12.1 全等三角形【5大题型】-2024-2025学年八年级上册数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破（人教版）

12.1 全等三角形 【考点归纳】 · 考点一：全等图像的识别 · 考点二：利用三角形全等求网格中的角度 · 考点三：全等三角形的概念 · 考点四：全等三角形的性质 · 考点五：全等三角形的综合问题 【知识归纳】 知识点一：基本定义 ⑴全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形. ⑵全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形. ⑶对应顶点：全等三角形中互相重合的顶点叫做对应顶点. ⑷对应边：全等三角形中互相重合的边叫做对应边. ⑸对应角：全等三角形中互相重合的角叫做对应角. 知识点二.基本性质 ⑴三角形的稳定性：三角形三边的长度确定了，这个三角形的形状、大小就全确定，这个性质叫做三角形的稳定性. ⑵全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等. 【题型探究】 题型一：全等图像的识别 1．（2024八年级上·江苏·）下列各组图形中，是全等图形的是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·山东·随堂练习）下列各组图形中，属于全等图形的是（   ） A． B． C． D． 3．（22-23八年级上·全国·单元测试）下列图形中，是全等图形的有（   ） A．组 B．组 C．组 D．组 题型二：利用三角形全等求网格中的角度 4．（22-23八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，已知方格纸中是4个相同的小正方形，则∠1+∠2的度数为 . 5．（22-23八年级上·江苏宿迁·期中）如图所示的网格是由9个相同的小正方形拼成的，图形的各个顶点均为格点，则的度数为（    ）． A．30° B．45° C．55° D．60° 6．（20-21八年级上·广东东莞·阶段练习）在如图所示的正方形网格中，等于 ．    题型三：全等三角形的概念 7．（22-23八年级·全国·课堂例题）说法中正确的是（    ） A．全等三角形是指形状相同的两个三角形 B．全等三角形是指面积相等的两个三角形 C．两个等边三角形是全等三角形 D．周长相等的两个三角形不一定全等 8．（23-24八年级上·甘肃定西·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．形状相同的两个三角形全等 B．面积相等的两个三角形全等 C．全等三角形的周长相等、面积相等 D．所有的等边三角形全等 9．（23-24八年级上·陕西安康·期中）下列说法正确的是（    ） A．全等三角形是指形状、大小相同的三角形 B．两个全等三角形的面积不一定相等 C．周长相等的两个三角形是全等三角形 D．所有的等边三角形都是全等三角形 题型四：全等三角形的性质 10．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，点、、在同一直线上，若，，，则等于（    ） A． B． C． D． 11．（23-24七年级下·山东·期末）如图，， 点在边 上， 的延长线交 于点， 若 ，则 的度数为(      ) A． B． C． D． 12．（23-24八年级上·湖南衡阳·期末）如图，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 题型五：全等三角形的综合问题 13．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，点A，B，C在同一直线上，点E在上，且． (1)求的长． (2)判断与的位置关系，并说明理由． 14．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，已知，点在上，与相交于点． (1)当，时，线段的长为 ； (2)已知，，求的度数． 15．（2024八年级上·全国）如图，已知，其中和，与是对应边，点在边上，与交于点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【高分演练】 一、单选题 16．（2024八年级上·浙江）下列各组图形中，是全等图形的是（        ） A． B． C． D． 17．（2024八年级上·全国·专题练习）如图所示，已知，与是对应角，下列结论：①；②；③；④；其中正确的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 18．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，在中，于点D、E是上一点，若，，，则的周长为（    ） A．22 B．23 C．24 D．26 19．（23-24七年级下·海南海口·期末）如图，在中，于点是上一点，若，，则的周长为（    ） A．22 B．23 C．24 D．26 20．（23-24七年级下·陕西西安·期末）如图，，的延长线交于点，交于点．若，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 21．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，若，则下列结论中不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 22．（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，已知点在上，点在上，，且，若，则（　　）    A． B． C． D． 23．（23-24八年级上·山东聊城·期末）如图，已知，下列说法：①；②是的中线；③；④与面积相等．其中正确的是：（   ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 24．（23-24八年级上·福建厦门·期末）如图，，是四边形的对角线，，，点E在上，连接，若与全等，下列线段长度等于的是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 25．（23-24八年级上·河南郑州·期末）如图，，则 ． 26．（2024八年级上·江苏·专题练习）三个全等三角形摆成如图所示的形式，则的度数为 ．    27．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，四边形与四边形是全等四边形，若，，，则 ． 28．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，在中，于点，于点，，交于点，，若，，则的面积为 ． 29．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，于点，，，射线于点，一动点从点出发以个单位/秒沿射线运动，点为射线上一动点，随着点运动而运动，且始终保持，若点经过秒，与全等，则的值为 秒． 三、解答题 30．（23-24七年级下·四川资阳·期末）如图，已知点A在上，，    (1)试说明：； (2)若，，求的长 31．（23-24七年级下·陕西榆林·期末）如图，已知，点在边上，与交于点，，． (1)求的度数； (2)若，，求与的周长之和． 32．（23-24八年级上·河南商丘·期末）如图，已知，点E在边上，与交于点F． (1)若 ，，求线段的长； (2)若，，求的度数． 33．（22-23八年级上·吉林·期中）已知正方形中，边长为，点在边上，，如果点在线段上以的速度由点向点运动，同时点在线段上以的速度由点向点运动，设运动的时间为秒． (1)的长为______（用含的代数式表示）． (2)若以、、为顶点的三角形和以、、为顶点的三角形全等，求的值． 34．（22-23八年级上·江苏镇江·期末）如图，已知，点在上，与相交于点．    (1)当，时，求线段的长； (2)已知，，求的度数． 35．（23-24八年级上·浙江金华·阶段练习）如图①，在中，，现有一动点，从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为秒．      (1)如图①，当的面积等于面积的一半时，求的值： (2)如图②，点在边上，点在边上，在的边上，若另外有一个动点与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止．在两点运动过程中的某一时刻，以为顶点的三角形恰好与全等，求点的运动速度． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 12.1 全等三角形 【考点归纳】 · 考点一：全等图像的识别 · 考点二：利用三角形全等求网格中的角度 · 考点三：全等三角形的概念 · 考点四：全等三角形的性质 · 考点五：全等三角形的综合问题 【知识归纳】 知识点一：基本定义 ⑴全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形. ⑵全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形. ⑶对应顶点：全等三角形中互相重合的顶点叫做对应顶点. ⑷对应边：全等三角形中互相重合的边叫做对应边. ⑸对应角：全等三角形中互相重合的角叫做对应角. 知识点二.基本性质 ⑴三角形的稳定性：三角形三边的长度确定了，这个三角形的形状、大小就全确定，这个性质叫做三角形的稳定性. ⑵全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等. 【题型探究】 题型一：全等图像的识别 1．（2024八年级上·江苏·）下列各组图形中，是全等图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查全等图形的定义，根据两个图形的形状、大小均一样的图形是全等图形解答即可． 【详解】解：根据全等图形的定义可得C是全等图形， 故答案为：C． 2．（24-25七年级上·山东·随堂练习）下列各组图形中，属于全等图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查全等形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形，由此即可判断． 【详解】解：A中两个图形大小不同，不是全等图形，不符合题意； B中图形是一个图形，不是全等图形，不符合题意； C中两个图形是全等图形，符合题意； D中两个图形的形状不同，不是全等图形，不符合题意； 故选：C． 3．（22-23八年级上·全国·单元测试）下列图形中，是全等图形的有（   ） A．组 B．组 C．组 D．组 【答案】C 【详解】根据全等图形的定义判断即可．掌握能够完全重合的两个图形是全等形是解题的关键． 【解答】解：图①与⑩是全等图形， 图②与⑫是全等图形； 图④与⑧是全等图形； 图⑤与⑨是全等图形； 综上分析可知：全等图形有4组． 故选：C． 题型二：利用三角形全等求网格中的角度 4．（22-23八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，已知方格纸中是4个相同的小正方形，则∠1+∠2的度数为 . 【答案】/45度 【分析】观察图形可知与所在的直角三角形全等，则，根据外角的性质卡得，即可求解． 【详解】观察图形可知与所在的直角三角形全等， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了利用全等的性质求网格中的角度，三角形外角的性质，等腰直角三角形的性质，得出是解题的关键． 5．（22-23八年级上·江苏宿迁·期中）如图所示的网格是由9个相同的小正方形拼成的，图形的各个顶点均为格点，则的度数为（    ）． A．30° B．45° C．55° D．60° 【答案】B 【分析】根据网格特点，可得出，，，进而可求解． 【详解】解：如图，则，，， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查网格中的全等图形、三角形的外角性质，会利用全等图形求正方形网格中角度之和是解答的关键． 6．（20-21八年级上·广东东莞·阶段练习）在如图所示的正方形网格中，等于 ．    【答案】/225度 【分析】根据图形和正方形的性质可知，，，再把它们相加可得的度数． 【详解】解：观察图形可知与所在的三角形全等，二角互余，与所在的三角形全等，二角互余，， ∴，，， ∴． 故答案为：． 【点睛】此题结合网格的特点考查了余角，注意本题中，，是解题的关键． 题型三：全等三角形的概念 7．（22-23八年级·全国·课堂例题）说法中正确的是（    ） A．全等三角形是指形状相同的两个三角形 B．全等三角形是指面积相等的两个三角形 C．两个等边三角形是全等三角形 D．周长相等的两个三角形不一定全等 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的概念，根据能够完全重合的两个三角形是全等三角形，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：形状相同的两个三角形若其大小不相等就不是全等三角形，故选项A错误； 面积相等的两个三角形形状不一定相同，不一定是全等三角形，故选项B错误； 两个等边三角形，形状相同，边长不一定相等，不一定能完全重合，不一定是全等三角形，故选项C错误． 长相等的两个三角形不一定全等，故选项D正确； 故选D． 8．（23-24八年级上·甘肃定西·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．形状相同的两个三角形全等 B．面积相等的两个三角形全等 C．全等三角形的周长相等、面积相等 D．所有的等边三角形全等 【答案】C 【分析】本题考查三角形全等的概念及性质，根据三角形全等的概念和性质逐一判断即可. 【详解】A选项：形状和大小完全相同的两个三角形全等，故形状相同的两个三角形不一定全等，本选项说法错误； B选项：全等的两个三角形面积相等，但面积相等的两个三角形不一定全等，故本选项说法错误； C选项：全等三角形的周长相等，面积相等，本选项说法正确； D选项：等边三角形的形状相同，但大小不同，故本选项说法错误. 故选：C 9．（23-24八年级上·陕西安康·期中）下列说法正确的是（    ） A．全等三角形是指形状、大小相同的三角形 B．两个全等三角形的面积不一定相等 C．周长相等的两个三角形是全等三角形 D．所有的等边三角形都是全等三角形 【答案】A 【分析】根据能够完全重合的两个三角形是全等三角形，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】A、形状相同大小相等的三角形能够完全重合，是全等三角形，故本选项正确； B、两个全等三角形的面积一定相等，故本选项错误； C、周长相等的三角形，形状不一定相同，大小不一定相等，所以不一定是全等三角形，故本选项错误； D、所有的等边三角形形状都相同，大小与边长有关，边长不相等，则不能够重合，所以不一定是全等三角形，故本选项错误． 故选：A． 题型四：全等三角形的性质 10．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，点、、在同一直线上，若，，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应边相等． 由全等三角形的性质推出，，求出，即可得到的长． 【详解】解：， ，， ， ， ． 故选：C． 11．（23-24七年级下·山东·期末）如图，， 点在边 上， 的延长线交 于点， 若 ，则 的度数为(      ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理，根据全等三角形的性质和三角形的内角和定理即可得到结论． 【详解】解：， ，， ， ， 故选：A． 12．（23-24八年级上·湖南衡阳·期末）如图，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形内角和定理，全等三角形的性质，根据全等三角形对应角相等求出，，再利用三角形内角和为180度求出，最后利用角的和差关系即可求解． 【详解】解：，， ， ， ， ， 故选D． 题型五：全等三角形的综合问题 13．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，点A，B，C在同一直线上，点E在上，且． (1)求的长． (2)判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题侧重考查全等三角形的性质、邻补角的题目，全等三角形的对应边、对应角分别相等． （1）根据全等三角形的对应边相等及线段的和差关系可得答案； （2）根据全等三角形的对应角相等及余角的性质可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∴． （2），理由如下： ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴． 14．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，已知，点在上，与相交于点． (1)当，时，线段的长为 ； (2)已知，，求的度数． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）由，可得，，从而可得答案； （）由，，，可得，，再利用三角形的内角和求出，再根据角度和差即可求解； 本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理，角度和差，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）∵，，， ∴，， ∴， 故答案为：； （2）∵，，， ∴，， ∵， ∴． 15．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，已知，其中和，与是对应边，点在边上，与交于点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的性质、等腰三角形的性质和三角形的内角和定理，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． （1）根据全等三角形的性质得出，再求出答案即可； （2）根据全等三角形的性质得出，根据对顶角相等和三角形内角和定理得出，，，求出即可． 【详解】（1）证明：， ， ， ； （2）解：由（1）可知，， ， ， ， ， ，，， ． 【高分演练】 一、单选题 16．（2024八年级上·浙江）下列各组图形中，是全等图形的是（        ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等图形的定义，解题的关键是掌握形状大小完全相同的图形是全等图形，据此即可解答． 【详解】解：根据全等图形的定义可得C是全等图形， 故答案为：C． 17．（2024八年级上·全国·专题练习）如图所示，已知，与是对应角，下列结论：①；②；③；④；其中正确的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形对应角、对应边相等是解题关键．根据全等三角形的性质，得出，，，即可判断作答． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴，， ∴，， 故①②③结论正确， 由题意可知，AD与CD的关系不能确定，④结论错误， 故选：C． 18．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，在中，于点D、E是上一点，若，，，则的周长为（    ） A．22 B．23 C．24 D．26 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的对应边相等，是解题的关键．由全等三角形的性质可得，，即可得的周长，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴的周长， ∵，， ∴的周长为． 故选：C． 19．（23-24七年级下·海南海口·期末）如图，在中，于点是上一点，若，，则的周长为（    ） A．22 B．23 C．24 D．26 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据全等三角形的性质可得，根据的周长为即可求解，掌握全等三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵的周长为， ； 故选：C ． 20．（23-24七年级下·陕西西安·期末）如图，，的延长线交于点，交于点．若，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的性质、三角形外角的性质，由，则与是一组对应角，与是一组对应角，对于，外角等于除外的两个内角之和，求得，再在中，由三角形内角和即可求得结果． 【详解】解：，，， ，． ∵由三角形外角的性质可得， ． ． ，， ． 故选：B． 21．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，若，则下列结论中不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据全等三角形的性质逐项判断即可，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． 【详解】、∵， ∴，原选项成立，不符合题意； 、∵， ∴，原选项成立，不符合题意； 、∵， ∴， ∴， ∴，原选项成立，不符合题意； 、∵， ∴，原选项不一定成立，符合题意； 故选：． 22．（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，已知点在上，点在上，，且，若，则（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的性质和三角形的内角和定理，根据全等三角形的性质，，，又，，得到，在中根据内角和定理求解，熟练掌握全等三角形的性质及三角形内角和定理，数形结合是解决问题的关键． 【详解】解：， ，， ， ， ， ， 在中，由三角形内角和定理可得， ，，， ， 故选：C． 23．（23-24八年级上·山东聊城·期末）如图，已知，下列说法：①；②是的中线；③；④与面积相等．其中正确的是：（   ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查全等三角形的性质，根据，可知，，，． 【详解】①∵， ∴． 说法①错误． ②∵， ∴． ∴是的中线． 说法②正确． ③∵， ∴． ∴． 说法③正确． ④∵， ∴，且的边上的高与的边上的高相等． ∴与面积相等． 说法④正确． 综上所述，说法正确的有②③④，共3个． 故选：C 24．（23-24八年级上·福建厦门·期末）如图，，是四边形的对角线，，，点E在上，连接，若与全等，下列线段长度等于的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，根据题目给的条件求出是解题的关键． 根据题目给的条件推出，再根据全等三角形的性质及线段的和差求解即可． 【详解】解：∵与全等，，， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 二、填空题 25．（23-24八年级上·河南郑州·期末）如图，，则 ． 【答案】/105度 【分析】本题考查了全等三角形的性质：对应角相等，可得，最后根据三角形内角和即可求解； 【详解】解：∵， ∴ ∴ 故答案为： 26．（2024八年级上·江苏·专题练习）三个全等三角形摆成如图所示的形式，则的度数为 ．    【答案】/180度 【分析】此题主要考查了全等三角形的性质以及三角形内角和定理，正确掌握全等三角形的性质是解题关键．直接利用平角的定义结合三角形内角和定理以及全等三角形的性质得出，，进而得出答案． 【详解】解：如图所示： 由图形可得：， ∵三个三角形全等， ∴， 又∵， ∴， ∴的度数是． 故答案为：． 27．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，四边形与四边形是全等四边形，若，，，则 ． 【答案】/60度 【分析】本题考查了全等多边形的性质和四边形的内角和，先根据全等图形的性质求得和，再由四边形的内角和求得即可． 【详解】解：∵全等多边形的对应边和对应角相等， ∴，， 又∵四边形的内角和为， ∴， 故答案为：； 28．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，在中，于点，于点，，交于点，，若，，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质和三角形的面积，能根据全等三角形的性质求出是解此题的关键． 根据全等三角形的性质得出，求出，再根据三角形的面积公式求出面积即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 29．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，于点，，，射线于点，一动点从点出发以个单位/秒沿射线运动，点为射线上一动点，随着点运动而运动，且始终保持，若点经过秒，与全等，则的值为 秒． 【答案】，， 【分析】本题考查全等三角形的性质和判定，熟练掌握全等三角形的性质和判定是解题的关键；此题要分两种情况：①当在线段上时，②当E在上，再分别分成两种情况，进行计算即可． 【详解】解：①当在线段上，时，， ， ， ， 点的运动时间为（秒）； ②当在上，时， ， ， ， 点的运动时间为（秒）； ③当在上，时，， ， 点的运动时间为（秒）， 故答案为：，，． 三、解答题 30．（23-24七年级下·四川资阳·期末）如图，已知点A在上，，    (1)试说明：； (2)若，，求的长 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，平行线的判定，掌握全等三角形的性质是解题的关键． （1）根据全等三角形的对应角相等得到，然后根据内错角相等，两直线平行得到结论即可； （2）根据全等三角形的对应边相等得到，，然后利用线段的和差即可得到结果． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴，， 又∵， ∴． 31．（23-24七年级下·陕西榆林·期末）如图，已知，点在边上，与交于点，，． (1)求的度数； (2)若，，求与的周长之和． 【答案】(1) (2)31 【分析】本题主要考查全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的对应角相等，对应边相等是解本题的关键． （1）根据全等三角形的性质得到，计算即可； （2）根据全等三角形的性质求出，根据三角形的周长公式计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴． ∵， ∴， ∴， 即， ∴． （2）解：∵， ∴，， ∴与的周长和， ． 32．（23-24八年级上·河南商丘·期末）如图，已知，点E在边上，与交于点F． (1)若 ，，求线段的长； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)20 (2) 【分析】本题考查全等三角形的性质，三角形外角的性质． （1）由全等三角形的性质得到，，求出的长，即可得到长． （2）由全等三角形的性质得到，由三角形外角的性质得到，由对顶角的性质得到． 【详解】（1）解：， ，， ， ； （2）解：， ， ，， ， ． 33．（22-23八年级上·吉林·期中）已知正方形中，边长为，点在边上，，如果点在线段上以的速度由点向点运动，同时点在线段上以的速度由点向点运动，设运动的时间为秒． (1)的长为______（用含的代数式表示）． (2)若以、、为顶点的三角形和以、、为顶点的三角形全等，求的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定与性质，正方形的性质，证明三角形全等是解题的关键． （1）根据即可得到答案； （2）分情况讨论时对应边的关系，通过不同的对应关系列式求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：若， 则，即， ∴，； 若 则，，则 得：， 解得：． 34．（22-23八年级上·江苏镇江·期末）如图，已知，点在上，与相交于点．    (1)当，时，求线段的长； (2)已知，，求的度数． 【答案】(1)2； (2)的度数为． 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． （1）根据全等三角形的性质得到，，结合图形计算，得到答案； （2）根据全等三角形的性质得到，，根据三角形内角和定理求出，计算即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， ∴； （2）解：∵，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴． 35．（23-24八年级上·浙江金华·阶段练习）如图①，在中，，现有一动点，从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为秒．      (1)如图①，当的面积等于面积的一半时，求的值： (2)如图②，点在边上，点在边上，在的边上，若另外有一个动点与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止．在两点运动过程中的某一时刻，以为顶点的三角形恰好与全等，求点的运动速度． 【答案】(1)或19 (2)或或或 【分析】（1）根据三角形中线平分三角形面积可知，当点P为的中点时和点P为中点时，的面积等于面积的一半，据此根据时间路程速度进行求解即可； （2）根据题意分四种情况进行分析，利用全等三角形的性质得出点所走的路程，进而可求出的运动时间，即的运动时间，再利用速度路程时间求解即可． 【详解】（1）解：当点P在上时，由三角形中线平分三角形面积可知，当点P为的中点时，的面积等于面积的一半， ∴此时， 同理当点P为中点时，的面积等于面积的一半， ∴此时； 综上所述，t的值为10或19； （2）解：设点的运动速度为， 由题意得，， ①当点在上，点在上，时，        ， ∴， 解得； ②当点在上，点在上，时，      ， ∴， 解得； ③当点在上，点在上，时，    ， ∴点P的路程为，点Q的路程为 ∴， 解得：； ④当点在上，点在上，时，      ， ∴点P的路程为，点Q的路程为 ∴， 解得：； 综上所述，点的运动速度为或或或． 【点睛】本题主要考查了三角形中线的性质，全等三角形的性质，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$