第十章 分式（单元小结）（15大重点题型专训）-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂（北京版）

第十章 分式（单元小结） 题型一 分式的定义 题型二 分式有无意义的条件 题型三 分式值为零的条件 题型四 分式的规律性问题 题型五 分式的基本性质 题型六 最简分式与最简公分母 题型七 约分与通分 题型八 分式的乘除法 题型九 分式的加减法 题型十 分式的混合运算 题型十一 分式计算的实际应用 题型十二 分式的化简求值 题型十三 解分式方程 题型十四 分式方程的增根与无解问题 题型十五 分式方程的应用 题型一 分式的定义 1．下列各式，，，，，，，中，分式共有（      ）个． A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题考查的是分式的定义．判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式． 【详解】解：代数式，，，，，，，中，是分式的有，，，，，， 一共有6个分式， 故选：B． 2．代数式，，，，，中，属于分式的有（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【分析】本题考查的是分式的定义，根据分式的定义进行解答即可，即分母中含有未知数的式子叫分式． 【详解】解：这些式子中，，，，，， 属于分式的有：，，，， 故选：B 3．有下列各式∶①；②；③；④．其中是分式有 ．（填序号） 【答案】①②④ 【分析】本题考查分式的识别，根据形如，均为整式，且中含有字母，这样的式子叫做分式，进行判断即可．注意不是字母． 【详解】解：①，是分式； ②，是分式； ③，不是分式； ④，是分式； 故答案为：①②④ 4．在，，，，中，分式的个数是 个． 【答案】3 【分析】本题考查分式的定义，根据分式的定义：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，且，那么式子叫做分式逐个判断各式即可求． 【详解】解：在，，，，中，，，是分式，共3个， 故答案为：3． 5．下列式子中，，哪些是整式？哪些是分式？ 【答案】整式：；分式： 【分析】形如（f，g是整式，且g中含有字母，）的式子叫做分式．分母中含有字母，但表示一个常数，故不是分式；和显然是整式；分母中不含字母，故不是分式． 【解】整式：． 分式：． 题型二 分式有无意义的条件 1．分式有意义的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式有意义的条件，根据分母不为零列式求解即可． 【详解】解∵分式有意义， ∴， ∴． 故选D． 2．下列关于分式的判断，正确的是（　　） A．当时，无意义 B．当时，无意义 C．当时，的值为0 D．当时，的值为负数 【答案】A 【分析】本题考查了分式的意义，掌握当分式的分母为零时，分式无意义；当分式的分子为零时，分式的值为零是解题关键．根据分式的性质逐一判断即可． 【详解】A、当时，无意义，符合题意； B、当时，无意义，不符合题意； C、当时，的值不存在，不符合题意； D、当时，的值为正数，不符合题意． 故选：A． 3．按要求填空． （1）分式有意义时，的取值范围是 ． （2）分式无意义时，的值是 ． （3）分式的值为0时， ． 【答案】 0 【分析】本题考查了分式有意义、分式无意义的条件及分式值为零的条件，熟知它们的特征是解题的关键； （1）根据分式有意义的条件是分母不等于零， 即可解答； （2）分式无意义的条件是分母等于零， 即可解答； （3）分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零， 即可解答． 【详解】（1）分式有意义， ， 解得：， 故答案为：； （2）分式无意义， ， 解得：； 故答案为：； （3）分式的值为0， 且， 解得： 故答案为：0； 4．当x 时，分式的值存在；当x 时，分式无意义． 【答案】 【分析】本题考查分式有意义和无意义的条件，根据分式的分母不为0，分式有意义，分式的分母为0，分式无意义，列式计算即可． 【详解】解：当，即：时，分式的值存在； 当，即：时，分式无意义； 故答案为：； 5．要使分式有意义，求x的取值范围． (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3)x为任意实数 【分析】本题考查了分式有意义的条件，解题的关键的掌握分式有意义的条件是分母不为0． （1）根据分式有意义的条件，得出，即可解答； （2）根据分式有意义的条件，得出，即可解答； （3）根据分式有意义的条件，得出，即可解答． 【详解】（1）解：∵有意义， ∴， ∴； （2）解：∵有意义， ∴， ∴； （3）解：∵有意义， ∴， ∵， ， ∴x为任意实数． 题型三 分式值为零的条件 1．若分式的值为零，则x的值为（   ） A．0 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的值为0，根据分子等于0，分母不为0时，分式的值为0，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：，且， ∴； 故选C． 2．如果分式的值为零，那么x的值等于（   ） A． B．1 C．3 D．或3 【答案】C 【分析】考查了分式的值为零的条件，若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可． 根据分式的值为零的条件可以求出x的值． 【详解】解：根据题意得：且． 解得：， 故选：C． 3．若分式的值为0，则x的值是 【答案】2 【分析】本题考查分式的值为0，熟练掌握分式的值为0的条件是解题的关键．根据分式的值为0的条件可直接进行求解． 【详解】解：由分式的值为0，则有： ， ∴， 故答案为2． 4．若分式的值为零，则 ． 【答案】 【分析】直接利用分式的值为零则分子等于零且分母不等于零，进而得出答案．此题主要考查了分式有意义的条件，关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴，， ∴． 故答案为：． 5．已知分式． (1)当时，求分式的值； (2)当为何值时，分式有意义？ (3)当为何值时，分式的值为0？ 【答案】(1) (2)且 (3) 【分析】本题考查的是分式的求值，分式有意义的条件，分式的值为0的条件，掌握分式的基础概念是解本题的关键； （1）直接把代入计算即可； （2）由分母不为0建立不等式求解即可； （3）由分子为0，分母不为0，再求解即可． 【详解】（1）解：当时， ； （2）∵有意义， ∴且， 解得：且； （3）∵的值为0， ∴， 解得：， ∵且， ∴且； ∴； 题型四 分式的规律性问题 1．按一定规律排列的分式：，…．第n个分式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式的变化规律，分别根据分子，分母所给单项式的特点，探索出单项式的一般规律是解题的关键．通过观察可得规律：第n个分式的分子是，第n个分式的分母是，即可得到第n个分式． 【详解】解：第1个分式的分子是， 第2个分式的分子是， 第3个分式的分子是， ； 第n个分式的分子是； 第1个分式的分母是， 第2个分式的分母是， 第3个分式的分母是， ； 第n个分式的分母是， 第n个分式是， 故选：B． 2．给定一列分式：，，，，，，…（其中），按此规律，那么这列分式中的第n个分式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式规律问题，确定分别找准分母系数和次数的规律、分子次数规律是解题的关键．分别判断系数，字母之间的关系，即可找出答案． 【详解】解：第一个分式为：， 第二个分式为：， 第三个分式为：， 第四个分式为：， 第五个分式为：， ， 按此规律，那么这列分式中的第n个分式为， 故选：C． 3．一组按规律排列的式子：，…，其中第7个式子是 ，第n个式子是 （用含n的式子表示，n为正整数）． 【答案】 【分析】本题主要考查代数式的规律，分母中a的次数等于分式的序次，分子为序次的2倍，当分式的序次为奇数时，分式符号为正，当分式的序次为偶数时，分式的符号为负，根据这个规律可得第n个式子是，即可求得第7个式子． 【详解】解∶ ； ； ； ； ； 则第n个式子为 这列分式中的第7个式子是， 故答案为：；． 4．按一定规律排列的一列分式依次为：，，，，……（），按此规律排列下去，第n个分式是 ．（n为正整数） 【答案】 【分析】本题考查分式的规律性问题，根据前四个分式总结出规律是解题关键．根据题意写出前四个分式的变形分别为，，，，即得出规律，从而得出第n个分式． 【详解】解：第1个数为， 第2个数为， 第3个数为， 第4个数为， ……， ∴第n个数为． 故答案为：． 5．观察以下等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， 第5个等式：， … 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第6个等式：________； (2)写出你猜想的第n个等式：________（用含n的等式表示），并证明． 【答案】(1) (2)，见解析 【分析】本题主要考查了数字的变化的规律，列代数式，分式的加减．准确找出等式中的数字与等式序号的关系是解题的关键． （1）观察等式中的4个数中的数字与等式的序号的关系，第一个数的分子是序号的2倍的平方，分母是从1开始的连续奇数，第二个数是从3开始的连续奇数，第三个数均是1，第四个数的分子是从0开始的连续偶数，分母是从1开始的连续奇数，以此规律可得结论； （2）依据（1）中找出的规律得到第个式子，通过计算式子的左边和右边来证明猜想的正确． 【详解】（1）解：观察等式中的4个数中的数字与等式的序号的关系可得：第一个数的分子是序号的2倍的平方，分母是从1开始的连续奇数，第二个数是从3开始的连续奇数，第三个数均是1，第四个数的分子是从0开始的连续偶数，分母是从1开始的连续奇数． 即：． 故答案为：． （2）依据（1）中找出的规律得到第个式子为：． 证明：∵左边， 右边， ∴左边边右边． ∴等式成立． 故答案为：． 题型五 分式的基本性质 1．如果把分式中的，都扩大3倍，那么分式的值（   ） A．扩大3倍 B．不变 C．缩小3倍 D．扩大9倍 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式的性质，熟练掌握分式的性质是解题的关键．根据分式的分子分母都乘以或除以一个不为的整数，分式的值不变，即可得到答案． 【详解】解：． 故选：B． 2．如果把分式中的和都扩大到原来的20倍，那么分式的值（    ） A．扩大到原来的20倍 B．缩小到原来的 C．扩大到原来的2倍 D．不变 【答案】B 【分析】本题考查了分式的基本性质：分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变．分别用和去代换原分式中的x和y，利用分式的基本性质化简即可． 【详解】解：把分式中的和都扩大到原来的20倍，得 ， ∴缩小到原来的． 故选B． 3．若分式中的a，b都扩大到原来的2倍，则分式值的变化为 ． 【答案】缩小为原来的 【分析】本题考查的是分式的基本性质，熟知分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变是解题的关键．先求出分式中的，都扩大到原来的2倍后的分式，进而可得出结论． 【详解】解：分式中的，都扩大到原来的2倍， 分式值变化为． 故答案为：缩小为原来的． 4．分式的值为m，将x，y都扩大2倍，则变化后分式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的基本性质．解题的关键是抓住分子，分母变化的倍数．解此类题目首先把字母变化后的值带入式子中，然后约分，再与原式比较最终得出结论．将原分式中的x、y用、代替，化简，再与原分式进行比较即可． 【详解】解：将分式中x、y都扩大2倍后所得式子为： ， 若分式的值为m， 则所得分式的值是m． 故答案为：m． 5．阅读理解： 材料1：为了研究分式与其分母x的数量变化关系，小力制作了表格，并得到如下数据： … 0 1 2 3 4 … … 无意义 1 … 从表格数据观察，当时，随着的增大，的值随之减小，若无限增大，则无限接近于0；当时，随着的增大，的值也随之减小． 材料2：在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数小于分母的次数，称这样的分式为真分式．如果分子的次数大于或等于分母的次数，称这样的分式为假分式．任何一个假分式都可以化为一个整式与一个真分式的和．例如： 根据上述材料完成下列问题： (1)当时，随着的增大，的值 (增大或减小)；当时，随着的增大，的值 （增大或减小）； (2)当时，随着的增大，的值无限接近一个数，请求出这个数； (3)当时，直接写出代数式值的取值范围是 ． 【答案】(1)减小，减小 (2)当时，无限接近于2 (3) 【分析】（1）根据的变化情况，判断、值得变化情况即可； （2）根据材料由即可求解； （3）由，配合即可求解． 【详解】（1）解：∵当时，随着的增大，的值随之减小， ∴随着的增大，的值随之减小； ∵当时，随着的增大，的值也随之减小， ∴随着的增大，的值随之减小， 故答案为：减小；减小； （2）解：∵ ∵当时，的值无限接近于0， ∴当时，无限接近于2； （3）解：， ∵， ∴， ∴， ∴， 即 ∴， 故答案为： 【点睛】本题考查分式的性质，熟练掌握分式的基本性质，理解题中的变量分离的方法是解题的关键． 题型六 最简分式与最简公分母 1．分式，，的最简公分母是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了最简公分母．先把分母分解因式，再根据最简公分母定义即可求出． 【详解】解：∵，，， ∴最简公分母是． 故选：C 2．下列分式是最简分式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查最简分式的识别．根据最简分式的概念：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式，逐一判断即可． 【详解】解：A、，分子与分母没有公因式，是最简分式，本选项符合题意； B、，不是最简分式，本选项不符合题意； C、，不是最简分式，本选项不符合题意； D、，不是最简分式，本选项不符合题意； 故选：A． 3．下列个分式中：①；②；③；④，最简分式有 个． 【答案】 【分析】本题考查了最简分式，若一个分式的分子与分母没有公因式，那么这个分式就叫做最简分式，据此逐一判断即可求解，掌握最简分式的定义是解题的关键． 【详解】解：①是最简分式，符合题意； ②，不是最简分式，不合题意； ③，不是最简分式，不合题意； ④是最简分式，符合题意； ∴最简分式有个， 故答案为：． 4．分式和分式的最简公分母是 ． 【答案】 【分析】本题考查了最简公分母的定义，解题关键是熟练掌握通常取各分母系数的最小公倍数与所有字母因式的最高次幂的积作为公分母，这样的公分母叫做最简公分母．根据确定最简公分母的方法逐项分析即可，确定最简公分母的方法是：①取各分母系数的最小公倍数；②凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；③同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母． 【详解】解：，， 两个分式的分母分别为、， 最简公分母是， 故答案为：． 5．下列分式中，哪些是最简分式？若不是最简分式，请化为最简分式． (1)； (2)． 【答案】(1)不是最简分式，化简见解析 (2)不是最简分式，化简见解析 【分析】最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．据此即可求解. 【详解】（1）解：； 则不是最简分式； （2）解：． 则不是最简分式． 【点睛】本题考查了最简分式，利用分式的基本性质对分式进行化简．最简分式判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分． 题型七 约分与通分 1．约分的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的约分，分子分母同时约去即可得出答案． 【详解】解：， 故选：A． 2．把与通分后，的分母为，则的分子变为（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接利用已知进行通分运算，进而得出答案． 【详解】解∶， 故的分子为． 故选∶B． 【点睛】此题主要考查了通分，正确进行通分运算是解题关键． 3．的最简公分母是 ，通分的结果为 ． 【答案】 【分析】此题考查分式的通分和最简公分母，根据最简公分母的定义和通分的法则进行解答即可． 【详解】解：的最简公分母是，通分的结果是， 故答案为：， 4．约分： ． 【答案】 【分析】本题考查分式的约分，先将分式的分子与分母因式分解，再约去分子与分母的公因式即可．掌握约分，公因式，因式分解是解题关键． 【详解】解：， 故答案为：． 5．通分： (1)，，； (2)，； (3)，，． 【答案】(1)，，； (2)，； (3)，，． 【分析】本题考查了通分，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）先求出最简公分母是，然后根据分式的基本性质进行计算，即可解答； （2）先求出最简公分母是，然后根据分式的基本性质进行计算，即可解答； （3）先求出最简公分母是，然后根据分式的基本性质进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：最简公分母是， 所以，，； （2）解：最简公分母是， 所以，； （3）解：最简公分母是， 所以，，． 题型八 分式的乘除法 1．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了含乘方的分式乘除混合运算，先计算乘方运算，然后把除法转化为乘法，然后再算乘法即可． 【详解】解： ， 故选：C． 2．化简，正确结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的乘除，能灵活运用分式的乘除法则进行计算是解此题的关键． 先把分式的除法变成乘法，再根据分式的乘法法则求出答案即可． 【详解】解： ， 故选：D． 3．当时，的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查考查分式的除法及化简求值，熟练掌握运算法则是解题关键． 【详解】解：， 当时，原式， 故答案为：． 4．计算∶= ． 【答案】 【分析】本题主要考查了含乘方的分式乘除混合运算，先计算乘方运算，然后把除法转化为乘法，然后再算乘法即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 5．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的乘法和除法运算，根据法则计算即可． （1）约分化简即可； （2）把除法转化为乘法，再按乘法法则化简． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 题型九 分式的加减法 1．若，则的值是（   ） A．2 B． C．4 D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴． 故选D． 2．计算的结果是（    ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】本题考查分式的加减，根据分式的减法运算法则，先通分，再加减求解即可． 【详解】解： ， 故选：B． 3．已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的化简求值．根据，推得，再代入即可求解． 【详解】解：， 即， 整理得：， ， 将代入求得． 故答案为：． 4．计算的结果是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了分式加减乘除混合运算，先通分括号，再运算除法，然后化简即可作答． 【详解】解： 故答案为： 5．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先化成同分母，然后再算减法，后化简即可． （2）首先化成同分母，然后再算减法，后化简即可． 此题主要考查了分式的加减法，关键是掌握分式加减法计算法则． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型十 分式的混合运算 1．化简的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的混合运算，掌握分式的运算法则是正确计算的前提．根据分式的混合运算的计算方法进行计算即可． 【详解】解： ， 故选：C． 2．化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式的混合运算，先把括号内两个分式通分，进行分式的减法运算，再计算分式的除法即可． 【详解】解： ； 故选B． 3．化简的结果为 ． 【答案】/ 【分析】先把括号内通分合并，再约分化简．本题考查分式的混合运算，解题关键是熟练掌握分式及整式的运算法则． 【详解】解：原式， ， ． 故答案为：． 4．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的混合运算，括号内先通分，再将除法转化为乘法，约分即可得出答案，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 5．计算： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的混合运算，需掌握的知识点：分式的混合运算的顺序和法则，分式的约分、通分，以及因式分解；熟练掌握分式的混合运算顺序和因式分解是解决问题的关键． （1）首先通分计算括号里面，进而根据分式的除法运算计算即可； （2）根据分式的加减乘除混合运算顺序进行计算，注意进行约分 【详解】（1）解：原式， ； （2）解：原式 ． 题型十一 分式计算的实际应用 1．甲、乙两人前后两次同时在同一家超市购买大米，前后两次购买大米的价格每千克分别为m元和n元（m，n为不相等的正数）．若甲每次购买p千克大米，乙每次花p元钱购买大米（p为正数）．则甲、乙两种购买方式平均价格低的是（    ） A．甲 B．乙 C．甲、乙一样 D．不确定 【答案】B 【分析】本题考查分式加减的应用，解题关键是理解题意．根据题意分别算出甲乙两次购买大米的平均价格，再作差，利用完全平方公式进行比较即可求解． 【详解】解：依题得：甲两次购买大米的平均价格为， 乙两次购买大米的平均价格为， ， 又， ， 即，乙两次购买大米的平均价格更低，更合理． 故选：． 2．小乐骑自行车匀速爬上一个斜坡后立即匀速下坡回到出发点，若上坡速度为，下坡速度为，则他上下坡的平均速度为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式加减的应用；由题意知，设上下坡的路程是s，上坡速度为，下坡速度为，时间为，利用平均速度=总路程÷总时间即可解答． 【详解】设上下坡的路程是s，上坡速度为，下坡速度为， ∴上坡的时间=，下坡的时间=， ∴他上下坡的平均速度为． 故选D． 3．临近春节，甲厂联系一辆车送m名员工返乡过年，租金为3000元，临出发时，有3名乙厂员工也随车返乡，如果所有乘车人员平均分摊车费，则甲厂员工最后人均车费比原来少了 元． 【答案】 【分析】本题考查的是分式的加减运算，先根据题意列代数式，再进行分式的减法运算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 4．如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为（）的正方形去掉一个边长为的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为的正方形（其中为大于的整数），两块试验田的小麦都收获了．    （1）丰收 号（填“1”或者“2”）小麦的单位面积产量高； （2）某农户试种“丰收1号”、“丰收2号”两种小麦种子，其中“丰收1号”小麦面积为（为整数），“丰收2号”小麦种植面积比“丰收1号”少，若两种小麦种植后产量相同（小麦试种的单产量与实验田一致），当时，符合条件的的值为 （直接写出结果）． 【答案】 2 或或 【分析】本题考查了分式的混合运算的应用； （1）根据题意，可以分别写出两块试验田的单位面积，然后比较大小即可． （2）根据“两种小麦种植后产量相同”得出关于的一元一次方程，解方程得，根据题意，即可求解． 【详解】解：（1）由图可得， “丰收1号”单位面积的产量为： “丰收2号”单位面积的产量为： ∵ ∴ ∴， 即“丰收2号”小麦单位面积产量高， 故答案为：． （2）依题意， 解得： ∵，为正整数， ∴或或． 5．阅读下列材料： 通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”．而假分数都可化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如：，这样的分式就是假分式；再如：，这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如：； 再如：． 解决下列问题： (1)分式是 分式（填“真分式”或“假分式”）； (2)如果分式的值为整数，求出所有符合条件的整数x的值． (3)若分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式为：，求的最小值． 【答案】(1)假分式 (2)或 (3)27 【分析】本题考查分式和新定义问题，解题的关键是正确理解新定义以及分式的运算，本题属于中等题型． （1）根据定义即可求出答案； （2）先化为带分式，然后根据题意列出方程即可求出x的值； （3）化简，根据分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式为：，得出，求出，代入中，得出，根据，，即可得出结果． 【详解】（1）解：由题意得：分式是假分式， 故答案为：假分式； （2）解：， ∵的值为整数，且为整数； 的值为或； ∴的值为或． （3）解： ， ∵分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式为：， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴的最小值为27． 题型十二 分式的化简求值 1．已知，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查分式的化简求值，完全平方公式的运用，把两边平方即可得的值，然后根据即可求值 【详解】解：∵， ∴，即， 则， ∴， ∴， 故选：C 2．已知，则的值为（    ） A．4 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式化简求值．已知等式左边通分并利用同分母分式的加法法则计算，得出关系式，所求式子变形后代入计算即可求出值． 【详解】解：∵，即， 则 ． 故选：C． 3．若，且，则 ． 【答案】19 【分析】题目主要考查分式的化简求值，将原式变形为已知条件是解题关键． 根据题意得出，将原式变形，然后求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ， ， 故． 又， 故，即， 解得， 故答案为：19． 4．已知，化简求值： ． 【答案】2024 【分析】本题考查了分式的化简求值，完全平方公式，先化简，把变成，整体代入即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：原式， ∵， ∴， ∴原式， 故答案为：． 5．先化简，再求值：其中 【答案】， 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先运用公式法以及提公因式法对分母，分子进行因式分解，然后把除法转化为乘法，然后约分计算，最后代入数值求解即可． 【详解】解： 当时，原式 题型十三 解分式方程 1．分式方程的解是（   ） A．4 B．-4 C． D．无解 【答案】D 【分析】本题考查的是解分式方程，掌握分式方程的解法是解题关键．将分式方程去分母化为整式方程求解，检验后即可得解． 【详解】解：， 去分母得：， 解得：， 经检验，时，， 即原分式方程无解， 故选：D． 2．解分式方程时，去分母后方程变形为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解分式方程的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 方程两边都乘以化简即可． 【详解】解：方程两边都乘以：， 即， 故选D． 3．分式方程的解为 ． 【答案】 【分析】利用去分母将原方程化为整式方程，解得的值后进行检验即可．本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键． 【详解】解：原方程去分母得：， 整理得：， 解得：， 检验：当时，， 故原方程的解为， 故答案为：． 4．若关于的分式方程有非负整数解，则的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键； 根据解分式方程的步骤求解即可； 【详解】解： 去分母得： 去括号： 移项： 系数化为： 根据题意可得：， 解得：， 故答案为：且 5．解分式方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法和步骤是解题关键． （1）按照去分母，去括号，移项、合并同类项，系数化为1的步骤求解，然后验证是否为增根，即可获得答案； （2）按照去分母，去括号，移项、合并同类项，系数化为1的步骤求解，然后验证是否为增根，即可获得答案． 【详解】（1）解：， 等号两边同时乘以，去分母，得 ， 去括号，得 ， 移项、合并同类项，得 系数化为1，得 ， 经检验，是该分式方程的解， 所以，该方程的解为； （2）解：， 等号两边同时乘以，去分母，得 ， 去括号，得 ， 移项、合并同类项，得 ， 系数化为1，得 ， 经检验，是该分式方程的解， 所以，该方程的解为． 题型十四 分式方程的增根与无解问题 1．对于关于的分式方程，以下说法错误的是（    ） A．分式方程的增根是或 B．若分式方程有增根，则 C．若分式方程无解，则或 D．分式方程的增根是 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程的解和增根，明确分式方程何时有增根及方程有解与无解的条件是解题的关键．将原方程去分母并整理，然后将增根（分母为0的未知数的值）代入，解得值即可． 【详解】解：∵的公分母是 ∴ ∴ ∴ 方程两边同时乘上 得 把分别代入 得出（舍去）；，则 ∴分式方程的增根是 故A选项是错误的；故D选项是正确的；B选项是正确的； 若分式方程无解，则 ∴ 则或 故C是正确的； 故选：A 2．若关于x的分式方程无解，则m的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】本题考查了根据分式方程的无解求参数的值，分式方程无解有两种情况：①去分母后所得整式方程无解，②解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0． 【详解】解：方程两边同时乘得：， 解得：， 方程无解， ， ， ， ， 故选：D． 3．关于的分式方程无解，则的值为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查分式方程的解法，解题的关键是熟练运用分式方程的解法，本题属于基础题型．根据分式方程无解的两种情况即可求出的值． 【详解】解： 去分母得， ， 当增根为或时， 或 解得或， 即或时，分式方程无解， 当时，即时，整式方程无解，分式方程无解， 综上可知，当的值为或或． 故答案为：或或 4．已知是关于的方程． （1）若方程有增根，则的值为 ，方程的增根为 ； （2）若方程无解，则的值为 ． 【答案】 0 0或2 【分析】题目主要考查根据分式方程解的情况确定参数，理解分式方程有增根与无解的情况是解题关键． （1）根据分式方程有增根的情况求解即可； （2）根据分式方程无解的情况求解即可． 【详解】解：（1）去分母得，， 方程有增根， 或， 当时，；当时，整式方程无解， 方程的增根为，的值为0， 故答案为：0；； （2）关于的方程无解， 整式方程的解是分式方程的增根或整式方程无解． ，， 当整式方程的解是分式方程的增根时，或， 当时，，当时，整式方程无解， 当整式方程无解时，， ，故分式方程无解时的值为0或2， 故答案为：0或2． 5．已知关于x的分式方程． (1)当时，求这个分式方程的解； (2)若此分式方程无解，求的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了解分式方程以及分式方程无解的问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）把代入方程，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解； （2）分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解，得到前的系数为或者最简公分母为，即可求解． 【详解】（1）解：把代入分式方程得：， 整理得：， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项、合并同类项，得：， 解得：， 检验：把代入得：， 是分式方程的解； （2）分式方程变形得：， 去分母，得：，即， 若，即时，此方程无解，即分式方程无解； 若，即时， 分式方程无解， ，即， 把代入整式方程得：， 综上所述，或． 题型十五 分式方程的应用 1．某商店销售一种小电器，元月的营业额为元为了扩大销量，在月将每件小电器按原价的八折销售，销售量比元月增加了件，营业额比元月增加了元，设元月每件小电器的售价为元，则可列方程为 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，设元月每件小电器的售价为元，则2月每件小电器的售价为元，再根据在月将每件小电器按原价的八折销售，销售量比元月增加了件，营业额比元月增加了元列出方程即可． 【详解】解：设元月每件小电器的售价为元，则2月每件小电器的售价为元， 由题意得，， 故选：D． 2．自带水杯已成为人们良好的健康卫生习惯，某公司为员工购买甲、乙两种型号的水杯．用720元购买甲种水杯的数量和用540元购买乙种水杯的数量相同，已知甲种水杯的单价比乙种水杯的单价多15元．设甲种水杯的单价为元，则列出方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查列分式方程解应用题，掌握列分式方程解应用题的方法与步骤，抓住等量关系列方程是解题关键． 设甲种水杯的单价为元，则乙种水杯的单价为元，根据720元购买甲种水杯的数量和用540元购买乙种水杯的数量相同列方程即可得解． 【详解】解：设甲种水杯的单价为元，则乙种水杯的单价为元 根据题意列出方程得：． 故选：A． 3．斑马线前“车让人”，不仅体现着一座城市对生命的尊重，也直接反映着城市的文明程度．如图，某路口的斑马线路段横穿双向行驶车道，其中，在绿灯亮时，小明共用通过，其中通过的速度是通过 速度的1.2 倍，则小明通过的速度为 ． 【答案】1 【分析】本题考查分式方程的实际应用，设通过的速度是，则根据题意可列分式方程，解出x即可．根据题意找出等量关系并列出分式方程是解答本题的关键． 【详解】解：设通过的速度是， 根据题意可列方程：， 解得， 经检验：是原方程的解且符合题意． 故通过时的速度是． 故答案为：1． 4．青少年是全民国防教育的重中之重，要从培养担当民族复兴大任时代新人的高度，教育引导青少年树立国防观念．某校为了提升青少年国防素养，组织共青团员乘大巴车前往距离学校的中国人民革命军事博物馆进行参观学习，出发后前一小时按原计划的速度匀速行驶，一小时后以原来速度的1.5倍匀速行驶，并比原计划提前了到达博物馆，则前一小时大巴车的行驶速度为 ． 【答案】60 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．设大巴车前一小时的行驶速度为，则一小时后的行驶速度为，再列方程求解即可． 【详解】设大巴车前一小时的行驶速度为，则一小时后的行驶速度为， 依题意，得， 解得． 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴大巴车前一小时的行驶速度为． 故答案为：60 5．某服装店用4000元购进一批运动衫，很快售完，该店又用6300元购进第二批这种运动衫，所购进的件数比第一批多，每件运动衫的进价比第一批多10元． (1)求购进第一批运动衫的件数； (2)若在这两批运动衫的销售中，售价保持一致，且售完这两批运动衫，服装店的总利润不少于4100元，那么服装店销售这种运动衫每件的最低售价是多少元？ 【答案】(1)第一批购进运动衫50件 (2)该服装店销售该品牌运动衫每件最低售价为120元 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用， （1）设第一批购进运动衫x件，根据数量等于总价除以单价结合第二批每件运动衫的进价比第一批每件运动衫的进价多10元，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论； （2）根据第二批购进的件数比第一批多，可求出第二批的进货数量，设该服装店销售该品牌运动衫每件的售价为y元，根据利润=销售单价×销售数量-进货总价，即可得出关于y的一元一次不等式，解之取其内的最小值即可得出结论． 【详解】（1）解：（1）设第一批购进运动衫x件， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：第一批购进运动衫50件； （2）解：第二批购进运动衫（件）， 设该服装店销售该品牌运动衫每件的售价为y元， 根据题意得：， 解得：， 答：该服装店销售该品牌运动衫每件最低售价为120元． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十章 分式（单元小结） 题型一 分式的定义 题型二 分式有无意义的条件 题型三 分式值为零的条件 题型四 分式的规律性问题 题型五 分式的基本性质 题型六 最简分式与最简公分母 题型七 约分与通分 题型八 分式的乘除法 题型九 分式的加减法 题型十 分式的混合运算 题型十一 分式计算的实际应用 题型十二 分式的化简求值 题型十三 解分式方程 题型十四 分式方程的增根与无解问题 题型十五 分式方程的应用 题型一 分式的定义 1．下列各式，，，，，，，中，分式共有（      ）个． A．5 B．6 C．7 D．8 2．代数式，，，，，中，属于分式的有（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 3．有下列各式∶①；②；③；④．其中是分式有 ．（填序号） 4．在，，，，中，分式的个数是 个． 5．下列式子中，，哪些是整式？哪些是分式？ 题型二 分式有无意义的条件 1．分式有意义的条件是（    ） A． B． C． D． 2．下列关于分式的判断，正确的是（　　） A．当时，无意义 B．当时，无意义 C．当时，的值为0 D．当时，的值为负数 3．按要求填空． （1）分式有意义时，的取值范围是 ． （2）分式无意义时，的值是 ． （3）分式的值为0时， ． 4．当x 时，分式的值存在；当x 时，分式无意义． 5．要使分式有意义，求x的取值范围． (1) (2) (3) 题型三 分式值为零的条件 1．若分式的值为零，则x的值为（   ） A．0 B．1 C． D． 2．如果分式的值为零，那么x的值等于（   ） A． B．1 C．3 D．或3 3．若分式的值为0，则x的值是 4．若分式的值为零，则 ． 5．已知分式． (1)当时，求分式的值； (2)当为何值时，分式有意义？ (3)当为何值时，分式的值为0？ 题型四 分式的规律性问题 1．按一定规律排列的分式：，…．第n个分式是（    ） A． B． C． D． 2．给定一列分式：，，，，，，…（其中），按此规律，那么这列分式中的第n个分式为（    ） A． B． C． D． 3．一组按规律排列的式子：，…，其中第7个式子是 ，第n个式子是 （用含n的式子表示，n为正整数）． 4．按一定规律排列的一列分式依次为：，，，，……（），按此规律排列下去，第n个分式是 ．（n为正整数） 5．观察以下等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， 第5个等式：， … 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第6个等式：________； (2)写出你猜想的第n个等式：________（用含n的等式表示），并证明． 题型五 分式的基本性质 1．如果把分式中的，都扩大3倍，那么分式的值（   ） A．扩大3倍 B．不变 C．缩小3倍 D．扩大9倍 2．如果把分式中的和都扩大到原来的20倍，那么分式的值（    ） A．扩大到原来的20倍 B．缩小到原来的 C．扩大到原来的2倍 D．不变 3．若分式中的a，b都扩大到原来的2倍，则分式值的变化为 ． 4．分式的值为m，将x，y都扩大2倍，则变化后分式的值为 ． 5．阅读理解： 材料1：为了研究分式与其分母x的数量变化关系，小力制作了表格，并得到如下数据： … 0 1 2 3 4 … … 无意义 1 … 从表格数据观察，当时，随着的增大，的值随之减小，若无限增大，则无限接近于0；当时，随着的增大，的值也随之减小． 材料2：在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数小于分母的次数，称这样的分式为真分式．如果分子的次数大于或等于分母的次数，称这样的分式为假分式．任何一个假分式都可以化为一个整式与一个真分式的和．例如： 根据上述材料完成下列问题： (1)当时，随着的增大，的值 (增大或减小)；当时，随着的增大，的值 （增大或减小）； (2)当时，随着的增大，的值无限接近一个数，请求出这个数； (3)当时，直接写出代数式值的取值范围是 ． 题型六 最简分式与最简公分母 1．分式，，的最简公分母是（    ） A． B． C． D． 2．下列分式是最简分式的是（    ） A． B． C． D． 3．下列个分式中：①；②；③；④，最简分式有 个． 4．分式和分式的最简公分母是 ． 5．下列分式中，哪些是最简分式？若不是最简分式，请化为最简分式． (1)； (2)． 题型七 约分与通分 1．约分的结果是（    ） A． B． C． D． 2．把与通分后，的分母为，则的分子变为（） A． B． C． D． 3．的最简公分母是 ，通分的结果为 ． 4．约分： ． 5．通分： (1)，，； (2)，； (3)，，． 题型八 分式的乘除法 1．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 2．化简，正确结果是（　　） A． B． C． D． 3．当时，的结果是 ． 4．计算∶= ． 5．计算： (1)； (2)． 题型九 分式的加减法 1．若，则的值是（   ） A．2 B． C．4 D． 2．计算的结果是（    ） A． B． C．1 D． 3．已知，则的值为 ． 4．计算的结果是 ． 5．计算： (1) (2) 题型十 分式的混合运算 1．化简的结果是（　　） A． B． C． D． 2．化简的结果是（    ） A． B． C． D． 3．化简的结果为 ． 4．计算： ． 5．计算： (1) (2)． 题型十一 分式计算的实际应用 1．甲、乙两人前后两次同时在同一家超市购买大米，前后两次购买大米的价格每千克分别为m元和n元（m，n为不相等的正数）．若甲每次购买p千克大米，乙每次花p元钱购买大米（p为正数）．则甲、乙两种购买方式平均价格低的是（    ） A．甲 B．乙 C．甲、乙一样 D．不确定 2．小乐骑自行车匀速爬上一个斜坡后立即匀速下坡回到出发点，若上坡速度为，下坡速度为，则他上下坡的平均速度为（    ） A． B． C． D． 3．临近春节，甲厂联系一辆车送m名员工返乡过年，租金为3000元，临出发时，有3名乙厂员工也随车返乡，如果所有乘车人员平均分摊车费，则甲厂员工最后人均车费比原来少了 元． 4．如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为（）的正方形去掉一个边长为的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为的正方形（其中为大于的整数），两块试验田的小麦都收获了．    （1）丰收 号（填“1”或者“2”）小麦的单位面积产量高； （2）某农户试种“丰收1号”、“丰收2号”两种小麦种子，其中“丰收1号”小麦面积为（为整数），“丰收2号”小麦种植面积比“丰收1号”少，若两种小麦种植后产量相同（小麦试种的单产量与实验田一致），当时，符合条件的的值为 （直接写出结果）． 5．阅读下列材料： 通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”．而假分数都可化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如：，这样的分式就是假分式；再如：，这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如：； 再如：． 解决下列问题： (1)分式是 分式（填“真分式”或“假分式”）； (2)如果分式的值为整数，求出所有符合条件的整数x的值． (3)若分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式为：，求的最小值． 题型十二 分式的化简求值 1．已知，则的值是（    ） A． B． C． D． 2．已知，则的值为（    ） A．4 B．2 C． D． 3．若，且，则 ． 4．已知，化简求值： ． 5．先化简，再求值：其中 题型十三 解分式方程 1．分式方程的解是（   ） A．4 B．-4 C． D．无解 2．解分式方程时，去分母后方程变形为（    ） A． B． C． D． 3．分式方程的解为 ． 4．若关于的分式方程有非负整数解，则的取值范围是 ． 5．解分式方程： (1) (2) 题型十四 分式方程的增根与无解问题 1．对于关于的分式方程，以下说法错误的是（    ） A．分式方程的增根是或 B．若分式方程有增根，则 C．若分式方程无解，则或 D．分式方程的增根是 2．若关于x的分式方程无解，则m的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 3．关于的分式方程无解，则的值为 ． 4．已知是关于的方程． （1）若方程有增根，则的值为 ，方程的增根为 ； （2）若方程无解，则的值为 ． 5．已知关于x的分式方程． (1)当时，求这个分式方程的解； (2)若此分式方程无解，求的值． 题型十五 分式方程的应用 1．某商店销售一种小电器，元月的营业额为元为了扩大销量，在月将每件小电器按原价的八折销售，销售量比元月增加了件，营业额比元月增加了元，设元月每件小电器的售价为元，则可列方程为 A． B． C． D． 2．自带水杯已成为人们良好的健康卫生习惯，某公司为员工购买甲、乙两种型号的水杯．用720元购买甲种水杯的数量和用540元购买乙种水杯的数量相同，已知甲种水杯的单价比乙种水杯的单价多15元．设甲种水杯的单价为元，则列出方程正确的是（    ） A． B． C． D． 3．斑马线前“车让人”，不仅体现着一座城市对生命的尊重，也直接反映着城市的文明程度．如图，某路口的斑马线路段横穿双向行驶车道，其中，在绿灯亮时，小明共用通过，其中通过的速度是通过 速度的1.2 倍，则小明通过的速度为 ． 4．青少年是全民国防教育的重中之重，要从培养担当民族复兴大任时代新人的高度，教育引导青少年树立国防观念．某校为了提升青少年国防素养，组织共青团员乘大巴车前往距离学校的中国人民革命军事博物馆进行参观学习，出发后前一小时按原计划的速度匀速行驶，一小时后以原来速度的1.5倍匀速行驶，并比原计划提前了到达博物馆，则前一小时大巴车的行驶速度为 ． 5．某服装店用4000元购进一批运动衫，很快售完，该店又用6300元购进第二批这种运动衫，所购进的件数比第一批多，每件运动衫的进价比第一批多10元． (1)求购进第一批运动衫的件数； (2)若在这两批运动衫的销售中，售价保持一致，且售完这两批运动衫，服装店的总利润不少于4100元，那么服装店销售这种运动衫每件的最低售价是多少元？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$