单元检测04 一元二次函数、方程和不等式（能力卷）- 2024-2025学年高一上学期必修第一册数学同步学案（自主预习+题型研析+当堂温习+分层练习）（人教2019A版专用）

单元检测04 一元二次函数、方程和不等式（能力卷） 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（23-24高二下·辽宁大连·期末）设的平均数为与的平均数为与的平均数为.若，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 2．（2024·江苏宿迁·一模）若，则的最小值为（    ） A．9 B．18 C．24 D．27 3．（23-24高一上·贵州安顺·期末）若不等式恒成立，则实数的最大值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．9 4．（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）若命题“，，都有”为真命题，则正实数的最小值是（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 5．（2024·广东广州·模拟预测）下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，则 6．（23-24高一上·上海普陀·期中）已知a，，且，则下列不等关系中正确的是（    ） A． B． C． D． 7．（21-22高一上·上海浦东新·期中）已知实数，关于的不等式的解集为，则实数a、b、、从小到大的排列是(    ) A． B． C． D． 8．（23-24高三下·江苏苏州·阶段练习）已知，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（21-22高三上·福建福州·阶段练习）已知，，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高二下·江西南昌·阶段练习）下列命题为真命题的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．如果，那么的最小值是 D．如果，，，那么的最大值为1 11．（23-24高一上·山东菏泽·阶段练习）下列命题正确的是（    ） A．若关于x的方程的一根比1大且另一根比1小，则a的取值范围是 B．若关于x的不等式在上恒成立，则实数k的取值范围是 C．若关于x的不等式的解集是，则关于x的不等式的解集是或 D．若，则的最小值为 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（2024·辽宁·三模）若“，使”是假命题，则实数的取值范围为 . 13．（23-24高一下·北京石景山·期中）为提高生产效率，某公司引进新的生产线投入生产，投入生产后，除去成本，每条生产线生产的产品可获得的利润s（单位：万元）与生产线运转时间t（单位：年，）满足二次函数关系：，现在要使年平均利润最大，则每条生产线运行的时间t为 年． 14．（2024·河北邯郸·三模）记表示x，y，z中最小的数．设，，则的最大值为 ． 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （24-25高一上·上海·课堂例题）比较下列各组中两式的大小： (1)已知、为正数，且，比较与的大小； (2)当时，比较与的值的大小． 16. (15分) （23-24高一上·广东深圳·阶段练习）已知：，：. (1)若是的充分不必要条件，求实数m的取值范围； (2)若是的既不充分也不必要条件，求实数m的取值范围. 17. (15分) （24-25高一上·江苏·开学考试）（1）求函数的最大值； （2）求函数的最小值； （3）若，且，求的最小值. 18. (17分) （23-24高一上·安徽安庆·阶段练习）已知函数，. (1)若关于的方程有两个实数根，，且，求实数的取值范围； (2)若不等式对恒成立，求实数的取值范围. 19. (17分) （23-24高一上·上海浦东新·期中）问题：正实数a，b满足，求的最小值.其中一种解法是：，当且仅当且时，即且时取等号.学习上述解法并解决下列问题： (1)若正实数x，y满足，求的最小值； (2)若实数a，b，x，y满足，求证：； (3)求代数式的最小值，并求出使得M最小的m的值. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 单元检测04 一元二次函数、方程和不等式（能力卷） 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（23-24高二下·辽宁大连·期末）设的平均数为与的平均数为与的平均数为.若，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 2．（2024·江苏宿迁·一模）若，则的最小值为（    ） A．9 B．18 C．24 D．27 3．（23-24高一上·贵州安顺·期末）若不等式恒成立，则实数的最大值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．9 4．（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）若命题“，，都有”为真命题，则正实数的最小值是（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 5．（2024·广东广州·模拟预测）下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，则 6．（23-24高一上·上海普陀·期中）已知a，，且，则下列不等关系中正确的是（    ） A． B． C． D． 7．（21-22高一上·上海浦东新·期中）已知实数，关于的不等式的解集为，则实数a、b、、从小到大的排列是(    ) A． B． C． D． 8．（23-24高三下·江苏苏州·阶段练习）已知，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（21-22高三上·福建福州·阶段练习）已知，，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高二下·江西南昌·阶段练习）下列命题为真命题的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．如果，那么的最小值是 D．如果，，，那么的最大值为1 11．（23-24高一上·山东菏泽·阶段练习）下列命题正确的是（    ） A．若关于x的方程的一根比1大且另一根比1小，则a的取值范围是 B．若关于x的不等式在上恒成立，则实数k的取值范围是 C．若关于x的不等式的解集是，则关于x的不等式的解集是或 D．若，则的最小值为 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（2024·辽宁·三模）若“，使”是假命题，则实数的取值范围为 . 13．（23-24高一下·北京石景山·期中）为提高生产效率，某公司引进新的生产线投入生产，投入生产后，除去成本，每条生产线生产的产品可获得的利润s（单位：万元）与生产线运转时间t（单位：年，）满足二次函数关系：，现在要使年平均利润最大，则每条生产线运行的时间t为 年． 14．（2024·河北邯郸·三模）记表示x，y，z中最小的数．设，，则的最大值为 ． 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （24-25高一上·上海·课堂例题）比较下列各组中两式的大小： (1)已知、为正数，且，比较与的大小； (2)当时，比较与的值的大小． 16. (15分) （23-24高一上·广东深圳·阶段练习）已知：，：. (1)若是的充分不必要条件，求实数m的取值范围； (2)若是的既不充分也不必要条件，求实数m的取值范围. 17. (15分) （24-25高一上·江苏·开学考试）（1）求函数的最大值； （2）求函数的最小值； （3）若，且，求的最小值. 18. (17分) （23-24高一上·安徽安庆·阶段练习）已知函数，. (1)若关于的方程有两个实数根，，且，求实数的取值范围； (2)若不等式对恒成立，求实数的取值范围. 19. (17分) （23-24高一上·上海浦东新·期中）问题：正实数a，b满足，求的最小值.其中一种解法是：，当且仅当且时，即且时取等号.学习上述解法并解决下列问题： (1)若正实数x，y满足，求的最小值； (2)若实数a，b，x，y满足，求证：； (3)求代数式的最小值，并求出使得M最小的m的值. 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A D B B B A D BC ABD 题号 11 答案 ACD 1．B 【分析】根据题意可得，利用作差法比较大小. 【详解】由题意可知：， 则， 因为，则， 可得，即. 故选：B. 2．A 【分析】利用基本不等式中“1”的妙用即可求得最小值. 【详解】根据题意可得； 当且仅当，即时，等号成立； 此时的最小值为9. 故选：A. 3．D 【分析】化简可得恒成立，再根据基本不等式求解的最小值即可. 【详解】由题意恒成立，即恒成立. 又，当且仅当时取等号. 故实数的最大值为9. 故选：D 4．B 【分析】先根据条件，求出的最小值，依题意，需使，解之即得. 【详解】因，由，当且仅当时取等号. 因命题“，，都有”为真命题，故只需成立， 即，解得，即，故正实数的最小值是4. 故选：B. 5．B 【分析】由不等式的基本性质，赋值法逐项判断即可. 【详解】对于A，可以取，，，此时，所以A错误. 对于B：∵，∴，因为，所以，故B正确； 对于C：取，时，则，，，则，故C错误； 对于D：当，时，，，则，故D错误； 故选：B. 6．B 【分析】利用不等式性质判断ACD，利用基本不等式判断B. 【详解】对于A，因为，所以，错误； 对于B，因为，所以，所以， 当且仅当即时，等号成立，又，所以，正确； 对于C，因为，所以，，所以，错误； 对于D，因为，所以，所以， 又，所以即，错误； 故选：B. 7．A 【分析】由题可知，再利用中间量，根据与之间的关系求出的取值范围，即可判断a、b、、之间的关系. 【详解】由题可得：，.由，，设，则.所以，所以，.又，所以，所以.故，.又，故. 故选：A. 8．D 【分析】由题意首先得，且，进一步通过换元法以及判别式法即可求解，注意验证取等条件. 【详解】因为，所以，所以，等号成立当且仅当， 从而， 令，设，显然， 则， 因为关于的一元二次方程有实数根，所以， 整理得，即， 解得，注意到，从而， 等号成立当且仅当，即， 所以经检验的最大值，即的最大值为. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：关键是得，且，由此即可顺利得解. 9．BC 【分析】利用不等式的性质可判断A，由基本不等式可判断B，利用指数函数的单调性判断C，由作差法判断D. 【详解】对于A项：因为，所以，又，所以，A错； 对于B项：因为，所以，B对； 对于C项：，因为，，所以，又因为，所以，C对； 对于D项：，所以，D错. 故选：BC． 10．ABD 【分析】根据不等式的性质判断AB，根据基本不等式求最值，判断CD. 【详解】A.根据不等式的性质可知，若，，则，故A正确； B.若，则，，则，故B正确； C.，则，当时，等号成立，所以的最大值是，故C错误； D.若，，，即， 则，即， 所以时，最大值为1，故D正确. 故选:ABD 11．ACD 【分析】对于A，原问题等价于，解一元二次不等式即可验证；对于B，原问题等价于在上恒成立，由此即可验证；对于C，首先得，然后解分式不等式即可验证；对于D，首先由基本不等式得，然后由即可验证，注意取等条件是否成立. 【详解】对于A，二次函数，开口向上， 若关于x的方程的一根比1大且另一根比1小， 则，解得，故A正确； 对于B，若关于x的不等式在上恒成立， 则只需，即在上恒成立即可， 则实数k的取值范围是，故B错误； 对于C，若关于x的不等式的解集是，则， 所以关于x的不等式或，故C正确；‘ 对于D，若，则，解得，等号成立当且仅当， 所以，等号成立当且仅当，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点睛：A选项的关键是得，B选项的关键是得在上恒成立，C选项的关键是得，D选项的关键是利用基本不等式得，然后适当变形即可求解. 12． 【分析】将问题转化为“在上恒成立”，再利用对勾函数的单调性求得最值，从而得解. 【详解】因为“，使”是假命题， 所以“，”为真命题， 其等价于在上恒成立， 又因为对勾函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以，即实数的取值范围为. 故答案为：. 13．7 【分析】求出年平均利润函数，利用均值不等式求解即可. 【详解】依题意，年平均利润为, 由于，当且仅当，即时取等号，此时， 所以当每条生产线运行的时间时，年平均利润最大. 故答案为：7. 14．2 【分析】分是否大于进行讨论，由此即可简化表达式，若，则可以得到，并且存在，，使得，，同理时，我们可以证明，由此即可得解. 【详解】若，则，此时， 因为，所以和中至少有一个小于等于2， 所以，又当，时，， 所以的最大值为2． 若，则，此时， 因为，所以和中至少有一个小于2， 所以． 综上，的最大值为2． 故答案为：2. 【点睛】关键点点睛：关键是分是否大于进行讨论，结合不等式的性质即可顺利得解. 15．(1)； (2)． 【分析】（1）（2）利用作差法比较大小即得. 【详解】（1）依题意， ， 由，且，得，， 所以，即． （2）依题意，， 由，得，则， 所以． 16．(1) (2)或 【分析】（1）解不等式化简命题，由充分不必要条件列出不等式求解； （2）根据命题的关系，可得对应集合互不包含，列出不等式求解. 【详解】（1）由，可得，则：， 又由，可得，则：， 若q是p的充分不必要条件，可得是的真子集， 有，解可得； （2）若q是p的既不充分也不必要条件，则和互不包含， 可得或，解得或. 17．（1）；（2）9；（3）9 【分析】（1）（2）对函数解析式变形，利用基本不等式求解最值； （3）先常数代换变形，再利用基本不等式求解最值； 【详解】（1）由，得， 因此， 当且仅当，即时取等号，所以原函数的最大值为. （2）由，得， 因此， 当且仅当，即时取等号，所以原函数的最小值为9. （3）因为，且， 所以， 当且仅当，即时取等号，此时，，所以的最小值为. 18．(1) (2) 【分析】（1）根据方程根的情况，结合判别式与韦达定理列不等式，解不等式即可； （2）方法一：不等式可化为，变化主元，转化为关于的一次函数，结合一次函数值域可得不等式，解不等式；方法二：分情况讨论，分离参数，解决不等式恒成立问题. 【详解】（1）关于的方程有两个实数根，， 则，解得， 又， 则，即， 综上所述，实数的取值范围为； （2）方法一：不等式可化为（*）， 令， 由题知对恒成立 则有， 得， 得或， 综上得的取值范围是； 方法二：不等式可化为（*）. 由题知不等式（*）对恒成立. ①当，即时，得到，使得对恒成立，所以，解得或（舍）； ②当，时，不等式（*）显然不成立，此时不符合题意； ③当，时，得到，使得对恒成立，则，解得或（舍）， 综上得的取值范围是. 19．(1) (2)证明见解析 (3)时，取得最小值． 【分析】（1）利用“1”的代换凑配出积为定值，从而求得和的最小值； （2）利用已知，，然后由基本不等式进行放缩：，再利用不等式的性质得出大小．并得出等号成立的条件． （3）令，，构造，即以，即，然后利用（2）的结论可得． 【详解】（1）因为,， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值是． （2）， 又，当且仅当时等号成立， 所以， 所以，当且仅当且同号时等号成立．此时满足. （3）令，，由得， ， 又，所以， 构造， 由，可得，因此， 由（2）知， 取等号时，且同正， 结合，解得，即，． 所以时，取得最小值． 【点睛】本题考查用基本不等式求最小值，考查方法的类比：“1”的代换．解题关键是“1”的代换，即利用，从而借助基本不等式得出大小关系，同时考查新知识（新结论）的应用，考查了学生的灵活运用数学知识的能力．对学生的创新性思维要求较高，本题属于难题． 学科网（北京）股份有限公司 $$