江苏省徐州市第三中学2024-2025学年高二上学期9月期初检测数学试题

徐州三中2024~2025学年高二上学期9月期初检测 数学试题 一、单选题 1．已知过点M（－2，a），N（a，4）的直线的斜率为－，则MN＝（　　） A.10 B.180 C.6 D.6 2．经过点作圆的弦，使得点平分弦，则弦所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 3．已知点P在椭圆C：＋＝1(a>b>0)上，F1，F2分别为椭圆C的左、右焦点，满足PF1⊥PF2，△PF1F2的面积为12，椭圆C的焦距为8，则椭圆C的标准方程为(　　) A. ＋＝1 B. ＋＝1 C. ＋＝1 D. ＋＝1 4．已知点，，若，则直线的倾斜角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．若圆与圆关于直线对称，则 A． B． C． D． 6．已知点，点，点在圆上，则使得的点的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 7．已知，且满足，则 的最小值为 A． B． C． D． 8．已知，直线，为上的动点．过点作的切线，，切点为，，当最小时，直线的方程为　　 A． B． C． D． 二、多选题 9．关于方程，下列说法正确的是(　　) A.若m＞n＞0，则该方程表示椭圆，其焦点在y轴上 B.若m＝n＞0，则该方程表示圆，其半径为 C.若n＞m＞0，则该方程表示椭圆，其焦点在x轴上 D.若m＝0，n＞0，则该方程表示两条直线 10．已知圆：，下列说法正确的是（    ） A．的取值范围是 B．若，过的直线与圆相交所得弦长为，方程为 C．若，圆与圆相交 D．若，，，直线恒过圆的圆心，则恒成立 11．已知圆，直线，则下列结论正确的是（    ） A．直线l恒过定点 B．当时，圆C上有且仅有三个点到直线l的距离都等于1 C．圆C与曲线恰有三条公切线，则 D．当时，直线l上动点P向圆C引两条切线PA，PB，其中A，B为切点，则直线AB经过点 三、填空题 12．过定点且倾斜角是直线的倾斜角的两倍的直线截距式方程为 ． 13．已知、是椭圆C：的两个焦点，点在C上，则的最大值为 ． 14．若曲线与直线有两个交点，则实数的取值范围是 . 四、解答题 15．已知直线；. （1）若，求的值； （2）若，且直线与直线之间的距离为，求、的值． 16．已知圆C1：(x-4)2+(y-2)2=4和圆C2：(x-1)2+(y-3)2=9． （1）试判断两圆的位置关系，若相交，求出公共弦所在的直线方程; （2）若直线l过点(1，0)且与圆C1相切，求直线l的方程． 17．在①过点，②圆E恒被直线平分，③与y轴相切这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答. 已知圆E经过点，且______. (1)求圆E的一般方程； 18．在平面直角坐标系中，已知圆，且圆被直线截得的弦长为2. （1）求圆的标准方程； （2）若圆的切线在轴和轴上的截距相等，求切线的方程； （3）若圆上存在点，由点向圆引一条切线，切点为，且满足，求实数的取值范围. 19．已知圆过点且与圆：相切于点，直线：与圆交于不同的两点、. (1)求圆的方程； (2)若圆与轴的正半轴交于点，直线、的斜率分别为，，求证：是定值. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 徐州三中2024-2025学年高二上学期9月期初检测 数学试题 一、单选题 1．已知过点M（－2，a），N（a，4）的直线的斜率为－，则MN＝（　　） A.10 B.180 C.6 D.6 解析：D　由kMN＝＝－，解得a＝10，即M（－2，10），N（10，4），所以MN＝＝6，故选D. 【点睛】本题主要考查了圆的一般方程，充分条件，必要条件，属于中档题. 2．经过点作圆的弦，使得点平分弦，则弦所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆的性质，得到过点且被点平分的弦所在的直线和圆心与的连线垂直，求得，进而求得所求直线的斜率，结合直线的点斜式方程，即可求解. 【解析】由题意，圆，可得圆心坐标为， 点在圆C内，则过点且被点平分的弦所在的直线和圆心与的连线垂直， 又由，所以所求直线的斜率为1，且过点， 可得所求直线方程为，即． 故选：A 3．已知点P在椭圆C：＋＝1(a>b>0)上，F1，F2分别为椭圆C的左、右焦点，满足PF1⊥PF2，△PF1F2的面积为12，椭圆C的焦距为8，则椭圆C的标准方程为(　　) A. ＋＝1 B. ＋＝1 C. ＋＝1 D. ＋＝1 答案：D 4．已知点，，若，则直线的倾斜角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据题意，设直线的倾斜角为，由的坐标求出直线的斜率，结合的范围可得即的取值范围，又由正切函数的性质分析可得的范围，即可得答案. 【解析】解：根据题意，设直线的倾斜角为， 点，，则直线的斜率， 又由，则的取值范围为，， 即的范围为，，又由，则 故选：C. 5．若圆与圆关于直线对称，则 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，圆的圆心C与关于直线对称，且半径为求出C的坐标，由轴对称的性质建立关于a、b的方程组，解出a、b，可得的值． 【解析】圆的圆心为原点，半径为1 与圆关于直线对称的圆，设其圆心为C 则C与关于直线对称，且半径也为1， ，解之得， 由此可得． 故选A． 【点睛】本题给出圆C与单位圆关于某直线对称，求圆心坐标着重考查了圆的方程、直线的方程和直线与圆的位置关系等知识，属于中档题． 6．已知点，点，点在圆上，则使得的点的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】利用求出点的轨迹方程为，再根据圆心距与两圆的半径的和的大小关系可得两圆相交，从而可得结果. 【解析】因为点，点，且，所以点的轨迹是以为直径的圆， 圆心，半径为，其方程为， 所以两圆的圆心距为，两圆的半径和为， 因为，所以两圆相交，所以满足条件的点的个数为， 故选：C 7．已知，且满足，则 的最小值为 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】为直线上的动点，为直线上的动点， 可理解为两动点间距离的最小值， 显然最小值即两平行线间的距离：. 故选C 8．已知，直线，为上的动点．过点作的切线，，切点为，，当最小时，直线的方程为　　 A． B． C． D． 【解答】解：化圆为， 圆心，半径． ． 要使最小，则需最小，此时与直线垂直． 直线的方程为，即， 联立，解得． 则以为直径的圆的方程为． 联立，相减可得直线的方程为． 故选：． 二、多选题 9．关于方程，下列说法正确的是(　　) A.若m＞n＞0，则该方程表示椭圆，其焦点在y轴上 B.若m＝n＞0，则该方程表示圆，其半径为 C.若n＞m＞0，则该方程表示椭圆，其焦点在x轴上 D.若m＝0，n＞0，则该方程表示两条直线 答案：ACD 解析：对于A，若m＞n＞0，则mx2＋ny2＝1可化为＋＝1，因为m＞n＞0，所以＜，即该方程表示焦点在y轴上的椭圆，故A正确；对于B，若m＝n＞0，则mx2＋ny2＝1可化为x2＋y2＝，此时该方程表示圆心在原点，半径为的圆，故B错误；对于C，同A，可知其正确；对于D，若m＝0，n＞0，则mx2＋ny2＝1可化为y2＝，即y＝±，此时该方程表示平行于x轴的两条直线，故D正确． 10．已知圆：，下列说法正确的是（    ） A．的取值范围是 B．若，过的直线与圆相交所得弦长为，方程为 C．若，圆与圆相交 D．若，，，直线恒过圆的圆心，则恒成立 【答案】ACD 【分析】根据圆的一般方程可判断A；利用点到直线的距离为可判断B；时很容易判断C；直线恒过圆的圆心，可得，利用基本不等式可判断D. 【解析】对于A，方程表示圆可得，解得，故A正确； 对于B，若，可得圆方程：， 过的直线与圆相交所得弦长为， 则圆心到直线的距离为，当直线的斜率不存在时，，满足条件，故B不正确； 对于C，，，圆心，半径为，故C正确； 对于D，直线恒过圆的圆心， 可得，， 当且仅当时取等号，故D正确. 故选：ACD. 11．已知圆，直线，则下列结论正确的是（    ） A．直线l恒过定点 B．当时，圆C上有且仅有三个点到直线l的距离都等于1 C．圆C与曲线恰有三条公切线，则 D．当时，直线l上动点P向圆C引两条切线PA，PB，其中A，B为切点，则直线AB经过点 【答案】CD 【分析】对A将直线化成，则，解出即为定点；对B直接计算圆心到直线的距离与1的大小关系，即可判断B，对C，直接将代入，通过几何法判断两圆位置关系即可，对D，设点，利用两点直径式方程写出以为直径的圆的方程，两圆方程作差，得到公共弦所在直线方程，化成关于参数的方程，即可求出定点坐标. 【解析】由直线:,,整理得:,故,解得,即经过定点,故A错误; 当时,直线为, 圆心到直线的距离 故圆上有四个点到直线的距离都等于1,故B错误; 圆,其半径， 圆, 当时, ,整理得 ，其半径 圆心距为， 故两圆相外切,恰有三条公切线,故C正确; 当时,直线的方程为, 设点,圆的圆心,半径为, 以线段为直径的圆的方程为: , 即, 又圆的方程为, 两圆的公共弦的方程为 整理得,即,解得, 即直线经过点,故D正确. 故选：CD. 三、填空题 12．过定点且倾斜角是直线的倾斜角的两倍的直线截距式方程为 ． 【答案】/ 【分析】求出所求直线的斜率，可得出所求直线的点斜式方程，化为截距式方程即可得解. 【解析】直线的斜率为，倾斜角为， 故所求直线的倾斜角为，所求直线的斜率为， 所求直线方程为，即，截距式方程为. 故答案为：. 13．已知、是椭圆C：的两个焦点，点在C上，则的最大值为 ． 【答案】25 【分析】根据椭圆的定义结合基本不等式可求得结果. 【详解】由，得， 因为点在C上，所以， 所以，当且仅当时取等号， 所以，得，当且仅当时取等号， 所以的最大值为25. 故答案为：25 14．若曲线与直线有两个交点，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】作出曲线与直线的图象，考虑直线与曲线相切以及直线过点时实数的值，数形结合可得出实数的取值范围. 【详解】由可知，整理可得， 所以，曲线表示圆的上半圆， 作出曲线与直线的图象如下图所示： 当直线与圆相切，且切点在第二象限时， 则有，解得， 当直线过点时，，. 由图可知，当时，直线与曲线有两个公共点. 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题 15．已知直线；. （1）若，求的值； （2）若，且直线与直线之间的距离为，求、的值． 【答案】（1）；（2）或. 【分析】（1）由两直线垂直，可得斜率乘积为，列方程可得答案； （2）由两直线平行，斜率相等可求出的值，再由两平行线间的距离公式列方程可求出的值 【解析】解：（1）设直线的斜率分别为，则． 若，则，， （2）若，则， ∴可以化简为， 又直线与直线的距离， 或， 综上：. 16．已知圆C1：(x-4)2+(y-2)2=4和圆C2：(x-1)2+(y-3)2=9． （1）试判断两圆的位置关系，若相交，求出公共弦所在的直线方程; （2）若直线l过点(1，0)且与圆C1相切，求直线l的方程． 【答案】（1）相交；6x-2y-15=0；（2）y=0或12x-5y-12=0． 【分析】（1）求得圆心和半径，然后结合圆心距以及的关系判断两个圆的位置关系，两个圆方程相减求得公共弦所在的直线方程. （2）设出直线的方程，利用直线与圆相切的知识列方程，由此求得直线的斜率，从而求得直线的方程. 【解析】（1）由题意得C1(4，2)，r1=2，C2(1，3)，r2=3， ∴|C1C2|=，r2-r1<|C1C2|<r1+r2，∴两圆相交， 两圆的方程相减得6x-2y-15=0，即为公共弦所在直线的方程． （2）依题意可知直线的斜率存在. 设直线l方程为y=k(x-1)，即kx-y-k=0， 由题意得2=，解得k=0或k=． ∴直线l的方程为y=0或12x-5y-12=0． 17．在①过点，②圆E恒被直线平分，③与y轴相切这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答. 已知圆E经过点，且______. (1)求圆E的一般方程； (2)设P是圆E上的动点，求线段AP的中点M的轨迹方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）选择①③时，设圆的一般式方程或者标准方程，代入点以及相关条件，根据待定系数法，即可确定圆的方程，选择②时，根据几何法确定圆心和半径即可求解， （2）根据相关点法即可求解轨迹方程. 【解析】（1）方案一：选条件①. 设圆的方程为， 则，解得， 则圆E的方程为. 方案二：选条件②. 直线恒过点. 因为圆E恒被直线平分，所以恒过圆心， 所以圆心坐标为， 又圆E经过点，所以圆的半径r＝1，所以圆E的方程为，即. 方案三：选条件③. 设圆E的方程为. 由题意可得，解得， 则圆E的方程为，即. （2）设. 因为M为线段AP的中点，所以， 因为点P是圆E上的动点，所以，即， 所以M的轨迹方程为. 18．在平面直角坐标系中，已知圆，且圆被直线截得的弦长为2. （1）求圆的标准方程； （2）若圆的切线在轴和轴上的截距相等，求切线的方程； （3）若圆上存在点，由点向圆引一条切线，切点为，且满足，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）或或或；（3） 【分析】（1）将圆方程整理为标准方程形式，可知，得到圆心坐标和半径；由垂径定理可利用弦长构造出关于的方程，解方程求得，从而得到标准方程；（2）分为直线过原点和不过原点两种情况，分别假设直线方程，利用圆心到直线距离等于半径可构造方程求得结果；（3）设，根据且可整理出点轨迹方程为：；根据在圆上，则两圆有公共点，根据圆与圆位置关系的判定可构造不等式，解不等式求得结果. 【解析】（1）圆方程可整理为：     圆的圆心坐标为，半径 圆心到直线的距离： 截得的弦长为：，解得： 圆的标准方程为： （2）①若直线过原点，可假设直线方程为：，即 直线与圆相切    圆心到直线距离，解得： 切线方程为： ②若直线不过原点，可假设直线方程为：，即 圆心到直线距离，解得：或 切线方程为或 综上所述，切线方程为或或 （3）假设 ，即 又直线与圆相切，切点为     即：，整理得： 又在圆上    两圆有公共点 ，解得： 即的取值范围为： 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系的应用问题；关键是明确直线与圆的位置关系通过圆心到直线的距离与半径之间的大小关系来确定；圆与圆的位置关系通过圆心距与两圆半径之和、半径之差的关系来确定. 19．已知圆过点且与圆：相切于点，直线：与圆交于不同的两点、. (1)求圆的方程； (2)若圆与轴的正半轴交于点，直线、的斜率分别为，，求证：是定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由圆与圆相切于点知，圆的圆心在直线上，由圆过点、知，圆的圆心在弦的垂直平分线上，求出垂直平分线与直线，联立可求得圆心，再求出半径即可求出圆的方程； （2）将直线的方程与圆的方程联立，在的条件下，设，，由韦达定理（根与系数的关系）得出与，求出点，由斜率公式计算，并将与代入化简即可证得为定值. 【解析】（1）由已知，将圆的一般方程化为标准方程， ∴圆的圆心，半径， ∵圆与圆相切于点， ∴点、、三点共线，即圆的圆心在直线上， ∴直线的方程为，即， 又∵点、均在圆上， ∴弦的垂直平分线过圆的圆心， ， 设弦的垂直平分线的斜率为，则， ∴， ∵、中点为， ∴弦的垂直平分线的方程为，即， ∴，解得圆的圆心， 圆的半径， ∴圆的方程为. （2）由已知，求得， 直线：即 ，消去，化简得： ， ∴ 设， ， 则，， ∴， ， ∴ ， ∴是定值. 【点睛】本题中使用了设而不求的思路，设直线与圆的交点为，，利用韦达定理将与代入和，通过化简即可证得为定值. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$