精品解析：四川省凉山州宁南中学2022-2023学年高二下学期第一次月考数学（文）试题

宁南中学2024届高二下期第一次月考试题 文科数学 考试时间：120分钟 总分：150分 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先求出集合，再根据补集、交集的定义计算可得. 【详解】因为， 又因为是上的单调递增函数， 所以，则，所以， 故选：B . 2. 已知复数（其中为虚数单位），则复数的模为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】先化简，然后利用模的公式进行求解即可 【详解】因为， 所以 故选：B 3. 已知向量满足，则（ ） A. 8 B. C. D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据模长平方可得. 【详解】因为， 所以， 又因为 所以， 所以. 故选：D. 4. “”是“直线与圆：相交”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线和圆相交时圆心到直线的距离和半径的关系判断“”和“直线与圆：相交”的逻辑推理关系，即可判断答案. 【详解】设圆：的圆心到直线的距离为d， 则 ， 当直线与圆：相交时，， 解得， 当时，一定成立， 当时，推不出，因为可能是， 故“”是“直线与圆：相交”的必要不充分条件， 故选：B 5. 设等差数列的前项和为，且，则（ ） A. 18 B. 24 C. 48 D. 36 【答案】D 【解析】 【分析】 由题意结合等差数列的性质可得，再由等差数列前项公式结合等差数列的性质可得，即可得解. 【详解】数列是等差数列，所以， 所以，所以.. 故选：D. 【点睛】本题考查了等差数列的性质及其前n项和公式的应用，属于基础题. 6. 某高中调查学生对2022年冬奥会的关注是否与性别有关，随机抽样调查150人，进行独立性检验，经计算得，临界值表如下： 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 2.072 2.076 3.841 5.024 6.635 则下列说法中正确的是：（ ） A. 有97.5%的把握认为“学生对2022年冬奥会的关注与性别无关” B. 有99%的把握认为“学生对2022 年冬奥会的关注与性别有关” C. 在犯错误的概率不超过2.5%的前提下可认为“学生对2022年冬奥会的关注与性别有关” D. 在犯错误的概率不超过2.5%的前提下可认为“学生对2022年冬奥会的关注与性别无关” 【答案】C 【解析】 【分析】根据独立性检验的方法即可求解. 【详解】由题意可知，， 所以在犯错误的概率不超过的前提下可认为“学生对2022 年冬奥会的关注与性别有关”. 故选：C. 7. 执行如图所示的程序框图，输出的Р为（ ） A. 10 B. 5 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据程序框图，利用模拟验算法进行求解即可． 【详解】，则， ，则， ，则， ，则， ，则， ，则， ，所以输出的Р为. 故选：C. 8. 一车间为规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了4次试验，测得的数据如下 零件数（个） 2 3 4 5 加工时间（分钟） 26 49 54 根据上表可得回归方程，则实数的值为 A. 37.3 B. 38 C. 39 D. 39.5 【答案】C 【解析】 【分析】求出，代入回归方程，即可得到实数的值． 【详解】根据题意可得：,， 根据回归方程过中心点可得：，解得：； 故答案选C 【点睛】本题主要考查线性回归方程中参数的求法，熟练掌握回归方程过中心点是关键，属于基础题． 9. 某公司的班车在7:30，8:00，8:30发车，小明在7:20至8:10之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据几何概型求概率公式进行求解. 【详解】7:20至8:10之间共50分钟，其中当到达车站的时刻为7:20至7:30之间，或者7:50至8:00之间时，满足等车时间不超过10分钟，共有20分钟满足要求， 故他等车时间不超过10分钟的概率为. 故选：C 10. 已知某种食品保鲜时间与储存温度有关，满足函数关系(为保鲜时间，为储存温度)，若该食品在冰箱中0的保鲜时间是144小时，在常温20的保鲜时间是48小时，则该食品在高温40的保鲜时间是（ ） A. 16小时 B. 18小时 C. 20小时 D. 24小时 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知条件列出方程组，整体求得，然后整体代入计算即可. 【详解】依题意，，解得， 则当时，（小时）. 故选：A 11. 如图所示，，是双曲线：的左、右焦点，过的直线与的左、右两支分别交于A，两点．若，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】不妨令，，，根据双曲线的定义可求得，，再利用勾股定理可求得，从而可求得双曲线的离心率． 详解】，不妨令，，， ，， 又由双曲线的定义得：，， ， ，． 在中，， 又，， 双曲线的离心率． 故选;C 12. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先比较的值，然后构造新函数利用函数导数与单调性比较即可. 【详解】因为，所以，所以， 设， 则， 令， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 因为，所以， 因， 所以， 即， 由函数在上单调递增， 所以，即， 所以， 故选：D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将正确答案填在答题卷相应位置） 13. 某学校共有教职员工800人，其中超过45岁的有320人.为了调查他们的健康状况，用分层抽样的方法从全体教职员工中抽取一个容量为50的样本，应抽取超过45岁的教职员工________人. 【答案】20 【解析】 【分析】根据单位共有职工800人,要取一个容量为的样本,根据分层抽样定义,即可求得答案. 【详解】单位共有职工800人, 取一个容量为样本, 依题意知抽取超过岁的职工为. 故答案为:. 14. 设满足约束条件，则的最大值为__________. 【答案】6 【解析】 【分析】作出可行域，根据的几何意义，即可得出最大值. 【详解】画出可行域 解可得，. 由图可知，当直线经过点时，取得最大值6. 故答案为：. 15. 若函数在处有极大值，则实数的值为______ ． 【答案】 【解析】 【分析】根据极值点列方程来求得的值. 【详解】依题意，， 所以， 解得或， 当时，， 所以在区间上单调递减， 在区间上单调递增， 所以是的极小值，不符合题意. 当时，， 所以在区间上单调递增， 在区间上单调递减， 所以是的极大值，符合题意. 综上所述，的值为. 故答案为： 16. 对于函数.有下列说法：①的值城为；②当且仅当时，函数取得最大值；③函数的最小正周期是；④当且仅当时，.其中正确结论是__________. 【答案】②④ 【解析】 【分析】将表示为分段函数的形式并画出图像，根据三角函数的值域、最值、最小正周期、函数值等知识确定正确答案. 【详解】因为， 作出函数的图像，如图所示： 所以，的值城为，①错误； 函数的最小正周期是，③错误； 当且仅当时，函数取得最大值，②正确； 当且仅当时，，④正确. 故答案为：②④ 三、解答题（第17题10分，其他每小题12分，共70分，需写出详细演算过程） 17. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，. （1）求及b的值； （2）求AB边上的高. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）先由，求得，再利用正弦定理即可求得，利用余弦定理即可求得； （2）利用等面积法求解即可. 【小问1详解】 在中，因为， 所以， 又， 由正弦定理得：， 由余弦定理得：， 即， 解得或（舍去）； 【小问2详解】 设AB边上的高为， 则， 即，解得， 即AB边上的高为. 18. 为庆祝党二十大的胜利召开，培养担当民族复兴的时代新人，某高校在全校开展“不负韶华，做好社会主义接班人”的宣传活动，为进一步了解学生对党的“二十大”精神的学习情况，学校开展了“二十大”相关知识的竞赛活动，现从参加该活动的学生中随机抽取100人，将他们的竞赛成绩（满分为100分）分为5组：，得到如图所示的频率分布直方图： （1）估计这100名学生的竞赛成绩的中位数（结果保留整数）； （2）若采用分层抽样的方法从竞赛成绩在和内的学生中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求抽取的2人中恰有1人竞赛成绩在内的概率 【答案】（1）中位数为72 （2） 【解析】 【分析】（1）先判断中位数所在区间，然后由中位数的定义求解； （2）先由分层抽样得到竞赛成绩在内的有4人，成绩在内的有2人，再利用古典概型的概率求解. 【小问1详解】 解：因为， 所以竞赛成绩的中位数在内. 设竞赛成绩的中位数为，则， 解得. 所以估计这100名学生的竞赛成绩的中位数为72. 【小问2详解】 由频率分布直方图可知，竞赛成绩在和内的频率分别是和， 则采用分层抽样的方法抽取的6人中，竞赛成绩在内的有4人，记为， 竞赛成绩在内的有2人，记为. 从这6人中随机抽取2人的情况有：，共15种. 其中符合条件的情况有，共8种， 故所求概率. 19. 如图，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，其中，，，，平面ABCD，且，点M在棱PD上（不包括端点），点N为BC中点． （1）若，求证：直线平面PAB； （2）在（1）的条件下，求三棱锥的体积． 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）取PA的点Q，由已知结合平行公理，利用线面平行的判定推理即得. （2）利用（1）的信息，结合等体积法求出三棱锥的体积. 【小问1详解】 取PA上一点Q，满足，连接MQ，QB， 由，得且， 由，且，点N为BC中点，得，且， 因此且，则四边形为平行四边形， 则，平面，平面， 所以直线平面． 【小问2详解】 由（1）知，，平面，平面，所以平面， 而，平面，，所以三棱锥的体积 . 20. 已知数列是正项等比数列，且，. （1）求的通项公式； （2）从下面两个条件中选择一个作为已知条件，求数列的前项和. ①；②. 【答案】（1） （2）选①，；选②，. 【解析】 【分析】（1）根据等比数列的性质可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，可求得数列的公比，进而可求得数列的通项公式； （2）选①，利用错位相减法可求得；选②，利用裂项相消法求得. 【小问1详解】 解：由等比数列的性质可得， 由题意可得，解得，所以，等比数列的公比为， 所以，. 【小问2详解】 解：若选①，. 所以，，① 则，② ①②得 ， 因此，； 若选②，， 所以，. 21. 已知函数. （1）若，求函数在处的切线方程； （2）已知，若在上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由导数的几何意义得出切线方程； （2）分离参数得出在上恒成立，利用导数得出的最大值，进而得出实数的取值范围. 【小问1详解】 若时，，， ，故有， 所以在处的切线方程为，即. 【小问2详解】 不等式在上恒成立，即在上恒成立， 所以在上恒成立， 令，， 所以在上，，单调递减， 在上，，单调递增， 所以，所以， 所以的取值范围为. 22. 已知椭圆过点，且焦距为. （1）求椭圆的方程； （2）过直线（不经过点交椭圆于点，，试问直线与直线的斜率之和为，求证：过定点. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据已知条件求得，从而求得椭圆的方程. （2）根据直线的斜率是否存在进行分类讨论，根据化简求得定点坐标. 小问1详解】 由题意可得，解得， 椭圆的方程：. 【小问2详解】 当直线的斜率不存在时，设其方程为，且， 则， 所以， 解得（舍去）， 所以直线的斜率存在. 设直线的方程为，其中， 联立方程，消去得：， 设， 则，， 所以 ， 整理得，直线的方程为， 所以直线恒过定点. 【点睛】根据已知条件求解椭圆的方程，关键点在于列方程组来求得，要注意“隐藏条件”.求解直线过定点问题，可先设出直线方程，然后根据已知条件列方程，求得直线方程中参数的关系，从而求得定点的坐标. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 宁南中学2024届高二下期第一次月考试题 文科数学 考试时间：120分钟 总分：150分 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数（其中为虚数单位），则复数的模为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4 3. 已知向量满足，则（ ） A. 8 B. C. D. 4 4. “”是“直线与圆：相交”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 设等差数列的前项和为，且，则（ ） A. 18 B. 24 C. 48 D. 36 6. 某高中调查学生对2022年冬奥会的关注是否与性别有关，随机抽样调查150人，进行独立性检验，经计算得，临界值表如下： 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 2.072 2.076 3.841 5.024 6.635 则下列说法中正确的是：（ ） A. 有97.5%的把握认为“学生对2022年冬奥会的关注与性别无关” B. 有99%的把握认为“学生对2022 年冬奥会的关注与性别有关” C. 在犯错误的概率不超过2.5%的前提下可认为“学生对2022年冬奥会的关注与性别有关” D. 在犯错误的概率不超过2.5%的前提下可认为“学生对2022年冬奥会的关注与性别无关” 7. 执行如图所示的程序框图，输出的Р为（ ） A. 10 B. 5 C. D. 8. 一车间为规定工时定额，需要确定加工零件所花费时间，为此进行了4次试验，测得的数据如下 零件数（个） 2 3 4 5 加工时间（分钟） 26 49 54 根据上表可得回归方程，则实数的值为 A. 37.3 B. 38 C. 39 D. 39.5 9. 某公司班车在7:30，8:00，8:30发车，小明在7:20至8:10之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（ ） A. B. C. D. 10. 已知某种食品保鲜时间与储存温度有关，满足函数关系(为保鲜时间，为储存温度)，若该食品在冰箱中0的保鲜时间是144小时，在常温20的保鲜时间是48小时，则该食品在高温40的保鲜时间是（ ） A. 16小时 B. 18小时 C. 20小时 D. 24小时 11. 如图所示，，是双曲线：的左、右焦点，过的直线与的左、右两支分别交于A，两点．若，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 12. 已知，则（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将正确答案填在答题卷相应位置） 13. 某学校共有教职员工800人，其中超过45岁的有320人.为了调查他们的健康状况，用分层抽样的方法从全体教职员工中抽取一个容量为50的样本，应抽取超过45岁的教职员工________人. 14. 设满足约束条件，则的最大值为__________. 15. 若函数在处有极大值，则实数的值为______ ． 16. 对于函数.有下列说法：①的值城为；②当且仅当时，函数取得最大值；③函数的最小正周期是；④当且仅当时，.其中正确结论是__________. 三、解答题（第17题10分，其他每小题12分，共70分，需写出详细演算过程） 17. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，. （1）求及b的值； （2）求AB边上的高. 18. 为庆祝党二十大的胜利召开，培养担当民族复兴的时代新人，某高校在全校开展“不负韶华，做好社会主义接班人”的宣传活动，为进一步了解学生对党的“二十大”精神的学习情况，学校开展了“二十大”相关知识的竞赛活动，现从参加该活动的学生中随机抽取100人，将他们的竞赛成绩（满分为100分）分为5组：，得到如图所示的频率分布直方图： （1）估计这100名学生的竞赛成绩的中位数（结果保留整数）； （2）若采用分层抽样的方法从竞赛成绩在和内的学生中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求抽取的2人中恰有1人竞赛成绩在内的概率 19. 如图，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，其中，，，，平面ABCD，且，点M在棱PD上（不包括端点），点N为BC中点． （1）若，求证：直线平面PAB； （2）在（1）的条件下，求三棱锥的体积． 20. 已知数列是正项等比数列，且，. （1）求的通项公式； （2）从下面两个条件中选择一个作为已知条件，求数列的前项和. ①；②. 21. 已知函数. （1）若，求函数在处的切线方程； （2）已知，若在上恒成立，求实数的取值范围. 22. 已知椭圆过点，且焦距. （1）求椭圆的方程； （2）过直线（不经过点交椭圆于点，，试问直线与直线的斜率之和为，求证：过定点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$