山东省淄博市第五中学2025-2026学年高二下学期期末模拟六数学试题

高二数学下学期期末模拟六 一、单选题 1.已知盒子中有6个大小相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回地随机 取球两次,每次取一球,记第一次取出的球的数字是x,第二次取出的球的数字是y若事件 A=“x+y为偶数”,事件B=“x,y中有偶数且x≠y”,则P(AB)=() B. C. 2 D. 2.已知等比数列红}的各项都是正数,且34,4,24成等差数列、则212 1 43+417 A.1 B.3 C.6 D.9 3.下表是关于某设备的使用年限x(单位:年)和所支出的维修费用y(单位:万元)的统计表 3 4 5 6 3.4 4.2 5.1 5.5 6.8 由上表可得线性回归方程)=0.81x+ ,若规定:维修费用y不超过10万元,一旦大于10 万元时,该设备必须报废据此模型预测,该设备使用年限的最大值约为() A.7 B.8 C.9 D.10 4.已知函数fx)=3h2x+6x,则1mf-2A)-f0的值为() x0 Ar A.-18 B.-16 C.10 D.20 5.有7名运动员(5男2女)参加A,B,C三个集训营集训,其中A集训营安排5人,B集 训营与C集训营各安排1人,且两名女运动员不在同一个集训营,则不同的安排方案种数为 () A.18 B.22 C.30 D.36 62 的展开式中的常数项为15,则实数a=() A B号 a.i 7.已知函数f(x)=e+2+b在(0,+o)上单调递增,则实数a的最小值是() A月 B.1 C.-1 D. 8.已知函数f(x)的导函数为f'(x),任意x∈R均有f"(x)-f(x)=e,且f(1)=0,若函数 试卷第1页,共5页 g(x)=f(x)-t在x∈[-1,+o)上有两个零点,则实数t的取值范围是() A.(-10) c.[-1,0) D 二、多选题 9.盒子内有20个大小相同的球,其中有15个蓝球,5个红球,现从中取出3个球,则() A.取出的3个球中恰好有1个蓝球的取法有CC种 B.取出的3个球中恰好有1个蓝球的取法有CC+CC,种 C.取出的3个球中至少有2个蓝球的取法有CC+C,C种 D.取出的3个球中至少有1个红球的取法有C。-C,种 10.下列命题正确的是() A.若随机变量5,7满足7=35-2,则D(7)=3D(5)-2 B.以模型y=ce去拟合一组数据时,为了求出线性回归方程,设z=hy,求得线性 回归方程为z=2x+1,则c,k的值分别是c和2 C.已知0<P(M)<1,若P(MN)+P(M=1,则事件M,N相互独立 D.根据分类变量X与Y的成对样本数据,计算得到x2=4.712,根据小概率值=0.05 的独立性检验(x5=3.841),可判断X与Y有关联,此推断犯错误的概率不大于0.05 11.己知数列{a}满足a.+a1=2x(-1)”,neN,且4=1,则() A.4=-7 B.数列{am-}是等比数列 C.数列a}是等差数列 1 D.数列 au 的前n项和为14n-49 三、填空题 12.某次数学考试满分150分,某班同学的成绩5服从正态分布N(90, 2)( >0),若5在 区间(70,110)的概率为0.8,则任取三名同学的成绩,仅一名同学的成绩不低于110分的概 率为 试卷第2页,共5页 的展开式中,常数项等于 (用数字作答) 14.已知函数f(9=x-snx,则满足不等式f血)+f(2血士小20的x的取值范围是 四、解答题 l5.若正项数列{an}的前n项和为Sn,首项4=1,P√S,SH),(n∈N)在曲线y=(x+1) 上. (1)求数列{a}的通项公式a: (2)设6=1 4a+1 ,表示数列b}的前n项和,求证:工<: 16.已知函数f(x)=2x-xnx+xlna-e(a>0). (1)讨论∫(x)的单调区间: (2)证明:f(x)≤0. 17.为了治疗某种疾病,一厂商研制了一种新药,为了检验该药的治疗效果,随机抽取了患 该病的雌小鼠和雄小鼠各50只进行注射实验,一段时间后检测其血液中的某项指标值x, 并将数据进行整理得到如下频率分布直方图: 频率 个组距 0.008 0.005 0.003 0.002 0.001 100150200250300350400指标值 按规定,当该项指标值x大于250时,则可认为小鼠已经治愈.为了检验二次用药的效果, 对第一次注射新药后未治愈的小鼠进行第二次注射,第二次注射后又有I0只小鼠治愈. (1)根据频率分布直方图估计第一次注射新药后这100只小鼠的某项指标值的平均值x;(同 组中的数据用该组区间的中点值作代表) (2)已知两次用药后治愈的雌小鼠共45只. 试卷第3页,共5页 ()完成下面的2 2列联表,根据小概率值a=0.01的独立性检验,判断小鼠被治愈与性别 是否有关: 性别 治愈情况 合计 雌性 雄性 治愈 未治愈 合计 ()若从这100只小鼠中有放回地抽2次,每次抽1只,则在两只都是雌小鼠的条件下, 求第一次抽到治愈的小鼠且第二次抽到未治愈的小鼠的概率, 附:X= n(ad-be) (a+b)(c+d)(a+c)(b+d)' 其中n=a+b+c+d. 0.050 0.010 0.001 Xa 3.841 6.635 10.828 18.为了研究义务教育阶段学生的数学核心素养与抽象能力(指标 分)、推理能力(指标b 分)、建模能力(指标c分)的相关性,其中0≤a≤25,0≤b≤30,0≤c≤25,并将它们各 自量化为一级、二级、三级3个等级,再用综合指标y= +b+c的值评定学生的数学核心 素养,若y≥65,则数学核心素养为一级若50≤y<65,则数学核心素养为二级若 30≤y<50,则数学核心素养为三级,为了了解重庆市1年级至9年级在校学生的数学核心 素养,调查人员随机抽取了该地的五个年级,访问了每个年级的2个学生,统计得到这10 个学生的如下数据: x年级 2 6 8 数学核心素养(分) 29,31 38,42 47,53 56,64 69,71 数学核心素养平均分y(分) 30 40 50 60 70 (1)画出散点图,并判断x,y之间是否具有相关关系: (2)若x,y之间具有线性相关关系,试估计重庆市9年级的学生数学核心素养平均分为多 试卷第4页,共5页 少 (3)在这10名学生中任取三人,其中数学核心素养等级是一级的学生人数记为X,求随机 变量X的分布列和数学期望 附:①参考数据: 28=145, g8 y-可 ②求线性回归方程y=bx+a的系数公式b= 你 =1 a=y-bx. 19.定义:若一个函数存在极大值,且该极大值为负数,则称这个函数为“Z函数”. (1)判断函数f()=二-1是否为Z函数,并说明理由: (2)若函数g(x)=lnx-mx(m∈R)是“Z函数”,求实数m的取值范围: 1 3)已知h()=x+2+bx-b,c∈0,+0,a、beR,求证:当a≤-2,且0<b3 3 时,函数h(x)是“Z函数”. 试卷第5页,共5页 高二数学下学期期末模拟六参考答案 题号 1 2 3 4 6 7 8 9 10 答案 D 0 A B D ACD BCD 题号 11 答案 AD 1.C 【分析】根据已知条件,结合条件概率的计算公式,即可求解 【详解】由题意,有放回的随机取球两次, 则所有可能情况有(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6), (2,1),(2,2),(23),(2,4),(2,5),(2,6), (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6), (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6), (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6), (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6),共36个结果,即n(2)=36, 因为事件B=“x,y中有偶数且x≠y”, 则事件B包含的基本事件有(1,2),(14),(1,6),(2,1),(2,3),(2,4),(2,5), (2,6),(3,2),(3,4),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,5),(4,6),(5,2), (5,4),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5), 所以n(B)=24, 因为事件A=“x+y为偶数”,事件B=“x,y中有偶数且x≠y”, 所以事件AB=“x,y均为偶数且x≠y”, 则事件AB包含的基本事件有(2,4),(2,6),(4,2),(4,6),(6,2),(6,4), 所以n(AB)=6, 所以P(AB)=n(4B)61 n(B)244 故选:C 答案第1页,共13页 2.D 【详解】试题分析:,各项均为正数的等比数列{a}中,公比为q,,3a,一4,2 2成等差数 列, ∴.4=34+2,∴.4q=334+2a4q,∴.q=-1或3,,正数的等比数列q=-1舍去, 故时,+a=9+9,故选D 48+4,q17+g6 1+q 考点:等差数列性质:等比数列 3.D 【分析】求出样本中心点,将样本中心点代入回归直线方程求出a=1.76,再令 0.81x+1.76≤10,解不等式即可求解. 【详解】由己知表格,得x=亏(2+3+4+5+0=4, -号&4+42+51+55+68到-5, 因为回归直线恒过样本点的中心(,可),所以5=0.81x4+a, 解得a=1.76,所以回归直线的方程为=0.81x+1.76, 由y≤10,得0.81x+1.76≤10,解得x≤824 10.17, 81 由于x∈N,所以据此模型预报,该设备使用年限的最大值为l0. 故选:D. 4.A 【分析】根据导数的定义和求导公式计算即可. 【详解11m-2a)-f:21imf0-2Ax/).2f1), x0 x x90 -2 x f(x)=3+6,所以f')=9,1im f0-2x)-f@=-2f0)=18. x0 x 故选:A 5.B 【分析】利用特殊元素优先考虑及分类加法计数原理即可求解 【详解】由题意可知,完成这件事情分3类,第1类:2个女生分别去A,B,5个男生有1 个去了C,有CA=5 2 1=10种: 第2类:2个女生分别去A,C,5个男生有1个去了B,有CA=5 2 1=10种: 答案第2页,共13页 第3类:2个女生分别去B,C,5个男生去了A,有A=2 1=2种: 根据分类加法计数原理,不同的安排方案种数为10+10+2=22种. 故选:B. 6.B 【分析】根据题意,求得展开式的通项,结合通项得到展开式的常数项为242.C,列出 方程,即可求解 【详解】由二项式 a 2x+ 的展开式的通项为1=C(2x)(号)y=2rd,C6, 令6-3r=0,可得r=2,可得展开式的常数项为24.d.C%=240, 因为项展开式的帘数项为15,所以240d-15,可得云G解得a= 号 7.A 【分1法-:根据题商,转化为2a在@+四)上恒成立,令g)>0,利 用导数求得函数的单调性与最值,即可求解; 法二:根据题意,转化为e≥-2ax在(0,+o)上恒成立,设g(x)=e,求得过点(0,0)且与曲 线y=g(x)相切的直线方程为y=x,结合图象,即可求解. 【详解】解法一:由题意知f'(x)=e*+2m,因为f(x)=e+ax2+b在(0,+o)上单调递增, 所以f"(x)≥0在(0,+)上恒成立,即2a≥-e在(0,+o)上恒成立, 所以2a≥ xe(0,+),令g()=-ek>0), 则g'(x)=-e-e(x-l)e r? x2 当x>1时,g'(x)<0;当0<x<1时,g'(x)>0, 所以g(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,所以g(x)m=g()=-e, 因此2a≥2-ea2一号故实数a的最小值是号 e 故选:A 解法二:由题意知f'(x)=e+2ax,因为f(x)=e+ar2+b在(0,+o)上单调递增, 答案第3页,共13页 所以f'(x)≥0在(0,+o)上恒成立,即e≥-2ax在(0,+o)上恒成立, 设g(x)=e,过点(0,0)且与曲线y=g(x)相切的直线方程为y=kx,切点为(x,%),则 g'(x)=e*,k=e%o,yo=kx=e0,=1,k=e, 故过点(0,0)且与曲线y=g(x)相切的直线方程为y=ex, 作出直线y=r和g(x)=e的图像如图所示, 数形结合可知,若e≥-2ar在(0,+o)上恒成立,则e≥-2a且-2a>0, 即0>a2号,放实数a的最小值是-号 2 故选:A. y=ex g(x)=ex O 8.D 【分析】构造函数(w)=w) e, 求出导数,利用f'(x)-f(x)=e可得h(x)=1,进而可得 h(x)=x+C,即得f()=(x-1)e,利用导数讨论的变化情况,即可求出t的范围. 【详解]设函数)=巴,则)- ,因为了=e,则M)1. 设W=x+C,则h0=f0=1+C=0, e 所以C=-1,即x)=x-1,f(x)=(x-1)e,f"(w)=xe, 则f(x)在[-1,0)单调递减,在[0,+o)单调递增,f(x)m=f(0)=-1, 义小=月 要使函数g(x)=f(x)-t有两个零点,等价于曲线y=∫(x)与y=t有两个交点, 所以实数t的取值范围为 1 故选:D. 答案第4页,共13页 y=f(x) -1 【点睛】本题考查构造函数,利用导数研究零点问题,属于中档题 9.ACD 【分析】根据组合数的计算方式,分类和分步求出各选项提出条件的不同取法数目 【详解】取出的3个球中恰好一个蓝球,则还有2个红球,不同取法有CC,所以A正确, B错误, 取出的3个球中至少有2个蓝球,则分为两种情况,第一种2个蓝球加1个红球, 第二种3个蓝球,则不同取法有C2C+CC,所以C正确 取出的3个球中至少有1个红球,则在所有取法中减去没有红球的取法即可, 不同取法有C-C,所以D正确. 故选:ACD. 10.BCD 【分析】对于A,给出反例5=1,刀=1即可判断;对于B,利用z=2x+1得到=e2+=ee2x 即可判断;对于C,利用事件独立的定义即可判断;对于D,利用独立性检验的相关知识即 可判断. 【详解】对于A,若恒有5=1,刀=1,则n=35-2,且D(7)=D(5)=0. 所以D()=0≠-2=3D()-2,故A错误: 对于B,由于有线性回归方程z=2x+1,故lh=2x+1,即)=e2xH=ee2x,所以c=e,k=2, 故B正确: 对于C,由于PMM+PM)=l,故P=PMM=1-P(=PM,即 P(N) P(MW)=P(M)P(N),所以事件M,N相互独立,C正确: 对于D,由于x2=4.712>3.841,故有95%的把握判断X与Y有关联,即判断错误的概率 答案第5页,共13页 不超过0.05,D正确. 故选:BCD 11.AD 【分析】利用递推公式求4,,4,4判断ABC,按n为奇数和偶数讨论得到a,A+的通项公 式,利用裂项相消法求数列 1 的前n项和判断D. a,a+1 【详解】对A,因为a,+aH=2x(-1)”,4=1, 所以44=2-4=1,43=-2-44=-3,42=2-4=5,41=-2-4=-7,故A正确: 对B,因为a=9≠a4a,所以数列{am-1}不是等比数列,B错误: 对C,因为24≠4+4,所以数列引a}不是等差数列,C错误: 对D,当n=2k-1(k∈N)时,a.+aH=-2,a1+42=2,两式相减得,a+2-4=4, 所以红的奇敏项是以-7为首项。4为公若的等若数列:4=-7+4”:29。 当n=2k(keN)时,a.+a=2,a+a+2=-2,两式相减得,a+2-a=-4 所以a}的佣数项是以5为首项,4为公差的等差数列,&=5-4?-9-21: 所以a.=((-1)(21-9),a.a1=(-1)*(21-9八-( -1)+2(2n-7)=-(2n-9)(2-7) 4.a+1 所以+6+格+=+卦专针式(传升气剑 D正确 故选:AD 12.0.243 【分析】根据正态分布的对称性得到P(90<X<110),进而得到P(X≥110),再根据独立重 复试验的概率公式可求出结果 【详解】P(70<X<110)=0.8,P(90<X<110)=0.4.P(X≥110)=0.1, 所以任取三名同学的成绩,仅一名同学的成绩不低于110分的概率为 答案第6页,共13页 C0.1.0.92=0.3 0.81=0.243 故答案为:0.243 13.2 1 【分析】利用二项式定理,先求出x+士 展开式中的常数项和x2的系数,即得解 【详解】由 1 根据二项式定理,其展开式的通项为T+1=C4x4 =C, 1 所以当r=2时,展开式的常数项为C=6;当r=3时,展开式x2的系数为C=4: 所以原式中展开式的常数项为6-4=2 故答案为:2 【分析】由奇偶性的定义可得f(x)为奇函数,求出导函数∫'(x)可判断f(x)在R上单调递 增,从而根据奇偶性和单调性即可求解不等式 【详解】解:由题意,函数f(x)=x-sinx的定义域为R, 因为f(-x)=-x-sim(-x)=-x+simx=-f(x), 所以函数f(x)为奇函数, 又∫(x)=1-cosx≥0,所以函数f(x)在R上单调递增, 所以不等式f(血x)+f2血子-1小0,即f血)2-f(-2hx-1)=fnx+1), 所以nx≥2hx+1,即血x≤-1,解得0<x≤。 所以满足不等式f(血x)+f2血是-1≥0的x的取值范围是 故答案为: 15. (1)4.=2-1:(2)证明详见解析. 【详解】试题分析:(1)将点的坐标代入函数式得到数列S,a的关系式,利用a.=Sn-Sm1 求得数列的通项公式:(2)中将求得的4通项代入整理得b=,1】 &a(21-0-(2n+0通 项,结合特点求和时采用裂项相消的方法 答案第7页,共13页 试题解析:(1)因为点p(√S,S)在曲线y=(x+12上,所以Sn1=(WS.+1)2. 由S1=(√S+1得VS-VSn=1. 且VS=va=1 所以数列{WS}是以1为首项,1为公差的等差数列 所以VS,=VS+(0n-1) 1=n,即Sn=n2 当n≥2时,a.=Sn-Sn-1=m-(n-1)2=2n-1 当n=1时,g=2 1-1=1也成立 所以neN,a=2-1 (2)因为6=1 1 a a+H(2n-1)-(2n+1) = 1 十…十 (21-1):(21+1) 11 335千+2n-32n12-12 =a-1)=1 1 2 -2n+=22(2n+0<2 考点:1.数列求通项公式;2.裂项相消法求和 16.(1)当xe(0,a)时,f(x)单调递增:当xe(ae+o)时,f(x)单调递减 (2)证明见解析 【分析】(1)求导后,令导数等于0即可得出函数的单调区间; (2)只需证明函数的最大值f(aC)=ae-ea≤0即可,从而可以构造一个关于a的函数,结 合导数来证明即可. 【详解】(1)x∈(0,+o),f(x)=l-hx+na=he,令f"(x)=0,得x=ae. 当x∈(0,ae)时,f'(x)>0,f(x)在(0,a)上单调递增: 当x∈(ae,+o)时,f'(x)<0,f(x)在(ae,+o)上单调递减. (2)f(ae)=2ae-aeln(ae)+aelna-ea =ae-ea. 设g(a=ae-e(a>0),则g'(a)=e-ea, 答案第8页,共13页 令g'(a=0,得a=1 当a∈(0,1)时,g'(a)>0,g(a)单调递增; 当a∈(1,+o)时,g'(a)<0,g(a)单调递减. 所以g(a)≤g(1)=0,即f(ae)≤0, 由(1)知,f(x)≤f(a)≤0,得证. 17.(1)267.5 (②)()列联表见解析,认为小鼠被治愈与性别无关;(,9 100 【分析】(1)直接根据直方图中数据计算可得;(2)(i)结合直方图中数据及二次注射 后的结果补全列联表,根据x公式进行计算,并结合x1做出判断:(ii)利用条件概率公 式进行计算 【详解】(1)由题意得 x=50 (125 0.001+175 0.002+225 0.003+275 0.008+325 0.00年37x0.001267.5. (2)由频率分布直方图,第一次注射后治愈的小鼠有100 50 (0.008+0.005+0.001)=70只, 第二次注射后又有10只小鼠治愈,故治愈共80只,未治愈共20只;己知两次用药后治愈 的雌小鼠共45只, 故可得治愈的雄性小鼠有35只;则剩余未治愈雌性小鼠5只,未治愈雄性小鼠15只. 补全2 2列联表如下: 性别 治愈情 合 况 雌 雄 计 性 性 治愈 45 35 80 未治愈 15 20 合计 50 50 100 零假设为H:小鼠被治愈与性别无关, 答案第9页,共13页 则22=100 (45x 15-35 5)=6.25<6.635=00 50 50 20 80 根据小概率值 =0.01的独立性检验,没有充分证据推断H,不成立, 因此可以认为H成立,即认为小鼠被治愈与性别无关, ( )记“两只都是雌小鼠”为事件A,“第一次抽到治愈的小鼠且第二次抽到未治愈的小鼠” 为事件B, P(AB)=45x59 10010040 .P(4)=Ix1-1 224 故P(BA)= P(AB)9 P(A)100 【点睛】关键点点睛:正确理解频率分布直方图中的数据,从中提取有效信息是解答问题的 关键。 18.(1)作图见解析:x,y之间具有线性相关关系;(2)78分;(3)分布列见解析:期 为} 【分析】(1)根据表中数据作图并根据散点图判断即可: (2)根据公式计算回归方程,并估计: (3)素养为一级的学生是8年级的两名同学,非一级的学生为余下8人,进而根据超几何 分布求解即可 【详解】解:(1)散点图如图所示: 答案第10页,共13页 A数学素养平均分y/分 70 60 50 40 30 一一一 20 10 3 6 8 年级x 由图可以看出这些点都在一条直线的附近, x,y之间具有线性相关关系 (2) 25=5,=20=50,x=145, y=139%. 1=1 x-5 “b=过 1390-5 5 50 145-5x5 =7,,a=-bx=50-7x5=15 ∑x2-5x ∴.线性回归方程为y=7x+15, .当x=9时,y=7 9+15=78, .估计该地9年级的学生数学核心素养平均分为78分. (3)素养为一级的学生是8年级的两名同学,非一级的学生为余下8人, .X的所有可能取值为0,1,2, P(X=0)= CSC8-7,P(X=1)=C8=7 C815, P(X=2)= C2C=1 C815 随机变量X的分布列为: 0 1 2 7 7 1 15 15 答案第11页,共13页 (-0g152 7 13 155 19.(1)f(x)是“Z函数”,理由见解析;(2) 〔G:(3)证明见解析。 【分析】(1)利用导数求出函数y=∫(x)的极大值,结合题中定义判断即可: (2)分m≤0和>0两种情况讨论,利用导数分析函数y=g(x)的单调性,利用题中定义 得出关于m的不等式,进而可解得实数m的取值范围: (3)求出函数y=h(x)的导数(x)=x+ac+b,利用导数分析函数y=h(x)的单调性,设 函数y=(x)的极值点分别为x、x,可知x、x2是方程(x)=0的两根,进而可列出韦 达定理,结合韦达定理证明出函数y=(x)的极大值为负数,由此可证得结论 【详解】(1)函数/(y-1是“z函数,理由如下: 因为1是1,则r)-。。 当x<1时,f"(x)>0:当x>1时,f'(x)<0, 所以函数/()-。产-1的极大值/0-。1k0,故函数J()-。-1是z商数 (②西数6=加-m的定义域为(Q.g)-m 当m≤0时,g()}m>0,函数y=g(四)单调递增,无极大值,不满足题意: 当m>0时,当0<x<1时,g)上m>0,函数单调递增, m 当x清时,g()m<0,函数单调道减, 之 所以医数g倒的版人大为日-女片-m山 易阳日)hm1<0,解行号 1 因此,实数m的取值范围是仁+切: e (3)h'(x)=x2+ar+b,因为a≤-2,0<b<1,则 =2-4b>0, 所以h(x)=x2+ax+b=0有两个不等实根,设为x,、x2, 因为 +x2=-a>0 5=b>0,所以>0,名>0,不妨设0<<, 答案第12页,共13页 当0<x<时,(x)>0,则函数y=h(x)单调递增: 当x<x<x,时,H(x)<0,则函数y=h(x)单调递减, 所以商数y=(y的极大值为Ax)式+m+b低0, 由1()=++b=0得=x(-a-b)=-a-bx, 因为a≤-2,0<b<1, 所以a)+m+a0=-m-c)+5m+bi 3 =+=-+-0. 3 3 3 3 所以函数y=h(x)是“Z函数”. 【点睛】本题考查函数的新定义“Z函数”的应用,考查利用导数求函数的极值、利用极值 求参数,同时也考查了利用导数证明不等式,考查推理能力与运算求解能力,属于中等题 答案第13页,共13页