精品解析：四川省自贡市解放路初级中学校2024-2025学年九年级上学期开学考试数学试题

解中2024-2025学年度九年级（上）开学考试2024.9.10 数学试题 一、选择题（共12个小题，每小题4分，共48分，在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 能够使二次根式有意义的实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 以下列各组数为边长构造三角形，不是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 4. 一组数据：10、5、15、5、20，则这组数据的平均数和中位数分别是（ ） A. 10，10 B. 10， 12.5 C. 11,12.5 D. 11，10 5. 下面给出的条件中，能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 一次函数的图象情况如图所示，则关于k，b的分析正确的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 7. 如图，甲乙两艘轮船从某港口同时出发，各自沿一固定方向航行，其中甲航行方向为北偏西，乙航行方向为北偏东，甲每小时航行12海里，乙每小时航行16海里，他们离开港口两小时后分别位于点处，则此时两船相距（ ）海里． A. 36 B. 40 C. 48 D. 50 8. 如图，直线和交于点，根据图象可知的解集为（　　） A. B. C. D. 9. 如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH,若BE:EC=2：1，则线段CH的长是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 10. 如图，正方形的边长为 ，是对角线上一动点（点与端点不重合 ），于点，于点，连接，则长的最小值为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，函数图象与轴、轴分别交于两点，，点为直线上动点，连接，则的周长最小值为（ ） A. 3 B. 4 C. D. 12. 如图，P为等边三角形ABC内的一点，且P到三个顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，则△ABC的面积为（　　） A. B. C. D. 二、填空题（共6个小题，每小题4分，共24分） 13. 把直线y=2x﹣1向上平移2个单位，所得直线的解析式是___． 14. 在学校团体操比赛中，甲、乙两个班的同学身高的平均数相同，方差分别是 ，，那么身高整齐的是_____班． 15. 有一棵9米高的大树距离地面4米处折断．（未完全断开），则大树顶端触地点距大树的距离为______米． 16. 已知，，则_____． 17. 如图，在四边形中，分别是的中点，要使四边形是菱形，四边形还应满足的一个条件是________． 18. 如图，直线交坐标轴于A、B两点，C为中点，点D为上一动点，点E在x轴正半轴上，且满足，则的最小值为______． 三、解答题（共8个题，共78分） 19. 计算：. 20. 如图，在平行四边形ABCD中，AE=CF，求证：AF=CE． 21. 如图，在长方形ABCD中，将△ABC沿AC对折至△AEC位置，CE与AD交于点F． (1)试说明：AF＝FC； (2)如果AB＝3，BC＝4，求AF的长． 22. 如图，一次函数的图象与y轴交于点A，一次函数的图象与y轴交于点，点C为两函数图象的交点，且点C的横坐标为2． （1）求一次函数的函数解析式； （2）求的面积． 23. 某地为了解“阳光体育”运动推进情况，就“中小学每天在校体育活动时间”的问题随机调查了330名中小学生：根据调查结果绘制成的统计图的一部分如图（其中分组情况见下表）： 组别 A B C D 请根据上述信息解答下列问题： （1）补全条形统计图； （2）本次调查数据（指体育活动时间）的中位数落在______组内； （3）若某地约有6600名中小学生，请你估计其中没有达到国家规定体育活动时间（不低于1小时）的人数约有多少？ 24. 在二次根式中，有些根式相乘，其结果是实数． 如，，它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式．于是，二次根式除法可以这样解：如，，像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化． （1）解决问题：的有理化因式是_____，分母有理化，得______； （2）计算：； （3）化简：． 25. 如图，四边形中，，，，为中点，且，连接． （1）求的长度； （2）若，求的长度． 26. 如图，一次函数的图象分别交轴，轴于点，，一次函数的图象分别交轴，轴于点，，两个一次函数的图象相交于点． （1）求，的解析式； （2）若直线上存在一点，使，求符合条件的点的坐标； （3）若点为平面直角坐标系内任意一点，是否存在这样的点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 解中2024-2025学年度九年级（上）开学考试2024.9.10 数学试题 一、选择题（共12个小题，每小题4分，共48分，在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 能够使二次根式有意义的实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，不等式的解法，根据二次根式的被开方数为非负数，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴； 故选B． 2. 以下列各组数为边长构造三角形，不是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理的应用．利用勾股定理的逆定理依次判断即可，求出两条短边的平方和等于最长边的平方． 【详解】解：A、，不能构成直角三角形，故本选项符合题意； B、，能构成直角三角形，故本选项不符合题意； C、，能构成直角三角形，故本选项不符合题意； D、，能构成直角三角形，故本选项不符合题意； 故选：A 3. 下列各式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式的性质进行化简，结合最简二次根式的定义逐项进行判断即可． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，故不合题意； B、，不是最简二次根式，故不合题意； C、是最简二次根式，故符合题意； D、，不是最简二次根式，故不合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查最简二次根式，理解最简二次根式的定义，掌握二次根式的性质与化简方法是正确解答的前提． 4. 一组数据：10、5、15、5、20，则这组数据的平均数和中位数分别是（ ） A. 10，10 B. 10， 12.5 C. 11,12.5 D. 11，10 【答案】D 【解析】 【详解】将这组数据按从小到大的顺序排列：5，5，10，15，20．故这组数据的平均数为，中位数为10．故选D． 5. 下面给出的条件中，能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定．根据平行四边形的判定定理，逐项判断即可求解． 【详解】解：如图， A、若，，无法判断四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； B、∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形，故本选项符合题意； C、∵， ∴， ∵， ∴，无法判断四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； D、若，，无法判断四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； 故选：B 6. 一次函数的图象情况如图所示，则关于k，b的分析正确的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查根据一次函数的图象判断的符号，根据直线经过的象限，进行判断即可． 【详解】解：由图象可知：直线经过一、二、三象限， ∴，； 故选A． 7. 如图，甲乙两艘轮船从某港口同时出发，各自沿一固定方向航行，其中甲航行方向为北偏西，乙航行方向为北偏东，甲每小时航行12海里，乙每小时航行16海里，他们离开港口两小时后分别位于点处，则此时两船相距（ ）海里． A. 36 B. 40 C. 48 D. 50 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查勾股定理解三角形，理解方位角的定义，准确建立直角三角形，熟练运用勾股定理是解题关键．由题意，首先确定出直角三角形，以及两直角边长，然后结合勾股定理求解即可． 【详解】解：由题意，， ∴，即为直角三角形， 两小时后，（海里），（海里）， ∴在中，（海里）， ∴此时两轮船相距40海里． 故选：B． 8. 如图，直线和交于点，根据图象可知的解集为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】观察图象即可求解． 【详解】解：由图象知，当时，函数的图象位于函数的图象下方， 表明当时，； 即不等式的解集为：； 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数的交点与一元一次不等式的关系，数形结合是本题的最大特点． 9. 如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH,若BE:EC=2：1，则线段CH的长是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：设CH＝x， 因为BE：EC＝2：1，BC＝9，所以，EC＝3， 由折叠知，EH＝DH＝9－x， 在Rt△ECH中，由勾股定理，得：，解得：x＝4，即CH=4 考点：（1）图形的折叠；（2）勾股定理 10. 如图，正方形的边长为 ，是对角线上一动点（点与端点不重合 ），于点，于点，连接，则长的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接 ，易证四边形是矩形，可得；当动点运动到时，根据“垂线段最短” ，可知点到点的距离最小，则此时长度的值最小．因为四边形是正方形，可以证明此时的△是等腰直角三角形，据此即可求得答案 ． 【详解】连接 ， ∵四边形ABCD是正方形， ∴， 又∵，， ∴四边形ANOM是矩形， ∴，即AO取最小值时，MN最小， 当时，AO最短， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴; 故选B． 【点睛】本题主要考查了正方形以及矩形的性质，垂线段最短，准确计算是解题的关键． 11. 如图，函数图象与轴、轴分别交于两点，，点为直线上动点，连接，则的周长最小值为（ ） A. 3 B. 4 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的几何应用，最短距离问题，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质．根据题意可得是等腰直角三角形，取的中点E，连接，并延长至点D，使，连接，则，，可得，从而得到的周长，再证明，可得，从而得到轴，再由勾股定理可得的长，即可求解． 【详解】解：当时，，当时，， ∴点， ∴， ∴是等腰直角三角形， 如图，取的中点E，连接，并延长至点D，使，连接，则，， ∴， ∴的周长， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴轴， ∵， ∴， ∴， ∴的周长的最小值为． 故选：C 12. 如图，P为等边三角形ABC内的一点，且P到三个顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，则△ABC的面积为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】分析：将△BPC绕点B逆时针旋转60°得△BEA，根据旋转的性质得BE=BP=4，AE=PC=5，∠PBE=60°，则△BPE为等边三角形，得到PE=PB=4，∠BPE=60°，在△AEP中，AE=5，延长BP，作AF⊥BP于点F．AP=3，PE=4，根据勾股定理的逆定理可得到△APE为直角三角形，且∠APE=90°，即可得到∠APB的度数，在直角△APF中利用三角函数求得AF和PF的长，则在直角△ABF中利用勾股定理求得AB的长，进而求得三角形ABC的面积． 详解：∵△ABC为等边三角形， ∴BA=BC， 可将△BPC绕点B逆时针旋转60°得△BEA，连EP，且延长BP，作AF⊥BP于点F．如图， ∴BE=BP=4，AE=PC=5，∠PBE=60°， ∴△BPE为等边三角形， ∴PE=PB=4，∠BPE=60°， 在△AEP中，AE=5，AP=3，PE=4， ∴AE2=PE2+PA2， ∴△APE为直角三角形，且∠APE=90°， ∴∠APB=90°+60°=150°． ∴∠APF=30°， ∴在直角△APF中，AF=AP=，PF=AP=． ∴在直角△ABF中，AB2=BF2+AF2=（4+）2+（）2=25+12． 则△ABC的面积是•AB2=•（25+12）=9+． 故选A． 点睛：本题考查了等边三角形的判定与性质、勾股定理的逆定理以及旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等． 二、填空题（共6个小题，每小题4分，共24分） 13. 把直线y=2x﹣1向上平移2个单位，所得直线的解析式是___． 【答案】y=2x+1 【解析】 【详解】由“上加下减”的原则可知，直线y=2x﹣1向上平移2个单位，所得直线解析式是：y=2x﹣1+2，即y=2x+1． 故答案为：y=2x+1 14. 在学校团体操比赛中，甲、乙两个班的同学身高的平均数相同，方差分别是 ，，那么身高整齐的是_____班． 【答案】乙 【解析】 【分析】方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小，根据方差的意义可得答案． 【详解】解：∵1.8＞1.3， ∴身高整齐的是乙班， 故答案为：乙． 【点睛】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的意义：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好． 15. 有一棵9米高的大树距离地面4米处折断．（未完全断开），则大树顶端触地点距大树的距离为______米． 【答案】3 【解析】 【分析】根据题意构建直角三角形，利用勾股定理解答． 【详解】解：在中，为斜边， 已知米，米， 则， 即， 解得：． 故大树顶端触地点距大树的距离为3米． 故答案为：3． 【点睛】此题考查了直角三角形的性质及勾股定理的应用，要根据题意画出图形即可解答． 16. 已知，，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，由，，得，代入即可求解，掌握二次根式的运算法则和乘法公式是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴ ， ， ∴， 故答案为：． 17. 如图，在四边形中，分别是的中点，要使四边形是菱形，四边形还应满足的一个条件是________． 【答案】 【解析】 【分析】菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：①定义；②四边相等；③对角线互相垂直平分．据此四边形还应满足的一个条件是等．答案不唯一． 【详解】解：条件是． ∵分别是的中位线， ∴，，， ∴， ∴四边形是平行四边形． ∵是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是菱形． 故答案为： 【点睛】此题主要考查三角形的中位线定理和菱形的判定，正确理解三角形的中位线的性质及菱形的判定定理是解题的关键． 18. 如图，直线交坐标轴于A、B两点，C为中点，点D为上一动点，点E在x轴正半轴上，且满足，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与坐标轴交点坐标、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、两点距离公式等内容，熟练掌握相关知识点和添加合适的辅助线是解题的关键． 要求的最小值，我们可以联想到“将军饮马”问题，但是因为系数不为1，所以可以转化，要么转化，要么转化，我们发现提取，可以构造等腰直角三角形，从而将最值转化为求线段的长度，再利用构造全等三角形，得到是等腰直角三角形，进而求出的坐标，再求长度即可． 【详解】解：如图，以为斜边，在下方构造等腰直角三角形，连接， 则， ， 当、、三点共线时最小，此时即有最小值， 作关于轴对称点，则， ， ， ，， ， ， ， ，， ， 是等腰直角三角形， 由题可得，， 是中点， ， ， ， ， ， 此时． 三、解答题（共8个题，共78分） 19. 计算：. 【答案】-6. 【解析】 【分析】首先去绝对值以及化简二次根式和利用二次根式乘法运算去括号，进而合并同类项得出即可． 【详解】解：原式= = =-6. 【点睛】本题考查二次根式的混合运算和去绝对值.去绝对值时，可先判断绝对值内部计算的结果是正数还是负数，再根据正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数. 20. 如图，在平行四边形ABCD中，AE=CF，求证：AF=CE． 【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥DC， ∴AE∥CF， 又∵AE=CF， ∴四边形AECF是平行四边形， ∴AF=CE． 【解析】 【分析】由平行四边形的性质证明四边形AECF是平行四边形，即可得到结论． 【详解】略 【点睛】考点：平行四边形的判定与性质． 21. 如图，在长方形ABCD中，将△ABC沿AC对折至△AEC位置，CE与AD交于点F． (1)试说明：AF＝FC； (2)如果AB＝3，BC＝4，求AF的长． 【答案】 （1）证明：由矩形性质可知，AE=AB=DC， 根据对顶角相等得，∠EFA=∠DFC， 而∠E=∠D=90°， ∴由AAS可得，△AEF≌△CDF． ∴AF＝FC； （2）． 【解析】 【分析】（1）观察图形，可得AE=DC，又由∠FEA=∠DFC，∠AEF=∠CDF，由全等三角形判定方法证△AEF≌△CDF，得到AF＝FC； （2）在Rt△CDF中应用勾股定理即可得． 【详解】解：（1）略 （2）设FA=x，则FC=x，FD=， 在Rt△CDF中，CF2=CD2+DF2，即， 解得x=． 【点睛】本题考查翻折变换（折叠问题），矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理． 22. 如图，一次函数的图象与y轴交于点A，一次函数的图象与y轴交于点，点C为两函数图象的交点，且点C的横坐标为2． （1）求一次函数的函数解析式； （2）求的面积． 【答案】（1） （2）8 【解析】 【分析】本题考查一次函数的综合应用： （1）先求出点坐标，待定系数法求出一次函数的函数解析式即可； （2）直接利用面积公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：∵点C为两函数图象的交点，且点C的横坐标为2， 把代入，得：， ∴， ∵一次函数的图象与y轴交于点， ∴设，把，代入得：， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴当时，， ∴， ∵，， ∴． 23. 某地为了解“阳光体育”运动推进情况，就“中小学每天在校体育活动时间”的问题随机调查了330名中小学生：根据调查结果绘制成的统计图的一部分如图（其中分组情况见下表）： 组别 A B C D 请根据上述信息解答下列问题： （1）补全条形统计图； （2）本次调查数据（指体育活动时间）的中位数落在______组内； （3）若某地约有6600名中小学生，请你估计其中没有达到国家规定体育活动时间（不低于1小时）的人数约有多少？ 【答案】（1） 补全条线图如图： （2） （3）1800名 【解析】 【分析】本题考查统计图表，求中位数，利用样本估计总体： （1）求出组人数，补全条形图即可； （2）根据中位线的确定方法进行判断即可； （3）利用样本估计总体的思想进行求解即可． 【小问1详解】 解：组人数为：； 【小问2详解】 由图可知，第165和第166个数据均落在组， 故中位数落在组， 故答案为：． 【小问3详解】 （名）； 答：估计其中没有达到国家规定体育活动时间（不低于1小时）的人数约有1800名． 24. 在二次根式中，有些根式相乘，其结果是实数． 如，，它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式．于是，二次根式除法可以这样解：如，，像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化． （1）解决问题：的有理化因式是_____，分母有理化，得______； （2）计算：； （3）化简：． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】此题考查了分母有理化，正确选择两个二次根式，使它们的积符合平方差公式是解答问题的关键． （1）找出各式的分母有理化因式即可； （2）先分母有理化后，化简二次根式，再计算即可得到结果； （3）原式各项分母有理化，合并即可得到结果． 【小问1详解】 解：，， 的有理化因式是，分母有理化，得； 故答案为：，； 【小问2详解】 解：原式 ； 【小问3详解】 解：原式 ． 25. 如图，四边形中，，，，为中点，且，连接． （1）求的长度； （2）若，求的长度． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）过点D作，垂足为，根据，易得为等腰直角三角形，得到，利用勾股定理即可求出，再根据，为中点，得到，进而求出，利用勾股定理即可求出； （2）在（1）图基础上，过点作，分别交与点G，交延长线于点P，由三角形外角的性质得到，结合，推出，由，易证为等腰直角三角形，从而求出，再根据等腰直角三角形的性质证明，得到，再证明四边形是矩形，推出，进而求出，即点G为中点，结合，得出． 【小问1详解】 解：过点D作，垂足为， ，， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， ，为中点， ， ， ； 【小问2详解】 解：在（1）图基础上，过点作，分别交与点G，交延长线于点P， ，，， ， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， ，即点G为中点， ， ． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定与性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理，三角形外角的性质，矩形判定与性质，垂直平分线额性质，正确作出辅助线，构造三角形全等是解题的关键． 26. 如图，一次函数的图象分别交轴，轴于点，，一次函数的图象分别交轴，轴于点，，两个一次函数的图象相交于点． （1）求，的解析式； （2）若直线上存在一点，使，求符合条件的点的坐标； （3）若点为平面直角坐标系内任意一点，是否存在这样的点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2）点的坐标为或 （3）的坐标为或或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、三角形的面积、解含绝对值符号的一元一次方程以及平行四边形的性质，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式；（2）利用三角形的面积公式，找出关于x的含绝对值符号的一元一次方程；（3）利用平行四边形的性质求解． （1）利用待定系数法求解即可； （2）首先求出点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，得到，，然后根据列方程求解即可； （3）首先得到，，，然后分3种情况讨论：①当为对角线时；②当为对角线时；③当为对角线时，分别利用平行四边形的性质求解即可． 【小问1详解】 将代入，得， 解得． 将代入，得， 解得． ，的解析式分别为，； 【小问2详解】 对于，当时，；当时，． 点的坐标为，点的坐标为． 对于，当时，；当时，． 点的坐标为，点的坐标为． ，． ． 设点的坐标为． 则． ， ， 解得或 符合条件的点的坐标为或； 【小问3详解】 存在，点的坐标为或或． 如解图，由（1）（2）可知，，， 设点的坐标为． ①当为对角线时，，， 解得，． ∴点的坐标为； ②当为对角线时，，， 解得，． ∴点的坐标为； ③当为对角线时，，， 解得，． ∴点的坐标为． 综上所述，当点的坐标为或或时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $