精品解析：2024年辽宁省中考数学冲刺仿真练习试题（一）

2024年辽宁省中考冲刺仿真练习卷（一） 一．选择题（共10小题，共30分） 1. 中国新能源汽车产销量连续9年位居全球第一，其中2023年出口120.3万辆，同比增长77.6%．将数据120.3万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 2. 如图是某几何体的三视图，则该几何体是（ ） A. 圆柱 B. 圆锥 C. 三棱柱 D. 球 3. 在下面的调查中，最适合用全面调查的是（　　） A 了解某省初中生每周上网时长情况 B. 了解某班学生视力情况 C. 了解2024年五一长假期间来江西旅游人数 D. 了解某河流水质情况 4. “中国天眼”是目前世界上唯一能观测深空的射电望远镜，其中心位置是一个正五边形，这个正五边形的内角和是（ ） A. B. C. D. 5. 学校里有一个正方形的花坛，它的面积是20平方米，请你估计这个正方形的边长约在（ ） A. 3米和4米之间 B. 4米和5米之间 C. 5米和6米之间 D. 6米和7米之间 6. 如图，在矩形中，对角线，相交于点O，，，则的长是（ ） A B. C. D. 7. 不等式组的解在数轴上表示正确的是( ) A. B. C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，和是以原点O为位似中心的位似图形．若，的周长为3，则的周长为（ ） A. 6 B. 9 C. 12 D. 30 9. 如图，中，点D在边上，将沿射线方向平移得到线段，连接．若，则的长是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 10. 综合实践小组的同学们利用自制密度计测量液体的密度，密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度是液体的密度的反比例函数，其图象如图所示．下列说法正确的是（ ） A. 当液体密度时，浸在液体中的高度 B. 当液体密度时，浸在液体中的高度 C. 当浸在液体中的高度时，该液体的密度 D. 当液体的密度时，浸在液体中的高度 二．填空题（共5小题，共15分） 11. 比较大小：___________（填“”，“”或“”）． 12. 在一个不透明的袋子中有除颜色外均相同的个白球和若干黑球，通过多次摸球试验后，发现摸到白球的频率约为，估计袋中黑球有___________个． 13. 甲、乙两班学生参加植树造林活动，已知甲班每天比乙班多植5棵树，甲班植80棵树所用的天数与乙班植70棵树所用的天数相等，若设甲班每天植树x棵，则根据题意列出的方程是________． 14. 如图，在△ABC中，AB＝BC，由图中的尺规作图痕迹得到的射线BD与AC交于点E，点F为BC的中点，连接EF，若BE＝AC＝2，则△CEF的周长为________米． 15. 如图，点A在二次函数的图像上，A点坐标为，连结，将绕着点O顺时针旋转60°后并延长交抛物线于点B，则点B的横坐标为__________． 三．解答题（共8小题，共75分） 16. （1）计算：； （2）化简． 17. 为进一步发展基础教育，自2014年以来，某县加大了教育经费的投入，2014年该县投入教育经费6000万元．2016年投入教育经费8640万元．假设该县这两年投入教育经费的年平均增长率相同． （1）求这两年该县投入教育经费的年平均增长率； （2）若该县教育经费的投入还将保持相同的年平均增长率，请你预算2017年该县投入教育经费多少万元． 18. 自双减以来，同学们的课后延时服务活动丰富多彩，某学校在新的学期举办“篮球特色“热爱篮球选拔班”，大量球的同学踊跃报名，但由于名额有限，所以需要考，考核的最终评价成绩由篮球知识、身体素质、篮球技能三项构成，下表是对甲、乙两名同学的成绩记录． 成绩/分 篮球知识 身体素质 篮球技能 甲 93 94 89 乙 88 90 95 （1）如果根据三项成绩平均分确定最终评价成绩，计算说明谁将获胜； （2）根据实际需要，将篮球知识、身体素质、篮球技能三项成绩按的比例确定最终评价成绩，计算说明谁将获胜； （3）如果你是“篮球特色班”的老师，请你制定一项标准来确定获胜人选，并说明制定该标准的理由． 19. 公司开发出一款新的节能产品，该产品的成本价为6元/件，该产品在正式投放市场前通过代销点进行了为期一个月（30天）的试营销，售价为8元/件，工作人员对销售情况进行了跟踪记录，并将记录情况绘成图象．图中的折线表示日销售量y（件）与销售时间x（天）之间的函数关系． （1）分别求段和段所对应的函数表达式； （2）试营销这段时间，日销售利润不低于640元的天数共有多少天？ 20. 图是某地下商业街的入口的玻璃顶，它是由立柱、斜杆、支撑杆组成的支架撑起的，它的示意图如下．经过测量，支架的立柱与地面垂直()．米，点A、C、M在同一水平线上，斜杆与水平线的夹角，支撑杆，垂足为E，该支架的边与的夹角，又测得米．(参考数据：，，，，，) （1）求该支架的边的长； （2）求支架边的顶端到地面的距离．(结果精确到1米) 21. 如图，四边形内接于，，过点C作，使得，交的延长线于点E． （1）求证：． （2）若，求的长． 22. 如图，已知抛物线的解析式为，抛物线与x轴交于点A和点B，与y轴交点于点C． （1）请分别求出点A、B、C的坐标和抛物线的对称轴； （2）连接AC、BC，将△ABC绕点B顺时针旋转90°，点A、C的对应点分别为M、N，求点M、N的坐标； （3）若点为该抛物线上一动点，在（2）条件下，请求出使最大时点的坐标，并请直接写出的最大值． 23. 问题提出： （1）如图①，在正方形ABCD中，E为边AB上一点（点E不与点AB重合），连接DE，过点A作AF⊥DE，交BC于点F，则DE与AF的数量关系是：DE　 　AF； 问题探究： （2）如图②，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，点E、F分别在边AB、CD上，点M为线段EF上一动点，过点M作EF的垂线分别交边AD、BC于点G、点H．若线段EF恰好平分矩形ABCD的面积，且DF＝1，求GH的长； 问题解决： （3）如图③，在正方形ABCD中，M为AD上一点，且，E、F分别为BC、CD上的动点，且BE＝2DF，若AB＝4，求ME+2AF的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年辽宁省中考冲刺仿真练习卷（一） 一．选择题（共10小题，共30分） 1. 中国新能源汽车产销量连续9年位居全球第一，其中2023年出口120.3万辆，同比增长77.6%．将数据120.3万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法，科学记数法就是将一个数字表示成的形式，其中，n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数. 【详解】解：120.3万用科学记数法表示为：， 故选C 2. 如图是某几何体的三视图，则该几何体是（ ） A. 圆柱 B. 圆锥 C. 三棱柱 D. 球 【答案】B 【解析】 【分析】根据主视图和左视图都是三角形，俯视图是圆，即可判断该几何体为圆锥． 【详解】解：长方体的三视图都是圆锥， 故选：B． 【点睛】本题考查了几何体的三视图，解题的关键是熟知基本几何体的三视图，正确判断几何体． 3. 在下面的调查中，最适合用全面调查的是（　　） A. 了解某省初中生每周上网时长情况 B. 了解某班学生视力情况 C. 了解2024年五一长假期间来江西旅游人数 D. 了解某河流水质情况 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似． 【详解】解：A、了解某省初中生每周上网时长情况，适合用抽样调查，不符合题意； B、了解某班学生视力情况，适合用全面调查，符合题意； C、了解2024年五一长假期间来江西旅游人数，适合用抽样调查，不符合题意； D、了解某河流水质情况，适合用抽样调查，不符合题意； 故选：B． 4. “中国天眼”是目前世界上唯一能观测深空的射电望远镜，其中心位置是一个正五边形，这个正五边形的内角和是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了正多边形的内角和的计算公式：（且n为整数），根据多边形的内角和定理即可求解． 【详解】解：正五边形的内角和为：， 故选：C． 5. 学校里有一个正方形的花坛，它的面积是20平方米，请你估计这个正方形的边长约在（ ） A. 3米和4米之间 B. 4米和5米之间 C. 5米和6米之间 D. 6米和7米之间 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了估算无理数的大小，先估算被开方数在哪两个相邻的平方数之间，再估算该无理数在哪两个相邻的整数之间．用用“夹逼法”求解即可． 【详解】解：∵一个正方形的花坛，它的面积是20平方米， ∴个正方形的边长为米， ∵， ∴． 故选B． 6. 如图，在矩形中，对角线，相交于点O，，，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据矩形的对角线相等且互相平分可得，由，判断出是等边三角形，根据等边三角形的性质求出即可． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，熟记性质并判断出是等边三角形是解题的关键． 7. 不等式组的解在数轴上表示正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元一次不等式组的解法先求出不等式组的解集，再在数轴上表示即可得到答案． 【详解】解：， 由①得； 由②得； 原不等式组的解集为， 在数轴上表示该不等式组的解集如图所示： ， 故选：C． 【点睛】本题考查一元一次不等式组解集的求法及在数轴上的表示，熟练掌握不等式组解集的求解原则“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了”是解决问题的关键． 8. 如图，在平面直角坐标系中，和是以原点O为位似中心的位似图形．若，的周长为3，则的周长为（ ） A. 6 B. 9 C. 12 D. 30 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查坐标与位似，根据位似比等于相似比，周长比等于相似比，即可得出结果． 【详解】解：∵和是以原点O为位似中心的位似图形，， ∴和的相似比为：， ∴和的周长比为：， ∵的周长为3， ∴的周长为6； 故选：A． 9. 如图，中，点D在边上，将沿射线方向平移得到线段，连接．若，则的长是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平移的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理等知识，证明四边形是平行四边形，推出，利用勾股定理求出即可, 解题的关键是证明． 【详解】解：根据平移可得，， 四边形是平行四边形， ， ，， ， ， ， ， 故选：C． 10. 综合实践小组的同学们利用自制密度计测量液体的密度，密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度是液体的密度的反比例函数，其图象如图所示．下列说法正确的是（ ） A. 当液体密度时，浸在液体中的高度 B. 当液体密度时，浸在液体中的高度 C. 当浸在液体中的高度时，该液体的密度 D. 当液体的密度时，浸在液体中的高度 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了反比例函数的应用，由题意可得，设，把，代入解析式，进而结合函数图象，逐项分析判断，求解即可． 【详解】解：设h关于的函数解析式为， 把，代入解析式，得． ∴h关于的函数解析式为． A. 当液体密度时，浸在液体中的高度，故该选项不正确，不符合题意； B. 当液体密度时，浸在液体中的高度，故该选项不正确，不符合题意； C. 当浸在液体中的高度时，该液体的密度，故该选项正确，符合题意； D. 当液体的密度时，浸在液体中的高度，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 二．填空题（共5小题，共15分） 11. 比较大小：___________（填“”，“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】先把单位化统一，再比较大小即可到答案． 【详解】解：， ， 故答案为： 【点睛】本题考查了角的大小比较，注意单位要化统一，掌握是解题关键． 12. 在一个不透明的袋子中有除颜色外均相同的个白球和若干黑球，通过多次摸球试验后，发现摸到白球的频率约为，估计袋中黑球有___________个． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了用频率估计概率，已知概率求数量，根据大量反复试验下频率的稳定值即为概率值得到摸到白球的概率约为，进而根据概率计算公式求出袋子中球的总数即可得到答案． 【详解】解：∵通过多次摸球试验后，发现摸到白球的频率约为， ∴摸到白球的概率约为， ∴袋子中一共有个球， ∴估计袋子中黑球的有个， 故答案为： 13. 甲、乙两班学生参加植树造林活动，已知甲班每天比乙班多植5棵树，甲班植80棵树所用的天数与乙班植70棵树所用的天数相等，若设甲班每天植树x棵，则根据题意列出的方程是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是根据实际问题列分式方程．根据甲班每天比乙班多植5棵树，甲班植80棵树所用的天数与乙班植70棵树所用的天数相等，即可列出方程． 【详解】解：设甲班每天植树x棵，则乙班每天植树棵， 依题意得：， 故答案为：． 14. 如图，在△ABC中，AB＝BC，由图中的尺规作图痕迹得到的射线BD与AC交于点E，点F为BC的中点，连接EF，若BE＝AC＝2，则△CEF的周长为________米． 【答案】（）##（） 【解析】 【分析】由题意得BE是∠ABC的平分线，再由等腰三角形的性质得BE⊥AC，AE＝CE＝AC＝1，由勾股定理得BC＝，然后由直角三角形斜边上的中线性质得EF＝BC＝BF＝CF，求解即可． 【详解】解：由图中的尺规作图得：BE是∠ABC的平分线， ∵AB＝BC， △ABC是等腰三角形 ∴BE⊥AC，AE＝CEAC＝1， ∴∠BEC＝90°， ∴BC＝ ∵点F为BC的中点， ∴EFBC＝BF＝CF， ∴△CEF的周长＝CF+EF+CE＝CF+BF+CE＝BC+CE1， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理、尺规作图等知识；熟练掌握尺规作图和等腰三角形的性质，证出EFBC＝BF＝CF是解题的关键． 15. 如图，点A在二次函数的图像上，A点坐标为，连结，将绕着点O顺时针旋转60°后并延长交抛物线于点B，则点B的横坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】过点B作BC⊥y轴，垂足为C，作OB的中垂线交y轴于点D，由旋转角∠AOB与∠AOC的度数得∠COB，利用特殊角构造含30°角的直角三角形和等腰三角形可得出BC、BD和OD的数量关系，再由勾股定理可得CD，根据点A（－1，1）在二次函数的图像上，可求得a值，确定二次函数的关系式为，由此可设点B的坐标为（x，x2），即可求出点B的横坐标． 【详解】解：如图，过点B作BC⊥y轴，垂足为C，作OB的中垂线交y轴于点D． ∴BD＝OD． ∴∠BOD＝∠OBD． ∵∠AOD＝45°，∠AOB＝60°， 则 ∠DOB＝15°． ∴∠BDC＝30°． ∴BD＝2BC． ∵点A（－1，1）在二次函数的图像上，则a =1， 设点B的坐标为（x，x2），且点B在第一象限，则x＞0． 即BC＝x，BD＝2x， 由勾股定理可得CD＝x　． ∵OC＝BD＋CD＝2x＋x， 即x2＝2x＋x． 解得． ∴点B的横坐标为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象与性质的相关知识，并利用等腰三角形的性质构造含特殊角的直角三角形求得结果． 三．解答题（共8小题，共75分） 16 （1）计算：； （2）化简． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查分式的混合运算，实数的运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． （1）先算乘方，绝对值，零指数幂，负整数指数幂，再算加减即可； （2）先把分子分母因式分解，再把除法运算化为乘法运算，然后约分即可． 【详解】解：（1） ； （2） ． 17. 为进一步发展基础教育，自2014年以来，某县加大了教育经费的投入，2014年该县投入教育经费6000万元．2016年投入教育经费8640万元．假设该县这两年投入教育经费的年平均增长率相同． （1）求这两年该县投入教育经费的年平均增长率； （2）若该县教育经费的投入还将保持相同的年平均增长率，请你预算2017年该县投入教育经费多少万元． 【答案】（1）20%；（2）10368万元. 【解析】 【分析】（1）首先设该县投入教育经费的年平均增长率为x，然后根据增长率的一般公式列出一元二次方程，然后求出方程的解得出答案； （2）根据增长率得出2017年的教育经费. 【详解】（1）设该县投入教育经费的年平均增长率为x.则有： 6000=8640 解得：x1=0.2，x2=-2.2（舍去） 所以该县投入教育经费的年平均增长率为20% （2）因为2016年该县投入教育经费为8640万元，且增长率为20% 所以2017年该县投入教育经费为8640×（1+20%）=10368（万元） 【点睛】考点：一元二次方程的应用 18. 自双减以来，同学们的课后延时服务活动丰富多彩，某学校在新的学期举办“篮球特色“热爱篮球选拔班”，大量球的同学踊跃报名，但由于名额有限，所以需要考，考核的最终评价成绩由篮球知识、身体素质、篮球技能三项构成，下表是对甲、乙两名同学的成绩记录． 成绩/分 篮球知识 身体素质 篮球技能 甲 93 94 89 乙 88 90 95 （1）如果根据三项成绩的平均分确定最终评价成绩，计算说明谁将获胜； （2）根据实际需要，将篮球知识、身体素质、篮球技能三项成绩按的比例确定最终评价成绩，计算说明谁将获胜； （3）如果你是“篮球特色班”的老师，请你制定一项标准来确定获胜人选，并说明制定该标准的理由． 【答案】（1）甲将获胜； （2）乙将获胜； （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查的知识点是算术平均数和加权平均数，掌握定义是解决问题的关键． （1）利用算术平均数的定义求出甲、乙两名同学的成绩，再进行比较，即可得出答案； （2）根据加权平均数的定义列出算式，求出甲、乙两名同学的成绩，再进行比较，即可得出答案； （3）按第（2）问的标准即可． 【小问1详解】 解：甲的成绩为（分）， 乙的成绩为（分）， ∵， ∴甲将获胜； 【小问2详解】 解：甲的成绩为（分）， 乙的成绩为（分）， ∵， ∴乙将获胜； 【小问3详解】 解：将篮球知识、身体素质、篮球技能三项成绩按的比例确定最终评价成绩，乙将获胜， 理由：因为是“篮球特色班”，要重点关注的是篮球技能，所以将篮球知识、身体素质、篮球技能三项成绩按的比例确定最终评价成绩． 19. 公司开发出一款新的节能产品，该产品的成本价为6元/件，该产品在正式投放市场前通过代销点进行了为期一个月（30天）的试营销，售价为8元/件，工作人员对销售情况进行了跟踪记录，并将记录情况绘成图象．图中的折线表示日销售量y（件）与销售时间x（天）之间的函数关系． （1）分别求段和段所对应的函数表达式； （2）试营销这段时间，日销售利润不低于640元的天数共有多少天？ 【答案】（1）OA段所对应的函数表达式为；AB段所对应的函数表达式为 （2）试营销这段时间，日销售利润不低于640元的天数共有11天 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用．用到的知识点为：函数图象为过原点的直线（射线，线段），函数解析式可设为：，函数图象为任意直线（射线，线段），函数解析式可设为：． （1）段的函数为正比例函数，设，把点代入可求得的值，进而可得段的函数解析式；段的函数为一次函数，可设，把点和点代入可得和的值，即可求得段的函数解析式； （2）若日销售利润为640元，则销售量为：（件，把分别代入（1）中得到的两个函数解析式中，可求得相应的时间，即可求得日销售利润不低于640元的天数． 【小问1详解】 解：设段所对应的函数表达式为， 将代入 中，得： ． 解得：， 段所对应的函数表达式为：． 设段所对应的函数表达式为． 经过点，， ． 解得：． 段所对应的函数表达式为：； 【小问2详解】 （件． 在段，当时，， 解得：． 段，当 时，， 解得：． （天． 试营销这段时间，日销售利润不低于640元的天数共有11天． 20. 图是某地下商业街的入口的玻璃顶，它是由立柱、斜杆、支撑杆组成的支架撑起的，它的示意图如下．经过测量，支架的立柱与地面垂直()．米，点A、C、M在同一水平线上，斜杆与水平线的夹角，支撑杆，垂足为E，该支架的边与的夹角，又测得米．(参考数据：，，，，，) （1）求该支架的边的长； （2）求支架的边的顶端到地面的距离．(结果精确到1米) 【答案】（1）7米 （2）6米 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）先解求出米，进而求出米，再解求出的长即可； （2）如图所示，过点D作于H，过点B作于G，则四边形是矩形，即可证明米，，求出，即可解，求出米，则米， 【小问1详解】 解：在中，米， ∴米， ∵米， ∴米， ∵， ∴， 在中，米， ∴米， ∴该支架的边的长为7米； 【小问2详解】 解：如图所示，过点D作于H，过点B作于G，则四边形是矩形， ∴米，， ∴， ∴， 在中，米， ∴米， ∴支架的边的顶端D到地面的距离为6米． 21. 如图，四边形内接于，，过点C作，使得，交的延长线于点E． （1）求证：． （2）若，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据，推出，根据，得到，根据圆内接四边形性质得到，得到，结合共用，推出，得到； （2）证明是的直径，得到，根据，得到．根据勾股定理得到，根据等腰直角三角形性质即得． 小问1详解】 证明：如图，连接． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图，连接． ∵， ∴是的直径， ∴， 由（1）可得． ∵， ∴ ．在 中， ， 在中， ． 【点睛】本题主要考查圆有关性质．熟练掌握弧，弦，圆周角之间的关系，圆内接四边形的性质，等边对等角，勾股定理解直角三角形，圆周角定理及推论，全等三角形的性质与判定，作出辅助线构造全等三角形和直角三角形，是解题的关键． 22. 如图，已知抛物线的解析式为，抛物线与x轴交于点A和点B，与y轴交点于点C． （1）请分别求出点A、B、C的坐标和抛物线的对称轴； （2）连接AC、BC，将△ABC绕点B顺时针旋转90°，点A、C的对应点分别为M、N，求点M、N的坐标； （3）若点为该抛物线上一动点，在（2）的条件下，请求出使最大时点的坐标，并请直接写出的最大值． 【答案】（1）A（-4，0），B（1，0），C（0，3），对称轴为直线 （2）M（1，5），N（4，1） （3）当P的坐标为（1，0）或时，的值最大，此时最大值为 【解析】 【分析】（1）提取二次项系数后分解因式，可以得出抛物线与x轴交点，令x=0代入可以得到与y轴的交点，把解析式配方后可得对称轴； （2）根据题意作出几何图形，通过旋转性质以及通过AAS求证△OBC≌△QNB即可分别求出M、N的坐标； （3）分析题意可得出，当P，N，B在同一直线上时，|NP-BP|的值最大，联立直线BN解析式以及抛物线解析式即可求出P的坐标． 【小问1详解】 解：∵， 令x=0，则y=3， 令y=0，则， 解得x=-4或1， ∴A（-4，0），B（1，0），C（0，3）， ∵， ∴对称轴为直线x=-； 【小问2详解】 解：如图所示： 过N作NQ⊥x轴于点Q， 由旋转性质得MB⊥x轴，∠CBN=90°，BM=AB=5，BN=BC， ∴M（1，5），∠OBC+∠QBN=90°， ∵∠OBC+∠BCO=90°， ∴∠BCO=∠QBN， 又∵∠BOC=∠NQB=90°，BN=BC， ∴△OBC≌△QNB（AAS）， ∴BQ=OC=3，NQ=OB=1， ∴OQ=1+3=4， ∴N（4，1）； 小问3详解】 解：设直线NB的解析式为y=kx+b. ∵B（1，0）、N（4，1）在直线NB上， ∴， 解得：， ∴直线NB的解析式为：y=x-， 当点P，N，B在同一直线上时|NP-BP|=NB=， 当点P，N，B不在同一条直线上时|NP-BP|＜NB， ∴当P，N，B在同一直线上时，|NP-BP|的值最大， 即点P为直线NB与抛物线的交点． 解方程组：， 解得：或， ∴当P的坐标为（1，0）或时，|NP-BP|的值最大，此时最大值为． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查待定系数法，旋转性质，全等三角形的判定与性质等知识，本题的关键是数形相结合，以及正确讨论出当P，N，B在同一直线上时，|NP-BP|的值最大是解题的关键． 23. 问题提出： （1）如图①，在正方形ABCD中，E为边AB上一点（点E不与点AB重合），连接DE，过点A作AF⊥DE，交BC于点F，则DE与AF的数量关系是：DE　 　AF； 问题探究： （2）如图②，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，点E、F分别在边AB、CD上，点M为线段EF上一动点，过点M作EF的垂线分别交边AD、BC于点G、点H．若线段EF恰好平分矩形ABCD的面积，且DF＝1，求GH的长； 问题解决： （3）如图③，在正方形ABCD中，M为AD上一点，且，E、F分别为BC、CD上的动点，且BE＝2DF，若AB＝4，求ME+2AF的最小值． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）只需要证明△ADE≌△BAF即可得到答案； （2）先根据EF平分矩形ABCD的面积，求出，过点F作FQ⊥AB于Q与GH交于O，过点G作GT⊥BC于T，与FQ交于点P则可得到AQ=DF=1，FQ=AD=6，GT=AB=4，∠GPQ=∠GPO=90°，再证明△QFE∽△TGH，得到即，再利用勾股定理求出EF的长即可得到答案； （3）过点M作MH⊥BC于H，先证明四边形CDMH是矩形，得到MH=CD=4，CH=MD，然后求出MD=1 ，BH=BC-CH=3，设DF=x，则BE=2DF=2x，EH=BH-BE=3-2x，利用勾股定理得到，，则，最后利用平面直角坐标系的最小值等价于在x轴上找一点C使得AC+BC的值最小，由此利用两点距离公式进行求解即可． 【详解】解：（1）设AF与DE交点O ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠DAE=∠ABF=90°，AD=BA ∴∠DAO+∠BAF=90°， ∵AF⊥DE， ∴∠AOD=90°， ∴∠ADO+∠DAO=90°， ∴∠ADE=∠BAF， ∴△ADE≌△BAF（ASA）， ∴DE=AF， 故答案为：=； （2）∵四边形ABCD是矩形， ∴CD=AB=4，AD=BC=6，∠D=∠A=∠C=∠B=90°，CD∥AB， ∵EF平分矩形ABCD的面积， ∴， ∴， 如图，过点F作FQ⊥AB于Q与GH交于O，过点G作GT⊥BC于T，与FQ交于点P ∴四边形ADFQ，四边形ABTG是矩形，四边形AQPG是矩形，∠FQE=∠GTH=90° ∴AQ=DF=1，FQ=AD=6，GT=AB=4，∠GPQ=∠GPO=90°， ∵GH⊥EF， ∴∠FMO=∠GPO=90°， 又∵∠GOP=∠FOM， ∴∠QFE=∠TGH， ∴△QFE∽△TGH， ∴即， ∵， ∴， ∴； （3）如图所示，过点M作MH⊥BC于H， ∴∠MHC=∠MHB=90° ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD=BC=CD=4，∠B=∠BAD=∠D=∠C=90°， ∴四边形CDMH是矩形， ∴MH=CD=4，CH=MD， ∵，， ∴， ∴BH=BC-CH=3， 设DF=x，则BE=2DF=2x， ∴EH=BH-BE=3-2x， ∴，， ∴， 如下图所示，点A的坐标为（0，8），B（3，-4），C（2x，0）， ∴，， ∴的最小值等价于在x轴上找一点C使得AC+BC的值最小， ∴当A、B、C三点共线时AC+BC的值最小 ∴此时, ∴的最小值为． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质与判定，正方形的性质，两点距离公式，勾股定理，全等三角形的性质与判定等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$