精品解析：2024年湖南省长沙市芙蓉区初中学业水平适应性考试数学试题

2024年长沙市芙蓉区初中学业水平适应性考试试卷数学 注意事项： 1．答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号； 2．必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3．答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示； 4．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 5．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸； 6．本试题共25题，考试时量120分钟，满分120分． 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 2024的倒数是（ ） A. B. C. 2024 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了倒数的定义，熟练掌握倒数的定义是解答本题的关键． 根据乘积为1的两个数互为倒数求解即可． 【详解】解：∵， ∴2024的倒数是 ， 故选A． 2. 龙年春晚分会场，“长沙元素”吸引八方来客，春节假日接待旅游人数万人次，同比增长，其中数据万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数． 【详解】解：278.94万， 故选：． 3. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意直接利用合并同类项法则以及积的乘方运算法则和完全平方公式分别计算得出答案即可． 【详解】解：A. ，故此选项错误； B. ，故此选项错误； C. ，故此选项正确； D. ，故此选项错误. 故选：C． 【点睛】本题主要考查合并同类项以及积的乘方运算和完全平方公式，正确掌握相关运算法则是解题的关键． 4. 下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是（　　） A. ，， B. 6，8，10 C. 7，24，25 D. ，3，5 【答案】A 【解析】 【分析】勾股定理的逆定理：若一个三角形的两边长的平方和等于第三边的平方，则这个三角形的直角三角形. 【详解】∵（）2+（）2＝7≠（）2，∴，，不能作为直角三角形的三边长．故选A． 【点睛】本题属于基础应用题，只需熟练掌握勾股定理的逆定理，即可完成. 5. 3月28日，小米集团正式发布小米汽车SU7．小米SU7的正式发布上市，标志着小米“人车家生态”实现完整闭环，助推了我国新能源汽车产业的发展．以下是小米SU7 Max四种造型的轮毂（除去轮胎的部分），其中不能近似看成轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此判断即可． 【详解】解：选项、、的轮毂均能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以能近似看成轴对称图形； 选项的轮毂中不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不能近似看成轴对称图形． 故选：． 6. 不等式组的解集在数轴上表示为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先解不等式组，然后根据不等式组的解集判断即可． 【详解】 由①，得x＞1， 由②，得x≤2， ∴不等式组的解集为1＜x≤2， 故选C． 【点睛】本题考查了不等式的解集，熟练掌握解不等式组是解题的关键． 7. 如图所示的几何体是由五个小正方体组合而成的，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案． 【详解】解：从上边看第一列是两个小正方形，第二列是一个小正方形，第三列是一个小正方形， 故选A． 【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图． 8. 下列命题是真命题的是（ ） A. 相等的角是对顶角 B. 圆周角等于圆心角的一半 C. 平分弦的直径垂直于弦 D. 同角或等角的余角相等 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 分别根据对顶角、圆周角定理、垂径定理、余角的概念判断即可． 【详解】解：、相等的角不一定是对顶角，故本选项命题是假命题，不符合题意； 、在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角，都等于这条弧所对的圆心角的一半，故本选项命题是假命题，不符合题意； 、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故本选项命题是假命题，不符合题意； 、同角或等角的余角相等，是真命题，符合题意； 故选：． 9. 王爷爷上午8：00从家出发，外出散步，到老年阅览室看了一会儿报纸，继续以相同的速度散步一段时间，然后回家．如图描述了王爷爷在散步过程中离家的路程s（米）与所用时间t（分）之间的函数关系，则下列信息错误的是（　　） A. 王爷爷看报纸用了20分钟 B. 王爷爷一共走了1600米 C. 王爷爷回家的速度是80米/分 D. 上午8：32王爷爷在离家800米处 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数图象中的数据可以判断各个选项中的说法是否正确，注意题目中说王爷爷到老年阅览室看了一会儿报纸，继续以相同的速度散步一段时间，由图象可知王爷爷前400米用时8分钟，则从阅览室出来继续散步用的时间也是8分钟． 【详解】由图可得， 王爷爷看报纸用了28﹣8＝20分钟，故选项A正确， 王爷爷一共走了800+800＝1600米，故选项B正确， 王爷爷回家的速度是800÷（46﹣28﹣8）＝80米/分，故选项C正确， 上午8：36王爷爷在离家800米处，故选项D错误， 故选D． 【点睛】本题考查函数图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 10. 对于平面直角坐标系中的点和图形，给出如下定义：在图形上若存在两点，，使为正三角形，则称图形为点的型线，点为图形的型点，为图形G关于点P的T型三角形．若是抛物线的T型点，则n的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】是对称轴为轴的抛物线，顶点为，根据新定义可知：与抛物线的两点能组成等边三角形，即直线与抛物线的交点，其交点就是等边三角形的另两点、，根据题意得，，，利用三角函数求出点的坐标，利用待定系数法求一次函数的解析式，当抛物线与直线有交点时，才有是抛物线的型点，因此列方程，有解时才有结论得出，即，解不等式即可． 【详解】解：如图，是抛物线的型点， ， ， ， ，， 通过的直线的解析式为：， ， 当有解时，才有是抛物线的型点， 即， ， 当时，是抛物线的型点， 故选：C． 【点睛】本题是新定义的阅读理解问题，有一定的难度，考查了学生分析问题、解决问题的能力，还考查了二次函数图象上点的坐标特征及等边三角形的性质，等边三角形各角都是，熟练掌握三线合一的性质，注意线段的长与点的坐标的关系；当两函数的图象有交点时，两函数解析式组成方程组，有交点就是方程组有解． 二．填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11. 的算术平方根是______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查算术平方根，掌握知识点是解题的关键． 先求出，再根据算术平方根的定义，即可解答． 【详解】解：∵， ∴的算术平方根是2． 故答案为：2． 12. 分解因式：3x2+6xy+3y2＝_____． 【答案】3（x+y）2． 【解析】 【分析】先利用提取公因式法提取数字3，再利用完全平方公式继续进行分解． 【详解】3x2+6xy+3y2=3（x2+2xy+y2）=3（x+y）2． 故答案为3（x+y）2． 【点睛】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止． 13. 将二次函数的图像向右平移2个单位，再向下平移5个单位，所得二次函数的解析式为______； 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减． 根据“上加下减，左加右减”的平移规律，即可得出平移后的二次函数的解析式． 【详解】解：将二次函数的图象向右平移2个单位，再向下平移5个单位，所得二次函数的解析式为，即． 故答案为：． 14. 甲乙两名男同学练习投掷实心球，每人投了10次，平均成绩均为7.5米，方差分别为，，成绩比较稳定的是______．（填“甲”或“乙”） 【答案】乙 【解析】 【分析】根据方差的定义，方差越小数据越稳定即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴＞， ∴成绩比较稳定的是乙； 故答案为：乙． 【点睛】本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 15. 若圆锥底面的半径为3，它的侧面展开图的面积为，则它的母线长为_______． 【答案】## 【解析】 【分析】直接根据圆锥侧面展开图的弧长与底面圆周长的关系即可得出答案． 【详解】设圆锥的母线长为，由题意可知展开扇形的弧长， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查扇形的面积与弧长公式，解题的关键是熟练掌握扇形面积与弧长公式的关系． 16. 如图，在中，，，，点分别在两边上，将沿直线折叠，使点的对应点D恰好落在线段BC上，当是直角三角形时，则的值为_________. 【答案】1或2． 【解析】 【分析】依据△DCM为直角三角形，需要分两种情况进行讨论：当∠CDM＝90°时，△CDM是直角三角形；当∠CMD＝90°时，△CDM是直角三角形，分别求解即可． 【详解】解：分两种情况： ①如图1中，当∠CDM＝90°时，△CDM是直角三角形，作NH⊥AM于H． 易证四边形AMDN是菱形，设AN＝AM＝a， 在Rt△ABC中，∵AB＝3，BC＝4， ∴AC＝＝5， 由△AHN∽△ABC， ②如图2中，当∠CMD＝90°时，△CDM是直角三角形， 此时∠AMN＝45°， ∴tan∠AMN＝1， 综上所述，满足条件的tan∠AMN的值为1或2． 【点睛】本题考查了翻折变换﹣折叠问题，等腰直角三角形的性质，正确的作出图形是解题的关键．折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 三．解答题（本大题共有9小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分） 17. 计算：﹣2sin60°+（﹣1）0+（）﹣2． 【答案】7- 【解析】 【分析】先计算立方根、代入三角函数值、计算零指数幂和负整数指数幂，再计算乘法和加减可得． 【详解】原式=2﹣2×+1+4， =7﹣． 【点睛】本题主要考查实数的运算，解题的关键是掌握负整数指数幂、三角函数、立方根及零指数幂． 18. 先化简，再求值，再从这4个数中选择一个恰当的值代入求值． 【答案】；3 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简计算：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值． 先把括号内通分和除法运算化为乘法运算，再约分得到原式，然后根据分式有意义的条件在4个数中确定只能取3，最后把代入计算即可． 【详解】解：原式 ， 且且， 可以取3， 当时，原式． 19. 小明利用所学三角函数知识对小区洋房的高度进行测量．他们在地面的A点处用测角仪测得楼房顶端D点的仰角为，向楼房前行在B点处测得楼房顶端D点的仰角为，已知测角仪的高度是（点A，B，C在同一条直线上），根据以上数据求楼房CD的高度．（，结果取整数） 【答案】楼房的高度约为 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题意可得：，然后利用三角形的外角性质可得，从而可得,再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】解：由题意得：， ∵是的外角， ∴， ∴， ∴, 在中，， ∴． 答：楼房的高度约为． 20. 随着通讯技术的迅猛发展，人与人之间的沟通方式更多样、便捷。某校数学兴趣小组设计了“你最喜欢的沟通方式”调查问卷（每人必选且只选一种），在全校范围内随机调查了部分学生，将统计结果绘制了如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题： （1）这次统计共抽查了______名学生，在扇形统计图中“”的扇形圆心角的度数为______； （2）将条形统计图补充完整； （3）某天甲、乙两名同学都想从“微信”、“”、“电话”三种沟通方式中选一种方式与对方联系，请用列表或画树状图的方法求出甲、乙两名同学恰好选择同一种沟通方式的概率． 【答案】（1）100； （2） 补充图形，如图所示： （3）甲、乙两名同学恰好选中同一种沟通方式的概率为： 【解析】 【分析】本题考查统计与概率，解题的关键是熟练运用统计与概率的相关公式，本题属于中等题型． （1）根据喜欢电话沟通的人数与百分比即可求出共抽查人数，求出使用的百分比即可求出的扇形圆心角度数． （2）计算出短信与微信的人数即可补全统计图． （3）列出树状图分别求出所有情况以及甲、乙两名同学恰好选中同一种沟通方式的情况后，利用概率公式即可求出甲、乙两名同学恰好选中同一种沟通方式的概率 【小问1详解】 解：喜欢用电话沟通的人数为20，所占百分比为， 此次共抽查了：（人， 喜欢用沟通所占比例为：， ”的扇形圆心角的度数为：， 故答案为：100；； 【小问2详解】 解：喜欢用短信的人数为：（人， 喜欢用微信的人数为：（人； 【小问3详解】 解：列出树状图，如图所示： 所有情况共有9种情况，其中两人恰好选中同一种沟通方式共有3种情况， 甲、乙两名同学恰好选中同一种沟通方式的概率为：． 21. 如图，在中，分别为边的中点，连接． （1）求证：． （2）若，则四边形是什么特殊四边形？请证明你的结论． 【答案】（1） 证明：在平行四边形中，，，  ， 、分别为、的中点，  ∴，，   在和中，    ； （2） 解：若，则四边形是菱形．  证明：在平行四边形中，，，，分别为边，的中点，  且，  四边形是平行四边形， 又，  是直角三角形，且， 是的中点，  ， 平行四边形是菱形． 【解析】 【分析】（1）根据四边形的性质可知，，，结合、分别为边、的中点，这样就具备了全等三角形判定中的，由此可证得结论； （2）先根据平行四边形的性质，利用对边平行且相等的四边形是平行四边形，证得四边形是平行四边形，然后根据直角三角形中，是斜边上的中线，得到，即可得出四边形是菱形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 春夏来临之际，天气开始暖和，某商家抓住商机，在三月份力推甲、乙两款儿童衬衣．已知三月份甲款衬衣的销售总额为6000元，乙款衬衣的销售总额为8100元，乙款衬衣的单价是甲款衬衣单价的1.5倍，乙款衬衣的销售数量比甲款衬衣的销售数量少5件． （1）求三月份甲款衬衣的单价是多少元？ （2）四月份，该商家准备销售甲、乙两款衬衣共200件，为了加大推销力度，将甲款衬衣的单价在三月份的基础上下调了20%，乙款衬衣的单价在三月份的基础上打五折销售．要使四月份的总销售额不低于18720元，则该商家至少要卖出甲款衬衣多少件？ 【答案】（1）120；（2）120 【解析】 【分析】（1）设三月份甲款衬衣的单价为元，审清题意找到等量关系，列出分式方程并求解即可； （2）在（1）结论的基础上，设该商家要卖出甲款衬衣件，审清题意找到不等量关系，列出一元一次不等式并求解即可． 【详解】解：（1）解：设三月份甲款衬衣的单价为元，根据题意得： 解得 经检验是分式方程的解，且符合题意 答：三月份甲款衬衣的单价是120元． （2）设该商家要卖出甲款衬衣件，根据题意得： ∵取最小正整数解 ∴ 答：该商家至少要卖出甲款衬衣120件． 【点睛】本题考查了分式方程、一元一次不等式的实际应用，体现了数学建模的核心素养，审清题意找到等量或不等量关系是解决问题的关键． 23. 如图，已知AB是⊙O的直径，AC是弦（不是直径），OD⊥AC垂足为G交⊙O于D，E为⊙O上一点（异于A、B），连接ED交AC于点F，过点E的直线交BA、CA的延长线分别于点P、M，且ME＝MF． （1）求证：PE是⊙O的切线． （2）若DF＝2，EF＝8，求AD的长． （3）若PE＝6，sin∠P＝，求AE的长． 【答案】（1）证明：连接OE， ∵OD⊥AC， ∴∠DGF＝90°， ∴∠D+∠DFG＝∠D+∠AFE＝90°， ∴∠DFG＝∠AFE， ∵ME＝MF， ∴∠MEF＝∠MFE， ∵OE＝OD， ∴∠D＝∠OED， ∴∠OED+∠MEF＝90°， ∴OE⊥PE， ∴PE是⊙O的切线； （2）； （3）2. 【解析】 【分析】（1）连接OE，根据余角的性质和等腰三角形的性质得到∠D＝∠OED，求得OE⊥PE，于是得到结论； （2）根据垂径定理得到，求得∠FAD＝∠AED，根据相似三角形的性质得到结论； （3）设OE＝x，解直角三角形即可得到结论． 【详解】（1）略 （2）∵OD⊥AC， ∴， ∴∠FAD＝∠AED， ∵∠ADF＝∠EDA， ∴△DFA～△DAE， ∴， ∴AD2＝DF•DE＝2×10＝20， ∴AD＝2； （3）解：设OE＝x， ∵sin∠P＝， ∴OP＝3x， ∴x2+（6）2＝（3x）2， 解得：x＝3， 过E作EH垂直AB于H， sin∠P＝， ∴EH＝2， ∵OH2+EH2＝OE2， ∴OH＝1，∴AH＝2， ∵AE2＝HE2+AH2， ∴AE＝2． 【点睛】本题考查了切线的判定和性质，垂径定理，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 24. 我们不妨约定：在平面直角坐标系中，过某一点分别向、轴作垂线，若这一点与坐标轴围成的矩形周长和面积相等，则这个点叫做“和谐点”，这个矩形称为“和谐矩形”．如，如图①，点，过点分别作、垂线，与坐标轴围成的矩形周长和面积都是18，则点为“和谐点”，矩形为“和谐矩形”． （1）若点是第四象限的“和谐点”，求点的坐标； （2）若反比例函数图象上存在“和谐点”，求k的取值范围； （3）如图②，一次函数与轴、轴分别交于点、，点P是的外接圆上一点，且四边形为“和谐矩形”，点为弧的中点，点是的外接圆上任意一点（与不重合），连接，过点作的垂线交直线于点，求的最大值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据“和谐点”的定义和第四象限的范围即可求解； （2）根据“和谐点”的定义列出方程，化简之后是关于的一元二次方程，因为存在，所以方程有解，利用，即可求解； （3）先根据“和谐点”的定义求出值，从而得到直径和半径的长度，利用等角转化求出的正切值，所以当最大时也最大，最大为直径，进而求解即可． 【小问1详解】 解：是第四象限的“和谐点”， ， ， 由“和谐点”定义可得，， 解得， ． 【小问2详解】 设“和谐点”坐标为， ， “和谐点”在第一象限或第三象限， 由“和谐点”定义可得， 当时，整理得， 当时，整理得， 存在“和谐点”， ， 解得或（舍， ． 【小问3详解】 与轴交于点，与轴交于点， 分别令，得，，， 由“和谐点”定义可得，， 解得或（舍去）， ，， ， 设的外接圆圆心为， ， 是直径，圆心为中点， 如图连接、，连接与交于点， ， 是弧中点， 垂直平分， ， 在中，， ， ， ， ， ， ， ， ， 即， ， 当有最大值时，也有最大值， 和在圆上， 最大时为直径，此时， ． 即的最大值为． 【点睛】本题主要考查“和谐点”的新定义、矩形的性质、反比例函数点的坐标特征、圆周角定理、解直角三角形等内容，熟练掌握相关知识和理解题意是解题的关键． 25. 如图：在平面直角坐标系中，直线l：y=x﹣与x轴交于点A，经过点A的抛物线y=ax2﹣3x+c的对称轴是x=． （1）求抛物线的解析式； （2）平移直线l经过原点O，得到直线m，点P是直线m上任意一点，PB⊥x轴于点B，PC⊥y轴于点C，若点E在线段OB上，点F在线段OC的延长线上，连接PE，PF，且PF=3PE，求证：PE⊥PF； （3）若（2）中的点P坐标为（6，2），点E是x轴上的点，点F是y轴上的点，当PE⊥PF时，抛物线上是否存在点Q，使四边形PEQF是矩形？如果存在，请求出点Q的坐标，如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）抛物线的解析式为y=x2﹣3x﹣4； （2）∵平移直线l经过原点O，得到直线m， ∴直线m的解析式为y=x． ∵点P是直线1上任意一点， ∴设P（3a，a），则PC=3a，PB=a． 又∵PE=3PE， ∴． ∴∠FPC=∠EPB． ∵∠CPE+∠EPB=90°， ∴∠FPC+∠CPE=90°， ∴FP⊥PE． （3）点Q的坐标为（﹣2，6）或（2，﹣6）． 【解析】 【分析】（1）先求得点A的坐标，然后依据抛物线过点A，对称轴是x=列出关于a、c的方程组求解即可； （2）设P（3a，a），则PC=3a，PB=a，然后再证明∠FPC=∠EPB，最后通过等量代换进行证明即可； （3）设E（a，0），然后用含a的式子表示BE的长，从而可得到CF的长，于是可得到点F的坐标，然后依据中点坐标公式可得到，，从而可求得点Q的坐标（用含a的式子表示），最后，将点Q的坐标代入抛物线的解析式求得a的值即可． 【详解】（1）当y=0时，，解得x=4，即A（4，0），抛物线过点A，对称轴是x=，得， 解得，抛物线的解析式为y=x2﹣3x﹣4； （2）略 （3）如图所示，点E在点B的左侧时，设E（a，0），则BE=6﹣a． ∵CF=3BE=18﹣3a， ∴OF=20﹣3a． ∴F（0，20﹣3a）． ∵PEQF为矩形， ∴，， ∴Qx+6=0+a，Qy+2=20﹣3a+0， ∴Qx=a﹣6，Qy=18﹣3a． 将点Q的坐标代入抛物线的解析式得：18﹣3a=（a﹣6）2﹣3（a﹣6）﹣4，解得：a=4或a=8（舍去）． ∴Q（﹣2，6）． 如下图所示：当点E在点B的右侧时，设E（a，0），则BE=a﹣6． ∵CF=3BE=3a﹣18， ∴OF=3a﹣20． ∴F（0，20﹣3a）． ∵PEQF为矩形， ∴，， ∴Qx+6=0+a，Qy+2=20﹣3a+0， ∴Qx=a﹣6，Qy=18﹣3a． 将点Q的坐标代入抛物线的解析式得：18﹣3a=（a﹣6）2﹣3（a﹣6）﹣4，解得：a=8或a=4（舍去）． ∴Q（2，﹣6）． 综上所述，点Q的坐标为（﹣2，6）或（2，﹣6）． 【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了矩形的性质、待定系数法求二次函数的解析式、中点坐标公式，用含a的式子表示点Q的坐标是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年长沙市芙蓉区初中学业水平适应性考试试卷数学 注意事项： 1．答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号； 2．必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3．答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示； 4．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 5．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸； 6．本试题共25题，考试时量120分钟，满分120分． 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 2024的倒数是（ ） A. B. C. 2024 D. 2. 龙年春晚分会场，“长沙元素”吸引八方来客，春节假日接待旅游人数万人次，同比增长，其中数据万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 4. 下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是（　　） A. ，， B. 6，8，10 C. 7，24，25 D. ，3，5 5. 3月28日，小米集团正式发布小米汽车SU7．小米SU7的正式发布上市，标志着小米“人车家生态”实现完整闭环，助推了我国新能源汽车产业的发展．以下是小米SU7 Max四种造型的轮毂（除去轮胎的部分），其中不能近似看成轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 6. 不等式组的解集在数轴上表示为( ) A. B. C. D. 7. 如图所示的几何体是由五个小正方体组合而成的，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 8. 下列命题是真命题的是（ ） A. 相等的角是对顶角 B. 圆周角等于圆心角的一半 C. 平分弦的直径垂直于弦 D. 同角或等角的余角相等 9. 王爷爷上午8：00从家出发，外出散步，到老年阅览室看了一会儿报纸，继续以相同的速度散步一段时间，然后回家．如图描述了王爷爷在散步过程中离家的路程s（米）与所用时间t（分）之间的函数关系，则下列信息错误的是（　　） A. 王爷爷看报纸用了20分钟 B. 王爷爷一共走了1600米 C. 王爷爷回家的速度是80米/分 D. 上午8：32王爷爷在离家800米处 10. 对于平面直角坐标系中的点和图形，给出如下定义：在图形上若存在两点，，使为正三角形，则称图形为点的型线，点为图形的型点，为图形G关于点P的T型三角形．若是抛物线的T型点，则n的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二．填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11. 的算术平方根是______． 12. 分解因式：3x2+6xy+3y2＝_____． 13. 将二次函数的图像向右平移2个单位，再向下平移5个单位，所得二次函数的解析式为______； 14. 甲乙两名男同学练习投掷实心球，每人投了10次，平均成绩均为7.5米，方差分别为，，成绩比较稳定的是______．（填“甲”或“乙”） 15. 若圆锥底面的半径为3，它的侧面展开图的面积为，则它的母线长为_______． 16. 如图，在中，，，，点分别在两边上，将沿直线折叠，使点的对应点D恰好落在线段BC上，当是直角三角形时，则的值为_________. 三．解答题（本大题共有9小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分） 17. 计算：﹣2sin60°+（﹣1）0+（）﹣2． 18. 先化简，再求值，再从这4个数中选择一个恰当的值代入求值． 19. 小明利用所学三角函数知识对小区洋房的高度进行测量．他们在地面的A点处用测角仪测得楼房顶端D点的仰角为，向楼房前行在B点处测得楼房顶端D点的仰角为，已知测角仪的高度是（点A，B，C在同一条直线上），根据以上数据求楼房CD的高度．（，结果取整数） 20. 随着通讯技术的迅猛发展，人与人之间的沟通方式更多样、便捷。某校数学兴趣小组设计了“你最喜欢的沟通方式”调查问卷（每人必选且只选一种），在全校范围内随机调查了部分学生，将统计结果绘制了如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题： （1）这次统计共抽查了______名学生，在扇形统计图中“”的扇形圆心角的度数为______； （2）将条形统计图补充完整； （3）某天甲、乙两名同学都想从“微信”、“”、“电话”三种沟通方式中选一种方式与对方联系，请用列表或画树状图的方法求出甲、乙两名同学恰好选择同一种沟通方式的概率． 21. 如图，在中，分别为边的中点，连接． （1）求证：． （2）若，则四边形是什么特殊四边形？请证明你的结论． 22. 春夏来临之际，天气开始暖和，某商家抓住商机，在三月份力推甲、乙两款儿童衬衣．已知三月份甲款衬衣的销售总额为6000元，乙款衬衣的销售总额为8100元，乙款衬衣的单价是甲款衬衣单价的1.5倍，乙款衬衣的销售数量比甲款衬衣的销售数量少5件． （1）求三月份甲款衬衣的单价是多少元？ （2）四月份，该商家准备销售甲、乙两款衬衣共200件，为了加大推销力度，将甲款衬衣的单价在三月份的基础上下调了20%，乙款衬衣的单价在三月份的基础上打五折销售．要使四月份的总销售额不低于18720元，则该商家至少要卖出甲款衬衣多少件？ 23. 如图，已知AB是⊙O的直径，AC是弦（不是直径），OD⊥AC垂足为G交⊙O于D，E为⊙O上一点（异于A、B），连接ED交AC于点F，过点E的直线交BA、CA的延长线分别于点P、M，且ME＝MF． （1）求证：PE是⊙O的切线． （2）若DF＝2，EF＝8，求AD的长． （3）若PE＝6，sin∠P＝，求AE的长． 24. 我们不妨约定：在平面直角坐标系中，过某一点分别向、轴作垂线，若这一点与坐标轴围成的矩形周长和面积相等，则这个点叫做“和谐点”，这个矩形称为“和谐矩形”．如，如图①，点，过点分别作、垂线，与坐标轴围成的矩形周长和面积都是18，则点为“和谐点”，矩形为“和谐矩形”． （1）若点是第四象限的“和谐点”，求点的坐标； （2）若反比例函数图象上存在“和谐点”，求k的取值范围； （3）如图②，一次函数与轴、轴分别交于点、，点P是的外接圆上一点，且四边形为“和谐矩形”，点为弧的中点，点是的外接圆上任意一点（与不重合），连接，过点作的垂线交直线于点，求的最大值． 25. 如图：在平面直角坐标系中，直线l：y=x﹣与x轴交于点A，经过点A的抛物线y=ax2﹣3x+c的对称轴是x=． （1）求抛物线的解析式； （2）平移直线l经过原点O，得到直线m，点P是直线m上任意一点，PB⊥x轴于点B，PC⊥y轴于点C，若点E在线段OB上，点F在线段OC的延长线上，连接PE，PF，且PF=3PE，求证：PE⊥PF； （3）若（2）中的点P坐标为（6，2），点E是x轴上的点，点F是y轴上的点，当PE⊥PF时，抛物线上是否存在点Q，使四边形PEQF是矩形？如果存在，请求出点Q的坐标，如果不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $