第二十一章 一元二次方程 检测卷-2024-2025学年人教版数学九年级上册

第二十一章 一元二次方程检测卷 一．选择题（每小题3分，共30分） 1．下列方程中是关于x的一元二次方程的是（　　） A． B．2x2﹣5xy+y2＝0 C．ax2+bx+c＝0 D．7x2+1＝0 2．用配方法解方程x2﹣4x﹣1＝0，配方后正确的是（　　） A．（x+2）2＝3 B．（x+2）2＝17 C．（x﹣2）2＝5 D．（x﹣2）2＝17 3．用直接开平方的方法解方程（3x+1）2＝（2x﹣5）2，做法正确的是（　　） A．3x+1＝2x﹣5 B．3x+1＝﹣（2x﹣5） C．3x+1＝±（2x﹣5） D．3x+1＝±2x﹣5 4．某农机厂四月份生产零件25万个，第二季度共生产零件91万个．设该厂五、六月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（　　） A．25（1+x）2＝182 B．25+25（1+x）+25（1+2x）＝91 C．25（1+2x）＝91 D．25+25（1+x）+25（1+x）2＝91 5．一元二次方程x2﹣2x+5＝0的根的情况是（　　） A．有两个不等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定 6．已知a、b是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的两个根，则a2b+ab2的值是（　　） A．﹣1 B．﹣5 C．﹣6 D．6 7．已知关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0有一个非零实数根c，则b+c的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．0 D．2 8．有一人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了x人，则x的值为（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 9．已知方程kx2+2x﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是（　　） A．k≥﹣1 B．k≥1 C．k≤1且k≠0 D．k≥﹣1且k≠0 10．如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2．设道路的宽为x m，则下面所列方程正确的是（　　） A．（32﹣x）（20﹣x）＝32×20﹣570 B．32x+2×20x＝32×20﹣570 C．（32﹣2x）（20﹣x）＝570 D．32x+2×20x﹣2x2＝570 二．填空题（每小题3分，共15分） 11．方程2x2﹣32＝0的根是 　 　． 12．若x2+mx+9是一个完全平方式，则m的值是　 　． 13．当方程（m﹣1）（m+1）x﹣2＝0是一元二次方程时，m的值为 　 　． 14．已知：m、n是方程x2+3x﹣1＝0的两根，则m3﹣5m+5n＝　 　． 15．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点D从点C开始沿CA边运动，速度为1cm/s，与此同时，点E从点B开始沿BC边运动，速度为2cm/s，当点E到达点C时，点D同时停止运动，连接AE，设运动时间为t s，△ADE的面积为S．当S时，t＝　 　． 三．解答题（共8小题） 16．（12分）用合适的方法解下列方程． （1）9（x﹣2）2＝16； （2）（3﹣x）x＝（3﹣x）； （3）2x2+x﹣3＝0；（公式法） （4）x2+10x﹣11＝0．（配方法） 17．（8分）已知关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+（2k+1）x+k＝0． （1）依据k的取值讨论方程解的情况． （2）若方程有一根为x＝﹣2，求k的值及方程的另一根． 18．（8分）已知：关于x的一元二次方程x2﹣2（m﹣1）x+m2＝0有实数根． （1）求m的取值范围； （2）设方程的两个实数根为x1，x2，且x12+x22＝14，求m的值． 19．（9分）某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，1月销售300个，2、3月这种台灯销售量持续增加，在售价不变的基础上，3月的销售量达到432个，设2、3两个月的销售量月平均增长率不变． （1）求2、3两个月的销售量月平均增长率； （2）从4月起，在3月销售量的基础上，商场决定降价促销．经调查发现，售价在35元至40元范围内，这种台灯的售价每降价0.5元，其销售量增加6个．这种台灯售价定为多少时，商场4月销售这种台灯获利2880元？ 20．（9分）阅读理解：配方法不仅可以用来解一元二次方程，还可以用来解决很多问题．因为a2≥0，所以a2+1就有最小值1，即a2+1≥1，只有当a＝0时，才能得到这个式子的最小值1．同样，因为﹣a2≤0，所以﹣a2+1有最大值1，即﹣a2+1≤1，只有当a＝0时，才能得到这个式子的最大值1． （1）当x＝　 　时，代数式﹣3（x﹣1）2+2有最 　 　（填“大”或“小”）值为 　 　； （2）当x＝　 　时，代数式﹣2x2+4x+3有最 　 　（填“大”或“小”）值为 　 　； 分析：﹣2x2+4x+3＝﹣2（x2﹣2x+　 　）+　 　＝﹣2（x﹣1）2+　 　； （3）如图，已知矩形花园的一边靠墙，另外三边用总长度是20m的栅栏围成，当花园与墙垂直的边长为多少时，花园的面积最大？最大面积是多少？（假设墙足够长） 21．（8分）将4个数a，b，c，d排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，规定ad﹣bc，上述记号就叫做2阶行列式．若6，求x的值． 22．（10分）已知△ABC的一条边BC的长为5，另两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2﹣（m+1）x+3（m﹣2）＝0的两个实数根． （1）求证：无论m为何值，方程总有两个实数根； （2）当m为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形； （3）当m为何值时，△ABC是等腰三角形，并求△ABC的周长． 23．（11分）如图，AO＝BO＝50cm，OC是一条射线，OC⊥AB，一只蚂蚁由A以2cm/s的速度向B爬行；同时另一只蚂蚁由O点以3cm/s的速度沿OC方向爬行．问：是否存在这样的时刻，使两只小蚂蚁与点O点组成的三角形面积为450cm2？ 参考答案 一．选择题（共10小题） 1．解：A．方程是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； B．2x2﹣5xy+y2＝0是二元二次方程，故本选项不符合题意； C．当a＝0时，ax2+bx+c＝0不是一元二次方程，故本选项不符合题意； D．7x2+1＝0是一元二次方程，故本选项符合题意． 故选：D． 2．解：∵x2﹣4x﹣1＝0， ∴x2﹣4x＝1， ∴x2﹣4x+4＝1+4， ∴（x﹣2）2＝5． 故选：C． 3．解：（3x+1）2＝（2x﹣5）2 开方得3x+1＝±（2x﹣5）， 故选：C． 4．解：设该厂五、六月份平均每月的增长率为x，根据题意， 得25+25（1+x）+25（1+x）2＝91． 故选：D． 5．解：∵Δ＝（﹣2）2﹣4×5＝﹣16＜0， ∴方程无实数根． 故选：C． 6．解：∵a、b是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的两个根， ∴ab＝﹣3，a+b＝2， ∴a2b+ab2＝ab（a+b）＝﹣3×2＝﹣6， 故选：C． 7．解：∵关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0有一个非零实数根c， ∴c2+bc+c＝0，即c（c+b+1）＝0 ∵c≠0， ∴c+b+1＝0， ∴b+c＝﹣1， 故选：B． 8．解：根据题意得： 每轮传染中平均一个人传染了x人， ∴（1+x）2＝81， 解得：x1＝8，x2＝﹣10（不合题意，舍去）， 故选：B． 9．解：当k＝0时，方程化为2x﹣1＝0， 解得； 当k≠0时，则Δ＝22﹣4k×（﹣1）≥0， 解得k≥﹣1且k≠0， 综上所述，k的取值范围为k≥﹣1． 故选：A． 10．解：∵道路的宽为x m， ∴种植草坪的部分可合成长为（32﹣2x）m，宽为（20﹣x）m的矩形． 根据题意得：（32﹣2x）（20﹣x）＝570． 故选：C． 二．填空题（共5小题） 11．方程2x2﹣32＝0的根是 　x1＝4，x2＝﹣4　． 解：2x2﹣32＝0， x2＝16， x＝±4， 所以x1＝4，x2＝﹣4． 12．若x2+mx+9是一个完全平方式，则m的值是　±6　． 解：∵x2+mx+9是一个完全平方式， ∴m＝±6， 故答案为：±6． 13．当方程（m﹣1）（m+1）x﹣2＝0是一元二次方程时，m的值为 　﹣1　． 解：因为原式是关于x的一元二次方程， 所以m2+1＝2， 解得m＝±1． 又因为m﹣1≠0， 所以m≠1， 于是m＝﹣1． 故答案为：﹣1． 14．已知：m、n是方程x2+3x﹣1＝0的两根，则m3﹣5m+5n＝　﹣18　． 解：∵m、n是方程x2+3x﹣1＝0的两根， ∴m2+3m﹣1＝0，且m≠0，m+n＝﹣3， ∴m2＝﹣3m+1， ∴m3＝﹣3m2+m， ∴m3﹣5m+5n ＝﹣3m2+m﹣5m+5n ＝﹣3（﹣3m+1）﹣4m+5n ＝5m+5n﹣3 ＝5（m+n）﹣3， ∴原式＝5×（﹣3）﹣3＝﹣18， 故答案为：﹣18． 15．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点D从点C开始沿CA边运动，速度为1cm/s，与此同时，点E从点B开始沿BC边运动，速度为2cm/s，当点E到达点C时，点D同时停止运动，连接AE，设运动时间为t s，△ADE的面积为S．当S时，t＝　3　． 解：6÷1＝6（秒），8÷2＝4（秒）． 当运动时间为t（0≤t≤4）秒时，CD＝t cm，BE＝2t cm，AD＝AC﹣CD＝（6﹣t）cm，CE＝BC﹣BE＝（8﹣2t）cm， 根据题意得：AD•CEAC•BC， 即（6﹣t）（8﹣2t）6×8， 整理得：t2﹣10t+21＝0， 解得：t1＝3，t2＝7（不符合题意，舍去）． 故答案为：3． 三．解答题（共8小题） 16．用合适的方法解下列方程． （1）9（x﹣2）2＝16； （2）（3﹣x）x＝（3﹣x）； （3）2x2+x﹣3＝0；（公式法） （4）x2+10x﹣11＝0．（配方法） 解：（1）∵9（x﹣2）2＝16， ∴， ∴， ∴，； （2）移项得，（3﹣x）x﹣（3﹣x）＝0， ∴（3﹣x）（x﹣1）＝0， ∴3﹣x＝0或x﹣1＝0， ∴x1＝3，x2＝1； （3）a＝2，b＝1，c＝﹣3， ∵Δ＝12﹣4×2×（﹣3）＝25＞0， ∴， ∴，x2＝1； （4）∵x2+10x﹣11＝0， ∴x2+10x＝11， ∴x2+10x+25＝11+25， 即（x+5）2＝36， ∴x+5＝±6， ∴x1＝﹣11，x2＝1． 17．已知关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+（2k+1）x+k＝0． （1）依据k的取值讨论方程解的情况． （2）若方程有一根为x＝﹣2，求k的值及方程的另一根． 解：（1）a＝k﹣1，b＝2k+1，c＝k， ∵Δ＝b2﹣4ac＝（2k+1）2﹣4×（k﹣1）×k＝8k+1， ∴当k且k≠1时，原方程有两个不相等的实数根； 当k时，原方程有两个相等的实数根； 当k时，原方程没有实数根． （2）将x＝﹣2代入原方程，得：（k﹣1）×（﹣2）2+（2k+1）×（﹣2）+k＝0， 解得：k＝6， ∴原方程为5x2+13x+6＝0， ∴方程的另一根为x（﹣2）． 18．已知：关于x的一元二次方程x2﹣2（m﹣1）x+m2＝0有实数根． （1）求m的取值范围； （2）设方程的两个实数根为x1，x2，且x12+x22＝14，求m的值． 解：（1）根据题意得Δ＝4（m﹣1）2﹣4m2≥0， 解得m； （2）根据题意得x1+x2＝2（m﹣1），x1•x2＝m2， ∵x12+x22＝14， ∴（x1+x2）2﹣2x1•x2＝14， ∴4（m﹣1）2﹣2m2＝14， 整理得m2﹣4m﹣5＝0， 解得m1＝5，m2＝﹣1， ∵m， ∴m＝﹣1． 19．某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，1月销售300个，2、3月这种台灯销售量持续增加，在售价不变的基础上，3月的销售量达到432个，设2、3两个月的销售量月平均增长率不变． （1）求2、3两个月的销售量月平均增长率； （2）从4月起，在3月销售量的基础上，商场决定降价促销．经调查发现，售价在35元至40元范围内，这种台灯的售价每降价0.5元，其销售量增加6个．这种台灯售价定为多少时，商场4月销售这种台灯获利2880元？ 解：（1）设2、3两个月的销售量月平均增长率为x， 根据题意得：300（1+x）2＝432， 解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不符合题意，舍去）． 答：2、3两个月的销售量月平均增长率为20%； （2）设这种台灯售价定为y元，则每个台灯的销售利润为（y﹣30）元，月销售量为432+6（912﹣12y）个， 根据题意得：（y﹣30）（912﹣12y）＝2880， 整理得：y2﹣106y+2520＝0， 解得：y1＝36，y2＝70（不符合题意，舍去）． 答：这种台灯售价定为36元时，商场4月销售这种台灯获利2880元． 20．阅读理解：配方法不仅可以用来解一元二次方程，还可以用来解决很多问题．因为a2≥0，所以a2+1就有最小值1，即a2+1≥1，只有当a＝0时，才能得到这个式子的最小值1．同样，因为﹣a2≤0，所以﹣a2+1有最大值1，即﹣a2+1≤1，只有当a＝0时，才能得到这个式子的最大值1． （1）当x＝　1　时，代数式﹣3（x﹣1）2+2有最 　大　（填“大”或“小”）值为 　2　； （2）当x＝　1　时，代数式﹣2x2+4x+3有最 　大　（填“大”或“小”）值为 　5　； 分析：﹣2x2+4x+3＝﹣2（x2﹣2x+　1　）+　5　＝﹣2（x﹣1）2+　5　； （3）如图，已知矩形花园的一边靠墙，另外三边用总长度是20m的栅栏围成，当花园与墙垂直的边长为多少时，花园的面积最大？最大面积是多少？（假设墙足够长） 解：①∵代数式﹣3（x﹣1）2+2， ∴当x＝1时有最大值为2； ②∵﹣2x2+4x+3＝﹣2（x﹣1）2+5， ∴当x＝1时代数式有最大值5； ③设花园与墙相邻的边长为xm， 则S＝x（20﹣2x） ＝﹣2x2+20x ＝﹣2（x﹣5）2+50， 答：当x＝5时花园面积最大，最大为50m2． 21．将4个数a，b，c，d排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，规定ad﹣bc，上述记号就叫做2阶行列式．若6，求x的值． 解：根据题意得：（x+1）（x+1）﹣（1﹣x）（x﹣1）＝6， 整理得：2x2+2＝6， x2＝2， x＝±， 即x1，x2． 22．已知△ABC的一条边BC的长为5，另两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2﹣（m+1）x+3（m﹣2）＝0的两个实数根． （1）求证：无论m为何值，方程总有两个实数根； （2）当m为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形； （3）当m为何值时，△ABC是等腰三角形，并求△ABC的周长． 解：（1）∵x2﹣（m+1）x+3（m﹣2）＝0， ∴Δ＝[﹣（m+1）]2﹣4×1×3（m﹣2） ＝m2+2m+1﹣12m+24 ＝m2﹣10m+25 ＝（m﹣5）2≥0； ∴无论m为何值，方程总有两个实数根； （2）由题意，得：AC+AB＝m+1，AC•AB＝3（m﹣2）， ∵△ABC是以BC为斜边的直角三角形， ∴BC2＝AB2+AC2， ∴AB2+AC2＝（AB+AC）2﹣2AC•AB ＝（m+1）2﹣2×3（m﹣2） ＝m2﹣4m+13＝25， 解得：m＝6或m＝﹣2（不合题意，舍去）； ∴m＝6； （3）①当BC为腰长时，则方程有一个根为5，代入方程，得： 25﹣5（m+1）+3（m﹣2）＝0， ∴m＝7， ∴方程为：x2﹣8x+15＝0， 解得：x1＝3，x2＝5， ∴等腰三角形的三边为：5，5，3， ∴周长为：5+5+3＝13； ②当BC为底边时，则方程有2个相同的实数根， ∴Δ＝（m﹣5）2＝0， ∴m＝5， ∴方程为：x2﹣6x+9＝0， 解得：x1＝x2＝3， ∴等腰三角形的周长为：3+3+5＝11； 综上：周长为11或13． 23．如图，AO＝BO＝50cm，OC是一条射线，OC⊥AB，一只蚂蚁由A以2cm/s的速度向B爬行；同时另一只蚂蚁由O点以3cm/s的速度沿OC方向爬行．问：是否存在这样的时刻，使两只小蚂蚁与点O点组成的三角形面积为450cm2？ 解：有两种情况： （1）如图1，当蚂蚁在AO上运动时， 设xs后两只蚂蚁与O点组成的三角形面积为450cm2， 由题意，得3x×（50﹣2x）＝450， 整理，得x2﹣25x+150＝0， 解得x1＝15，x2＝10． （2）如图2，当蚂蚁在OB上运动时， 设x秒钟后，两只蚂蚁与O点组成的三角形面积为450cm2， 由题意，得3x（2x﹣50）＝450， 整理，得x2﹣25x﹣150＝0， 解得x1＝30，x2＝﹣5（舍去）． 答：15s，10s，30s后，两蚂蚁与O点组成的三角形的面积均为450cm2． 学科网（北京）股份有限公司 $$