精品解析：广东省揭阳市普宁国贤学校2025届高三上学期9月月考数学试题

高三数学9月考卷（*） 一、单选题（共40分） 1. 设集合，若，则（ ） A. B. 0 C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用交集的结果列出方程求解即得. 【详解】集合，而，则， 经验证符合题意，所以. 故选：C 2. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】先求解分式不等式，再利用充要条件的判断方法即得. 【详解】由， 因是的真子集，故“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】把平方可得的值，从而求得的值，再利用二倍角的余弦公式求得的值． 【详解】， 平方可得： 为锐角． 故选：B. 4. 已知是上的单调递增函数，则实数a的取值范围（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，利用分段函数的单调的判定方法，结合指数函数与一次函数的性质，列出不等式组，即可求解. 【详解】由题意，函数是上的单调递增函数， 则满足，解得，即实数的取值范围为. 故选：D. 5. 已知角的终边在函数的图象上，则的值为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分母变为，可得正余弦齐次式，弦化切求解即可. 【详解】因为角α的终边在函数的图象上，所以， = 故选：A. 6. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得，再由对数函数性质和根式与指数式的互化分别得出和即可得解. 【详解】由题， 又由是增函数可知，， ∴， 故选：B. 7. 函数 的最大值与最小值分别为(　　) A. 3，－1 B. 3，－2 C. 2，－1 D. 2，－2 【答案】D 【解析】 【详解】分析：将化为，令，可得关于t的二次函数，根据t的取值范围，求二次函数的最值即可. 详解：利用同角三角函数关系化简， 设，则， 根据二次函数性质当时，y取最大值2，当时，y取最小值. 故选D. 点睛：本题考查三角函数有关的最值问题，此类问题一般分为两类，一种是解析式化为的形式，用换元法求解； 另一种是将解析式化为的形式，根据角的范围求解. 8. 若函数的图象与直线有3个不同的交点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意求出函数的导数并且通过导数求出原函数的单调区间，进而得到函数的极值，从而求出的范围． 【详解】由题意可得：． 令，则或，令，则， 所以函数的单调增区间为和，减区间为， 所以当时函数有极大值，当时函数有极小值， 若函数的图象与函数的图象恰有三个不同的交点， 所以实数的取值范围是． 故选：B． 二、多选题（共18分） 9. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】根据根式的性质化简，即可根据集合的交并补定义，结合选项逐一求解. 【详解】，，选项错误； ，选项B错误； ，选项正确； ，选项D正确. 故选：CD 10. 已知函数，则（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 函数的图象关于直线对称 C. 函数的图象关于点对称 D. 函数在区间上的值域为 【答案】ABD 【解析】 【分析】由题意可得：，根据正弦函数周期公式判断A；代入检验，结合对称性的性质判断BC；以为整体，结合正弦函数的性质求值域. 【详解】因为， 对于选项A：因为函数的最小正周期为，故A正确； 对于选项B：因为为最大值， 所以函数的图象关于直线对称，故B正确； 对于选项C：因为不为0， 所以函数的图象不关于点对称，故C错误； 对于选项D：因为，则， 可得，即， 所以函数在区间上的值域为，故D正确； 故选：ABD. 11. 设函数的定义域为，且满足为奇函数，为偶函数，当时，，则（ ） A. B. 在上单调递增 C. 为奇函数 D. 方程仅有5个不同实数解 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用抽象函数所满足的性质，可以推出的对称中心和对称轴，进一步求出其周期，再利用对称中心和对称轴将已知区间图象进行多次对称变换，可得函数的图象，再结合图象可逐项判断解决问题. 【详解】因为为奇函数，所以，根据图象变换，则关于点成中心对称， 又因为为偶函数，所以，根据图象变换，则关于直线成轴对称， 将函数的对称中心和对称轴进行多次变换可得到如图所示的图象， 由图象可知，函数是周期为8的周期函数，所以函数的对称轴为直线，对称中心为， 对A，，故选项A正确； 对B，当，由图象可知是单调递减的函数，故选B错误； 对C，由图象知，的图象的对称中心为点，当时，其对称中心为，又将函数往右平移5个单位可得，所以的对称中心为，所以为奇函数，故选项C正确； 对D，如图所示，因为，，，又两函数均过点，再根据图象，可知函数与函数有5个交点，故选项D正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：本题求出的对称中心和对称轴，并求出其周期是关键，再利用对称中心和对称轴将已知区间图象进行多次对称变换，可得函数的图象，再利用数形结合即可结果. 三、填空题（共15分） 12. 若，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用平方和公式和三角函数的基本关系化简即可得出答案. 【详解】. 故答案为：. 13. 若函数，则______． 【答案】1 【解析】 【分析】求导，即可代入求解. 【详解】由可得， 故， 故答案为：1 14. 已知是定义在上的奇函数，且，都有，当时，，则函数在区间内所有零点之和为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数是奇函数结合得出函数的周期，再应用数形结合转化为零点是函数的交点横坐标，最后应用对称性即可求出零点和. 【详解】奇函数，对于都有， ，则，即， 则函数是周期为4的周期函数．且关于直线对称， 作出函数与的图象知共有5个交点，其横坐标从小到大依次为， 所以，，，， 则，故在内所有的零点之， 故答案为:． 四、解答题（共77分） 15. 已知函数 （1）求函数的最小正周期及在区间上的最大值和最小值； （2）若，求的值． 【答案】（1）最小正周期为；最大值为，最小值为 （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换求出解析式，再求出最小正周期，运用单调性求出最值即可，（2）代入，运用同角三角函数关系，求出，再用两角差的余弦计算即可 【小问1详解】 由题知： 所以函数的最小正周期为． 因为在上，，为增函数，同理在上，为减函数 ,又， 所以函数在区间上的最大值为，最小值为. 【小问2详解】 由（1）可知，又因为， 所以，由，得， 从而． 所以 16. 已知数列的前项和为，且． （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据的关系，作差可得为等比数列，即可由等比通项求解， （2）利用错位相减法，结合等比数列求和公式即可求解. 【小问1详解】 当时，，即， 当时，①，②， ①-②得，即，所以． 因为， 所以数列是首项为3，公比为3的等比数列． 则，即． 【小问2详解】 由（1）得，， 所以， ， 故， 所以． 17. 已知函数. （1）若曲线在点处的切线方程为，求实数和的值； （2）若函数无零点，求的取值范围. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）求出函数的导函数，由求出，再由求出； （2）令可得，令，利用导数说明函数的单调性，求出函数的最大值，依题意与无交点，即可求出参数的取值范围. 【小问1详解】 因为，所以， 又，则， 又曲线在点处的切线方程为， 所以，解得. 【小问2详解】 令，即， 令，则， 所以当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 则，且当时， 依题意与无交点，所以， 所以要使函数无零点，则的取值范围为. 18. 已知向量，，函数. （1）求函数在上的单调递增区间； （2）当时，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1），. （2）. 【解析】 【分析】（1）先求出的解析式并结合三角恒等变换公式化简得，再令，解出该不等式并结合即可得解. （2）由（1）得的单调性，结合和得和 ，再结合即可得解. 【小问1详解】 ， 由，得， 因为，所以或， 所以在上的单调递增区间为，. 【小问2详解】 由（1）知，在上单调递增，在上单调递减， 所以，又，，所以， 由题，，解得. 19. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）证明：当时，. 【答案】（1） ①当时，在上单调递增， ②当时，在上单调递增，在上单调递减. （2）证明：当时，要证，只需证， 由（1）得，， 即证恒成立. 令，则 当时，单调递增， 当时，单调递减， 的最大值为，即. 恒成立，原命题得证. 【解析】 【分析】（1）对求导得，对分和来讨论的单调性即可； （2）要证，只需证，结合（1）的结论得，即证恒成立. 令，利用导数求出的最大值即可得证. 【小问1详解】 ，定义域为， 则， ①当时，在上单调递增； ②当时， 当时，，在上单调递增； 当时，在上单调递减. 综上，①当时，在上单调递增， ②当时，在上单调递增，在上单调递减. 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学9月考卷（*） 一、单选题（共40分） 1. 设集合，若，则（ ） A. B. 0 C. 2 D. 2. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知是上的单调递增函数，则实数a的取值范围（ ） A. B. C. D. 5. 已知角的终边在函数的图象上，则的值为（    ） A. B. C. D. 6. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 函数 的最大值与最小值分别为(　　) A. 3，－1 B. 3，－2 C. 2，－1 D. 2，－2 8. 若函数的图象与直线有3个不同的交点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（共18分） 9. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，则（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 函数的图象关于直线对称 C. 函数的图象关于点对称 D. 函数在区间上的值域为 11. 设函数的定义域为，且满足为奇函数，为偶函数，当时，，则（ ） A. B. 在上单调递增 C. 为奇函数 D. 方程仅有5个不同实数解 三、填空题（共15分） 12. 若，则__________. 13. 若函数，则______． 14. 已知是定义在上的奇函数，且，都有，当时，，则函数在区间内所有零点之和为______． 四、解答题（共77分） 15. 已知函数 （1）求函数的最小正周期及在区间上的最大值和最小值； （2）若，求的值． 16. 已知数列的前项和为，且． （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和． 17. 已知函数. （1）若曲线在点处的切线方程为，求实数和的值； （2）若函数无零点，求的取值范围. 18. 已知向量，，函数. （1）求函数在上的单调递增区间； （2）当时，恒成立，求实数的取值范围. 19. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）证明：当时，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $