江苏省南京市第五高级中学2024-2025学年高三上学期第二周周测数学卷（9.11）

南京五中高三周测卷（第二周）2024.9.11数学 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中只有一项是符合题目要求的。 1． 2．如图，梯形的腰的中点为，且，记，则（    ） A． B． C． D． 3．设，其中i为虚数单位．则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．若，且，，则（    ） A． B． C． D． 5．如图是一个圆台的侧面展开图，若两个半圆的半径分别是和，则该圆台的体积是（    ） A． B． C． D． 6．已知正项等比数列（）满足，若存在两项， 使得，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 7．已知函数，若满足，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．已知双曲线的左右焦点分别为，过点且与渐近线垂直的直线与双曲线左右两支分别交于两点，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共36小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的给部分分。 9．下列结论正确的有（    ） A．若随机变量，满足，则 B．若随机变量，且，则 C．若线性相关系数越接近1，则两个变量的线性相关性越强 D．按从小到大顺序排列的两组数据：甲组：27，30，37，m，40，50；乙组：24，n，33，44．48，52，若这两组数据的第30百分位数、第50百分位数都分别对应相等，则 10．已知函数，则（   ） A．直线是曲线的切线 B．有两个极值点 C．有三个零点 D．存在等差数列，满足 11．到两个定点的距离之积为大于零的常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线.设和且，动点满足，动点的轨迹显然是卡西尼卵形线，记该卡西尼卵形线为曲线，则下列描述正确的是（    ） A．曲线的方程是 B．曲线关于坐标轴对称 C．曲线与轴没有交点 D．的面积不大于 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．小明设置六位数字的手机密码时，计划将的前6位数字3，1，4，1，5，9进行某种排列得到密码．若排列时要求相同数字不相邻，且相同数字之间一个数字，则小明可以设置的不同密码种数为 ． 13．若曲线在处的切线恰好与曲线也相切，则 . 14．已知数列的前n项和为，满足：，且，为方程的两根，且.若对于任意，不等式恒成立，则实数的取值范围为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算过程。 15．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，． (1)求； (2)若，求的面积． 16．2015—2019年，中国社会消费品零售额占GDP的比重超过4种，2020年后，中国社会消费品零售额占GDP的比重逐年下降．下表为2018—2022年中国社会消费品零售额（单位：万亿元）及其占GDP的比重y（单位：%）的数据，其中2018—2022年对应的年份代码x依次为1~5． 年份代码x 1 2 3 4 5 社会消费品零售额 37.8 40.8 39.2 44.1 44.0 社会消费品零售额占 GDP的比重y/% 41.3 41.5 39.0 38.6 36.7 (1)由上表数据，是否可用一元线性回归模型拟合y与x的关系，请用相关系数加以说明． (2)请建立y关于x的一元线性回归方程． (3)从2018—2022年中国社会消费品零售额这5个数据中随机抽取2个数据．若抽取的2个数据中至少有1个数据大于40.0，求这2个数据恰好有1个数据不小于44.0的概率． 附：，，，， 相关系数． 对于一组数据，其一元线性回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，． 17．如图，为圆锥的顶点，为圆锥底面的圆心，为底面直径，四边形是梯形，且，为底面圆周上一点，点在上． (1)若，求证：平面； (2)当时，求二面角的正弦值． 18．已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)设函数． （ⅰ）求的值； （ⅱ）证明：存在实数，使得曲线关于直线对称． 19．已知椭圆，直线过的左顶点与上顶点，且与两坐标轴围成的三角形的面积为1． (1)求椭圆的标准方程； (2)已知点，，（异于点）是椭圆上不同的两点，且，过作的垂线，垂足为，证明点在定圆上，并求出定圆的方程． 试卷第4页，共5页 试卷第5页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 答案第14页，共14页 答案第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 参考答案： 1．B 2．A 【分析】根据图形，利用向量的几何运算得到，即可求解. 【详解】因为，又，所以， 又为腰的中点，所以， 故选：A. 3．A 【分析】根据复数的四则运算法则，复数模的计算，结合充分性和必要性的定义进行判断即可. 【详解】因为，所以．令，解得或， 故“”是“”的充分不必要条件． 故选：A 4．C 【分析】利用切化弦可得，再由两角和差公式先求，最后由同角基本关系式求解. 【详解】因为，则，则， 所以， 而，则， 所以. 故选：C 5．B 【分析】先计算出上、下底面的半径和面积，再求出圆台的高，按照圆台体积公式计算即可. 【详解】 如图，设上底面的半径为，下底面的半径为，高为，母线长为， 则，，解得，， 又，， 设上底面面积为，下底面面积为， 所以圆台的体积. 故选：B. 6．C 【详解】∵正项等比数列{an}满足：，又q＞0，解得，∵存在两项am，an使得， ∴，即， ∴， 当且仅当=取等号，但此时m，n∉N*．又，所以只有当，取得最小值是．故选C． 点睛：本题解题时要认真审题，注意正项等比数列的性质，利用等比数列的通项公式，解得，运用均值不等式求最值，一般运用均值定理需要要根据一正、二定、三取等的思路去思考，本题根据条件构造，研究的式子乘以1后变形，即可形成所需条件，应用均值不等式． 7．A 【分析】根据题意，由奇偶性的定义可得是定义在上的偶函数，然后求导得，即可判断在上的单调性，再将不等式化简求解，即可得到结果. 【详解】因为函数定义域为关于原点对称， 且， 所以是定义在上的偶函数， 又， 当时，，则，所以在单调递增， 又，则， 且，则不等式可化为 ，即， 且是定义在上的偶函数，在单调递增， 则，即，即， 所以，即实数的取值范围是. 故选：A 8．A 【分析】求得到渐近线的距离为，从而可求得的值，再在中利用正弦定理求出，然后结合双曲线的定义和余弦定理求解即可. 【详解】由题意知，点到渐近线的距离为， 所以， 因为，，所以， 所以， 因为，所以， 得，则， 在中，由正弦定理得， 即，得， 由双曲线的定义知， 所以， 在中，由余弦定理得， 即， 整理得，即， 所以离心率为. 故选：A 【点睛】关键点点睛：此题考查双曲线离心率的求法，熟练掌握双曲线的定义与几何性质结合正、余弦定理是解题的关键，考查逻辑推理能力和计算能力，属于较难题. 9．BC 【分析】由方差的性质判断A；由正态分布的对称性判断B；由相关系数的定义判断C；根据百分位数的定义判断D. 【详解】对于A，由方差的性质可得，故A错误； 对于B，由正态分布的图象的对称性可得，故B正确； 对于C，由相关系数知识可得：线性相关系数越接近1，则两个变量的线性相关性越强，故C正确； 对于D，甲组：第30百分位数为30，第50百分位数为， 乙组：第30百分位数为，第50百分位数为，则， 解得，故，故D错误； 故选：BC 10．BCD 【分析】由导数的意义可知斜率为时，求出切点，再由点斜式判断A错误；求导后由单调性可判断B正确；代入极值点后可判断C正确；由等差中项可判断D正确. 【详解】， A：令，而， 由点斜式可知此时切线方程为； ，由点斜式可知此时切线方程为； 所以直线不是曲线的切线，故A错误； B：令，解得，所以函数在上单调递增，在上单调递减， 故时取得极大值，取得极小值；故B正确； C：因为，所以由单调性可知函数由三个零点，故C正确； D：取，则，故D正确； 故选：BCD 11．ABD 【分析】由已知，利用两点间距离公式，可得动点的轨迹方程，即可判断A；由对称性代入即可判断B；在的轨迹方程中令，可解出，即可判断C；由三角形的面积公式，即可判断D. 【详解】设，由， 得， 化简得，故A正确； 该方程中把改为或把改为方程均不变，故B正确； 在方程中，令得， 当时，或，当时，，当时，，故C不正确； ，故D正确. 故选：ABD. 12．96 【分析】利用捆绑法即可求解. 【详解】从3，4，5，9中选择一个数字放入两个1之间，将其与两个1看作一个整体，与剩下元素全排列，故不同的密码个数为， 故答案为：96 13． 【分析】对于根据导数的几何意义可得在处的切线是；对于：，结合导数的几何意义列式求解即可. 【详解】对于：，可得， 当，则， 可知曲线在处的切线是； 对于：，可得， 令得， 由切点在曲线上得. 故答案为：. 14． 【分析】先利用等差数列通项公式求解，再利用数列的单调性求解数列的最大值，进而解决不等式恒成立问题即可. 【详解】由可知数列是等差数列，设其公差为， 解方程得或，又， ，， . 由得， ，设， 则， 由对于任意恒成立，所以只考虑的符号， 设，， 令解得，即在上单调递增， 令解得，即在上单调递减， ，，， 当，， 当，时，，即，， 当，，即， 即从，开始单调递减， 即，，即， 的取值范围为. 故答案为：. 15．(1) (2) 【分析】（1）已知的两个等式可得，由正弦定理边化角，化简后可得所求结果； （2）由（1）中求得，可求，，结合已知等式求得，余弦定理求得，面积公式求的面积． 【详解】（1）因为在中，，， 所以．由正弦定理得． 因为，所以，所以． （2）因为，有，由，解得，． 又，所以． 因为，根据余弦定理得，所以， 解得（负值舍去）． 所以的面积为． 16．(1)可以用一元线性回归模型拟合y与x的关系；说明见解析； (2)； (3). 【分析】 （1）先运用相关系数公式进行计算,再根据结果说明即可； （2）代入公式先计算，再利用样本中心点坐标满足一元线性回归方程计算即得； （3）利用条件概率公式计算概率即可. 【详解】（1） 由题意，知，． 因为，，，所以 ， 所以． 所以y与x的线性相关程度高，可以用一元线性回归模型拟合y与x的关系． （2） 因为，，，， 所以． 把点的坐标代入，得， 所以y关于x的一元线性回归方程为． （3） 记“抽取的2个数据中至少有1个数据大于40.0”为事件A， “这2个数据恰好有1个数据不小于44.0”为事件B，则“抽取的2个数据中 至少有1个数据大于40.0时，恰好有1个数据不小于44.0” 为事件， 所以． 17．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取线段的中点，连接，证明平面，连接，证明平面，利用面面平行的判定定理证明平面平面，即可证明平面. （2）建立空间直角坐标系，求出相关点及向量的坐标，分别求出两平面的法向量，求出两向量夹角的余弦值后利用同角三角函数基本关系求二面角的正弦值. 【详解】（1）取线段的中点，连接． 因为，所以且， 因此四边形是平行四边形，所以， 又平面平面，所以平面， 连接，因为，所以， 又平面平面，所以平面， 而平面， 所以平面平面， 又平面，所以平面； （2）由圆锥的对称性不妨取点为如图所示位置， 以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 则， 于是， 设平面的法向量为， 则，得， 取，可得， 设平面的法向量为， 则，得， 取，可得， 所以， 故二面角的正弦值为． 18．(1)答案见解析 (2)（ⅰ）0；（ⅱ）证明见解析 【分析】（1）求出，求导，，分和两种情况讨论函数的单调性. （2）（ⅰ）求出，直接计算，即可得结果；（ⅱ）根据的定义域，推断函数的对称轴为，验证即可. 【详解】（1）由题意可知，则的定义域为， ，， 当时，，则在上单调递减； 当时，令，即，解得， 若，； 若，， 则在上单调递减，在上单调递增． 综上所述，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增． （2）（ⅰ）函数，则， ，故． （ⅱ）函数的定义域为．若存在，使得曲线关于 直线对称，则关于直线对称，所以 由 ． 可知曲线关于直线对称． 19．(1) (2)证明见解析， 【分析】（1）首先在中，令，，得，结合与两坐标轴围成的三角形的面积为1即可求出，进而得解. （2）当直线的斜率存在时设出其方程和，的坐标，利用根与系数的关系求出，两点坐标间的关系；根据得到直线过定点；当直线的斜率不存在时得直线也过该定点；根据圆的性质求得结果. 【详解】（1）在中，令，得，令，得， 因为直线过的左顶点与上顶点， 所以． 因为直线与两坐标轴围成的三角形的面积为1，所以， 得，则， 所以椭圆的标准方程为． （2） 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，， 由可得， 则，即， ，， 则， ． 由可得， 故， 即， 即， 即， 即， 等式两边同乘以3可得， 故， 得， 所以或． 当时，直线的方程为，直线过点，不符合题意；（根据可知直线不过点） 当时，直线的方程为，直线过定点． 当直线的斜率不存在时，设其方程为（，且）， 则可令，， 由得， 即，解得或（舍去）， 此时直线的方程为，显然也过点， 由可得点在以为直径的圆上， 圆心为的中点，半径为， 故点M在定圆上． 【点睛】关键点睛：第二问的关键是由得到直线过定点，进一步可得点在以为直径的圆上，由此即可顺利得解. 答案第14页，共14页 答案第15页，共15页 学科网（北京）股份有限公司 $$