安徽省皖南八校2023届高三第三次大联考数学试题

2023届“皖南八校”高三第三次大联考 数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。 3.本卷命题范围：高考范围。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1.已知集合，，则集合的非空真子集的个数为 A.14 B.15 C.30 D.62 2.已知复数满足（为虚数单位），则复数在复平面内对应的点所在的象限为 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.给出下列四个命题，其中正确命题为 A.“，”的否定是“，” B.“”是“”的必要不充分条件 C.，使得 D.“”是“”的充分不必要条件 4.如图，用，，三类不同的元件连接成一个系统，当正常工作且，至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知，，正常工作的概率依次是，，，已知在系统正常工作的前提下，则只有和正常工作的概率是 A. B. C. D. 5.勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形.在如图所示的勒洛三角形中，已知，为弧上的一点，且，则的值为 A. B. C. D. 6.已知函数，则下列结论正确的有 A.的最小正周期为 B.直线是图象的一条对称轴 C.在上单调递增 D.若在区间上的最大值为1，则 7.已知是定义在上的奇函数，其图象关于点对称，当时，，若方程的所有根的和为6，则实数的取值范围是 A. B. C. D. 8.已知函数，若对任意的恒成立，则的最大值是 A. B. C. D. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9.在某市高三年级举行的一次模拟考试中，某学科共有20000人参加考试.为了了解本次考试学生成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（成绩均为正整数，满分为100分）作为样本进行统计，样本容量为.按照，，，，的分组作出频率分布直方图如图所示.其中，成绩落在区间内的人数为16.则下列结论正确的是 A.图中 B.样本容量 C.估计该市全体学生成绩的平均分为70.6分 D.该市要对成绩前的学生授予“优秀学生”称号，则授予“优秀学生”称号的学生考试成绩大约至少为77.25分 10.已知正实数，，满足，当取最小值时，下列说法正确的是 A. B. C.的最大值为1 D.的最小值为 11.已知正方体棱长为4，为棱上的动点，平面，则下列说法正确的是 A.若为中点，当最小时， B.当点与点重合时，若平面截正方体所得截面图形的面积越大，则其周长就越大 C.直线与平面所成角的余弦值的取值范围为 D.当点与点重合时，四面体内切球表面积为 12.已知抛物线的焦点为，准线为，，是上异于点的两点（为坐标原点）则下列说法正确的是 A.若、、三点共线，则的最小值为2 B.若，则的面积为 C.若，则直线过定点 D.若，过的中点作于点，则的最小值为1 三、填空题：共4小题，每小题5分，共20分 13.函数的值域是_______. 14.某企业五一放假4天，安排甲、乙、丙、丁四人值班，每人只值班一天.已知甲不安排在第一天，乙不安排在最后一天，则不同的安排种数为_______. 15.过双曲线右焦点的直线与双曲线的一条渐近线垂直，垂足为点，为坐标原点，若的角平分线与轴交于点，且点到与的距离都为，则双曲线的离心率为_______. 16.已知四面体的四个顶点都在球的球面上，是边长为2的等边三角形，外接圆的圆心为.若四面体的体积最大时，，则球的半径为_______；若，点为的中点，且，则球的表面积为_______.（本题第一空2分，第二空3分） 四、解答题：共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17.（10分） 2022年卡塔尔世界杯是第二十二届世界杯足球赛，是历史上首次在卡塔尔和中东国家境内举行、也是第二次在亚洲举行的世界杯足球赛.卡塔尔世界杯后，某校为了激发学生对足球的兴趣，组建了足球社团.足球社团为了解学生喜欢足球是否与性别有关，随机抽取了男、女同学各100名进行调查，统计得出的数据如下表： 喜欢足球 不喜欢足球 合计 男生 50 女生 25 合计 （1）根据所给数据完成上表，试根据小概率值的独立性检验，分析该校学生喜欢足球与性别是否有关. （2）社团指导老师从喜欢足球的学生中抽取了2名男生和1名女生示范点球.已知男生进球的概率为，女生进球的概率为，每人踢球一次，假设各人踢球相互独立，求3人进球总次数的分布列和数学期望. 附：，. 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.82 18.（12分） 已知的内角，，的对边分别为，，，且. （1）求角； （2）设的中点为，且，求的取值范围. 19.（12分） 在数列中，，且对任意的，都有.在等差数列中，前项和为，，. （1）求数列和的通项公式； （2）设求数列的前项和. 20.（12分） 如图，在三棱锥中，为直角三角形，，是边长为4的等边三角形，，. （1）求证：平面平面； （2）求二面角的余弦值. 21.（12分） 如图，椭圆的左、右焦点分别为，，点，，分别为椭圆的左、右顶点和上顶点，为坐标原点，过点的直线交椭圆于，两点，线段的中点为点是上在第一象限内的动点，直线与直线相交于点，直线与轴相交于点. （1）求椭圆的方程； （2）设的面积为，的面积为，求的值. 22.（12分） 若对任意的实数，，函数与直线总相切，则称函数为“恒切函数”. （1）判断函数是否为“恒切函数”： （2）若函数是“恒切函数”，求证：. 2023届“皖南八校”高三第三次大联考·数学 参考答案、解析及评分细则 1.D 由题意得，集合，则集合，所以集合的非空真子集的个数为.故选D. 2.D 由得，复数在复平面内对应的点为，复数在复平面内对应的点所在的象限为第四象限.故选D. 3.C 对于A，由全称命题的否定知该命题的否定为，，A错误；对于B，“”是“”的既不充分又不必要条件，B错误；对于C，取.则，C正确；对于D，是“”的充要条件，D错误.故选C. 4.C 设事件为系统正常工作，事件为只有和正常工作，因为并联元件、能正常工作的概率为，所以，又因为，所以.故选C. 5.C 如图所示，以为坐标原点，直线为轴，过点且垂直于的直线为轴，建立平面直角坐标系，，且，，所以，，所以.故选C. 6.D ，所以的最小正周期为，A错误；因为，，所以直线不是图象的一条对称轴，B错误；当时，，而函数在上不单调，C错误；当时，，因为在区间上的最大值为1，即，所以，解得，D正确.故选D. 7.A 方程的根转化为和的图象的公共点的横坐标，因为两个图象均关于点对称，要使所有根的和为6，则两个图象有且只有3个公共点.作出和的图象如图所示.当时，只需直线与圆相切，可得；当时，只需直线与圆相切，可得.故的取值范围是.故选A. 8.B ，，当时，恒成立，则单调递减，1，显然不恒成立，当时，时，，函数单调递减；时，，函数单调递增，，恒成立，，，令在区间上单调递减，在区间上单调递增，当趋近于0时，，，的最大值为.故选B. 9.ACD 对于A，因为，解得，故A正确；对于B，因为成绩落在区间内的人数为16，所以样本容量.故B错误；对于C，学生成绩平均分为，故C正确；对于D，因为，解得，所以大约成绩至少为77.25分的学生能得到此称号，故D正确.故选ACD. 10.AC ，当且仅当，即时等号成立，此时，故A正确，B错误；，当时，的最大值为1，C正确；无最小值，D错误.故选AC. 11.ACD 对于A，将矩形与正方形展开成一个平面（如图所示），若最小，则、、三点共线，因为，所以，所以，即，故A正确；对于B，当点与点重合时，连接、、、、，（如图所示），在正方体中，平面，平面，所以，又因为，且，所以平面，又平面，所以，同理可证，因为，所以平面，易知是边长为的等边三角形，其面积为，周长为；设、、、、、分别是，，，，，的中点，易知六边形是边长为的正六边形，且平面平面，正六边形的周长为，面积为，则的面积小于正六边形的面积，它们的周长相等，即B错误；对于C，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，则，，设，因为平面，所以是平面的一个法向量，且，，，所以直线与平面所成角的正弦值的取值范围为，则直线与平面所成角的余弦值的取值范围为，故C正确；对于D，当点与点重合时，四面体即为为正四面体，棱长，由正四面体的性质可得，其内切球半径，所以表面积为，故D正确.故选ACD. 12.ABD 对于A，经分析可知，当直线垂直于轴时，取最小值，且为2，A正确；由抛物线的定义可知，，解得，故，故所以的面积为，B正确；设，，直线的方程为，将直线的方程代入，得.由，得，即，所以，，故直线，恒过定点，C错误；过点作于点，过点作于点，设,，所以，因为 ，所以，的最小值为1，D正确.故选ABD. 13. 当时，满足，当时，由，所以函数的值域为. 14.14 ①若甲安排在最后一天，则不同的安排数为；②若甲不安排在最后一天，则不同的安排数为.综上，不同的安排种数为14. 15. 如图所示，设点在第一象限，由题意可知，其中为点到渐近线的距离，，所以，过点分别作于点，于点，又因为于点，所以四边形为正方形，所以，所以，又因为，所以，，所以，所以，所以. 16. 若四面体的体积最大时，点在过和的直径上，，，设球的半径为，则在中，，解得.设的外接圆的半径，由题可得，解得.如图，取的中点，连接并延长交圆于点.连接，，由得，则.在中，，所以在中，由余弦定理得，可得，结合图形可得圆.连接，过点作的垂线，垂足为点.连接，四面体外接球的半径解得.所以球的半径四面体外接球的表面积为. 17.解：（1）列联表如下： 喜欢篮球 不喜欢篮球 合计 男生 50 50 10 女生 25 75 10 合计 75 125 20 ……2分 零假设为：该校学生喜欢篮球与性别无关. 根据列联表中的数据，经计算得到 ， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为该校学生喜欢篮球与性别有关.……4分 （2）3人进球总次数的所有可能取值为0，1，2，3. ，， ，.……7分 的分布列如下： 0 1 2 3 ……8分 的数学期望： .……10分 18.解：（1）中，，由正弦定理得，.……2分 所以， 即：， 所以；……4分 又，所以，所以，所以， 又因为， 所以，即；……6分 （2）设，则中，由可知， 由正弦定理及可得，所以，，……8分， 所以，……10分 由可知，，， 所以.……12分 19.解：（1）由得时，.……2分 又，满足，所以.……3分 设等差数列的公差为.则，解得，所以；……6分 （2），……7分 ，① ，②……9分 两式相减得 ……11分 所以.……12分 20.（1）（方法一）证明：如图，分别取，的中点，，连接，，，则. 因为，， 所以，. 因为是边长为4的等边三角形， 所以，，……2分 在中，，， 在中，， 所以， 所以，……4分 因为，点为的中点， 所以， 又，平面， 所以平面， 因为平面，所以平面平面.……6分 （方法二）证明：如图，分别取，的中点，，连接，，， 则. 因为， 所以，， 因为是等边三角形， 所以，……2分 因为，平面， 所以平面， 又平面， 所以，……4分 因为，点为的中点， 所以， 又，平面， 所以平面， 因为平面，所以平面平面.……6分 （2）解：以点为原点，直线，分别为，轴，过点且与平行的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则，，，， ，，，， 设平面的一个法向量为， 则，即……8分 取，则. 设平面的一个法向量为， 则，即……11分 取，则. 设二面角的平面角为， 所以.……12分 21.解：（1）因为线段的中点为在轴上，为的中点， 所以轴，即轴， 设，，，……2分 代人椭圆的方程得，， 又， 所以，即，所以，解得， 所以椭圆的方程为.……4分 （2）（方法一）证明：设 由题意可得，， 所以直线的方程的截距式为， 即为.……5分 因为， 所以直线的方程为. 联立得 即；……7分 直线的方程为：， 即， 当时，， 即 所以，……9分 又因为， 所以，， 所以 ，得证.……12分 （方法二）证明：由题意可得，， 所以直线的方程的截距式为， 即为.……5分 设直线的斜率为，点的坐标为， 则的方程为， 联立得， 所以，即，. 所以.……8分 直线的方程为， 设点，的坐标分别为，， 在中，令得.……10分 解得. 所以.……12分 22.（1）解：根据题意，若函数为“恒切函数”，切点为， 则即 对于函数，所以解得.因此，函数是“恒切函数”；……4分 （2）证明：根据题意，函数是“恒切函数”，设切点为， 由，可得， 则有即 考查方程的解， 设，因为，令，得.……7分 当时，；当时，. 所以，函数的单调递减区间为，单调递增区间为. 所以.……9分 （i）当时，因为，， 所以，函数在区间上存在唯一零点. 又因为；……11分 （ii）当时，因为，所以函数在区间上有唯一零点，则综上所述，.……12分 学科网（北京）股份有限公司 $$