精品解析：2024年安徽省C20教育联盟中考“最后一卷” 数学试卷

安徽省C20教育联盟2024年九年级学业水平测试“最后一卷” 数学 注意事项： 1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，“试题卷”共4页，“答题卷”共6页． 3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题无效． 4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. -2的绝对值是（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值的定义进行求解即可． 【详解】解：在数轴上，点-2到原点的距离是2，所以-2的绝对值是2， 故选：A． 2. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，积的乘方，幂的乘方，合并同类项等知识．分别根据同底数幂的乘法，积的乘方，幂的乘方，合并同类项等知识逐项计算即可求解． 【详解】解：A. ，故原选项计算错误，不合题意； B. ，故原选项计算错误，不合题意； C. ，故原选项计算正确，符合题意； D. ，故原选项计算错误，不合题意． 故选：C 3. 下图是一个三通水管，如图放置，则它的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查的是三视图的知识，熟练掌握简单组合图形的三视图的画法是解题的关键； 首先根据左视图是从左往右看得到的视图，三通从左往右看得到上面的圆柱看到的视图是一个矩形； 然后下半部分看到的则是一个圆，由此可得到它的左视图． 【详解】它的左视图是下面一个圆，上面一个不完整矩形， 故选：B． 4. 下列函数中，随的增大而减小的函数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数的性质，二次函数的性质，根据一次函数和二次函数的性质对各选项进行逐一分析即可． 【详解】A、是一次函数，，随的增大而减小，故该选项符合题意； B、是一次函数，，随的增大而增大，故该选项不符合题意； C、是二次函数，开口向上，对称轴是轴，当时，随的增大而减小，故该选项不符合题意； D、是二次函数，开口向下，对称轴是轴，当时，随的增大而减小，故该选项不符合题意． 故选：A． 5. 将一个直角三角板和一把直尺如图放置，如果，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行公理，平行线的性质． 过三角板直角顶点作，则，得出，根据，即可求出． 【详解】解：根据题意可得， 过三角板直角顶点作，则， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 6. 从1，2，3，4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为1的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了列表法与树状图法，根据题意列出相应的表格，得到所有等可能出现的情况数，进而找出满足题意的情况数，即可求出所求的概率． 【详解】列表如下： 1 2 3 4 1 1 2 3 2 1 1 2 3 2 1 1 4 3 2 1 由表知，共有12种等可能结果，其中取出的2个数之差的绝对值为1的有6种结果， 所以取出的2个数之差的绝对值为1的概率为， 故选：A． 7. 为的外接圆，，为的直径，若，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，等腰三角形的性质，圆周角定理，根据直径所对的圆周角是直角可得，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得，然后利用同弧所对的圆周角相等可得，再利用等腰三角形的性质可得，从而利用三角形内角和定理可得，最后利用同弧所对的圆周角相等可得，即可解答． 【详解】为的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 8. 如图所示，在矩形中，，平分，分别交、于点、，，则（ ） A. B. 4 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】证明，则，如图，连接，则，，由，可得，由平分，可得，则，，由，可得，则，由，可求，根据，求解作答即可． 【详解】解：∵矩形， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 如图，连接， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，等腰三角形的判定与性质，正切等知识．熟练掌握矩形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，等腰三角形的判定与性质，正切是解题的关键． 9. 抛物线，其中、满足，，若点，，在此抛物线上，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，关键是比较出三点与对称轴的距离． 根据已知可得，，抛物线开口向下，对称轴在和1之间，比较各点到对称轴的距离，根据抛物线开口向下时，离对称轴越近的点的纵坐标越大，可比较，，的大小． 【详解】解：， ， ， ， ． ， ， ， ， ， ， ， ． 抛物线开口向下，对称轴在和1之间， 各点到对称轴的距离为：，在和1之间， ，在1和之间， ．在和之间． ， ． 故选：D． 10. 一副三角板如图所示放置，，，，，F为的中点，将绕点B旋转过程中，的最大值为（ ） A. B. 2 C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查三角形的中位线定理，含30 度角的直角三角形，勾股定理，取的中点，连接，勾股定理求出的长，三角形的中位线定理，求出的长，根据，进行求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， 取的中点，连接，则：， ∴， ∵F为的中点， ∴为的中位线， ∴， ∵， ∴的最大值为； 故选A． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 根据地区生产总值统一核算结果，2024年一季度合肥市生产总值亿元，其中数据亿用科学记数法表示为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值大于与小数点移动的位数相同． 【详解】解：亿， 故答案为：． 12. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，然后利用完全平方公式因式分解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】题目主要考查因式分解的方法，熟练掌握提公因式法及公式法是解题关键． 13. 如图所示，在矩形中，点在对角线上，且满足，反比例函数的图像经过点、与相交于点，的面积为4，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的几何应用，相似三角形的判定和性质，作轴于点E，证明，得出，根据，得出，设点，则，点，，根据，求出结果即可． 【详解】解：作轴于点E，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 设点，则，点，， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：． 14. 在平面直角坐标系中，若一个点的纵坐标与横坐标互为相反数，则称这个点为“相反点”，如，都是“相反点”．已知二次函数，请完成下列问题： （1）若，则此二次函数上的“相反点”为________． （2）在的范围内，若此二次函数图像上存在两个“相反点”，则的取值范围为________． 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征以及二次函数的图像与系数的关系，熟知二次函数的图像与性质是解题的关键． （1）根据“相反点”的定义可知，“相反点”在直线上，将与联立成方程组，即可求解； （2）根据题意可知，方程，在内存在两个不相等的实数根，根据一元二次方程根即可求解． 【详解】解：（1）当时，二次函数的解析式为， 根据“相反点”的定义可知，“相反点”在直线上， 联立， 解得：， 此二次函数上的“相反点”为， 故答案为：； （2）在的范围内，此二次函数图像上存在两个“相反点”， 方程，即在内存在两个不相等的实数根， ， 解得：， 解方程可得：，， ，且， ， 即， 解得：， 此时，满足要求， 的取值范围是， 故答案为：． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算：. 【答案】 【解析】 【分析】直接利用负整数指数幂的性质、特殊角的三角函数值、零指数幂分别化简，进而得出答案． 【详解】原式． 【点睛】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键． 16. 今年“五一”假期期间，合肥骆岗公园举办了大型电音节等活动，由此带来旅游热潮，引发酒店预订热．据统计，某酒店5月1日入住128人次，入住人次逐日增加，1日、2日、3日这三天累计入住608人次，求该酒店入住人次的日平均增长率． 【答案】该酒店入住人次的日平均增长率为 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设该酒店入住人次的日平均增长率为，则5月2日入住人次，5月3日入住人次，根据该酒店1日、2日、3日这三天累计入住608人次，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】设日平均增长率为． 根据题意，得： 解得：，（不合题意，舍去） 答：该酒店入住人次的日平均增长率为． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，在由边长为个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点）． （1）请画出将绕点顺时针旋转得到的； （2）请用无刻度的直尺作出的角平分线（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】（1） 解：如图，即为所求； （2） 如图，射线即为所求． 【解析】 【分析】本题考查了作图——旋转变换，解题的关键是掌握旋转变换的性质． （1）先连接、、，再将、、分别旋转得到、、，最后依次连接、、，即可求解； （2）根据勾股定可得：，在射线上取格点，使得，连接，取的中点，作射线即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 观察以下等式： 第1个等式：；第2个等式：； 第3个等式：；第4个等式：；…… 按照以上规律，解决下列问题： （1）写出第5个等式：______； （2）写出你猜想的第个等式：______（用含的等式表示），并证明． 【答案】（1） （2） 第个等式：， 证明如下： 等式左边 等式右边， 故等式成立． 【解析】 【分析】本题考查的是数字的变化规律，有理数的混合运算和列代数式，从题目中找出数字的变化规律是解题的关键； （1）根据上述等式，写出第5个等式即可； （2）根据上述等式，可得第个等式：，再证明整式左边等式右边即可． 【小问1详解】 解：； 故答案为：． 【小问2详解】 略 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，为测量公园内宝塔的高度，在距离宝塔中心处（）的一个斜坡上进行测量．已知斜坡与地面的夹角为，斜坡长，垂直于地面，在点处竖直放置测角仪，测得宝塔顶部的仰角为，量得测角仪的高为，点，，，，，在同一平面内．求宝塔的高度．（结果精确到，参考数据；，，，） 【答案】宝塔的高度约为 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用；过点作垂直于点，则，则四边形是矩形，解，，求得，进而根据，即可求解． 【详解】解：如图所示， 过点作垂直于点，则 ∴四边形是矩形， ∴ 在中，， ∴，， ∴ 在中，， ∴ ∴ 答：宝塔的高度约为 20. 如图，是的直径，点在上，，点为上一点，且，连接． （1）求的直径； （2）若点为的中点，求的长． 【答案】（1）的直径为10 （2） 【解析】 【分析】此题考查了圆周角定理、垂径定理、解直角三角形等知识； （1）根据圆周角定理求出，，根据锐角三角函数求解即可； （2）根据勾股定理求出，根据垂径定理求出垂直平分，，根据三角形中位线的判定与性质求出，则，再根据勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：为的直径， ， 点、在圆上， ， ， ， ， ， 的直径为10； 【小问2详解】 解：连接交于点，如图所示， 由（1）得，直径， 在中，， 点为的中点， ， 垂直平分， ，， 是的中位线， ， ， ． 六、（本题满分12分） 21. 教育部正式印发《义务教育劳动课程标准（2022年版）》，劳动课成为中小学的一门独立课程，某校倡导同学们从帮助父母做一些力所能及的家务做起，培养劳动意识，提高劳动技能．小明随机调查了该校10名学生某周在家做家务的总时间，并对数据进行统计分析，过程如下： 收集数据：在家做家务时间：（单位：小时） 1 5 4 1 a 3 2 b 3 4 整理数据： 时间 人数 3 6 分析数据： 统计量 平均数 中位数 众数 数据 3.2 3 3 请结合以上信息回答下列问题： （1）________，并补全频数直方图； （2）数据统计完成后，小明发现有两个数据，不小心丢失了．请根据图表信息找回这两个数据．若，则________，________． （3）根据调查结果，请估计该校1000名学生在这一周劳动时间不少于3小时的人数． 【答案】（1） 1， 补全频数分布直方图如下： （2）3，6 （3）该校1000名学生在这一周劳动时间不少于3小时的人数约为700人 【解析】 【分析】本题考查频数分布直方图，中位数、众数、平均数； （1）根据各组频数之和等于样本容量可求出的值，进而补全频数分布直方图； （2）根据众数的定义确定的值，再由平均数确定的值即可； （3）求出样本中“学生在这一周劳动时间不少于3小时学生”所占的百分比，进而估计总体中“学生在这一周劳动时间不少于3小时学生”所占的百分比，由频率等于频数除以总数进行计算即可． 【小问1详解】 ， 【小问2详解】 样本中1、3、4都出现2次，若这组数据的众数是3，因此漏掉的两个数中必有一个是3，而，因此， 平均数是3.2，因此漏掉的另一个数， 故答案为：3，6； 【小问3详解】 ， 答：估计该校1000名学生在这一周劳动时间不少于3小时的人数为700人． 七、（本题满分12分） 22. 如图，在菱形中，为边的中点，连接交延长线于点，平分交于点，连接． （1）如图1，求的大小； （2）如图1，证明：点为线段的三等分点； （3）如图2，连接交于点，若，，求的长． 【答案】（1） （2） 证明：连接分别交、于点、，如图1所示． 四边形是菱形， 垂直平分， 由（1）得，， ∴， ， ， 为的中点，， ，，， ∴， ， 又， ∵，， ，即点为线段的三等分点； （3） 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质． （1）根据菱形的性质得到平分，根据角平分线的定义得到，于是得到结论； （2）连接分别交、于点、，如图1所示．根据菱形的性质得到垂直平分，由（1）得，，求得，根据全等三角形的性质得到，得到，于是得到点为线段的三等分点； （3）连接交于点，连接，如图2所示．根据菱形的性质得到垂直平分，根据相似三角形的性质得到，设，则，根据勾股定理即可得到结论． 【小问1详解】 解：四边形是菱形， 平分， 平分， ， ， 即：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：连接交于点，连接，如图2所示． 四边形是菱形， 垂直平分， 又为的中点， ∴， ， 设，则， 在中，， ， 解得（负值舍去）， ． 八、（本题满分14分） 23. 已知二次函数的图象顶点为，二次函数的图象顶点为． （1）分别求出点，的坐标（用表示）； （2）证明：函数与的图象相交于，两点； （3）当时，点，为图象上的动点，且点在点，之间，，两点的横坐标分别为，，作轴交于点，轴交直线于点，若四边形，为平行四边形，求的值． 【答案】（1）； （2） 证明：令，得：， 化简得：，即， 解得：，， 将，分别代入二次函数中，得：，， ∴交点坐标为和， 即：函数与相交于、两点． （3） 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到平行四边形的性质、函数的交点等知识点． （1）由顶点坐标公式即可求解； （2）证明：令，得或，即可求解； （3）由四边形为平行四边形，得到，即可求解． 【小问1详解】 ，对称轴， 当时，， ∴， ，对称轴， 当时，， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 当时，，顶点；，顶点， ∴直线解析式为：， 设，则 ∴， 则，则， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， 解得：，（舍去）， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 安徽省C20教育联盟2024年九年级学业水平测试“最后一卷” 数学 注意事项： 1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，“试题卷”共4页，“答题卷”共6页． 3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题无效． 4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. -2的绝对值是（ ） A. 2 B. C. D. 2. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下图是一个三通水管，如图放置，则它的左视图是（ ） A. B. C. D. 4. 下列函数中，随的增大而减小的函数是（ ） A. B. C. D. 5. 将一个直角三角板和一把直尺如图放置，如果，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 从1，2，3，4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为1的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 为的外接圆，，为的直径，若，则为（ ） A. B. C. D. 8. 如图所示，在矩形中，，平分，分别交、于点、，，则（ ） A. B. 4 C. D. 9. 抛物线，其中、满足，，若点，，在此抛物线上，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 10. 一副三角板如图所示放置，，，，，F为的中点，将绕点B旋转过程中，的最大值为（ ） A. B. 2 C. 4 D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 根据地区生产总值统一核算结果，2024年一季度合肥市生产总值亿元，其中数据亿用科学记数法表示为________． 12. 因式分解：______． 13. 如图所示，在矩形中，点在对角线上，且满足，反比例函数的图像经过点、与相交于点，的面积为4，则的值为________． 14. 在平面直角坐标系中，若一个点的纵坐标与横坐标互为相反数，则称这个点为“相反点”，如，都是“相反点”．已知二次函数，请完成下列问题： （1）若，则此二次函数上的“相反点”为________． （2）在的范围内，若此二次函数图像上存在两个“相反点”，则的取值范围为________． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算：. 16. 今年“五一”假期期间，合肥骆岗公园举办了大型电音节等活动，由此带来旅游热潮，引发酒店预订热．据统计，某酒店5月1日入住128人次，入住人次逐日增加，1日、2日、3日这三天累计入住608人次，求该酒店入住人次的日平均增长率． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，在由边长为个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点）． （1）请画出将绕点顺时针旋转得到的； （2）请用无刻度的直尺作出的角平分线（保留作图痕迹，不写作法） 18. 观察以下等式： 第1个等式：；第2个等式：； 第3个等式：；第4个等式：；…… 按照以上规律，解决下列问题： （1）写出第5个等式：______； （2）写出你猜想的第个等式：______（用含的等式表示），并证明． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，为测量公园内宝塔的高度，在距离宝塔中心处（）的一个斜坡上进行测量．已知斜坡与地面的夹角为，斜坡长，垂直于地面，在点处竖直放置测角仪，测得宝塔顶部的仰角为，量得测角仪的高为，点，，，，，在同一平面内．求宝塔的高度．（结果精确到，参考数据；，，，） 20. 如图，是的直径，点在上，，点为上一点，且，连接． （1）求的直径； （2）若点为的中点，求的长． 六、（本题满分12分） 21. 教育部正式印发《义务教育劳动课程标准（2022年版）》，劳动课成为中小学的一门独立课程，某校倡导同学们从帮助父母做一些力所能及的家务做起，培养劳动意识，提高劳动技能．小明随机调查了该校10名学生某周在家做家务的总时间，并对数据进行统计分析，过程如下： 收集数据：在家做家务时间：（单位：小时） 1 5 4 1 a 3 2 b 3 4 整理数据： 时间 人数 3 6 分析数据： 统计量 平均数 中位数 众数 数据 3.2 3 3 请结合以上信息回答下列问题： （1）________，并补全频数直方图； （2）数据统计完成后，小明发现有两个数据，不小心丢失了．请根据图表信息找回这两个数据．若，则________，________． （3）根据调查结果，请估计该校1000名学生在这一周劳动时间不少于3小时的人数． 七、（本题满分12分） 22. 如图，在菱形中，为边的中点，连接交延长线于点，平分交于点，连接． （1）如图1，求的大小； （2）如图1，证明：点为线段的三等分点； （3）如图2，连接交于点，若，，求的长． 八、（本题满分14分） 23. 已知二次函数的图象顶点为，二次函数的图象顶点为． （1）分别求出点，的坐标（用表示）； （2）证明：函数与的图象相交于，两点； （3）当时，点，为图象上的动点，且点在点，之间，，两点的横坐标分别为，，作轴交于点，轴交直线于点，若四边形，为平行四边形，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $