的关系为，设点横坐标为，则点横坐标为，待定系数法求出直线的解析式为，设，待定系数法求出直线所在的直线表达式为：，推得点，将点坐标代入抛物线，即可求出点的坐标； （3）当时，分为点在轴上方和点在轴下方，两种情况进行讨论，结合全等三角形的判定和性质得出点的坐标为，根据待定系数法求求出直线的解析式；联立方程组，求出的坐标，结合平行线的性质与等角对等边的性质得出，结合一次函数的平移得出直线解析式，结合勾股定理即可求出点的坐标，根据待定系数法求出直线的解析式，联立方程组，求出的坐标；当时，分为点在轴上方和点在轴下方，两种情况进行讨论，根据等角对等边得出，结合勾股定理即可求出点的坐标，待定系数法求出直线的解析式，联立方程组，即可求出点的坐标，结合一次函数的平移得出直线的解析式，联立方程组，即可求出点的坐标． 【小问1详解】 解：∵， ∴，， 把、坐标代入得， 解得：， ∴抛物线解析式：； 【小问2详解】 解：∵， ∴，即：， 设点横坐标为，则点横坐标为， 设直线的解析式为：，把代入得，， 解得：， ∴所在的直线表达式为：， ∵点在直线上， ∴， 设直线的函数表达式为：，把代入得：， 解得：， ∴直线所在的直线表达式为：， 则点， 把点坐标代入抛物线解析式得：， 解得：或， 则点的坐标为或； 【小问3详解】 解：①当， 若点在轴上方，此时点，直线交轴于点， 若点在轴下方，此时点，过点作交于点，过点作轴交于点，作于点，如图： ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为：， 把，代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为； ∵直线过点、，则直线的解析式为：， 联立， 解得：或（舍去）， ∴点的坐标为； ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴ ， ∴ ， ∵，， 故直线可以看成直线向下平移个单位得到的， 即直线的解析式为： ， 故设， ∵，， ∴，， ∴，，，， 在与中，， 即， ∴， 解得：， 则点的坐标为， 设直线的解析式为：， 把，代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为； ∵直线过点、，则直线的解析式为， 联立， 解得：， (舍去)， 则点； ②当时， 若点在轴上方，此时点，直线与交于点，过点作轴交于点，过点作作轴交于点， 若点在轴下方，此时点，如图： ∵，， ∴ ， ∴ ， 由①知，直线的解析式为， 故设， ∵，， ∴，， ∴，，，， 在与中，， ∴， 解得：， 则点的坐标为， 设直线的解析式为：， 把，代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为； ∵直线过点、，则直线的解析式为， 联立， 解得：或（舍去）， ∴点的坐标为； ∵，， ∴， ∴， 故直线可以看成直线向下平移个单位得到的， 即直线的解析式为： ， 联立， 解得：或（舍去）， ∴点的坐标为； 综上所述，点的坐标或或或． 【点睛】本题主要考查二次函数的综合应用，待定系数法求二次函数解析式，求一次函数解析式，三角形的面积，求一次函数与二次函数的交点坐标，全等三角形的判定和性质，勾股定理，一次函数的平移，等角对等边等，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质与一次函数的性质，利用数形结合及分类讨论思想进行求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $